高考数学总复习 8.7双曲线提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版
高考数学一轮复习 8.6 双曲线课时作业 理(含解析)新人教A版
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 8.6 双曲线课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·吉林市期中复习检测)设双曲线y 29－x 2a2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.74D.7解析：由双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0知a 2＝16，双曲线的离心率为e ＝9＋163＝53，故选B. 答案：B2．(2013·北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：由题可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，画图可得P (5，4)，故可得双曲线方程为x 2－y 24＝1.答案：B3．(2013·湖北武汉高三调研测试)已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化解析：如图，对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ，(2c )2＝2(m ＋n )， 而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2， ∴△F 1PF 2是直角三角形．选B. 答案：B4．(2013·山东滨州模拟)圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：不妨设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，若此曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6x ＝2a ，|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以离心率为e ＝2c 2a ＝3x 6x ＝12，若此曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2x ＝2a ，此时离心率e ＝2c 2a ＝3x 2x ＝32，故选D.答案：D5．(2013·马鞍山第一次质检)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线的性质知b a>3，即得c 2－a 2>3a 2，e >2. 答案：D6．(2014·河北沧州质量监测)已知双曲线的方程为x 2m －y 24＝1，且右顶点到直线y ＝x －4的距离为22，则双曲线的离心率等于( ) A.133B.295 C.53或215D.133或295解析：双曲线的右顶点为(m ，0)，它到y ＝x －4的距离为d ＝|m －0－4|2＝22，解得m ＝25或9.∴a ＝5或3，∴e ＝ca ＝133或295. 答案：D7．(2013·郑州第二次质量预测)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12 D.3＋12解析：连接OA ，AF 1，|OA |＝|OF 2|＝c ，因△AF 2B 为等边三角形，∴∠AF 2O ＝∠F 2AO ＝30°，∠AOF 2＝120°，|AF 2|＝3c ，△AF 1O 为等边三角形，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝3c －c ＝2a ，∴e ＝ca＝23－1＝3＋1，选B.答案：B8．(2013·重庆市模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关解析：由已知GA →＝λPF 1→知GA ∥PF 1，即△OAG ∽△OF 1P ，得OG OP ＝OA OF 1＝a c ＝13得e ＝ca ＝3，故选B.答案：B 二、填空题9．(2013·茂名市第一次模拟)已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其渐近线方程为________．解析：由方程知a 2＝1，b 2＝1k ，∴c 2＝5＝1＋1k ，∴k ＝14，即b 2＝4，∴渐近线方程为y＝±bax ＝±2x .答案：y ＝±2x10．(2013·浙江五校第二次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y2－4x ＋2＝0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：渐近线与圆有交点，即圆心(2,0)到直线y ＝b ax 的距离小于等于半径r ，则d ＝2ba 2＋b2≤2⇒c 2≤2a 2⇒1<e ≤ 2.答案：(]1，211．(2013·温州市高三第二次适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°.延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题知a ＝1，根据双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝2a 所以|AF 1|＝4，|BF 1|－|BF 2|＝2，∴|BF 1|＝2＋|BF 2|由图知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|∴|BA |＝|BF 1|，△ABF 1为等腰三角形，又因∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，则△ABF 1为等腰直角三角形，所以|AB |＝|BF 1|＝2 2.所以S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：4 三、解答题12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝± 3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13．(2013·江西红色六校高三第二次联考)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD ＝3DC ，△ABC 的周长为12.若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点P (m,0)(m 为非零常数)的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP →＝λPN →，问在x 轴上是否存在定点G ，使BC →⊥(GM →－λGN →)？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则B (－c,0)，D (a,0)，C (c,0)．由BD ＝3DC ，得c ＋a ＝3(c －a )，得c ＝2a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧|AB |2－|AC |2＝16a 2，|AB |＋|AC |＝12－4a ，|AB |－|AC |＝2a .解之得a ＝1，∴c ＝2，b ＝ 3. ∴双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设在x 轴上存在定点G (t,0)，使BC →⊥(GM →－λGN →)． 设直线l 的方程为x －m ＝ky ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由MP →＝λPN →，得y 1＋λy 2＝0. 即λ＝－y 1y 2①∵BC →＝(4,0)，GM →－λGN →＝(x 1－t －λx 2＋λt ，y 1－λy 2)， ∴BC →⊥(GM →－λGN →)⇔x 1－t ＝λ(x 2－t )． 即ky 1＋m －t ＝λ(ky 2＋m －t )．②把①代入②，得2ky 1y 2＋(m －t )(y 1＋y 2)＝0③把x －m ＝ky 代入x 2－y 23＝1并整理得(3k 2－1)y 2＋6kmy ＋3(m 2－1)＝0其中3k 2－1≠0且Δ>0，即k 2≠13且3k 2＋m 2>1.y 1＋y 2＝－6km 3k 2－1，y 1y 2＝3m 2－13k 2－1. 代入③，得6k m 2－13k 2－1－6km m －t3k 2－1＝0， 化简得kmt ＝k ，当t ＝1m时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，使BC →⊥(GM →－λGN →)． [热点预测]14．(1)(2013·南平质检)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，则∠AFB ＝( )A ．45° B．60° C．90° D．120°(2)(2013·石家庄质检(二))F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15解析：(1)双曲线的离心率为2，所以c ＝2a ，由题可得如图，所以∠AFB ＝60°.(2)画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a＝7，故选B.答案：(1)B (2)B。
高考数学(人教版)总复习“提高分”课时作业：8.9圆锥曲线的综合问题(含答案解析)
第8章 第9节学科王 课时作业一、选择题1．(2013·西安模拟)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P 为双曲线右支上一点，则PA →1·PF →2的最小值为( ) A ．－2B ．－8116C ．1D ．0【解析】 由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x ，y)(x≥1)，则PA →1·PF →2＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝4x2－x －5.令f(x)＝4x2－x －5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取最小值，即PA →1·PF →2取最小值，最小值为－2. 【答案】 A2．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a ＞b ＞0)和圆x2＋y2＝b2＋c2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为( ) A.55＜e ＜35B ．0＜e ＜25C.25＜e ＜35 D.35＜e ＜55学科王 【解析】 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即：⎩⎨⎧a2＞b 2＋c2b2＜b 2＋c2⇒⎩⎨⎧a ＞b 2＋c b ＜b2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧－＞14－a2－c2＜2c⇒55＜e ＜35. 【答案】 A 3．(2013·沈阳模拟)已知曲线C ：y ＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．(－∞，4] C ．(10，＋∞) D ．(－∞，10]【解析】 过点A(0，－2)作曲线C ：y ＝2x2的切线，设方程为y ＝kx －2，代入y ＝2x2得，2x2－kx ＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k ＝±4， 当k ＝4时，切线为l ，∵B 点在直线x ＝3上运动，直线y ＝4x －2与x ＝3的交点为M(3,10)，当点B(3, a)满足a≤10时，视线不被曲线C 挡住，故选D. 【答案】 D4．已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45【解析】 法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，不妨设A 在x 轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，学科王 ∵F 点坐标为(1,0)，∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－85×2＝－45.法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)， |AB|＝35，|AF|＝5，|BF|＝2，由余弦定理知，cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22·|AF|·|BF|＝－45.【答案】 D5．(2012·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF||BF|的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】 由题意设直线l 的方程为y ＝3x －p2，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y2＝2px 中， 整理得3y2－2py －3p2＝0， 设A(xA ，yA)，B(xB ，yB)， 则yA ＝3p ，yB ＝－33p ， 所以|AF||BF|＝yA yB ＝3.【答案】 C6．(2013·济南模拟)若AB 是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，kAM 、kBM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则kAM·kBM ＝( ) A ．－c2a2B ．－b2a2C ．－c2b2D ．－a2b2学科王【解析】 法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)， kAM·kBM ＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21＝－b2a2x20＋b2＋b2a2x21－b2x20－x21＝－b2a2.法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)， 可得kAM·kBM ＝－b2a2.【答案】 B 二、填空题7．已知双曲线焦点F1(－2，0)，F2(2，0)且与直线x ＋y －1＝0相交．则实轴最长的双曲线方程为________________．【解析】 设直线与双曲线交点为P ，则||PF1|－|PF2||＝2a ，由实轴最长知，问题转化为在直线x ＋y －1＝0上求一点P ，使P 到两定点F1、F2距离之差最大，点F1(－2，0)关于直线x ＋y －1＝0对称点为M(1,1＋2)，则直线F2M 与直线x ＋y －1＝0交点即为P 点，且2a ＝||PF1|－|PF2||＝||PM|－|PF2||＝|MF2|＝6，∴a ＝62，又c ＝2，∴b2＝12，故所求双曲线的方程为x232－y212＝1.【答案】x232－y212＝1 8．设直线l ：y ＝2x ＋2，若l 与椭圆x2＋y24＝1的交点为A 、B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为2－1的点P 的个数为________．【解析】 设与l 平行且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ＋b ，代入x2＋y24＝1中消去y 得，8x2＋4bx ＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b ＝±22，显然y ＝2x ＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)， ∵直线y ＝2x ＋22与l 距离d ＝22－25，∴欲使S △ABP ＝12|AB|·h ＝52h ＝2－1，须使h ＝22－25，∵d ＝h ，∴直线y ＝2x ＋22与椭圆切点，及y ＝2x ＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P 有3个． 【答案】 3学科王9．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x ，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．【解】 因为椭圆x23＋y2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)． 故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)， 其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ ＝232cos φ＋12sin φ＝2sinφ＋π3， 所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.【答案】 2 三、解答题10．求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．【解】 设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ， 代入椭圆方程，得3x2＋4bx ＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b ＝±3.当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d1＝62， 将b ＝3代入方程3x2＋4bx ＋2b2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33，即椭圆上的点－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62；当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d2＝362， 将b ＝－3代入方程3x2＋4bx ＋2b2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－33，学科王即椭圆上的点233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362.11．(2013·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q. (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由． 【解】 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程，得x22＋(kx ＋2)2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ， 得Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 即k 的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则OP →＋OQ →＝(x1＋x2，y1＋y2)． 由方程①，知x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝221＋2k2.③ 由A(2，0)，B(0,1)，得AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)， 将②③代入，解得k ＝22.由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k.学科王 12．(2012·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明：直线OP 的斜率k 满足|k|> 3. 【解】 (1)设P 的坐标为(x0，y0)．由题意有x20a2＋y20b2＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得 kAP ＝y0x0＋a ，kBP ＝y0x0－a.由kAP·kBP ＝－12，可得x20＝a2－2y20，代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝a2－b2a2＝12，∴e ＝22.(2)设P(acos θ，bsin θ)(0≤θ≤2π)； 则线段OP 的中点Q a 2cos θ，b2sin θ.|AP|＝|OA|⇔AQ ⊥OP ⇔kAQ×k ＝－1 又kAQ ＝bsin θ2a ＋acos θ，则bsin θ－akAQcos θ＝2akAQ ， 所以|2akAQ|≤b2＋a2k2A Q<a 1＋k2A Q ∴|kAQ|<33，k> 3. 四、选做题13．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)和圆O ：x2＋y2＝b2，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B.(1)①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，求椭圆离心率的取值范围； (2)设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，求证：a2|ON|2＋b2|OM|2为定值．学科王 【解】 (1)①因为圆O 过椭圆的焦点，圆O ：x2＋y2＝b2， 所以b ＝c ，所以b2＝a2－c2＝c2， 所以a2＝2c2，所以e ＝22. ②由∠APB ＝90°及圆的性质， 可得|OP|＝2b ，所以|OP|2＝2b2≤a2， 所以a2≤2c2，所以e2≥12，所以22≤e<1.(2)设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y0－y1x0－x1＝－x1y1，整理得x0x1＋y0y1＝x21＋y21.因为x21＋y21＝b2，所以PA 方程为：x1x ＋y1y ＝b2， 同理PB 方程为：x2x ＋y2y ＝b2. PA 、PB 都过点P(x0，y0)，所以x1x0＋y1y0＝b2且x2x0＋y2y0＝b2， 故直线AB 方程为x0x ＋y0y ＝b2. 令x ＝0，得|ON|＝|y|＝b2|y0|， 令y ＝0，得|OM|＝|x|＝b2|x0|， 所以a2|ON|2＋b2|OM|2＝a2y20＋b2x20b4＝a2b2b4＝a2b2，所以a2|ON|2＋b2|OM|2为定值，定值是a2b2.学科王。
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
高考数学总复习 第八章 圆锥曲线 87课后巩固提升(含解析)新人教A版
v 【创优导学案】2014届高考数学总复习 第八章 圆锥曲线 8-7课后巩固提升（含解析）新人教A 版(对应学生用书P 269 解析为教师用书独有)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．(2013·郑州模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 B 该抛物线的焦点F (1,0)，准线l 为：x ＝－1.∴焦点F 到准线l 的距离为2. 2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析 B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．一个正三角形的三个顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是( )A ．48 3B ．24 3 C.1637D.1639解析 A如图，设AB 所在的直线方程为y ＝33x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝4x ，得B 点坐标为(12，43)，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×12×43＝48 3.4．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A ．5 B ．10 C ．20D.15解析 B 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M 、N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形； ②△PMN 不一定为直角三角形； ③直线PM 必与抛物线相切； ④直线PM 不一定与抛物线相切． 其中正确的命题是 ( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析 A 因为PF ＝MF ＝NF ，故∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而可知∠MPN ＝90°，故①正确，②错误；令直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入抛物线方程可得y 2－2py ＋p 2＝0，Δ＝0，所以直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析 B 焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2.过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，消去x 得y 2－2py －p 2＝0，由题意知y 1＋y 22＝p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)7．(2013·宿迁模拟)抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则实数a ＝________.解析 抛物线y ＝ax 2化为标准方程为x 2＝1a y ，所以其准线方程为y ＝－14a ＝1，解得a＝－14.【答案】 －148．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析 由已知易得抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1≠x 2，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， ∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， ∴直线l 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 【答案】 y ＝x9．动点P 在抛物线y 2＝－6x 上运动，定点A (0,1)，线段PA 中点的轨迹方程是________． 解析 设P (x ′，y ′)，PA 的中点为Q (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y －1.∵P (x ′，y ′)在抛物线y 2＝－6x 上，∴(2y －1)2＝－12x . 【答案】 (2y －1)2＝－12x三、解答题(本大题共3小题，共40分)10．(12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.11．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ×1，所以p ＝2. 故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0.∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55，可得|t |5＝15，解得t ＝±1. ∵－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.12．(16分)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点． (1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．解析 (1)∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．。
新广东高考人教版理科数学二轮复习方略教师配套作业8.7双曲线(含答案解析)
课时提升作业(五十六)一、选择题1.(2013·东莞模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=12.(2013·韶关模拟)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为()(A)-2(B)-(C)1(D)03.(2013·中山模拟)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)4.(2012·浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()(A)3 (B)2 (C)(D)5.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为() (A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=06.(2013·云浮模拟)设椭圆+=1和双曲线-x2=1的公共焦点分别为F1,F2,P为这两条曲线的一个交点,则cos∠F1PF2的值为()(A)(B)(C)(D)-7.(能力挑战题)已知点F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是() (A)(1,1+) (B)(1,)(C)(+1,+∞) (D)(-∞,1+)二、填空题8.已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为.9.设点P是以F1,F2为左、右焦点的双曲线-=1(a>0,b>0)左支上一点,且满足·=0,tan∠PF2F1=,则此双曲线的离心率为.10.(能力挑战题)(2013·深圳模拟)P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.三、解答题11.(2013·肇庆模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(1)求双曲线的方程.(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(3)求△F1MF2的面积.12.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.13.(2013·哈尔滨模拟)椭圆C1:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线C2:-=1在第一象限内的图象上一点,直线AP,BP与椭圆C1分别交于C,D点,若S△ACD=S△.PCD(1)求P点的坐标.(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率;若不能,请说明理由.答案解析1.【解析】选B.由题意可知解得所以双曲线的方程为-=1.2.【解析】选 A.设点P(x,y),其中x ≥1,依题意得A 1(-1,0),F 2(2,0),则有=x 2-1,y 2=3(x 2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y 2=x 2+3(x 2-1)-x-2=4x 2-x-5=4(x-)2-,其中x ≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2.3.【解析】选D.因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以k FB =-,又因为直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直,所以k ·k FB=(-)=-1(k=-显然不符合),即b 2=ac,c 2-a 2=ac,所以,c 2-a 2-ac=0, 即e 2-e-1=0,解得e=(负值舍去).【变式备选】双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为( )(A)(B)(C)2(D)1【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2, 即c=2a,c 2=4a 2; 又因为c 2=a 2+b 2, 所以a 2+b 2=4a 2,即b=a,因此==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立.故的最小值为.4.【解析】选B.设双曲线的方程为-=1(a 1>0,b 1>0),椭圆的方程为+=1(a 2>0,b 2>0), 由于M,O,N 将椭圆长轴四等分, 所以a 2=2a 1,又e 1=,e 2=,所以1221e a e a =2.5.【解析】选C.设PF1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,所以F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a,在直角三角形F1F2M中,|F1M|==2b,故|PF1|=4b,根据双曲线的定义得4b-2c=2a,即2b-c=a,因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,即3b2-4ab=0,即3b=4a,故双曲线的渐近线方程是y=±x,即4x±3y=0.6.【解析】选B.由题意可知m-2=3+1,解得m=6.方法一:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2),联立+=1与-x2=1组成方程组,解得P(,),所以由两点距离公式计算得|PF1|=+,|PF2|=-.又|F1F2|=4,所以由余弦定理得cos∠F1PF2==.方法二:由椭圆与双曲线的对称性,不妨设点P为第一象限内的点,F1(0,-2),F2(0,2),由题意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=+,|PF2|=-,由余弦定理得cos∠F1PF2=.7.【解析】选A.如图,设A(-c,y0)(y0>0),因为点A在双曲线-=1上,代入得-=1,解得=b 2(-1)=,y 0=. 因为△ABF 2为锐角三角形, 所以0°<∠AF 2F 1<45°,从而|AF 1|<|F 1F 2|,即<2c,b 2<2ac, 化简得c 2-2ac-a 2<0. 两边同除以a 2,得e 2-2e-1<0, 解得1-<e<1+. 又e>1,所以1<e<1+.8.【解析】∵右焦点坐标是(,0),∴9+a=13,即a=4, ∴双曲线方程为-=1,∴渐近线方程为±=0,即2x ±3y=0. 答案:2x ±3y=09.【解析】由已知得|PF 2|-|PF 1|=2a ① 又·=0, ∴⊥,因此在以P 为直角顶点的Rt △PF 1F 2中,由tan ∠PF 2F 1=得,= ②由①②解得|PF 1|=4a,|PF 2|=6a. 又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 即(4a)2+(6a)2=(2c)2.即13a 2=c 2,∴离心率e 2==13. ∴e=. 答案:10.【解析】双曲线的两个焦点F 1(-4,0),F 2(4,0)为两个圆的圆心,半径分别为r 1=2,r 2=1,|PM|max =|PF 1|+2,|PN|min =|PF 2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF 1|+2)-(|PF 2|-1)=|PF 1|-|PF 2|+3=5.答案:511.【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵过点∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.故·=-1,∴MF 1⊥MF2.∴·=0.方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.∵M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,△F1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.12.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.13.【思路点拨】(1)由S△ACD=S△PCD⇒AC=PC,即C为AP中点且在椭圆上,据此可求出P点坐标.(2)只需将F2(c,0)代入直线CD的方程,设法求a,c的比值即可.【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上,则有b2x2-a2y2=a2b2①,∵A(-a,0),B(a,0),∴PA的中点为C(,),点C在椭圆上,代入椭圆方程,化简得b2x2+a2y2-2ab2x=3a2b2②①+②:2b2x2-2ab2x=4a2b2,∴x2-ax-2a2=0,(x+a)(x-2a)=0.∵P在双曲线右支上,∴x+a≠0,则x=2a.代入①:a2y2=3a2b2,P在第一象限,∴y>0,y=b,得P(2a,b).(2)由P(2a,b)及B(a,0)得PB:y=(x-a).代入椭圆方程:b2x2+a2·(x2-2ax+a2)=a2b2,∴4b2x2-6ab2x+2a2b2=0.2x2-3ax+a2=0,(2x-a)(x-a)=0.∵x<a,∴x=,从而y=(-)=-b,得D(,-b).同理可得C(,b).C,D横坐标相同,知CD⊥x轴.如CD过椭圆右焦点F2(c,0),∴c=,即a=2c,从而b2=a2-c2=a2.设双曲线半焦距为c′,则c′2=a2+b2=a2,∴e′=.于是直线CD可通过椭圆C1的右焦点,此时双曲线C2的离心率为e′=.。
高考数学第一轮总复习 8.6 双曲线课时提升作业 文(含模拟题,解析)新人教A版
高考数学第一轮总复习 8.6 双曲线课时提升作业文（含模拟题，解析）新人教A版(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.(2014·武汉模拟)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对2.(2014·黄冈模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.(2013·福建高考)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A. B. C.1 D.4.(2013·北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>25.(2014·重庆模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是( )A. B. C. D.6.(2014·襄阳模拟)如图,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,AC,BC边上的高分别为BD,AE,垂足分别是D,E,则以A,B为焦点且过D,E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则+的值为( )A.1B.C.2D.27.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为( )A. B. C.2 D.18.(2013·重庆高考)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.二、填空题(每小题6分,共24分)9.(2013·湖南高考)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为.10.已知F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,若A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是.11.若双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成长度之比为7∶5的两部分线段,则此双曲线的离心率为.12.(2014·石家庄模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为.三、解答题(每小题14分,共28分)13.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.14.(2013·天津模拟)双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为,其中A(a,0),B(0,-b).(1)求双曲线的方程.(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求⊥时,直线MN 的方程.答案解析1.【解析】选B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.2.【解析】选C.因为|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线有一个交点为(3,4),所以双曲线中c=5,且渐近线方程y=x=x,即=,又a2+b2=25,所以a2+=25,a2=9,b2=16,可知选项C符合题意.3.【解析】选B.取一顶点(1,0),一条渐近线x-y=0,d==,故选B.4.【思路点拨】找出a2,b2,c2,表示出离心率,再解出m.【解析】选C.a2=1,b2=m,c2=1+m,e==>,所以m>1.5.【解析】选A.因为M到其焦点的距离为5,所以1+=5,所以p=8,所以M(1,4),又A(-,0),由题意知=,所以a=.6.【解析】选B.在椭圆中,AB=2c,则BD=c,由勾股定理和椭圆知识知AD=2a-c=,解得e1=-1,在双曲线中,由勾股定理和双曲线知识知AD=2a+c=,解得e2=+1,+=+=+=.7.【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2,即c=2a,c2=4a2.又因为c2=a2+b2,所以a2+b2=4a2,即b=a,因此==a+≥2=,当且仅当a=时等号成立.即的最小值为.8.【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤,所以<≤3,<1+≤4,即有<≤2.又双曲线的离心率为e==,所以<e≤2.【误区警示】本题极易漏掉≤,其原因是对问题考虑不全,造成漏解.【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧已知双曲线+=1(a>0,b>0).则:(1)当a>b>0时,双曲线的离心率满足1<e<.(2)当a=b>0时,e=(亦称为等轴双曲线).(3)当b>a>0时,e>.9.【解析】如图,因PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,故|PF2|=|F1F2|=c,则|PF1|=c,又由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,即c-c=2a,故==+1.答案:+110.【解析】因为A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F′(4,0),于是由双曲线的定义得|PF|-|PF′|=2a=4.而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5.两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F′三点共线时,等号成立. 答案:9【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.11.【解析】依题意抛物线的焦点坐标为,所以=,即c=3b,c2=9b2=9c2-9a2,e2===,e=.答案:【加固训练】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为.【解析】由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线-=1的一个顶点坐标为(5,0),即得a=5. 又由e===,可解得c=,则b2=c2-a2=,即b=.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.答案:±12.【解析】焦点(c,0)到渐近线y=x的距离为=b,则由题意知b=2a,又a2+b2=c2,所以5a2=c2,所以离心率e==.答案:【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.13.【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tan∠AOF=,tan∠AOB=tan2∠AOF==,由倍角公式,得=,解得=,则离心率e=.(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立,将a=2b,c=b代入, 化简有x2-x+21=0,4=|x1-x2|=,将数值代入,有4=,解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.14.【解析】(1)设直线AB:-=1,由题意,所以所以双曲线方程为-=1.(2)由(1)得B(0,-3),B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2),易知直线MN的斜率存在. 设直线MN:y=kx-3,所以所以3x2-(kx-3)2=9,整理得(3-k2)x2+6kx-18=0,①所以x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)-6=,x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9=9.因为=(x1,y1-3),=(x2,y2-3),·=0,所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,即+9-+9=0,解得k2=5,所以k=±代入①有解, 所以lMN:y=±x-3.。
高考数学一轮总复习 85双曲线课后强化作业 新人教A版(1)
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-5双曲线课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·北京)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[答案] C[解析] 双曲线离心率e ＝1＋m >2， 所以m >1，选C.2．(文)(2012·石家庄质检)已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±52xC ．y ＝±12xD ．y ＝±6x[答案] C[解析] 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝ca ＝5，c ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C.(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.3x 24－y 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－4y 23＝1 [答案] A[解析] 由渐近线方程为y ＝±33x 知，b a ＝33，∴a ＝3b ，①又顶点到渐近线距离为1，∴|ba |a 2＋b2＝1，②由①②得，a ＝2，b ＝233，∴选A.3．(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，若顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A |sin A －sin C |为( )A.32 B.23 C.54 D.45[答案] C[解析] 设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|AB ||，由双曲线的标准方程和定义可知，A 、C 是双曲线的焦点，且|AC |＝10，||BC |－|AB ||＝8. 所以sin B |sin A －sin C |＝54，故选C.4．(文)(2013·保定调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝48x 的准线上．则双曲线的方程为( )A.x 29－y 227＝1 B.x 236－y 2108＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 [答案] B[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝12，a 2＋b 2＝c 2，b a ＝ 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝108.所以选B.(理)(2013·辽宁六校联考)设P (2，5)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线上的一点，E 、F 分别是双曲线的左、右焦点，若EP →·FP →＝0，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 [答案] C[解析] 由条件易得b a ＝52，且(2＋c ，5)·(2－c ，5)＝(2＋c )(2－c )＋5＝9－c 2＝0，∴c 2＝9，a 2＝4，b 2＝5，故选C.5．(文)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 [答案] A[分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距，再根据双曲线的定义，求曲线C 2的标准方程．[解析] 在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，所以椭圆的焦距2c ＝10，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a ＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c ＝10，可知b ＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 232＝1，故选A.(理)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 26＝1 B.x 26－y 22＝1 C.x 212－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 [答案] D[解析] 抛物线y 2＝16x 的焦点坐标是(4,0)，于是有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2a＝2，由此解得a 2＝4，b 2＝12，故双曲线的方程是x 24－y 212＝1，选D. 6．(2013·淮北二模)过已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左焦点F 1作⊙O 2：x 2＋y 2＝4的两条切线，记切点为A ，B ，双曲线的左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的离心率为( )A.12B. 2C. 3 D ．2[答案] D [解析] 如图，∵∠OCA ＝60°，|OC |＝|OA |＝2， ∴∠AOC ＝60°，∠AF 1C ＝30°， ∴e ＝c a ＝|OF 1||OA |＝1sin30°＝2.二、填空题7．(文)若双曲线y 216－x 2m ＝1的离心率e ＝2，则m ＝________.[答案] 48 [解析] ∵16＋m4＝2，∴m ＝48. (理)已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线为mx －y ＝0，若m 为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案] 79[解析] 由题意知双曲线方程可设为m 2x 2－y 2＝1，从而e ＝m 2＋1>3，∵m >0，∴m >22，故所求概率是79，故填79.8．(2013·广东茂名质检)设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[答案]3215[解析] c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－6430，则S ＝12|AF |·|y B |＝12×(5－3)×6430＝3215.9．(2013·北京大兴模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．[答案] 2 5[解析] 由⎩⎨⎧ y ＝ba x ，x ＝－p2，解得⎩⎨⎧ y ＝－bp2a ，x ＝－p2，由题意得⎩⎨⎧ －bp2a ＝－1，－p2＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，p ＝4，又已知p2＋a ＝4，故a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝ 5.所以双曲线的焦距2c ＝2 5. 三、解答题10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积． [解析] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，∵点M (3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，即MF 1→·MF 2→＝0.法2：∵MF 1→＝(－23－3，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3)×(23－3)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.(理)(2013·铜陵一模)若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.又1<k <2，∴k ＝52， 所以x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)得， (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )．∴x 3＝45m ，y 3＝8m . ∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·南昌一模)双曲线x 2b 2－y 2a 2＝－1(b >0，a >0)与抛物线y ＝18x 2有一个公共焦点F ，双曲线的过点F 且垂直于y 轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于( )A ．2 B.233 C.322 D. 3[答案] B[解析] 双曲线与抛物线x 2＝8y 的公共焦点F 的坐标为(0,2)，由题意知(33，2)在双曲线上，于是⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝413b 2－4a 2＝－1，得a 2＝3，b 2＝1，故e ＝c a ＝233，故选B. (理)(2013·安徽皖南八校联考)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，且△F 1PF 2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．5[答案] D[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且m >n ，|F 1F 2|＝2c ，由题可知△F 1PF 2为直角三角形且F 1F 2为斜边．由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2a ，①m 2＋n 2＝4c 2， ②2m ＝n ＋2c ， ③由①③得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2c －2a ，n ＝2c －4a ，代入②得(2c －2a )2＋(2c －4a )2＝4c 2，整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，等式两边同时除以a 2得e 2－6e ＋5＝0，解得e ＝5或e ＝1.因为双曲线的离心率e >1，所以e ＝5.12．(2013·开封一模)已知A ，B 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点C 在双曲线上，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin Asin B ＝21，则双曲线的离心率为( )A.233B.355C.52D. 5[答案] D[解析] 依题意得sin Asin B ＝|BC ||AC |＝21，则|BC |＝2|AC |，又∠ACB ＝90°，所以|AB |＝5|AC |，故双曲线的离心率e ＝|AB |||AC |－|BC ||＝5|AC ||AC |＝5，选D.13．(文)若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] ∵a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )，∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.(理)设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c . 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，所以c ＝53a .代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0. 二、填空题14．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．[答案]3＋1[解析] 由已知可得，|PF 1|＝2c cos30°＝3c ，|PF 2|＝2c sin30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1.15．(文)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值为________．[答案]233[解析] 由离心率e ＝2得，ca ＝2，从而b ＝3a >0，所以b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a≥2a ·13a＝213＝233，当且仅当a ＝13a， 即a ＝33时“＝”成立． (理)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．[答案] 5[解析] 双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.三、解答题16．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，其渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为74的直线l ，交双曲线左支于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且满足|P A |·|PB |＝|PC |2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设点M 为双曲线上一动点，点N 为圆x 2＋(y －2)2＝14上一动点，求|MN |的取值范围．[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ， 因为渐近线与圆(x －5)2＋y 2＝5相切， 则|5k |k 2＋1＝5，即k ＝±12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .设双曲线方程为x 2－4y 2＝m ，将y ＝74(x ＋4)代入双曲线方程中整理得，3x 2＋56x ＋112＋4m ＝0.所以x A ＋x B ＝－563，x A x B ＝112＋4m 3.因为|P A |·|PB |＝|PC |2，点P 、A 、B 、C 共线，且点P 在线段AB 上，则(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2，即(x B ＋4)(－4－x A )＝16.所以4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0.于是4·(－563)＋112＋4m3＋32＝0，解得m ＝4.故双曲线方程是x 2－4y 2＝4，即x 24－y 2＝1. (2)设点M (x ，y )，圆x 2＋(y －2)2＝14的圆心为D ，则x 2－4y 2＝4，点D (0,2)．所以|MD |2＝x 2＋(y －2)2＝4y 2＋4＋(y －2)2 ＝5y 2－4y ＋8＝5(y －25)2＋365≥365.所以|MD |≥655，从而|MN |≥|MD |－12≥125－510.故|MN |的取值范围是[125－510，＋∞)．(理)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a2，①由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a 2＝1，即b 2＝3a 2，② 故c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝ca＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， |BF |＝(x 1－2a )2＋y 21＝(x 1－2a )2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1， |FD |＝(x 2－2a )2＋y 22＝(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8.又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1，或a ＝－95.故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．考纲要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 补充说明1．数学思想的应用(1)在双曲线的几何性质的讨论中，要注意方程思想的应用． (2)求双曲线的方程，离心率等，常常要讨论焦点在哪个轴上． (3)求取值范围的问题、最值问题要注意函数思想的应用． (4)圆锥曲线的大部分题目，结合图形分析更有利于思路的打通．2．双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3．基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝b ，|OB |＝c ，tan ∠AOB ＝ba，△OF 2D中，|F 2D |＝b .备选习题1．(2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得b a >2.∴e ＝ca＝1＋(ba)2>1＋4＝ 5.2．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M 、N 是双曲线的两顶点，若M 、O 、N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2[答案] B[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e 的求法．设椭圆长轴长为2a ，则双曲线实半轴长为2a 4＝a2，因为椭圆与双曲线有公共焦点， 所以离心率的比值e 1e 2＝c a 2ca＝2.3．存在两条直线x ＝±m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于A 、B 、C 、D 四点，若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞) [答案] C[解析] 依题意，不妨设直线AC 的倾斜角为锐角，则直线AC 的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有ba >tan45°＝1，双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a＝1＋(b a)2>1＋12＝2，则该双曲线的离心率的取值范围是(2，＋∞)，选C.4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 [答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1.两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以b 2＝54a 2，代入a 2＋b 2＝9得，a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B.5.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当动点M 在底面ABCD 内运动时，总有：D 1A ＝D 1M ，则动点M 在面ABCD 内的轨迹是( )上的一段弧．( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD 内运动时，动点的轨迹是以D 1D 为轴线，以D 1A 为母线的圆锥，与平面ABCD 的交线即圆的一部分．故选A.6．(2013·江苏泰州质检)已知点N (1,2)，过点N 的直线交双曲线x 2－y 22＝1于A ，B 两点，且ON →＝12(OA →＋OB →)．(1)求直线AB 的方程；(2)若过N 的另一条直线交双曲线于C ，D 两点，且CD →·AB →＝0，那么A ，B ，C ，D 四点是否共圆？为什么？[解析] (1)由题意知直线AB 的斜率存在． 设直线AB ：y ＝k (x －1)＋2，代入x 2－y 22＝1得， (2－k 2)x 2－2k ·(2－k )x －(2－k )2－2＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两根， ∴2－k 2≠0且x 1＋x 2＝2k (2－k )2－k 2.∵ON →＝12(OA →＋OB →)，∴N 是AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，∴k (2－k )＝－k 2＋2，∴k ＝1， ∴AB 的方程为y ＝x ＋1.(2)将k ＝1代入方程(*)得x 2－2x －3＝0， ∴x ＝－1或x ＝3， 不妨设A (－1,0)，B (3,4)． ∵CD →·AB →＝0，∴CD 垂直平分AB .∴CD 所在直线方程为y ＝－(x －1)＋2，即y ＝3－x ， 代入双曲线方程整理得x 2＋6x －11＝0， 令C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)及CD 中点M (x 0，y 0)， 则x 3＋x 4＝－6，x 3·x 4＝－11，∴x 0＝x 3＋x 42＝－3，y 0＝6，即M (－3,6)．|CD|＝1＋k2|x3－x4|＝1＋k2(x3＋x4)2－4x3x4＝410，|MC|＝|MD|＝12|CD|＝210，|MA|＝|MB|＝210，即A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆．。
高考数学(人教版)总复习“提高分”课时作业：8.6抛物线(含答案解析)
第8章 第6节学科王 课时作业1．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的焦距为10 ，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1 C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1 【解析】 设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的半焦距为c ，则2c ＝10，c ＝5.又∵C 的渐近线为y ＝±ba x ，点P (2,1)在C 的渐近线上，∴1＝ba ·2，即a ＝2b.又c2＝a2＋b2，∴a ＝25，b ＝5，∴C的方程为x220－y25＝1.【答案】 A2．(2012·南宁五校联考)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率e 为( ) A ．4＋2 3 B .3－1 C.3＋12D.3＋1【解析】 (数形结合法)因为MF1的中点P 在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a ，△MF1F2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.【答案】 D3．(2013·杭州模拟)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3【解析】 设H(x ，y)如图，OH ：y ＝bax ，HF2：y ＝－ab(x －c)，由⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab x －c ，学科王解得H a2c ，ab c，所以HF2的中点为M a2＋c22c ，ab2c ，代入双曲线方程整理得：c2＝2a2，所以e ＝ 2.【答案】 A4．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 【答案】 A5．(2013·青岛模拟)设F1、F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF →1·PF2→＝0，则|PF →1＋PF2→|＝( ) A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5【解析】 如图，由PF →1·PF →2＝0可得PF →1⊥PF →2,又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF →1＋PF →2|＝|PQ →|＝2c ＝210.【答案】 B6．如下图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以F1，F2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e1，e2，则( )A ．e1＞e2B ．e1＜e2学科王C ．e1＝e2D ．以上皆非【解析】 (数形结合法)由题意|F1F2|为双曲线的焦距，由正三角形、正方形的性质，探求|PF1|，|PF2|与|F1F2|的关系，再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率e1，e2.2a ＝|F2M|－|F1M|，由图1，知e1＝2c 2a ＝|F1F2|32－12|F1F2|＝3＋1，由图2，知e2＝2c 2a ＝|F1F2|104－24|F1F2|＝10＋22，所以e1＞e2，故选A.【答案】 A 二、填空题7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2m －y2m2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 由x2m －y2m2＋4＝1得a ＝m ，b ＝m2＋4，c ＝m ＋m2＋4∴e ＝ca ＝m ＋m2＋4m＝5，即m2－4m ＋4＝0，解得m ＝2. 【答案】 28．(2012·山东济南三模)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F ，作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PE 的中点，则双曲线的离心率为________．【解析】 如图：∵O 为FF2的中点，E 为PF 的中点， ∴OE 綊12PF2，∴|PF2|＝2OE ＝a ，∵|PF|－|PF2|＝2a ，∴|PF|＝3a. 又OE ⊥FP ，∴FP ⊥PF2，学科王 ∴(3a)2＋a2＝4c2，故e ＝102. 【答案】1029．(2012·天津高考)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：x24－y216＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(5，0)，则a ＝________，b ＝________.【解析】 双曲线的x24－y216＝1渐近线为y ＝±2x ，而x2a2－y2b2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以有b a ＝2，b ＝2a ，又双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点为(5，0)，所以c ＝5，又c2＝a2＋b2，即5＝a2＋4a2＝5a2，所以a2＝1，a ＝1，b ＝2. 【答案】 1,2 三、解答题10．(2013·济宁模拟)设A ，B 分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 【解】 (1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc|b2＋12＝3， ∴b2＝3，∴双曲线的方程为x212－y23＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0， 将直线方程代入双曲线方程得x2－163x ＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝12，学科王 ∴⎩⎨⎧x0y0＝433，x2012－y203＝1，⎩⎨⎧x0＝43，y0＝3， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．11．(2013·南昌模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(b>a>0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0. 求1|OP|2＋1|OQ|2的值． 【解】 (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b2＝c2－a2＝3a2， 双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(5，3)在双曲线上， ∴15－3＝3a2. ∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx(k≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x24－y212＝1，得⎩⎨⎧x2＝123－k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝12 k2＋13－k2.则OQ 的方程为y ＝－1k x ，有|OQ|2＝121＋1k23－1k2＝12 k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋ 3k2－1 12 k2＋1 学科王 ＝2＋2k212 k2＋1 ＝16.12．(文)如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A ，B 两点，且|AB|＝3，又l 关于直线l1：y ＝ba x 对称的直线l2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率； (2)求双曲线C 的方程．【解】 (1)设双曲线C ：x2a2－y2b2＝1过一、三象限的渐近线l1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x 轴平行，记l2与y 轴交点为Q 点，l与x 轴交点为M 点．依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33.于是e2＝c2a2＝1＋b2a2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x23k2－y2k2＝1，即x2－3y2＝3k2.将y ＝3(x －2)代入x2－3y2＝3k2中 得x2－3·3(x －2)2＝3k2.化简得到8x2－36x ＋36＋3k2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋3|x1－x2|＝2 x1＋x2 2－4x1x2 ＝2362－4·8· 36＋3k28＝9－6k2＝3，求得k2＝1.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.学科王(理)(2013·大理模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF →1·MF →2＝0； (3)在条件(2)下求△F1MF2的面积． 【解】 (1)∵e ＝2，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点， ∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m 3＋23，kMF2＝m3－23，∴kMF1·kMF2＝m29－12＝m2－3，又点(3，m)在双曲线上， ∴m2＝3， ∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2， MF →1·MF →2＝0.法二：∵MF →1＝(－3－23，－m)， MF →2＝(23－3，－m)，∴MF →1·MF →2＝(3＋23)(3－23)＋m2＝－3＋m2.学科王∵M 在双曲线上，∴9－m2＝6， ∴m2＝3，∴MF →1·MF →2＝0.(3)∵△F1MF2中|F1F2|＝43，且|m|＝3， ∴S △F1MF2＝12·|F1F2|·|m|＝12×43×3＝6.四、选做题13．已知以原点O 为中心，F(5，0)为右焦点的双曲线C 的离心率e ＝52. (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图，已知过点M(x1，y1)的直线l1：x1x ＋4y1y ＝4与过点N(x2，y2)(其中x2≠x1)的直线l2：x2x ＋4y2y ＝4的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点． 求O G →·O H →的值．【解】 (1)设C 的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ，b ＞0)，则由题意c ＝5，又e ＝c a ＝52，因此a ＝2，b ＝c2－a2＝1，C 的标准方程为x24－y2＝1.C 的渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0. (2)如图，由题意点E(xE ，yE)在直线l1：x1x ＋4y1y ＝4和l2：x2x ＋4y2y ＝4上，因此有x1xE ＋4y1yE ＝4，x2xE ＋4y2yE ＝4.故点M 、N 均在直线xEx ＋4yEy ＝4上，因此直线MN 的方程为xEx ＋4yEy ＝4.学科王 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线x －2y ＝0及x ＋2y ＝0的交点，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ xEx ＋4yEy ＝4，x －2y ＝0，及⎩⎪⎨⎪⎧xEx ＋4yEy ＝4，x ＋2y ＝0，解得⎩⎨⎧xG ＝4xE ＋2yE，yG ＝2xE ＋2yE ，⎩⎪⎨⎪⎧xH ＝4xE －2yE ，yH ＝－2xE －2yE .故O G →·O H →＝4xE ＋2yE ·4xE －2yE －2xE ＋2yE ·2xE －2yE ＝12x2E －4y2E .因为点E 在双曲线x24－y2＝1上，有x2E －4y2E ＝4. 所以O G →·O H →＝12x2E －4y2E＝3。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：8.6双曲线Word版含答案
1．双曲线的标准方程了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．双曲线的几何性质 知道双曲线的简单几何性质．知识点一 双曲线的定义易误提醒 双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．[自测练习]1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P 、Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16，由左焦点F (－5,0)且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P 、Q 都在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.答案：44知识点二 双曲线的标准方程和几何性质易误提醒 (1)双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.(2)注意区分双曲线与椭圆中的a ，b ，c 的大小关系：在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±ba ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[自测练习]2．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m <8或m >10，故“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.答案：A3．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52 D ．1 解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D4．已知F 是双曲线x 23a 2－y 2a 2＝1(a >0)的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF 的大小不可能是( )A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°解析：∵两条渐近线y ＝±33x 的倾斜角分别为30°，150°，∴0≤∠POF <30°或150°<∠POF ≤180°，故选C. 答案：C考点一 双曲线的定义及标准方程|1．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|＝43|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．8 3C ．24D ．48解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2， 又|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又|F 1F 2|＝2c ＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，△PF 1F 2为直角三角形．△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.答案：C2．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：依题意，A (a ，b )，以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，∴c ＝4，(4－a )2＋b 2＝4，∴a ＝2，b 2＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.答案：A3．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 答案：C求解双曲线定义及标准方程问题的两个注意点(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混．考点二 渐近线与离心率问题|双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．已知离心率求渐近线方程．2．已知渐近线求离心率．3．由离心率或渐近线确定双曲线方程．4．利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围． 探究一 已知离心率求渐近线方程1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以b a ＝12，所以y ＝±12x .答案：C探究二 已知渐近线求离心率2．(2016·海淀模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知b a ＝2，得b ＝2a ，c ＝5a ，所以e ＝ca ＝ 5.答案： 5探究三 由离心率或渐近线求双曲线方程3．(2016·宜春一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－4y 25＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1 D ．5x 2－5y 24＝1解析：∵抛物线的焦点为F (1,0)，∴c ＝1.又c a ＝5，∴a ＝15，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45. 故所求方程为5x 2－5y 24＝1，故选D.答案：D探究四 利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C解决有关渐近线与离心率关系问题的方法(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用．考点三 直线与双曲线的位置关系|(2016·汕头模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A (－1,0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e ＝2.设过右焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，其中点P 位于第一象限内．(1)求双曲线的方程；(2)若直线AP ，AQ 分别与直线x ＝12交于M ，N 两点，求证：MF 2⊥NF 2.[解] (1)由题可知a ＝1.∵e ＝c a ＝2.∴c ＝2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴b ＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，x ＝ty ＋2，得(3t 2－1)y 2＋12ty ＋9＝0， 则y 1＋y 2＝－12t 3t 2－1，y 1y 2＝93t 2－1.又直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 12(x 1＋1). 同理，直线AQ 的方程为y ＝y 2x 2＋1(x ＋1)，将x ＝12代入，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3y 22(x 2＋1). ∴MF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 12(x 1＋1)，NF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3y 22(x 2＋1).∴MF 2→·NF 2→＝94＋9y 1y 24(x 1＋1)(x 2＋1)＝94＋9y 1y 24(ty 1＋3)(ty 2＋3) ＝94＋9y 1y 24[t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9]＝94＋9×93t 2－14⎝⎛⎭⎪⎫t 2×93t 2－1＋3t ×－12t 3t 2－1＋9＝94－94＝0， ∴MF 2⊥NF 2.解决直线与双曲线位置关系的两种方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝t OD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，又∵一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a2＝ 3.∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).20.忽视直线与双曲线的位置关系中“判别式”致误【典例】 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？[易错点析] 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．[解] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．[方法点评] (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程．(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．[跟踪练习] (2015·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：直线l 的方程为y ＝33(x ＋13)，代入C ：x 24－y 29＝1整理，得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160>0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上．答案：DA 组 考点能力演练1．双曲线x 236－m 2－y 2m 2＝1(0<m <3)的焦距为( )A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2解析：c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 答案：B2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2 C. 3D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，渐近线方程为y ＝3x ，y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.答案：A3．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其左、右焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1⊥PF 2，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由||PF 1|－|PF 2||＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，12|PF 1|·|PF 2|＝9，得c 2－9＝a 2.又c a ＝54，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3.∴a ＋b ＝7.答案：D4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：依题意，a 2－b 2＝m 2＋n 2＝c 2，c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，得a ＝4m ，c ＝2m ，∴e ＝c a ＝12.答案：D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上的任意一点，若|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2]C ．(1，3]D ．(1,3]解析：因为P 为双曲线右支上的任意一点，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以|PF 1|2|PF 2|＝|PF 2|＋4a 2|PF 2|＋4a ≥2|PF 2|·4a 2|PF 2|＋4a ＝8a ，当且仅当|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a 时，等号成立，可得2a ＋4a ≥2c ，解得e ≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝b 2a 2c ，即33＝c 2－a 22ac ，即3e 2－2e －3＝0，∴e ＝3，∴b 2a 2＝c 2a 2－1＝2.∴ba ＝2，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x7．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|，∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a .又点P 在以F 1F 2为直径的圆上，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，c 2a 2＝52，∴e ＝102.答案：1028．已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，其中一条渐近线为y ＝3x ，点A 在双曲线C 上，若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ， 则b ＝3a ，c ＝2a .在△AF 2F 1中， 由|F 1A |＝2|F 2A |，|F 1A |－|F 2A |＝2a ， 得|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝14.答案：149．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2. 化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2362－4×8×(36＋3k 2)8＝9－6k 2＝3，求得k 2＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x 2＋y 2－4y －4＝0，双曲线的左、右顶点A ，B 是该圆与x 轴的交点，双曲线与半圆相交于与x 轴平行的直径的两端点．(2)记双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，试在“8”字形曲线上求一点P ，使得∠F 1PF 2是直角． 解：(1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，在已知圆的方程中，令y ＝0，得x 2－4＝0，即x ＝±2，则双曲线左、右顶点为A (－2,0)，B (2,0)，于是a ＝2.令y ＝2，可得x 2－8＝0，解得x ＝±22， 即双曲线过点(±22，2)，则822－4b 2＝1，∴b ＝2.所以所求双曲线方程为x 24－y 24＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F 1(－22，0)， F 2(22，0)．当∠F 1PF 2＝90°时，设点P (x ，y )， ①若点P 在双曲线上，得x 2－y 2＝4，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2－8＋y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，x 2－8＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±6，y ＝±2，所以P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)． ②若点P 在上半圆上，则x 2＋y 2－4y －4＝0(y ≥2)，由F 1P →·F 2P →＝0，得(x ＋22)(x －22)＋y 2＝0，即x 2＋y 2－8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y －4＝0，x 2＋y 2－8＝0，无解．同理，点P 在下半圆也没有符合题意的点．综上，满足条件的点有4个，分别为P 1(6，2)，P 2(6，－2)，P 3(－6，2)，P 4(－6，－2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.答案：D2．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．±2解析：由题意，得A 1(－a,0)，A 2(a,0)，F (c,0)，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a ，不妨设B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2ac －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a ＝－1，整理得ba ＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.答案：C3．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2,23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.答案：D4．(2015·高考北京卷)已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：因为(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝4，则b ＝ 3.答案： 35．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，抛物线的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2.不妨设点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，解得⎩⎨⎧x ＝2pba ，y ＝2pb 2a 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，故A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb2a 2.所以k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a＝4b 2－a 24ab. 由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故k AF ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，即4b 2－a 24ab ×⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝94a 2，故c ＝32a ，即e ＝c a ＝32. 答案：32。
高三数学一轮复习 8.7 双曲线课时训练解析 新人教A版
第八章第七节双曲线(时间60分钟，满分80分) 一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( ) A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若ax2＋by2＝c表示双曲线，即x2ca＋y2cb＝1表示双曲线，则c2ab<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分条件．答案：A2．(2010·西城模拟)若点P(2,0)到双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C．2 2 D．2 3解析：双曲线的渐近线为ay±bx＝0，点P(2,0)到直线的距离为|2b|a2＋b2＝2，所以a2＝b2，得离心率为 2.答案：A3．已知点F1(－2，0)，F2(2，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是12时，点P到坐标原点的距离是( )A.62B.32C. 3 D．2解析：由已知可知c＝2，a＝1，∴b＝1，∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－1)．代入y＝12可求P的横坐标为x＝－52.∴P到原点的距离为－522＋122＝62.答案：A4．(2010·辽宁高考)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：设F (c,0)，B (0，b )，则直线FB 的斜率为－b c ，与其垂直的渐近线的斜率为b a，所以有－b 2ac＝－1即b 2＝ac ， 所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52. 答案：D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( )A.32B.23C.54D.45解析：设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝b|a －c |，由双曲线的标准方程和定义可知，A 、C 是双曲线的焦点，且b ＝10，|c －a |＝8. 所以sin B |sin A －sin C |＝b |a －c |＝54.答案：C6．(2010·全国新课标)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．(2010·福建高考)若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．解析：x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±12bx ，∵y ＝±12x ，∴12b ＝12，∴b ＝1. 答案：18．(2010·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，故c ＝4，且满足c a＝2，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝2 3.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x .答案：(4,0)，(－4,0) y ＝±3x9．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：5三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x 2＋y 2＝10相交于点P (3，－1)，若此圆过点P 的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．解：切点为P (3，－1)的圆x 2＋y 2＝10的切线方程是3x －y ＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称， ∴两渐近线方程为3x ±y ＝0.设所求双曲线方程为9x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵点P (3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80， ∴所求的双曲线方程为x 2809－y 280＝1. 11．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1、l 2的方程；(2)若A 、B 分别为l 1、l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2，∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2. ∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )． ∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10，∴x 1－x 22＋y 1－y 22＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)，∴ [3y 1＋y 22＋[33x 1＋x 22＝10，∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y225＝1. 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．12．(2011·广州模拟)如图，在以点O 为圆心，AB 为直径的半圆中，D 为半圆弧的中点，P 为半圆弧上一点，且AB ＝4，∠POB ＝30°，双曲线C 以A 、B 为焦点且经过点P .(1)建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C 的方程；(2)设过点D 的直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，若△OEF 的面积不小于22，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点A (－2,0)，B (2,0)，P (3，1)．设双曲线实半轴长为a, 虚半轴长为b ，半焦距为c ，则2a ＝|PA |－|PB |＝＋32＋12－－32＋12＝22，2c ＝|AB |＝4，所以a ＝2，c ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝2， 故双曲线C 的方程是x 22－y 22＝1.(2)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线C 的方程得，x 2－(kx ＋2)2＝2，即(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.因为直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝－4k 2＋－k2，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠±1，－3<k < 3.设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 1－k 2，x 1x 2＝－61－k2. 所以|EF |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·223－k2|1－k 2|. 又原点O 到直线l 的距离d ＝21＋k2，所以S △OEF ＝12d ·|EF |＝12·21＋k 2·1＋k 2·223－k 2|1－k 2|＝223－k 2|1－k 2|. 因为S △OEF ≥22，则223－k 2|1－k 2|≥22⇔k 4－k 2－2≤0，解得－2≤k ≤ 2. 综上分析，直线l 的斜率的取值范围是[－2，－1)∪(－1,1)∪(1， 2 ]．。
(word完整版)高考数学总复习_双曲线练习题
高考数学总复习双曲线练习题一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分）1．θ是第三象限角，方程 x2+y 2sinθ=cosθ表示的曲线是（）A．焦点在 x 轴上的椭圆B．焦点在 y 轴上的椭圆C．焦点在 x 轴上的双曲线D．焦点在 y 轴上的双曲线2．“ ab<0”是“方程 ax2 +by 2 =c 表示双曲线”的（）A．必需不充足条件B．充足不用要条件C．充要条件D．非充足非必需条件3．一动圆与两圆： x2+y 2=1 和 x2 +y 2-8x+12=0 都外切，则动圆心的轨迹为（）A．抛物线B．圆C．双曲线的一支D．椭圆4．双曲线虚半轴长为 5 ，焦距为6，则双曲线离心率是（）533D．2A．B．C．3 3525．过点 P（ 2， -2）且与x 2（）-y 2=1 有同样渐近线的双曲线方程是2y 2x2x2y2A．1B．12442y 2x2x2y 2C．1D．14224x 2y 2右支上一点 P到右准线距离为18，则点 P 到右焦点距离为（）6．双曲线1169455829D．32A．B．C．5 2527．过双曲线2y 2x -=1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若 |AB|=4 ，这样的直线有2（）A．1 条B． 2 条C．3 条D．4 条8．双曲线 3x2-y 2=3 的渐近线方程是（）A． y =± 3x1C．y =±3 x3 B． y =± x D．y =±x 339．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、 F2，∠ F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．3663 B．C．D．23310．设双曲线x2y 21（ 0<a<b）的半焦距为c，直线 l 过（ a，0），（ 0， b）两点，已知原a 2 b 2点到直线 l 的距离为3（）c，则双曲线的离心率为4A．2B．3C．223 D．3二、填空题（本大题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）x2y2表示双曲线，则实数 t 的取值范围是．11．t14 t112．双曲线x 2y2 1 的准线方程是．16913．焦点为 F1（ -4， 0）和 F2（ 4，0 ），离心率为2 的双曲线的方程是．x 2y 21的一个极点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线14．设圆过双曲线169中心的距离是．三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分）15．已知双曲线与椭圆x2y2y4x为渐近线，求双曲线方程．(12 分 ) 491共焦点，且以24316．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，两准线间距离为9，而且与直线y1( x 4)相23交所得弦的中点的横坐标是2(12 分 )，求这个双曲线方程．317．某电厂冷却塔的外形是如下图双曲线的一部分绕此中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，此中A、A′是双曲线的极点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′ =14m， CC′ =18m，BB′ =22m，塔高 20m．成立坐标系并写出该双曲线方程．(12 分 )C'18mCA'14m A20mB'22m B． 1、 2 是y2x2MF1MF232 ，求双曲线1的两个焦点， M 是双曲线上一点，且18 F F916三角形△ F1MF2的面积．（ 12 分）19．一炮弹在 A 处的东偏北 60°的某处爆炸，在 A 处测到爆炸信号的时间比在 B 处早 4 秒，已知A 在B 的正东方、相距 6 千米， P 为爆炸地址，（该信号的流传速度为每秒 1 千米）求 A、P 两地的距离．(14 分)20．如图，已知梯形 ABCD中 |AB|=2|CD| ，点 E 分有向线段AC所成的比为8，双曲线过 C、11D、 E 三点，且以 A、 B 为焦点．求双曲线的离心率．(14 分 )D CA EB参照答案一．选择题（本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分）题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10答案DAC CAACCBA二．填空题（本大题共 4 小题，每题 6 分，共 24 分）11．t>4 或 t<112．y=9 13． x 2y 2114． 1654123三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）15．(12 分)[分析 ] ：由椭圆 x2y 2 1 c 5 ．4924x 2 y 2 1，则b4a29 故所求双曲线方程为x 2y2设双曲线方程为2b 2a3291aa 2b 2 25b 161616．(12 分) [分析 ] ：设双曲线方程为x 2 y 2 1 （a>0，b>0），a2b2∵两准线间距离为9 ，∴ 2 a 2=9，得 a 29c ， b2c 29 c ①2c244x 2y 212∵双曲线与直线订交，由方程组a 2b 2 得 (b 2a ) x 28a 2 x (b 216 ) a 2 0，y 1 4)999( x3 由题意可知 b2a 20 ，且x1x 28 a 227a 2 9b 292②922(b 2 a3)9联立①②解得： a 29 ， b 27因此双曲线方程为x 2 y 2 1．9717．(12 分) [ 分析 ]：（ I ）如图成立直角坐标系 xOy ，AA ′在 x 轴上， AA ′的中点为坐标原点 O ，CC ′与 BB ′x 2y 2C'yC平行于 x 轴．设双曲线方程为 1(a0, b0),a 2b 2则 a1AA 7.又设 B （ 11， y 1）， C （9， y 2），由于点 B 、C 在双曲线上，A'OAx2B'B因此有 112y 12 1, ①7 2b 29 2 y 221,②由题意知 y 2y 120.③72b2由①、②、③得y 112, y 28, b 7 2. 故双曲线方程为 x2y 2 1.49 9818．（ 12 分） [ 分析 ]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（ 0， -5）、 F 2（ 0，5），由双曲线定义得： MF 1MF 2 6 ，联立MF 1 MF 232得MF 1 222， 因此△ F是直角三角形，进而其面积为S=1+ MF 2MF 216=100=F 1 F 21MF 2MF 1219．(14 分) [分析 ]：以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直均分线为 y 轴，成立直角坐标系，则 A （ 3，0）、B （－ 3， 0） | PB | | PA | 4 1 6 a 2, b 5, c 3P 是双曲线x 2y 2 1右支上的一点∵P 在 A 的东偏北 60°方向，∴ k APtan 603 ．4 5∴线段 AP 所在的直线方程为y3(x3)x 2 y 24 1x 8解方程组5，y 3(x 3) 得53y x 0yPyBO A x即 P 点的坐标为（8， 53 ）∴A 、P 两地的距离为 AP(3 8) 2 (0 5 3 )2 =10（千米）．20．(14 分) [分析 ] ：如图，以 AB 的垂直均分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，成立直角坐标系，则CD ⊥Oy ．由题意可设 A （ -c ， 0）， C （ c，h ）， B （c ， 0），此中 c 为双曲线的半焦距，c1 AB ， h 是梯形的2E 的坐标为 2 高．由定比分点公式，得点D y Cc 8c8 hE8 h ．x E11 2 7c ，y E11 A B x1 8191 819O1111设双曲线的方程为x 2 y 2 1 ，由离心率 ca 2b 2 ea． 由点 C 、 E 在双曲线上，得1 c2 h 2 1,① 2 1 c2c2c 4 a 2b 2h 1，代入②得9 因此离心率 e2 3由①得24 a2a2a249c264 h2b221.②361 a 361 b。
高考数学总复习课时提升作业8.7双曲线
高考数学总复习课时提升作业8.7双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对【解析】选B.由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又|PF1|=9,所以|PF2|=1或17,但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,所以|PF2|=17.【误区警示】本题极易忽视双曲线的右顶点到右焦点距离的最小值为2>1,从而误选C.2.(2015·汉中模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由解得由题意得则又知-a=0,故a=2,b=1,c==,所以双曲线的离心率e==.【加固训练】与椭圆C:+=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为( ) A.x2-=1 B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=1【解析】选C.椭圆+=1的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为-=1(m>0,n>0),则解得m=n=2,故选C.3.点P在双曲线-=1(a>0,b>0)上,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,∠F1PF2= 90°,且△F1PF2的三条边长之比为3∶4∶5,则双曲线的渐近线方程是( ) A.y=±2x B.y=±4xC.y=±2xD.y=±2x【解析】选D.设△F1PF2的三条边长分别为|PF1|=4m,|PF2|=3m,|F1F2|=5m,其中m>0,则2a=|PF 1|-|PF2|=m,2c=|F1F2|=5m,所以b=m,所以==2,所以双曲线的渐近线方程是y=±2x.4.(2015·贵阳模拟)已知双曲线-=1(a>0)的两条渐近线与以椭圆+=1的左焦点为圆心,半径为的圆相切,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选A.双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x;椭圆+=1的左焦点为(-4,0),因为渐近线与以椭圆+=1的左焦点为圆心、半径为的圆相切,所以=,解得a=4,所以双曲线的离心率为.5.(2015·武汉模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,双曲线的离心率是,且∠F1PF2=90°,若△F1PF2的面积是9,则a+b的值等于( )A.5B.6C.7D.8【解析】选C.因为e==,所以可设a=4k,b=3k,c=5k,其中k>0.由|PF1|2+|PF2|2=100k2,|PF1|·|PF2|=9,(|PF1|-|PF2|)2=100k2-36=64k2,解得k=1或k=-1(舍去),所以a+b=4k+3k=7.故选C.【方法技巧】双曲线离心率的求解方法(1)直接法:利用已知条件直接求出a,c的值,再利用离心率公式直接求解.(2)利用渐近线方程:利用离心率与渐近线斜率之间的关系e=求解.(3)利用关于a,c的齐次式:利用已知条件,寻找a与c的关系式,然后求解.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·滁州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4),则此双曲线的方程为.【解析】设坐标原点为O,圆的半径为r,则2r=|F1F2|=2c,即r=c,而r=|OP|=5,双曲线的渐近线方程为y=±x,P(3,4)在y=x上,所以求得所以双曲线的方程为-=1.答案:-=17.若点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.【解析】曲线C2是以曲线C1的右焦点F2为圆心,1为半径的圆,则|PQ|max=|PF2|+r=|PF2|+1,此时点P在双曲线左支上;曲线C3是以曲线C1的左焦点F1为圆心,1为半径的圆,则|PR|min=|PF1|-r=|PF1|-1.故(|PQ|-|PR|)max=(|PF2|+1)-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=10.答案:10【方法技巧】与双曲线有关的最值问题的求法与双曲线有关的最值问题,经常借助于双曲线的定义,将表达式转化为线段之和求最值,然后再借助于平面几何的性质求解.8.(2015·榆林模拟)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为.【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为y=x,而k BF=-,所以·=-1,整理得b2=ac,所以c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去).答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.过双曲线-=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|.(2)求△AOB的面积.【解析】(1)由双曲线的方程得a=,b=,所以c==3,F 1(-3,0),F2(3,0).直线AB的方程为y=(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0.所以x1+x2=-,x1x2=-.所以|AB|=|x 1-x2|==·=.(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0.所以原点O到直线AB的距离为d==.所以S△AOB=|AB|·d=××=.10.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.【解析】(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k 2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得所以k2≠且k2<1. ①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k 2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.又由·>2,得>2,解得<k2<3, ②由①②得,<k2<1.故k的取值范围为∪.(20分钟40分)1.(5分)(2015·杭州模拟)如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ 的垂直平分线与x轴交于点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由可解得x=,y=,即Q.由可解得x=-,y=,即P.设PQ的中点为N,则N,而M(3c,0).所以k MN·=-1,即=-,整理得2c3=3a2c,即e2=,解得e=.【一题多解】本题还可以用如下方法求解:直线BF1的方程为y=x+b,由得P,由得Q.从而N点坐标为,则直线MN的方程为y-=-.从而得M,又M(3c,0),则c+=3c,得a2=2b2,得e=.【加固训练】已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,所以m>n,即>,故由椭圆mx2+ny2=1得+=1.所以所求椭圆的离心率为:e===.2.(5分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足<≤,所以<≤3,<1+≤4,即有<≤2.又双曲线的离心率为e==,所以<e≤2.【误区警示】本题极易漏掉≤,其原因是对问题考虑不全,造成漏解.【方法技巧】双曲线离心率取值范围的验证技巧已知双曲线-=1(a>0,b>0).则:(1)当a>b>0时,双曲线的离心率满足1<e<.(2)当a=b>0时,e=(亦称为等轴双曲线).(3)当b>a>0时,e>.3.(5分)(2015·苏州模拟)已知P为双曲线C:-=1上的点,点M满足||=1,且·=0,则当||取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为.【解析】因为点M满足||=1,所以点M的轨迹是以原点为圆心,1为半径的单位圆.不妨设P为双曲线右支上的任一点,因为·=0,所以OM⊥PM,所以△OPM为直角三角形,且∠OMP=90°,|OP|为该直角三角形的斜边长;因为P为双曲线C:-=1上的点,在Rt△OPM中,要使直角边||最小,则只需|OP|最小,因为当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时,|OP|最小,此时P(3,0),所以此时点P 到双曲线C的渐近线的距离为.答案:4.(12分)设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程.(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.【解析】(1)由题意知a=2,所以一条渐近线为y=x.即bx-2y=0.所以=.所以b2=3,所以双曲线的方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x 2-16x+84=0,则x 1+x2=16,y1+y2=12.所以所以所以t=4,点D的坐标为(4,3).5.(13分)(能力挑战题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围是-2<k<-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由①式得②假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FA⊥FB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③把②式及c=代入③式化简得5k 2+2k-6=0.解得k=-或k=(舍去),可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.【加固训练】双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=m,tan∠AOF=,tan∠AOB=tan2∠AOF==,由倍角公式,得=,解得=,则离心率e=.(2)不妨设过F与l 1垂直的直线方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立,将a=2b,c=b代入,化简有x2-x+21=0,4=|x1-x2|=,将数值代入,有4=,解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.。
【优化指导】2013高考数学总复习 第8章 第6节 双曲线课时演练 新人教A版
课时作业 双曲线一、选择题1．(2011某某高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：2x 2－y 2＝8化为标准形式：x 24－y 28＝1， ∴a 2＝4.∴a ＝2.∴实轴长2a ＝4.答案：C 2．(2011某某高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：由题意得，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±b ax ， 即bx ±ay ＝0，又圆C 的标准方程为：(x －3)2＋y 2＝4，半径为2，圆心坐标为(3,0)．∴a 2＋b 2＝32＝9，且|3b |a 2＋b 2＝2， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴该双曲线的方程为x 25－y 24＝1. 答案：A3.(2012某某测试)如图，P 是双曲线x 24－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(0，18) C ．(0，14) D ．(0，12) 解析：设P (x ，y )，则y x ∈(0，12)，且x 2－4＝4y 2(x ＞0，y ＞0)，∴k 1k 2k 3＝y 3x x 2－4＝y 4x ∈(0，18)． 答案：B4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |为( ) A.32B.23C.54D.45解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5. A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||＝108＝54. 答案：C5．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：易知两圆圆心为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，则c ＝5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点．|PM |－|PN |的最大值为如图所示的情况，即|PM |－|PN |≤|PF 1|＋|F 1M |－(|PF 2|－|NF 2|)＝|PF 1|＋2－|PF 2|＋1＝2a ＋3＝2×3＋3＝9.答案：D6．(2012某某模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．23D ．2 2解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.∵e ＞1，∴e ＝2＋1.答案：B二、填空题7．方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线．那么m 的取值X 围是________． 解析：注意分两种情况．一是实轴在x 轴上，二是实轴在y 轴上．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ＞0，|m |－3＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ＜0，|m |－3＞0，得m ＞3或－3＜m ＜2.答案：m ＞3或－3＜m ＜28．(2012某某测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________． 解析：双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线方程为2x ±y ＝0，设A (m,2m )，B (n ，－2n )，AB 中点M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋n 2，y ＝2m －2n 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋n 2，y ＝m －n ，所以4x 2－y 2＝4mn . 由|OA |·|OB |＝m 2＋2m 2×n 2＋－2n 2 ＝5|m |×5|n |＝15，得|mn |＝3，所以AB 中点的轨迹方程是4x 2－y 2＝±12，即x 23－y 212＝±1. 答案：x 23－y 212＝±1 9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a的最小值是________． 解析：c a ＝2⇒c 2a2＝4⇒a 2＋b 2＝4a 2⇒3a 2＝b 2， 则b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a ≥213＝233， 当a ＝13a ，即a ＝33时取最小值233. 答案：233三、解答题10．(理用)(2012某某模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 5x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值X 围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝9，b a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线C 的方程为：x 24－y 25＝1. (2)设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m (k ≠0)，则点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ， ①x 24－y 25＝1， ②将①式代入②式，得x 24－kx ＋m 25＝1， 整理得(5－4k 2)x 2－8kmx －4m 2－20＝0.此方程有两个不等实根，于是5－4k 2≠0，且Δ＝(－8km )2＋4(5－4k 2)(4m 2＋20)＞0，整理得m 2＋5－4k 2＞0.③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝4km 5－4k2，y 0＝kx 0＋m ＝5m5－4k2， 从而线段MN 的垂直平分线的方程为y －5m 5－4k 2＝－1k (x －4km5－4k2)． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为(9km 5－4k 2，0)，(0，9m5－4k2)， 由题设可得12|9km 5－4k 2|·|9m 5－4k 2|＝812， 整理得m 2＝5－4k 22|k |，k ≠0. 将上式代入③式得5－4k 22|k |＋5－4k 2＞0， 整理得(4k 2－5)(4k 2－|k |－5)＞0，k ≠0，解得0＜|k |＜52或|k |＞54. 所以k 的取值X 围是(－∞，－54)∪(－52，0)∪(0，52)∪(54，＋∞)． 10．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，某某数m 的取值X 围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得a ＝3，c ＝2.又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得， (1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝12m 2＋1－3k 2＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13.① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k2， x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k2， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2.由题意，AB ⊥MN ， ∵k AB ＝m 1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k(k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14. ∴m 的取值X 围是(－14，0)∪(4，＋∞)．。
高考数学 8.7抛物线课时提升作业 文 新人教A版
【全程复习方略】（广东专用）2014高考数学 8.7抛物线课时提升作业 文 新人教A 版一、选择题1.（2013·中山模拟）若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点在圆x 2+y 2+2x-3=0上，则p=( ) (A)12(B)1 (C)2 (D)3 2.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离 是( )（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）123.（2013·深圳模拟）正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上，则这个正三角形的边长为( )4.已知抛物线y 2=2px(p>0)上的一点M （1,m)(m>0）到其焦点的距离为5，双曲线22x y 1a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( ) (A)19 (B) 14 (C) 13 (D) 125.（2013·湛江模拟）过点（0，1）作直线，使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，这样的直线共有( ) （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条6.直线y=x-3与抛物线y 2=4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( )(A)48 (B)56 (C)64 (D)727.若双曲线2222x y 1a b -= (a>b>0)的左右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线x=21y 2b的焦点分成3∶2的两段，则此双曲线的离心率为( )(A)98(B)37 (C)3 (D)218.（能力挑战题）若已知点Q （4，0）和抛物线y=21x 24+上一动点P(x,y)，则y+|PQ|最小值为( )(D)6二、填空题9.以抛物线x 2=16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________.10.（2013·肇庆模拟）抛物线y=21x 16的焦点与双曲线22y x 13m -=的上焦点重合，则m=________. 11.（能力挑战题）如图，抛物线C 1：y 2=4x 和圆C 2：(x-1)2+y 2=1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A,B,C,D 四点，则AB CD u u u r u u u rg的值是__________.三、解答题12.求过定点P(0,1)且与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线的方程. 13.（2013·揭阳模拟）已知抛物线C:y 2=2px(p>0)过点A(1,-2）. （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程.（2）是否存在平行于OA(O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距5l 的方程；若不存在，说明理由. 14.（2013·韶关模拟）设抛物线C 的方程为x 2=4y ，M （x 0,y 0）为直线l :y=-m(m ＞0)上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B.（1）当M 的坐标为（0，-1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系. （2）求证：直线AB 恒过定点（0，m ）.答案解析1.【解析】选C.由已知（p 2,0）在圆x 2+y 2+2x-3=0上，所以有2p p 230,42+⨯-=即p 2+4p-12=0，解得p=2或p=-6（舍去）.2.【解析】选B.∵点P 到y 轴的距离是4，延长使得和准线相交于点Q ，则|PQ|等于点P 到焦点的距离，而|PQ|=6，所以点P 到该抛物线焦点的距离为6.【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意. 3.【解析】选B.设其中一个顶点为，∵是正三角形,tan 30=︒=，即41,x 3= ∴x=12.∴除原点外的另外两个顶点是（12，12，， ∴这个正三角形的边长为. 4.【解析】选A.由已知得1+p2=5,∴p=8. ∴y 2=16x,又M(1,m)在y 2=16x 上, ∴m 2=16(m>0),∴m=4, ∴M(1,4).又双曲线22x y 1a -=的左顶点,0),一条渐近线为y x.== 又k AM=a=解得a=19. 5.【解析】选C.作出图形，可知点（0，1）在抛物线y 2=4x 外.因此，过该点可作抛物线y 2=4x 的切线有两条，还能作一条与抛物线y 2=4x 的对称轴平行的直线，因此共有三条直线与抛物线只有一个交点. 6.【解析】选A.由题不妨设A 在第一象限，联立y=x-3和y 2=4x 可得A(9,6),B(1,-2),而准线方程是 x=-1，所以AP=10,QB=2,PQ=8, 故S 梯形APQB ＝12(AP+QB)·PQ=48. 7.【解析】选D.由已知得F 1(-c,0),F 2(c,0), 抛物线x=21y 2b ，即y 2=2bx 的焦点F(b 2,0)， 依题意12FF 3.FF 2= 即b c32,b 2c 2+=-得：5b=2c ⇒25b 2=4c 2,又b 2=c 2-a 2,∴25(c 2-a 2)=4c 2,解得c=a.21故双曲线的离心率c e a 21== 8.【解析】选D.抛物线2x y 24=+的准线是y=1，焦点F(0，3）.用抛物线的定义：设P 到准线的距离为d,则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6,（当且仅当F ，Q ，P 共线时取等号） 故y+|PQ|的最小值是6.9.【解析】抛物线x 2=16y 的焦点为(0,4)，准线方程为y=-4,故圆的圆心为（0，4），又圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x 2+(y-4)2=64. 答案：x 2+(y-4)2=6410.【解析】因为抛物线y=21x 16的标准方程为x 2=16y ，焦点坐标为(0，4)，又因为双曲线22y x 13m -=的上焦点坐标为，依题意有m=13. 答案：13【误区警示】本题易出现y=21x 16的焦点为（0，164）的错误，原因是对抛物线的标准方程记忆不准确. 11.【解析】由于抛物线C 1的焦点F 也是圆C 2的圆心(1,0),则A AB AF 1x ,=-=u u u u r u u u r D CD DF 1x ,=-=u u u r u u u r∴2A D p AB CD x x 1,4===u u u r u u u r g g ∴AB CD AB CD 1.==u u u r u u u r u u u r u u u rg答案：112.【解析】①若直线的斜率不存在，则过点P （0，1）的直线方程为x=0. 由2x 0,y 2x,=⎧⎨=⎩ 得x 0,y 0.=⎧⎨=⎩即直线x=0与抛物线只有一个公共点.②若直线的斜率存在，设过P 点的直线方程为y=kx+1,由2y 2x,y kx 1,⎧=⎨=+⎩ 得k 2x 2+2(k-1)x+1=0. 当k=0时，解得y=1，即直线y=1与抛物线只有一个公共点. 当k ≠0时，Δ=4(k-1)2-4k 2=0，解得k=12. 即直线y=12x+1与抛物线有一个公共点. 综上所述，所求直线方程为 x=0或y=1或y=12x+1. 13.【解析】（1）将（1，-2）代入y 2=2px ，得(-2)2=2p ×1, 所以p=2.故所求的抛物线C 的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1. （2）存在.假设存在符合题意的直线l ， 其方程为y=-2x+t. 由2y 2x t,y 4x,=-+⎧⎨=⎩ 得y 2+2y-2t=0.∵直线l 与抛物线C 有公共点， ∴Δ=4+8t ≥0,解得t ≥-12.由直线OA 与l 的距离d=5= 解得t=±1.∵111[,),1[,).22-∉-+∞∈-+∞∴符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1=0.14.【解析】（1）当M 的坐标为（0，-1）时，设过M 点的切线方程为y=kx-1，代入x 2=4y, 整理得x 2-4kx+4=0，令Δ=（4k ）2-4×4=0，解得k=±1，代入方程得x=±2,不妨令A （2，1），B （-2，1）， 因为M 到AB 的中点（0，1）的距离为2， 从而过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+(y-1)2=4, 易知此圆与直线l :y=-1相切.（2）设切点分别为A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），过抛物线上点A （x 1,y 1）的切线方程为y-y 1=k(x-x 1)，代入x 2=4y ，整理得x 2-4kx+4(kx 1-y 1)=0， Δ=（4k ）2-4×4(kx 1-y 1)=0，又因为x 12=4y 1,所以k=1x 2， 从而过抛物线上点A （x 1,y 1）的切线方程为y-y 1=1x 2(x-x 1)，即y=1x 2x-21x 4，又切线过点M （x 0,y 0），所以得y 0=1x 2x 0-21x 4 ①即y 0=1x 2x 0-y 1， 同理可得过点B （x 2,y 2）的切线为y=2x 2x-22x 4，又切线过点M （x 0,y 0），所以得y 0=2x 2x 0-22x 4 ②即y 0=2x 2x 0-y 2， 即点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)均满足y 0=0xx y 2， 即x 0x=2(y 0+y)，故直线AB 的方程为x 0x=2(y 0+y)，又M （x 0,y 0）为直线l ：y=-m(m ＞0)上任意一点，故x 0x=2(y-m)对任意x 0成立，从而直线AB 恒过定点（0,m ）.。
高考数学大一轮总复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 文(含模拟题)新人教A版
（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 文（含2014年模拟题）新人教A 版一、选择题1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8， 又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1， ∴|PF 2|＝17. 故选B. 答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选D. 答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B ．x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D ．x 220－y 280＝1 解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5. 将P (2,1)代入y ＝b ax 得a ＝2b .a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为x 220－y 25＝1.故选A.答案：A4．(2014皖南八校联考)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48 解析：∵3|PF 1|＝4|PF 2|，①∴|PF 1|>|PF 2|， 由双曲线的定义得： |PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，②联立①、②解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8， 又|F 1F 2|＝2c ＝21＋24＝10， ∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴△PF 1F 2为直角三角形且∠P ＝90°， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.选C.答案：C5．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B ．x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D ．x 2132－y 2122＝1 解析：在椭圆C 1中，因为e ＝513，2a ＝26，即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10， 则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)， 根据题意，可知曲线C 2为双曲线， 根据双曲线的定义可知， 双曲线C 2中的2a 2＝8， 焦距与椭圆的焦距相同， 即2c 2＝10， 可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 242－y 232＝1.故选A.答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线x 29－y 216＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5]D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线x 29－y 216＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )2＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝|4m |5≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数m的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6， |QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12， |PF |＋|QF |＝28， 则△PQF 的周长为44. 答案：448．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1， 又e ＝c a＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径， 故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°， 设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ， 该双曲线的离心率等于|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||＝2m3m －m ＝3＋1.答案：3＋110．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上， 由题意，在Rt △F 1PF 2中， |F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°， 得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ， 根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(3－1)c ＝2a ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 答案：3＋1 三、解答题11．已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上， 且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2 ＝0(2－k 2≠0)． ①∴x 0＝x 1＋x 22＝k 1－k2－k2. 由题意，得k 1－k2－k2＝1， 解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若直线l 的斜率不存在， 即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－y 1＋y 2y 1－y 22＝0，即2－y 1－y 2x 1－x 2＝0， 即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意， 所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解：(1)由已知c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ， 双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14， |PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－21322×10×4＝45.。
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高考数学总复习 8.7双曲线提高分课时作业（含2013年模拟题）新人教A版课时作业【考点排查表】难度及题号错题记录考查考点及角度基础中档稍难抛物线的定义1,4 5抛物线标准方程210,11抛物线的几何意义3 6直线与抛物线的位置关系7,8,912,131．(2011·湖北高考)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3【解析】抛物线与等边三角形都是轴对称图形，由题意知，x轴为它们的一条公共对称轴，所以过焦点F且倾斜角分别为30°、150°的两条直线与抛物线的交点分别为正三角形的另两个顶点．如图，故在焦点两侧能形成两个正三角形．故选C.【答案】 C2．(2013·南昌模拟)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( ) A．y2＝12x B．y2＝8xC ．y 2＝6xD ．y 2＝4x【解析】 由弦长结合抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，又由AB 的中点到y 轴的距离可得x 1＋x 22＝2，代入上式可得p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x .【答案】 B3．(2013·西安模拟)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1 C ．2 D ．3【解析】∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．【答案】 C4．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.14，±24B.18，±24 C.14，24D.18，24【解析】 设抛物线的焦点为F ，因为点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P 为线段OF 的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P 的坐标为18，±24. 【答案】 B5．(2013·云南玉溪一中模拟)已知抛物线方程为y ＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有动点P 到y 轴的距离为d ，P 到l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522＋2B.522＋1 C.522－2 D.522－1 【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为点P 到y 轴的距离为d ，故点P 到准线的距离为d 1＋1，又d 1＋1＝PF ，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1，而焦点到直线的距离d ＝|1－0＋4|2＝522，故|PF |＋d 2≥522，d 1＋d 2≥522－1.【答案】 D6．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∵F (1,0)，∴FA →＋FB →＋FC →＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0.∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p 2(其中p2＝1)＝3＋3＝6.【答案】 A 二、填空题7．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为________．【解析】 因为点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，代入抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.由x 2＝2y 则y ＝12x 2，∴y ′＝x ，所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，－2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为y ＝4x －8，y ＝－2x －2，联立方程组解得x ＝1，y ＝－4，故点A 的纵坐标为－4.【答案】 －48．(2012·郑州质检)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C 、D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．【解析】 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.【答案】 29．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．【解析】 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0.即3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，求得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，则切点到直线4x ＋3y －8＝0的距离也就是所求的最小值，此最小值也即为两直线间的距离，为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝43.【答案】43三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．【解】 法一：根据已知条件，抛物线方程可设为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F －p2，0.∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， －3＋p 22＋m 2＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则准线方程为x ＝p2，由抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离，所以有p2－(－3)＝5，∴p ＝4.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ， 又∵点M (－3，m )在抛物线上， 故m 2＝(－8)×(－3)，∴m ＝±2 6.11．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．【解】 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 过A 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为C 、D ， 则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD | ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，所以x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，所以所求抛物线方程为y 2＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时， 同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .综上，所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .12．(文)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .【解】 (1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的拋物线， 因为拋物线焦点到准线的距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，可得x 2－8kx －16＝0， ∴x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16. ∴拋物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过拋物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .(理)(2013·厦门模拟)如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ， 准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)． 即y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． 四、选做题13．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .。