4.1 笛卡尔积与二元关系4.2 关系的运算

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包含关系: R={<x,y>| x,y∈A∧={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 除此以外,还可以构成其他关系:
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A上的关系数目为 ,这个数目往往是很大的, 而我们通常关注的是其中少量的有特殊含义的关 系. 如EA,IA,整除,小于等于,包含等 3 关系的表示方法. 1)集合表达式 2)关系矩阵 3)关系图 2 接下来的课程,我们将学习关系的运算,关系的性质等.
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作业（清华版）
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7.3 关系的运算
关系矩阵表示从A到B的关系
关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R 是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系
3)R的域fidR: R的定义域和值域的并集
fldR=domR∪ranR
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
domR={1, 2, 4}
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
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关系的基本运算定义（续）
1)关系的逆 R的记作 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R 求关系的逆就是把其中的有序对颠倒过来 .
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二元关系

什么是关系: 在涉及离散对象的很多问题中,往往需要研 究这些对象之间的某种关系. 日常生活中父子关系,兄弟关系等, 都可以抽象成集合中元素之间的关系. 为简单起见,我们仅讨论两个集合上的二 元关系.
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二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系.当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
第2章 二元关系
为了研究离散对象之间的联系,本章引入关 系的概念 本章讨论的二元关系(简称关系)仍然是一种 集合. 它的元素是由有序对组成.

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2.1 有序对与笛卡儿积


有序对
笛卡儿积及其性质


二元关系的定义
二元关系的表示
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有序对
定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作<x,y>. x叫有序对的第一元素,y叫有序对的第二元素 实例：点的直角坐标(3,4) 有序对性质 有序性 <x,y><y,x> （当x y时） <x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=u 且 y=v
关系也是一种集合,只是关系中的元素为有序对.
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从A到B的关系与A上的关系
例4 A={0,1}, B={1,2,3}, 求A×B, A×A
A×B={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,1>,<1,2>,<1,3>} A×A={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, A=B时则叫做 A上的二元关系.

={<-4,-3>,<-4,-2>,….<-4,4>,<-3,-2>…..}
对于x∈X定义集合 R(x)={y|xRy} 求R(0)= R(0)={1,2,3,4}
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小结

为了研究离散对象之间的联系,本章引入二元关系的概念. 什么是关系? 关系也是一种集合,二元关系中的元素为有序对,这些有序 对中的两个元素来自两个不同或相同的集合. 因此,关系是建立在其他集合之上的集合. 如,A到B上的关系,反映不同集合中元素与元素之间的关系 A上的关系,反映的是同一集合中元素之间的关系.
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笛卡儿积:一种新的集合运算
定义 设A,B为集合，用A中的元素为第一元素,B中的 元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组 成的集合叫做A与B 的笛卡儿积记作AB， 即 AB ={ <x,y> | xA 且yB }
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>, <3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>, <a,3>, <b,3>,<c,3>}
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用关系图表示A上的关系

关系图：若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的 关系，R的关系图是GR=<A, R>, 其中A为结 点集，R为边集.如果<xi,xj>属于关系R，在 图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系图GR如下：
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问题：下列说法有何区别？

设A,B为集合, 从A到B的二元关系, A上的二元关系
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A上三种特殊关系
设 A 为任意集合， 是 A 上的关系，称为空关系 EA, IA 分别称为A上的全域关系与恒等关系， 定义如下： EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A IA={<x,x>|x∈A} 例如, A={1,2}, 则 EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
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例题
例3 (1) 证明 A=B C=D AC=BD (2) AC=BD是否推出 A=B C=D ? 为什么？ 解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD (2) 不一定. 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=, 则 AC=BD 但是 AB.
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n2
n2
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从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系, A=B时则叫做 A上的二元关系. 例4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}. 那么 R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3和R4同时也是 A上的二元关系. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有 2 n 个. 所以 A上有 2 n 个不同的二元关系. 例如 |A|=3, 则 A上有=512个不同的二元关系. 其中只有少数的二元关系是我们需要关注的. 14
关系也是集合(其元素为有序对), 因此可对关系进行集合的运算,如并∪\交∩\ 补,从而产生其他新的关系,其运算规则与一 般集合一样地进行.
下面讨论关系的以下运算: 求定义域\值域\域\关系的逆\ 关系的复合\关系R在A上的限制\A在R下的像. 以及关系的幂运算
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关系的基本运算定义
1)定义域domR :R中所有有序对的第一元素构成的集合 : domR = { x | y (<x,y>R) } 2)值域ranR: R中所有有序对的第二元素构成的集合: ranR = { y | x (<x,y>R) }
注意: 以上关系图适于 表示A上的关系
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实例
A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 0 MR 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0
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A到B的关系图（不是真正意义的关系图，主 要用于计算）
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有序对的概念可以扩展成有序 n 元组
定义 一个有序 n (n3) 元组 <x1, x2, …, xn> 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即
<x1, x2, …, xn> = < <x1, x2, …, xn-1>, xn>
当 n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组. 实例 n 维向量是有序 n元组.
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分配律的证明
证明 A(BC)=(AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).