高考数学总复习 8.7双曲线提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

高考数学总复习 8.7双曲线提高分课时作业（含2013年模拟题）

新人教A版

课时作业

【考点排查表】

难度及题号错题记录考查考点及角度基础中档稍难

抛物线的定义1,4 5

抛物线标准方程210,11

抛物线的几何意义3 6

直线与抛物线的位置关系7,8,912,13

1．(2011·湖北高考)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )

A．n＝0 B．n＝1

C．n＝2 D．n≥3

【解析】抛物线与等边三角形都是轴对称图形，由题意知，x轴为它们的一条公共对称轴，所以过焦点F且倾斜角分别为30°、150°的两条直线与抛物线的交点分别为正三角形的另两个顶点．如图，故在焦点两侧能形成两个正三角形．故选C.

【答案】 C

2．(2013·南昌模拟)直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( ) A．y2＝12x B．y2＝8x

C ．y 2＝6x

D ．y 2

＝4x

【解析】 由弦长结合抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，又由AB 的中点到y 轴的距离可得

x 1＋x 2

2

＝2，代入上式可得p ＝4，故抛物线方程为y 2

＝8x .

【答案】 B

3．(2013·西安模拟)若抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点在圆x 2

＋y 2

＋2x －3＝0上，则p ＝( )

A.1

2B ．1 C ．2 D ．3

【解析】∵抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点为p

2，0在圆x 2＋y 2

＋2x －3＝0上，∴p 2

4＋p －3

＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)．

【答案】 C

4．若抛物线y 2

＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.14，±24B.18，±2

4 C.14，24D.18，24

【解析】 设抛物线的焦点为F ，因为点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点

P 为线段OF 的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P 的坐标为18，±

24

. 【答案】 B

5．(2013·云南玉溪一中模拟)已知抛物线方程为y ＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有动点P 到y 轴的距离为d ，P 到l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )

A.522＋2

B.52

2＋1 C.

522－2 D.522

－1 【解析】 抛物线y 2

＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为点P 到y 轴的距离为d ，故点P 到准线的距离为d 1＋1，又d 1＋1＝PF ，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1，而焦点到直线的距离d ＝|1－0＋4|2

＝522，故|PF |＋d 2≥522，d 1＋d 2≥52

2－1.

【答案】 D

6．如图，F 为抛物线y 2

＝4x 的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →

|＝( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∵F (1,0)，∴FA →＋FB →＋FC →

＝(x 1＋x 2＋x 3－3，y 1＋y 2＋y 3)＝0， ∴⎩⎪⎨

⎪

⎧

x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0.

∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|

＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p 2(其中p

2＝1)＝3＋3＝6.

【答案】 A 二、填空题

7．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2

＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为________．

【解析】 因为点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，代入抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.由x 2

＝2y 则y ＝12x 2，∴y ′＝x ，所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，

－2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为y ＝4x －8，y ＝－2x －2，联立方程组解得x ＝1，y ＝－4，故点A 的纵坐标为－4.

【答案】 －4

8．(2012·郑州质检)已知抛物线y 2

＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，过

A 、

B 分别作y 轴垂线，垂足分别为

C 、

D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．

【解析】 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，

为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.

【答案】 2

9．抛物线y ＝－x 2

上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．

【解析】 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2

相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，

联立方程，得⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝－x 2

，

4x ＋3y ＋b ＝0.

即3x 2

－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，求得b ＝－43

，

所以切线方程为4x ＋3y －4

3

＝0，则切点到直线4x ＋3y －8＝0的距离也就是所求的最小

值，此最小值也即为两直线间的距离，为

⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435

＝4

3

.

【答案】4

3

三、解答题

10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m 的值．

【解】 法一：根据已知条件，抛物线方程可设为

y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F －p

2

，0.

∵点M (－3，m )在抛物线上，且|MF |＝5，