机翼设计和复变函数
电气工程导论---孟庆海---第三次课
电路
模电 数电 信号
工程制图 C语言
基本控制 专业
电磁场 通信
电气安全
专业方向
专业前沿 理论提高 应用提高 机器人
Autocad
应用专题讲座
电力系统继电保护
课程 自然科学
一年级 高数 线代 概率 物理 英语 计算机基础 近代史 心 理 体育 法律
二年级 复变 英语
三年级
四年级
公共 基础 信息基础 (通识) 人文
供用电综合 PLC 积分变换是解决电学数学问题 发电厂电气部分 电力系统继电保护
社会主义
专业方向
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微处理器应用与设计
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二年级 复变 英语
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公共 基础 信息基础 (通识) 人文
基本控制 专业
电磁场 通信
比如物理学上有很多不同的稳 定平面场，所谓场就是每点对 电拖 电力电子 应有物理量的一个区域，对它 调速 供 用 电 们的计算就是通过复变函数来 解决的。 比如俄国的茹柯夫 单片机 斯基在设计飞机的时候，就用 自控 复变函数论解决了飞机机翼的 计算机控制 结构问题，他在运用复变函数 检测技术 论解决流体力学和航空力学方 系统仿真 电气安全 面的问题上也做出了贡献。 电气控制 的最有效方式，将对实践的的 CPLD 微分问题课转换为频域的线性 自控提高 电子提高 问题。复杂的问题简单化。最 电气控制系统综合 著名的是傅里叶变换。
马列
美育
社会主义 电拖 电力电子 调速 供 用 电 单片机 自控 计算机控制 检测技术 系统仿真 电气控制 PLC 发电厂电气部分 CPLD 自控提高 电子提高 电气控制系统综合 微处理器应用与设计 供用电综合
复变函数论
复变函数理论是数学的基本分支。
其研究对象是复变函数。
复函数理论源远流长，内容丰富，理论完善。
它广泛用于数学，力学和工程技术的许多分支。
复数源自找到代数方程的根。
复数的概念起源于方程式的根。
在二次和三次代数方程的根中，出现负数的平方根。
长期以来，人们无法理解这种数字。
但是，随着数学的发展，这种数字的重要性越来越明显。
复数的一般形式是+ bi，其中I是虚数单位。
复杂功能理论在18世纪应运而生。
1774年，欧拉（Euler）在他的论文中考虑了两个从复杂变量函数的积分中得出的方程。
甚至比他还早，法国数学家d'Alembert就在他的流体力学论文中获得了它们。
因此，后来人们提到了这两个方程，并将其称为“d'Alembert Euler 方程”。
在19世纪，当Cauchy和Riemann研究流体力学时，更详细地研究了上述两个方程。
因此，这两个方程也称为“Cauchy Riemann条件”。
复变函数理论的全面发展是在19世纪。
正如微积分的直接扩展主导了18世纪的数学一样，复杂函数的新分支主导了19世纪的数学。
当时的数学家们认识到，复函数理论是数学中最丰富的分支，在本世纪被称为数学的享受。
有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
Euler和d'Alembert是最早创建复变函数理论的人。
法国的拉普拉斯（Laplace）随后也研究了复杂变量功能的集成。
他们是该学科的开拓者。
是Cauchy，Riemann和德国数学家willstrass为该学科的发展做出了许多基础性工作。
20世纪初，复变函数理论取得了长足的进步。
Willstrass，瑞典数学家莱弗勒，法国数学家Poincare，Adama等的学生做了很多研究工作，开辟了复变函数理论的广阔研究领域，并为该学科的发展做出了贡献。
复函数理论涉及广泛的应用，并解决了许多复杂的计算问题。
例如，物理学中有许多不同的稳定平面场。
所谓场是指具有与每个点相对应的物理量的区域，其计算通过复变函数来求解。
复变函数科普知识
复变函数科普知识1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。
在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
复变函数论文
复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。
因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。
因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。
在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。
在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。
这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。
但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。
尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。
因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。
精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。
复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。
其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。
因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。
当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。
为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。
但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。
这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。
比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。
此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。
如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。
作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。
复变函数的应用
工程数学学习总结学院：学号：姓名：工程数学学习报告从柯西算起，复变函数论已有了150年的历史.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中.。
物理学中的流体力学，稳定平面长，航空力学等学科的发展，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.复变函数论已经深入到微积分方程，数论等学科，对它们的发展很有影响。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献. 复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个非常重要组成部分。
复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。
复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。
GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。
空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。
而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。
复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数的应用主要包括两个方面：一个方面是在物理学中的应用；另一方面是在数学领域中的应用。
1.物理学中复变函数在静电场中的应用复变函数在静电场问题中的应用：在电磁场的学习中，“静电场的标量位”中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。
函数概念的历史发展 最终稿
函数概念的历史发展函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。
早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。
函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。
函数（function）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。
而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。
我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。
函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。
函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。
最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x…），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。
一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日．但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数二、几何的函数概念因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数．1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy 平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数(凡能用图形给出)都可以用三角级数表示．因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不合理的． 傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连续的线给出的函数，能用一个三角函数式来表式”．他举例指出图7．2．1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即,2(21)40,0,1,2,,(21)2(1)4k x k y x k k k x k πππππππ⎧<<+⎪⎪===±±⎨⎪⎪-+<<+⎩…但可以用单一的三角式表示为 sin sin sin 135x x x y =+++…这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：三、科学定义的雏形1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切．例如g ＝x^2，当x 取一3，十3时y 均等于9，y 没有变化．又如常量函数y ＝c ，不论x 如何变化y 总是一个不变的值．因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：“若当x 的每个值，都有完全确定的y 值与之对应，则称y 是f 的函数．”此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质---对应思想强调不够．而且，当时柯西仍然考虑f 和y 的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓用解析式表示这一点，对x 与y 的关系并无多大意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型．四、函数概念的精确化1837年，德国数学家黎曼和狄里克雷克服了前述定义的缺陷，给出函数概念的精确化表述：“若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y是x的函数．”这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵．因而，此定义可视为称得上科学的函数定义．按照此定义，1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数就是一个函数了．五、函数定义域限制的取消前述定义基本上达到了精确化的表达．但它对自变量x却存在着一些限制，只允许它在实数集或在实数区间上取值，而不能像f(x)的值那样，既允许取连续的，也允许取不连续的值．因此，为使函数概念的适用范围更加广泛，使保y＝f(x)＝1/x!(x为正整数)也可看作函数，就促使函数概念朝着取消函数定义域限制的方向发展．为此，人们又给出了如下函数概念：“函数y＝f(x)的自变量x可以不必取区间[a，b]中的一切值，而可以仅取其中任一部分．”换句话说是x的取值范围可以是任一数集．这就解除了对自变量x的限制，使函数概念较前广泛得多了．但是，自变量及函数值仍然仅限于数的范围，随着数学的发展．函数概念仍需拓广．六、近代函数定义为了克服上述的局限性，必须重新认识“变量”、“变域”、“常量”等概念．美国数学家维布伦认为：变量是代表某集合中任意一个“元素”的记号．由变量所表示的任一元素，称为该变量的值．变量x所代表的“元素的集合”，称为该变量的变域，而常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”情况下的变量．这突破丁“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是别的，如点、线、面、体、向量、矩阵、函数、算子等等，甚至可以泛指任何一种研究对象，这样“变量”、“变域”、“常量”的意义较前一般化了，在此基础上，维布伦给出了近代函数定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即对x的每一值，有完全确定的y与之对应，则称变量y是变量x的函数．建立在“集合对应”基础上的这一函数定义，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支中，比如，数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析中．下面来具体介绍一下。
复变函数在工程中的应用
浅析复变函数在工程中的应用作为一名学习电子信息的学生，我能感受到复变函数在学习中的大量运用，现在正在学习的《电磁场与电磁波》，《信号与系统》中时刻出现复变函数的简单应用。
经过查阅，我想从自己熟悉的角度谈一下复变函数在工程中的应用，主要分为两个方面，一个方面是电磁场中的复变函数方法，一个方面是积分变换及其在通信中的应用。
导入：在学习电磁场的过程中，我曾经接触过这样一道题目，题目如下：由于在给某些定边值的静电场问题中，在直角坐标系中无法找到简单形式的试探解。
通常采用叠加原理和傅里叶级数来构成一个满足边界条件的试探解，然后运用傅里叶级数的相关知识求出待定系数即可。
例如此题中是将Vs（x）= V0用傅里叶级数做了展开而An的求法便是应用复变函数中的傅里叶级数知识，看到这道题后你的第一思路可能是这种不能凑成势能相应形式的题目没有办法解，但是当你深入到复变函数中的傅里叶中的级数展开，你的思路便展开了，由于傅里叶级数可以展开成无数个频率不同，幅度不同的正弦余弦，而正弦余弦形式的解的形式我们是可以解答的，所以我们可以解出这道题，由求出的系数带入到原来的傅里叶级数∅，便可以求出最终解。
经过这道题目，我初步了解到了复变函数的初步作用，即它可以提供一种逼近思想，它可以将一个常数经过傅里叶级数展开变成一个由无数多个不同幅度，不同频率的正余弦函数的和，用信号与系统中的分析思想就是由实数域转换到了复频域。
复变函数在静电场问题中的应用：在电磁场的学习中，我们在“静电场的标量位”这一章中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。
如果一个系统为场量和源量分布只与x和y有关的二维静电场系统。
因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即∇2∅（x，y）=∂2(x,y)∂x2 + ∂2(x,y)∂y2我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。
因此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。
《复变函数》教学大纲
二、课程内容和学时分配 第一章
本章的主要教学内容是： （一）复数 1．复数域； 2．复平面；3．复数的模与辐角；4．复数的乘幂与方根； 5．共轭复数； 6．复数在几何上的应用举例。 （二）复平面上的点集 1．平面点集的几个基本概念； 2．区域与若尔当曲线。 （三）复变函数 1．复变函数的概念；2．复变函数的极限与连续性. (四) 复球面与无穷远点
复数与复变函数（8 学时）
1．复球面；2．扩充复平面上的几个概念。 本章的基本教学要求是：掌握复数的概念、各种表示方法及其运算。理解复数运算的几 何意义与复数方程表示的几何图形。掌握复数的乘幂与方根。了解扩充复平面的概念。理解 平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连 通域)。了解复变函数的定义，掌握复变函数的极限与连续性。
《复变函数》教学大纲
适用专业：数学与应用数学（师范） 课程类别：学位课，专业必修课 课程学时：68 学时（周 4 学时） 课程编号：50261102 课程学分：4 学分
一、课程说明
复变函数又称复分析， 是数学与应用数学专业的一门专业基础课， 也是数学分析的后续 课程。它的理论和方法，对于数学的其他分支和电学，流体力学，热力学以及一些工程技术 学科，有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生全面掌握复变函数的一些基本概念、基本 理论、基本方法，重视对数学思想方法的教学，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题 的基本技能，积累数学知识，为学习有关专业课程做好准备，并为将来从事教学、科研以及 其它工程技术工作奠定基础。 本课程采用的教学方法是：以课堂讲授为主，辅之以习题课和讨论课。
第二章
本章的主要教学内容是：
解析函数（10 学时）
（一）解析函数的概念与柯西-黎曼方程 1．复变函数的导数与微分；2．解析函数及其简单性质；3．柯西黎。 （三）初等多值函数 1.根式函数；2．对数函数；3．一般幂函数与一般指数函数；4．具有多个有限支点的 情形；5．反三角函数与反双曲函数。 本章的基本教学要求是： 理解复变函数的导数与解析的概念， 掌握复变函数可导与解析 的充要条件， 掌握及熟练应用柯西——黎曼定理判断函数的可导性与解析性。 掌握初等函数 中的指数函数，三角函数的定义和性质；了解对数函数，幂函数与反三角函数等多值函数。
数学专业“复变函数”课程的教学探讨
数学专业“复变函数”课程的教学探讨————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数学专业“复变函数”课程的教学探讨-中学数学论文数学专业“复变函数”课程的教学探讨陶元红，南华，刘东旭（延边大学理学院数学系，吉林延吉133002）摘要：本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后，对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题，探讨了在“复变函数”课程教学中应该注意的三个环节，并探讨了第一次课的教学内容的有效选择和安排。
关键词：数学专业；复变函数；数学分析；教学探讨中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）23-0278-02基金项目：国家自然科学基金项目（11361065）；吉林省自然科学基金项目（201215239）通讯作者：陶元红（1973-），女，博士，副教授。
“复变函数”课程是高等院校数学专业的一门重要的专业基础课，该课程体系完整、理论性强，对学生的理论知识要求比较高。
数学专业的许多后续课程，甚至研究生阶段开设的分析理论课程，都会涉及复变函数论的内容。
“复变函数”课程的内容是“数学分析”中实变函数微积分的推广和发展，所以在我国高等院校数学专业的课程设置中，通常会把“复变函数”这门课程当作“数学分析”课程的后续课程，将其安排在二年级下半学期或三年级，此时学生已经完整地学习过三个学期的“数学分析”课程，对一元函数和多元函数微积分的核心内容已经很熟悉。
多年来，笔者一直在延边大学数学系从事“复变函数”课程的教学工作，研读了不同的“复变函数”教材[1-4]和一些教学研讨文章[5]，在教学中发现了一些学生在学习“复变函数”课程时的一些困惑和问题，也积累了一些教学经验。
本文针对学生在学习了“数学分析”课程之后，对“复变函数”课程有可能存在的迫切、畏惧或忽视等问题，探讨了“复变函数”课程教学中应该注意的教学环节以及对第一次课的教学内容的有效选择和安排。
复变函数第一课
复变函数的应用
复变函数的应用，涉及的面很广，有很多复 杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上 有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点 对应有物理量的一个区域，对它们的计算就 是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候， 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题 ，他在运用复变函数论解决流体力学和航空 力学方面的问题上也做出了贡献。
z0 2(cos
3
i sin
3
) 1 i 3
z1 2cos i sin 2 5 5 z 2 2 cos i sin 1 i 3 3 3
第 一 节 复 数 及 其 代 数 运 算
四、曲线的复数方程
已知曲线 F x, y 0, ：
z1 Arg z2 Argz1 Argz2 （指集合相等）
4. 共轭复数的运算
第 一 节 复 数 及 其 代 数 运 算
z1 z1 1 z1 z2 z1 z2 ； z1z2 z1 z2 ； z2 z2 2 z z
例3 求
4
1 i.
即
w0 2 cos i sin , 16 16 9 9 8 w1 2 cos i sin , 16 16
8
w1
y 1+i
2
8
2
w0 x
17 17 8 w2 2 cos i sin 16 16 25 25 w3 2 cos i sin 16 16
不包含z为负实轴及原点
1 3i 例1 设 z , 求 Re( z ), Im( z )与z z. i 1 i
复变函数发展及应用背景
=2
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方 程时，首先产生了负数开平方的思想。后来， 数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。 这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转。
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
即寻找方程 ax3 bx2 cx d 0 一般根式解。
很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！
怪杰
卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)
一个多才多艺的学者,
• 一个放荡不羁的无赖 他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学
一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。
MATLAB基础
MATLAB 是一个为科学和工程计算而专门
从二次方程谈起
解方程 ax2 bx c 0, a 0
x1,2 b被巴比伦人发现和使用。
在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。
由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。
从而研究机翼的造型问题.
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。
复变函数PPT
第一章 复数与复变函数 Chapter 1 Complex
6. 复变函数与积分变换的计算可以使用为科学和工程 计夹杂受非弹性剪切变形引起 的弹性场的确定 . 本文求解了横观各向同性介质中椭圆夹杂内受非弹性 剪切变形引起的弹性场。采用各向异性弹性力学平面 问题的复变函数解法,结合保角变换,获得夹杂内应变能 和基体内边界的应力分布和相应的应变能的表达式。 进一步,根据最小应变能原理,获得表征夹杂...
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果。
背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。
3.压电磁螺型位错与界面刚性线夹杂的干涉效应 A Screw Dislocation
采用复变函数解析延拓原理,研究了电磁材料中压电磁螺 型住错和共线界面刚性线的磁电弹耦合干涉效应并得到 该问题的一般解答.作为算例,求出了界面含有一条刚性 线时两种压电磁介质区域广义应力函数的封闭形式解.运 用扰动技术,求解了位错点的扰...
机翼剖面函数及其反函数构成的保形变换与应用
机翼剖面函数及其反函数构成的保形变换与
应用
飞行器机翼剖面函数及其反函数构成的保形变换与应用
飞行器机翼剖面函数及其反函数构成的保形变换是指，通
过一组特定的函数和函数的反函数可以形成特殊的机翼剖面形状，可以在一定的压力、拖力和换动比的条件下实现机翼的不
变形变换。
此类保形变换的使用，不仅在全局机翼的构型、空
气动力参数设计上，具有重要意义，而且在机翼噪声抑制、摆
面及飞机飞行稳定性方面，也有广泛应用。
保形变换在机翼噪声抑制方面的应用，是指采用保形变换
方式对机翼剖面形状进行改造，使机翼的空气动力学特性及噪
声性能得到改善。
比如针对早期的马赫6飞机原有的机翼剖面
型号，采用保形变换函数后改造，将整个机翼前缘改变成新的
剖面形状，进一步降低飞机噪声排放。
在摆面稳定性方面，保形变换使机翼剖面形状在不同姿态
下有较好的空气动力特性。
这就有利于在保持机翼廓形静力特
性的前提下，能够确保飞机在摆面控制过程中有节奏性。
此外，根据保形变换的原理，可以采用合适的变换方案，将机翼的换
动比和最大雷诺数有效地限制在有效的范围之内，从而实现稳
定的航行。
保形变换在飞机机翼剖面设计上具有重要意义，不仅能够
提高飞行器的整体性能，还有利于提升飞机机翼的安全性。
因此，利用飞行器机翼剖面函数及其反函数构成的保形变换是目
前运用较为普遍的一种飞行器机翼剖面设计的方式。
课01-第一章(复变函数1)
3
• 复变函数论不但在其他学科得到了广泛 的应用，而且在数学领域的许多分支也 都应用了它的理论。它已经深入到微分 方程、积分方程、概率论和数论等学科， 对它们的发展很有影响。
4
• 从柯西算起，复变函数论已有170多年的 历史了。它以其完美的理论与精湛的技 巧成为数学的一个重要组成部分。它曾 经推动过一些学科的发展，并且常常作 为一个有力的工具被应用在实际问题中， 它的基础内容已成为理工科很多专业的 必修课程。现在，复变函数论中仍然有 不少尚待研究的课题，所以它将继续向 前发展，并将取得更多应用。
说明
任何一个复数 z ≠ 0有无穷多个辐角 , 有无穷多个辐角
那么 z 的全部辐角为
如果 θ 1 是其中一个辐角,
Argz = θ 1 + 2kπ ( k为任意整数 ).
特殊地 , 当 z = 0 时, z = 0,
辐角不确定. 辐角不确定
28
辐角主值的定义: 辐角主值的定义
在 z ( ≠ 0) 的辐角中, 把满足 − π < θ 0 ≤ π 的 θ 0 称为 Argz 的主值 , 记作 θ 0 = arg z . arctan y , x > 0, z ≠ 0 辐角的主值 x π x = 0, y ≠ 0, ± 2, arg z = arctan y ± π , x < 0, y ≠ 0, x π, x < 0, y = 0.
6
第一章 复数与复变函数 1.1 复数
• 向量与复数
7
实数 x 复数｛ 复数｛ 纯虚数 yi 虚数 ｛ 非纯虚数 x+yi
x+yi （虚数似乎不可理解）
<=> 有序数组(x,y) <=> 平面上的点 <=> 矢量或向量
飞机机翼设计分析报告
飞机机翼设计分析报告引言飞机机翼是飞机最重要的组成部分之一，对飞机的飞行性能和稳定性有着至关重要的影响。
本报告将对飞机机翼的设计进行详细的分析和评估，以期得出最优的设计方案。
设计目标飞机机翼的设计目标包括以下几个方面：1. 升力的产生和控制：机翼应当能够产生足够的升力以支持飞机的重量，并通过可调节的控制面来控制升降舵。
2. 阻力的减小：机翼的空气动力学设计应当尽量减小阻力，以提高飞机的燃油效率和速度。
3. 飞行稳定性：机翼的设计应当保证飞机在各种飞行姿态下都能保持稳定。
这包括在起飞、飞行中和着陆时的各种工况。
设计分析翼型选择机翼的翼型选择是机翼设计的重要环节之一。
不同的翼型具有不同的升力和阻力特性。
常见的机翼翼型包括对称翼型、凸翼翼型和凹翼翼型等。
在选择翼型时，需要综合考虑升力系数、阻力系数、迎角范围和稳定性等因素。
通过风洞实验和数值模拟等手段，可以评估不同翼型在各项性能指标上的优劣，并选取最适合飞机任务的翼型。
扇形翼设计扇形翼是一种近年来发展起来的新型机翼设计方案。
扇形翼通过将机翼的横截面形状变为扇形，可以同时兼顾高升力和低阻力。
扇形翼的设计要点包括扇形角度、缘翼比和后掠角等参数。
通过优化这些参数，可以使扇形翼在不同飞行条件下都表现出较好的性能。
控制面设计机翼的控制面主要包括副翼和升降舵。
副翼用于控制滚转，而升降舵用于控制俯仰。
在控制面设计中，需要考虑操纵力和操纵效率两个因素。
较大的操纵力可以提供较强的操纵能力，但也会增加操纵系统的复杂度。
较高的操纵效率可以使飞机更敏捷，但也会增加一定的阻力。
结构强度设计机翼的结构强度设计是确保机翼能够承受各种载荷和飞行工况的重要因素之一。
在结构强度设计中，需要考虑机翼的整体刚度、材料强度和疲劳寿命等因素。
通过有限元分析和实验验证等手段，可以评估机翼的结构强度，并进行合理的优化设计。
结论通过对飞机机翼的设计分析，可以得出以下结论：1. 翼型选择是机翼设计的重要环节，不同翼型具有不同的特性，需要综合考虑各项性能指标进行选择。
复变函数1
复变函数对通信和电子专业的应用
n
复变函数涉及的傅氏变换和拉氏变换是后续专业 基础课——信号与系统的核心内容，在信号与系 统里面还会有Z变换，三种变换构成了信号与系统 的核心，也是通信领域连接时域、频域和变换域 的关键所在，可以使很多用数学方法计算的东西 简化不少 。
复变函数在电气工程及自动化方面的应用
1
，
（2） z
g z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) ,
z1 x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2 = +i 2 ( z2 ≠ 0) . (3) 2 2 2 z2 x2 + y2 x2 + y2
n容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算
x − iy = x + iy 。
§2． 复数的几何表示 1、复平面 2、复数的向量式 3、复数的三角式 4、复数的指数式 5、复数的乘幂与n次方根 6、无穷远点与复球面 7、曲线的复数方程
1．复平面与复球面
n
n
复平面：称用建立了笛卡尔坐标系的平面来表示 复数的平面为复平面。通常称 x 轴为实轴，称 y 轴为虚轴， 从上述复数的定义中可以看出，一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有序实数 ( x, y ) 唯一确定．
n
在电气工程及自动化专业中，对信号处理 时的传递函数理论分析、各类信号处理中 的时-频域理论分析等内容用应用复变函数 中的方法。 《信号与系统》、《数字信号处理》《自 动控制理论 》
n
复变函数的主要内容及教学目的 复变函数是高等院校理工科学生必须具备 的数学知识，它是高等微积分的重要后继 课程。内容包括解析函数、复变函数的几 根、柯西积分公式、洛朗级数等内容。 n 它的理论与方法广泛应用于自然科学与工 程科学的许多领域，如信电工程、信息工 程、控制工程、理论物理与流体力学、热 力学等各领域，是专业理论研究和实际应 用方面不可缺少的数学工具
网络环境下复变函数与积分变换课程学习方式的变革
网络环境下复变函数与积分变换课程学习方式的变革摘要：网络技术的发展，网络学习方式成为大学生学习的重要方式之一，本文针对建设复变函数与积分变换课程网站的基本原则和网络资源的内容组成进行了探讨，课程网络的建设将使大学生学习方式发生变革，使其利用网络更好地进行自主学习。
关键词：网络课程复变函数与积分变换学习方式中图分类号：g642.0 文献标识码：c doi：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.15.116随着网络技术的不断成熟，网络作为吸收新知识、接受新事物的工具，正以前所未有的速度步入大学生的学习和生活中。
网络对学习最大的促进作用表现在对学习方式的变革，它在素质教育所要求的自主学习、合作学习、研究性学习以及培养学生的创新素质等方面有着天然的优势，复变函数与积分变换课程是高等院校理工科相关专业的一门非常重要的专业基础课程，其理论严密，应用广泛。
其宗旨是使学生掌握复变函数与积分变换的数学理论体系；使学生熟悉基本概念和定理的几何背景和实际应用背景，强调对课程内容知识的本质理解和实际工程应用；培养学生的数学素质，提高其数学认知能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
那么，如何合理构建复变函数与积分变换课程的网络资源，充分发挥网络优势，促进学习方式的变革，提高学生学习的能力，就成为一个崭新的课题摆在我们面前。
1 复变函数与积分变换课程网络建设原则1.1 导航明晰化课程网站建设的目的是教学资源的共享，因此网站的内容应尽量充实和多元化。
内容的繁杂带给使用者方便的同时，可能使其很难迅速找到需要的内容，因此在网站建设过程中必须注意网站导航的简洁明晰，方便使用者浏览和检索。
在进行网站全局设计时，可采用网状结构，而在进行网站局部设计时，可采用树状结构，结合导航条、菜单等形式突出各关键模块内容。
1.2 技术简单化复变函数与积分变换课程网站的内容往往需要实时更新，及时添加和更新各个领域应用相关内容的成果，因此通过简单基础的操作进行维护是网站建设的一个重要要求，否则不利于课程的建设和发展。
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由图中的三种情况可分为三类叶栅：a)收敛叶 栅，流道断面收敛，流体加速， 2 1 ，压强下降， 如水轮机转轮。b)扩压叶栅，流道断面扩张，流速
2.1.P8
下降、压强上升。如轴流泵转轮。c) 冲击叶栅，栅前、 后速度、压强相等。但速度方向改变。
四、叶栅流动的解法 正问题：已知叶栅几何参数和栅前来流，求作用 于叶栅上的流体动力。 可有三种解法：保角变换法、旋涡运动理论和叶 栅特征方程解法。 五、等价平板叶栅 等价叶栅：两个由不同翼型组成的栅距相同的叶 栅在任何来流下都有相同的流体动力。 其中一个叶栅为平板叶栅，则称为等价平板叶栅。 可以证明任一叶栅都存在与其等价的平板叶栅。
叶栅中相邻翼型对应点的距离， 翼型弦线与列线夹角，记为 s。 翼型弦长与栅距之比，b/t 。
分为进口、出口安放角，记为 s1 , s 2。 其倒数 t/b 称为相对栅距。 三、叶栅中的流动及流体动力 分析图示坐标系下叶栅中的流动。
2.1.P6
c) 不同流动类型的叶栅
可以分析出流过叶栅时，栅前、栅后流速w1、w2 大小和方向都不相同。
——相对速度 ——绝对速度 ——牵连速度
2.1.P4
二、叶栅的主要几何参数
叶栅的几何参数
（1）列线 叶栅中各翼型相应点连线。依其 形状可将叶栅分为直列叶栅和环列叶栅。 （2）栅轴 直列叶栅指垂直于列线的直线（涡 轮机的转轴），环列叶栅指涡4）安放角 （5）稠密度
, v
xs
b
作用于型上的气动力
零升力攻角 0 ：攻角为某一负值 为零。 来流方向的直线。
0 时，升力
(2)气动翼弦（空气动力翼弦）：过后缘零升力
1.3.P2
(3) 升力系数、升力系数曲线 升力系数
Cl L 1 2
2
b
升力系数曲线 Cl Cl ( )
Cm , Cd , Cl
目的：计算转动流体机械的流体动力力矩和功率。
2.1.P3
空间叶栅：流体流经叶栅流道的流动是空间流
动。如：混流式水轮机转轮叶栅。
平面叶栅又可分为直列和环列叶栅，依运动与 否亦可分为运动叶栅和固定叶栅。 分析时常将坐标系固定在叶栅上，视流动为定 常流动，其进出口速度为 其中
w1 w2
1
w u
u u 2
f
f
度。
1.2.P4
相对厚度 t t / b 位置 xt 相对位置 xt xt / b （5）前后缘圆角半径 r1 ， r2
前后缘圆角半径相对值
rl rl / b rt rt / b
1.3.P1
第三节 翼型的空气动力特性
(1)攻角
:翼弦与来流夹角。
y
L R
气动翼弦
0
o
D
s
x
2.4.P1
第四节 奇点分布法 解平面叶栅流动
思路：一个由翼型组成的叶栅对均匀流的扰动 相当于一系列以一定规律分布的流动奇点对流动的 扰动。 它既可以解正问题，也可以解反问题。 一、平面直列叶栅的旋涡系模型及诱导速度
平面上一平面直列叶栅，坐标系及各参数如
图示。
2.4.P4
当积分遇到 s
s0 ，即 u u0、z z0时，会出
1.4.P5
（一）变换特点 1） 平面上无穷远点和原点都变换成 z 平面 上的无穷远点。 2） 平面上圆心在坐标原点，半径为 c 的圆 周变换成 z 平面上实轴上长为 4c 的线段。 3） 平面上圆心位于坐标原点，半径 a>c的 圆变换为 z 平面上长半轴为a+c2/a（位于实轴）， 短半轴为 a－c2/a 的椭圆。
S : R 与翼弦交点。
其位置 xs ， xs
xs b
。
(8)焦点：攻角改变时气动力对该点的力矩不变。
1.4.P1
第四节 保角变换法、 儒可夫斯基变换
一、保角变换法求解平面势流 可以利用解析的复变函数 z f ( ) 将 平面上 的圆域变换为 z 平面上的实用域，如图。
y Z
Cz
Ma Ma
Ma 为临界马赫数。
此时称为亚声速机翼。 本节讨论须考虑流体的可压缩性。
亚声速机翼的阻力由粘性阻力和诱导阻力两者构成。
1.8.P1
第八节 跨声速机翼
图示跨声速 机翼，在A点达 到声速，A点后 流动继续膨胀， 流速继续增大，
Ma 1
A
Ma Macr
S
跨声速翼型流动
2.4.P7
三、平面直列叶栅流动的反问题解法 反问题：已知栅前来流 w 和叶栅的部分几何 ω∞ 参数，寻求能给定环量 c c （即产生的流体动力） Г
β 的薄翼的几何形状及安放角 ss 。
确定几何形状的根据：翼型表面必须是流线。 确定安放角的根据：翼型应处于较优的来流攻 角下。 如果 是翼型表面某点的切线与列线的夹角， 则有
一、机翼与翼型的几何参数 由机翼的平面形状图可看出， 主要几何参数有
a)
S
l
b)
面积 S 翼弦 b 翼展 l 平均几何翼弦
br
S
bt
b
b
l
c)
ba s / l
尘削比
b
S
l0
l
bt / br
机翼的平面形状
1.2.P2
机翼分为无限翼展机翼(二元机翼)和有限 翼展机翼(三元机翼)。 二、翼型的几何参数 一般机翼翼型如图示：
压强减少。如果过膨胀，在 S 点处会形成激波， 其后变成亚声速。
AS超声速区压强下降很多，增大了升力。激 波后压强突跃，会形成波阻。
1.9.P1
第九节 超声速机翼
超声速流动中翼型的扰动以马赫波的形式向下 游传播，马赫锥前流体不受扰动。 为避免在翼型前缘出现正激波波阻，前缘都具 有尖劈形状，而后缘应是尖状，且翼型一般都很薄， 如图示。
0 附近 Cd 最小。
(5)升阻比
Cl Cd
滑翔系数 Cd Cl
1.3.P4
(6)前缘气动力矩、力矩系数和力矩系数曲线 前缘气动力矩 M 0： 总气动力 R L2 D2 对前 缘点形成的力矩。 力矩系数 Cm 0
M0 1 2 b2
2
力矩系数曲线 Cm0 Cm0 (a) (7)压力中心
2.6.P1
第六节 超声速叶栅
栅前来流
Ma1 1 的叶栅为超声速叶栅。
为取得良好的气动性能，翼型前缘作成又尖又薄，
以避免产生离体激波。这些波系也与叶栅的几何参数有关。 一、理论超声速叶栅 理论超声速叶栅：来流攻角很小，气流在叶栅进 口及流道中无激波产生，气流只进行膨胀或经弱斜激波压缩过程。 二、实际超声速叶栅 实际叶栅前缘不可能 非常尖细，而且叶栅在非设计工况运转时攻角与最 优值差别很大，再加上边界层及气流非均匀性的影 响，使理论流动很难实现。实际叶栅流动不可避免 地要出现一系列强度不等的激波，使流动非等熵。 计算非常困难，下面定性地分析超声速叶栅流动的 特点。
现不定式 0/0 ，此时须借助有关诺模图另加处理。
二、平面直列叶栅流动的正问题解法
正问题：已知叶栅几何参数和无穷远来流，求 取环量密度 （S） 和流场及流体动力。 γ s 将 s 作变量代换
b s cos 2
b ds sin d 2
，
式中， b 2 s b 2 时有 0
如来流成a角（图示），则 平面上绕流复位势
W ( ) ( ei a2
ei )
1.5.P1
第五节 奇点分布法
两种问题： 1、正问题：已知翼型几何特性，求可以替代 的奇点分布，用叠加法求出流动复位势和气动性能。 2、反问题：要获取一定特性的流场，求取相 应机翼的几何特性。 一、薄翼的简化气动模型 图示为一小弯度小厚度翼 型被小攻角来流绕流。简化为 无厚中弧线绕流。
1.1.P1
第一章 机翼理论基础
第一节 机翼升力原理
机翼升力可由儒可夫斯基升力公式计算，即：
L
两者构成。
其阻力由边界层理论知由摩擦阻力和压差阻力 Γ
机翼的翼型 和位置产生一定的环量 与来流叠加产生升力
失速状态：绕流气流分离和旋涡加大使环量大大 减小，致使升力完全消失。
1.2.P1
第二节 机翼与翼型的几何参数
超声速机翼的常用翼型
超声速翼型的阻力系数总是大于 Cd 平板 。
2.1.P1
第二章 叶栅理论基础
第一节 叶栅概述
叶栅（翼栅）——叶片的组合。 一、叶栅的主要类型 按流体流经叶栅流道的流动分为： 平面叶栅：流体流经叶栅流道的流动是平面 流动。如：轴流涡轮机械（见图）的转轮和导叶、 径向式水轮机、水泵、压缩机的转轮和导叶等。
y
f
t
中弧线
rt
rl
xt
x
翼弦
xf
b
翼型及其几何参数
1.2.P3
其几何参数主要有： （1）翼弦 b ：过前后缘圆心连线被截的长度。 （2）中弧线（骨线或中线） ：轮廓线内切圆圆心 连线。 （3）弯度 f ：图示坐标中，中弧线的 ymax 。 相对弯度 f ： f f / b 弯度位置 x f ： ymax 的 x 位置 相对位置 x ：x x f / b。 （4）厚度 t ：翼弦垂线被翼型轮廓截得的最大厚
薄翼的机动模型
1.6.P1
第六节 有限翼展机翼概述
一、有限翼展机翼的翼端效应及其气动模型
本节讨论流动特点、升力计算及其特有的“诱导
阻力”计算。 （一）翼端效应 图示 ，当绕流有限 翼展时，有向上绕流的 趋势，越接近翼端越明
显，称为翼端效应。
1.7.P1
第七节 亚声速机翼
亚声速机翼绕流指绕流任何位置均有 M a 1 。 对于来流为