2018年浙江省预赛试题

2018年浙江省高中数学竞赛试题

共4页，第1页 2018年浙江省高中数学竞赛

一、填空题(每题8分，共80分)

1.已知a 为正实数，且f (x )=1a －1a x +1

是奇函数，则f (x )的值域为 . 2.设数列{a n }满足a 1=1，a n +1=5a n +1(n =1，2，…)，则∑n =1

2018

a n = .

3.已知α、β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，cos(α+β)=45，sin(α－β)=1213，则cos ⎝⎛⎭

⎫β+π4= . 4.在八个数2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数，这些分数中有 个既约分数.

5.已知虚数z 满足z 3+1=0，则⎝⎛⎭⎫z

z －12018+⎝⎛⎭⎫1z －12018= . 6.设|AB |→=10.若平面上点P 满足对任意的t ∈R ，有||AP →－tAB →≥3，则PA →·PB →的最小值为 ，

此时，|PA →+PB →|= .

7.在△ABC 中，AB +AC =7，且三角形的面积为4，则sin A 的最小值为 .

8.设f (x )=|x +1|+|x |－|x －2|，则f (f (x ))+1=0有 个不同的解.

9.设x ，y ∈R 满足x －6y －4x －y +12=0，则x 的取值范围为 .

10.四面体P －ABC ，PA =BC =6，PB =AC =8，PC =AB =10，则该四面体外接球的半径为 .

二、解答题：(11、12、13题各20分，14、15各30分)

11.已知动直线l 与圆x 2+y 2=1相切，与椭圆x 29

+y 2

=1相交于不同的两点A 、B ，求原点到AB 的中垂线的最大距离. 12.设a ∈R ，且对任意实数b 均有max x ∈[0，1]|x 2+ax +b |≥1，求a 的取值范围. 13.设实数x 1，x 2，…，x 2018满足x 2n +1≤x n x n +2

(n =1，2，…，2018)和∏n =1

2018x n =1，证明： x 1009x 1010≤1. 14.将2n (n ≥2)个数分成两组a 1，a 2，…，a n 和b 1，b 2，…，b n .证明：

∑1≤i ≤n 1≤j ≤n |a i －b j |－

∑1≤i

(|a i －a j |+|b j －b i |)≥n . 15.如图所示，将同心圆环均匀分成了n (n ≥3)格.在内环中固定数字1~n .问

能否将数字1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内

外环中数字相同? …n 432

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