第一章 典型例题分析

第一章 典型例题分析
例 1. 下列近似值的绝对误差限均为 0.005，问它们各有几位有效数字？
a = 138.002 ， b = −0.0312 ， c = 0.86 ×10−4
解： 现将近似值写成标准形式：
a = 0.138002 ×103 , b = −0.312 ×10−1 , c = 0.86 ×10−4 ,
例 5 若用下列两种方法
（1）
∑( ) ∑ 9
e−5 ≈
i=0
−1 i 5i i!
= x1* ，
（2）
e−5
≈
⎜⎜⎝⎛
9 i=0
5i i!
⎟⎟⎠⎞−1
=
x2*
，
计算 e−5 的近似值，问那种方法能提供较好的近似值？请分析原因。
解：方法（1）的误差由 Taylor 展开式可得：
e−5
=1−5+
(− 5)2
1 9 5i
≈ 1 倍，故方法（2）给出较准确 143.7
i=0 i!
的近似值.
( ) 例 6 计算 f = 2 −1 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，直接计算 f 和利用下述等式计算，那一个最好？
1
( ) ( ) ( ) 2 +
1
6
,
3−2
3
2,
1 3+2
3, 2
99 − 70 2 ；
解：所给出的 5 个公式可分别看作
( ) 由此可见，使用公式
1
计算时误差最小。
3+2
3
2
f (x) = (x −1)6 ， f1(x) = (x + )1 −6 ， f2(x) = (3 − 2x)3 ， f2(x) = (3 − 2x)3 ，
f3(x) = (3 + 2x)−3 ， f4(x) = 99 − 70x
取 x = 2 的近似值 a = 1.4 时，相应函数的计算值。而 2 − a ≤ 0.02 = ε 。利用函
y
y
y − y*
z − z* ≈
≈
0.5
×10−4 ≤ 0.3 ×10−2 。
y* 0.0167
若用公式 f (x) = − ln(x + x2 −1) ，令 y = x + x2 − 1 ，此时 z = g( y) = − ln( y) ，则
y* = 30 + 29.9833 = 59.9833 = 102 × 0.599833 ，其具有 6 位有效数字。故
2!
−
53 3!
+L−
59 9!
+
eξ × 510 ，其中 ξ 10!
介于-5
和
0
之间
则
e−5
−
x1*
≤ eξ × 510 . 10!
方法（2）的误差是
∑ ∑ ∑ ∑ e−5
− x2*
=
⎜⎜⎝⎛
9 i=0
5i i!
+
eξ 10!
×
510
⎟⎟⎠⎞−1
−
⎜⎜⎝⎛
9 i=0
5i i!
⎟⎟⎠⎞−1
=
⎜⎜⎝⎛
若 x = 0.0003000 ， a = 0.0003100 ，
则绝对误差 x − a = −0.1×10−4 ，
相对误差为： x − a = − 0.000100 = −0.333 ×10−1 ； x 0.0003000
若 x = 0.3000 ×104 ， a = 0.3100 ×104 ，
则绝对误差 x − a = −0.1×103 ，
≤
1 ×10−2 。 2
令
f (x1, x2 , x3 ) = x1 ⋅ x2 + x3 ， f (a1, a2 , a3 ) = a1 ⋅ a2 + a3 ，
由函数运算的误差估计式
f (x1, x2 , x3 ) − f (a1, a2 , a3 ) ≈
(f ′x1 a1, a2 , a3 )(x1 − a1)+ f ′x2 (a1, a2 , a3 )(x2 − a2 )+ ( f ′x3 a1, a2 , a3 )(x3 − a3 )
在直接根据有效数字定义得出，
x − a ≤ 1 ×10−2 ⇒ k − n = 3 − n = −2 ⇒ n = 5 ，即 a 有 5 位有效数字； 2
x − b ≤ 1 ×10−2 ⇒ k − n = −1 − n = −2 ⇒ n = 1 ，即 b 有 1 位有效数字； 2
x − c ≤ 1 ×10−2 ⇒ k − n = − 4 − n = −2 ⇒ n = −2 ，即 c 无有效数字。
（2） f (x) = − ln(x + x2 −1)
计算 f (30) 的近似值，近似值分别为多少？求对数时相对误差有多大？
分 析 ： 由 于 f (x) = ln(x − x 2 −1) ， 求 f (x) 的 值 应 看 成 复 合 函 数 。 先 令 y = x − x2 −1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已知，故应看成 z = g( y) = ln( y) ， 由 y 的误差限 y − y* 求 g( y) 的误差限 ln( y) − ln( y*) 。
≤ 1.21 + 3.65 + 1 × 1 ×10−2 = 0.00206 ﹟ 1.21× 3.63 + 9.81 2
若 x = 3.000 ， a = 3.100 ， 则绝对误差 x − a = −0.1，
相对误差为：
x − a = − 0.100 = −0.0333 = −0.333×10−1 ； x 3.000
相对误差为：
x−a x
=
− 0.1×103 0.3000 × 104
=
−0.333×10−1 ；
这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量，绝对误差 可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。
例 4 六位十进制的限制下，分别用等价的公式
（1） f (x) = ln(x − x2 −1) ；
2 例 2. 已知 x 的相对误差为 0.003 ，求 am 的相对误差。
解：此题要利用函数计算的误差估计，即取 f (x) = xm ， f ′(x) = m ⋅ xm−1 ，则由
f (x) − f (a) ≈ f ′(a)(x − a)，可推出 xm − am ≈ m ⋅ am−1 ⋅ (x − a)，故 am 的相对误差为
数计算的误差估计公式可得：
( ) f 2 − f (a) ≈ f ′(a) 2 − a ≤ 6 a −15 ⋅ ε ≤ 6 × 0.45ε ≤ 0.06144ε ； ( ) f1 2 − f1(a) ≤ 6 a + 1−7 ⋅ ε ≤ 6 × 2.4−7 ⋅ ε ≤ 0.01308ε ； ( ) f2 2 − f2(a) ≤ 63 − 2a 2 ⋅ ε ≤ 6 × 0.4 ⋅ ε ≤ 0.24ε ； ( ) f3 2 − f3(a) ≤ 63 + 2a −4 ⋅ ε ≤ 0.005302 ⋅ ε ； ( ) f4 2 − f4(a) ≤ 70 ⋅ ε 。
= a2 (x1 − a1) + a1(x2 − a2 ) + (x3 − a3 )
从而，相对误差可写成
( ) ( ) f x1, x2 , x3 − f a1, a2 , a3 ≤ a2 x1 − a1 + a1 x2 − a2 + x3 − a3
( ) f a1, a2 , a3
f (a1, a2 , a3 )
9 i=0
5i i!
eη × 510 10!
+
eη 10!
×
510
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
i
9 =0
5i i!
⎟⎟⎠⎞
eη × 510
510 eη −5
∑ ∑ =
10!
e5
⎜⎜⎝⎛
i
9 =0
5i i!
⎟⎟⎠⎞
=
10!
9
i=0
5i i!
，其中 − 5 < η − 5 < 0 .
∑ 由此可知方法（2）的误差是方法（1）的
y − y* ≤ 1 ×10k −n = 1 ×102−6 = 1 ×10−4 。
2
2
2
而 z − z* ≈ y − y* 。于是， yy − y*来自z − z* ≈≈
0.5
×10−4 ≤ 0.834 ×10−6
y* 59.9833
可见，用公式 f (x) = − ln(x + x2 −1) 计算更精确。
xm − am am
≈ m⋅
x−a a
= 0.003m 。
例3 已知近似值 a1=1.21,a2=3.65,a3=9.81 均为有效数字，试估计 a1 ⋅ a2 + a3 的相对误差。
解：由已知，
x1
− a1
≤
1 ×10k −n 2
=
1 ×10−2 ； 2
x2
− a2
≤
1 ×10−2 ； 2
x3
− a3
解：当 x = 30 时求 y = 30 − 302 −1 ，用六位开方表得
y* = 30 − 29.9833 = 0.0167 = 10−1 × 0.167 ，其具有 3 位有效数字。故
y − y* ≤ 1 ×10k −n = 1 ×10−1−3 = 1 ×10−4 。
2
2
2
由 z = g( y) = ln( y) ，得 g′( y) = 1 ，故 z − z* ≈ y − y* 。于是，