第03讲 函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点
高一数学第三章函数的基本性质知识要点高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，下面是店铺给大家带来的高一数学第三章函数的基本性质知识要点，希望对你有帮助。
函数的基本性质知识要点一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法; 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。
函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法; 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解. 考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数; ③了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用函数进行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。
因此，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。
三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。
四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象。
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y) 的集合C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
03 函数的基本性质
1）f(x) x 和g(x) x 2 , 2）f(x) 1和g(x) x 0 3）f(x) x3 和g(x) x 3 x3 , 4）f(x) x和g(t) t 2 x 3
2、求下列函数的定义域：来自y2 x ，y x4
3x 4 1 2 x y ，y y 5 x x 2 ( x 1)0 2 2x 3 4x x4 3x 2 x 1
x 1(x 0 ) 1、 f(x) 0(x 0 ) ，（1）求 f（-3），f（f（1）） x 1(x 0 )
2、下列各图中能表示函数的是
（2）画出函数图像
（
）
3、 （）已知 1 f x x 2 1,求f 1 , f 2 , f a 2 1 的值
2
所需时间 t 表示成 v 的函数 3、已知 2005 年底上海市老年人口达 609.35 万，设老年人口的年平均增长率为 x%，2015 年底上海市老年人 口数为 y 万，试用解析式将 y 表示 x 的函数 【思考与提高】
2 1、设 , 是关于 x 的方程 x 22 x m 0 的两个实数根，将 表示为 m 的函数
§1 数学中的函数关系
2）设变量，列出等量关系。 4）根据问题的实际意义给出函数的定义域。
1、如图，一个边长为 a、b（b<a)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为 x 的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积 S 表示成 x 的函数
2、
如图，有一圆柱形的无盖杯子，他的内表面积是100(cm2 ), 试用解析式将杯子的容积V(cm 3 )表示成底内半径x的(cm)的函数
1 x
3x 2 4( x 0) 4、（1） f ( x) 2( x 0) ,求f (2), f (1), f (0), 值域和定义域 3x 2 4( x 0) x 2( x 1) （2） f ( x) x 2 (1 x 2), 则当x 时，f ( x) 3 2 x( x 2)
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
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►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
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1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
高考数学备考艺体生百日突围系列 专题03函数与函数的基本性质(基础篇)解析版
《艺体生文化课-百日突围系列》 专题三 函数及函数的基本性质函数的定义域【背一背基础知识】函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域一般用集合或区间表示.求定义域的基本原则有以下几条： 1.分式：分母不能为零；2.根式：偶次根式中被开方数非负，对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；3.幂指数：0x 及()nxn N -*∈中底数0x ≠；4.对数函数：对数函数中真数大于零，底数为正数且不等于1；5.三角函数：正弦函数sin y x =的定义域为R ，余弦函数cos y x =的定义域为R ，正切函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【讲一讲基本技能】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 典型例题 例1函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0( B. ),2(+∞ C. ),2()21,0(+∞ D. ),2[]21,0(+∞ 分析：本题属于简单函数的定义域求解问题，求解时注意对二次根式中的被开方数列约束条件，并注意分式中对分母的限制条件，以及对数的真数大于零，列出相应不等式求解即可. 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C . 例2已知函数)23(x f -的定义域为]2,1[-，则函数)(x f 的定义域为 ．分析：本题属于复合函数的定义域问题，在求解该问题时，这属于等量代换，注意还原的与被还原的取值范围的一致性. 【答案】]5,1[-【解析】用换元思想，令t x =-23，)(t f 的定义域即为)(x f 的定义域， 因为])2,1[(23-∈-=x x t ，所以51≤≤-t ， 故)(x f 的定义域为]5,1[-．【练一练趁热打铁】1. 函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性. 2. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)【答案】B【解析】 因为()f x 的定义域为[0，2]，所以对()g x ，022x ≤≤但1x ≠，故[0,1)x ∈.故选B ．分段函数【背一背基础知识】分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.1.分段函数的定义域是将各段定义域取并集得到，其值域也是将各段值域取并集得到；2.分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.【讲一讲基本技能】一般分段函数的基本题型有以下三种：（1）已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，求形如(){}{}ff f f a ⎡⎤⎣⎦的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；（2）已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；（3）分段函数型不等式，此种题型只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.（4）因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． （5）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 典型例题例1．已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 【答案】A考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解. 例2．已知函数⎩⎨⎧≥<+=0,0,1)(x e x x x f x ，则=-)3)0((f f （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-分析：本题属于复合型分段函数的求值问题，求值时注意由内到外依次进行，但需要根据自变量的值选择合适的解析式代值求解. 【答案】D【解析】0(0)1,(0)3132f e f ==-=-=-，所以((0)3)(2)211f f f -=-=-+=-.选D.例3．已知函数22log (1)1,1(),1x x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩，若()3f a =，则a = . 分析：本题是分段函数的求值问题，考查由函数值求自变量的值，对于此类问题的求解，只需对自变量属于那段定义域进行分类讨论，在相应的条件下将所得答案是否在对应的定义域内进行取舍，若在，则保留；否则相应的答案就要舍去. 【答案】-3【解析】令2log (1)13a -+=，得3a =-，令23a -=，得3a =（舍去），所以3a =-. 例4．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（ ）A.()()3,13,-+∞B.()()3,12,-+∞C.()()1,13,-+∞ D.()(),31,3-∞-分析：本题考查分段函数不等式的求解，对于此类问题的处理，只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可. 【答案】A【练一练趁热打铁】1. 设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩满足8()9f n =-，则=+)4(n f （ ） A ．2 B ．2- C ．1D ．1-【答案】B【解析】当6>n 时，98)1(log )(3-=+-=n n f ，解得62131398<=-<-=n ，不合题意，舍去；当6≤n 时，9813)(6-=-=-n n f ，解得4=n ，所以=+)4(n f 29log )18(log )8()44(33-=-=+-==+f f .2. 已知函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于（ ）A ．12 B ．43C ．2D ．4 【答案】C【解析】因为2)1(=f ，所以a f f f 24)2())1((+==，由a a 424=+，解得4=a ，故选C.3.设()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x = .【答案】14.已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式()2f x x ≥的解集为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C.[]2,1-D.[]1,2- 【答案】A函数的单调性【背一背基础知识】1.单调区间：若函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数），则称函数()f x 在区间D 为单调递增（或单调递减），区间D 叫做()y f x =的单调递增区间（或单调递减区间）；2.函数的单调性：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数（或减函数）；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是增函数；或对于区间D 上任意两个自变量1x 、2x ，当12x x ≠时，有()()12120f x f x x x -<-或()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦时，称函数()f x 在区间D 上是减函数. 3.基本初等函数的单调性：【讲一讲基本技能】必备技能：1.在判断基本初等函数的单调性时，在熟悉基本初等函数的图象的基础上进行判断，尤其要注意，函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同；在涉及若干个函数的和函数时，判断此函数的单调性一般利用性质去判断，即①增函数+增函数=增函数，②增函数-减函数=增函数，③减函数+减函数=减函数，④减函数-增函数=减函数；分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求；一般情况下的单调性可利用导数求进行判断，即由()0f x '≤确定的解集为函数()f x 的单调递减区间，由()0f x '≥确定的解集为函数()f x 的单调递增区间；证明函数的单调性可以利用定义法与导数法.同时需要注意函数的同类单调区间（即同为增区间或减区间）不能取并集，一般利用逗号隔开或用“和”字联结.2.复合函数法：对于函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，可设内层函数为()u g x =，外层函数为()y f u =，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相同，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦在区间D 上单调递减.3.导数法：不等式()0f x '>的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递增区间，不等式()0f x '<的解集与函数()f x 的定义域的交集即为函数()f x 的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接. 典型例题例1设0.61.50.60.60.6 1.5a b c ===，，，则a b c ，，的大小关系是( )（A ）a b c ＜＜ （B ） a c b ＜＜ （C ）b a c ＜＜ （D ）b c a ＜＜【答案】C【考点定位】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.例2已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A.30a -≤<B.32a -≤≤-C.2a ≤-D.0a <分析：本题属于分段函数的单调性问题，对于分段函数()f x 在定义域上的增函数问题，则需要考虑()f x 在区间(),1-∞和区间[)1,+∞上都是增函数，还需要考虑()f x 在1x =处两边函数值的大小关系，从而求出参数的取值范围. 【答案】B【练一练趁热打铁】1. 已知函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.()(),12,-∞-+∞B.()(),21,-∞-+∞C.()1,2-D.()2,1- 【答案】D【解析】作出函数()()3,0ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的图象如下图所示，(),-∞+∞上单调递增，由()()22f xf x ->，可得22xx ->，整理得220x x +-<，解得21x -<<，故选D.2.32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5【解析】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>2log 5最大.【考点定位】比较大小.【名师点晴】本题主要考查的是比较大小，属于容易题．解题时一定要注意重要字眼“最大数”，否则很容易出现错误．函数值的比较大小，通过与1-，0，1的比较大小，利用基本初等函数的单调性即可比较大小．函数的奇偶性【背一背基础知识】1.函数的奇偶性：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=（或()f x -=()f x -），那么函数()f x 就叫做偶函数（或奇函数）； 2.基本初等函数的奇偶性：3.定义法判断奇偶性的步骤：（1）判断函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -与()f x ±是否具备等量关系；（3）下结论；4.利用性质法来判断奇偶性：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数.【讲一讲基本技能】1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式()x (x)0f f ＋－＝ (奇函数)或()x (x)0f f -－＝ (偶函数))是否成立．3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于y 轴对称，则函数是偶函数． 4．抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现()()f x f x －，)； (2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑； (3)找出()f x -与()f x 的关系，得出结论．5.对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，充分利用结论：若奇函数()f x 在0x =处有定义，则()00f =. 典型例题例1已知函数f(x)＝2200x x x ax bx x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩＋，，＋，是奇函数，求a ＋b 的值．分析：本题是函数的奇偶性的判断，对于本题的求解，可以利用定义法来进行判断，按照定义法判断函数奇偶性三步来进行证明. 【答案】0【解析】当0x >时，0x -<，由题意得()f(x)f x －＝－，所以22x x ax bx －＝－－.从而a 1b 1＝－，＝，所以a b 0＋＝． 例2给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ） A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④分析：本题是考查函数的奇偶性的判断问题，对于简单函数的奇偶性判断，可以利用基本初等函数的奇偶性或定义法来进行判断. 【答案】B.例3 设()f x 为定义在R 上的函数.当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则()1f -=（ ）A.3-B.1-C.1D.3分析：本题是考查分段函数的奇偶性与求值问题，题中已知函数()f x 在区间[)0,+∞上的解析式，但解析式中含有未知的参数，所以可以利用奇函数的结论()00f =来求出b 的值，从而确定函数()f x 区间[)0,+∞上的解析式，先求出()1f 的值，然后结合函数()f x 的奇偶性求出()1f -的值. 【答案】A 【解析】函数()f x 为定义在R 上的函数，()00f ∴=，即()0022010f b b =+⨯+=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()221x f x x =+-，因此()1122113f =+⨯-=，所以()()113f f -=-=-，故选A.例4.已知函数()32013f x ax bx =++，若()20144025f =，则()2014f -=（ ） A.1 B.4025- C.2013- D.2014分析：本题是利用函数奇偶性求值问题，首先需要注意到()2014f -与()2014f 中两个自变量之间相反数之间的关系，联想到利用函数的奇偶性来求解，在解题时注意到代数式3ax bx +的奇偶性，通过将2014与2014-之间相反数之间的关系，代值利用加法进行消去，从而求出()2014f -的值.【答案】A【解析】()32013f x ax bx =++，()32014201420142013f a b ∴=⨯+⨯+，且()2014f -= ()()33201420142013201420142013a b a b ⨯-+⨯-+=-⨯-⨯+，因此()()20142014f f +-=()()33201420142013201420142013201320134026a b a b ⨯+⨯++-⨯-⨯+=+=，所以()2014f -()40262014402640251f =-=-=，故选A.【练一练趁热打铁】1. 下列函数中，在()0,+∞上单调递减，并且是偶函数的是（ ）A.2y x =B.3y x =-C.lg y x =-D.2x y = 【答案】C2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A.1y x =+ B.y x x = C.1y x=D.2y x =- 分析：本题属于基本初等函数的单调性进行判断，判断时可以利用基本初等函数的图象或在基本初等函数的基本单调性来进行判断，在判断时可以利用结论：函数在区间D 上的单调性和函数在区间D 的子区间()D D D ''⊆上的单调性相同. 【答案】B【解析】1y x =+为非奇非偶函数，排除A 选项；1y x=在()0,+∞是减函数，排除C 选项；2y x =-在()0,+∞是减函数，排除D 选项；y x x =在R 上是奇函数，且22,0,0x x y x x x x ⎧-≤==⎨>⎩，画出函数y x x =的图象可知函数y x x =在(),-∞+∞上为增函数，故选B. 3 已知函数()2mf x x －＝是定义在区间2[3]m m m －－，－上的奇函数，则f (m )＝________．【答案】1－【解析】由已知必有23m m m －＝＋，即2230m m －－＝，∴3m ＝，或1m ＝－； 当3m ＝时，函数即()1f x x －＝，而[6,6]x ∈－，∴()f x 在0x ＝处无意义，故舍去；当1m ＝－时，函数即()3f x x ＝，此时[2,2]x ∈－，∴()3(1)(1)1f m f ＝－＝－＝－．4.偶函数()y f x =在区间[]0,4上单调递减，则有（ ） A.()()13f f f ππ⎛⎫->>- ⎪⎝⎭B.()()13f f f ππ⎛⎫>->-⎪⎝⎭C.()()13f f f ππ⎛⎫->>-⎪⎝⎭D.()()13f f f ππ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭【答案】C函数的周期性【背一背基础知识】1．周期函数：对于函数()f x ，如果存在一个非零实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.2．最小正周期：如果周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么最小的正数就叫做()f x 的最小正周期.3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．【讲一讲基本技能】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 2.典型例题例1已知f （x ）是R 上的奇函数，对x ∈R 都有f （x+4）=f （x ）+f （2）成立，若f （﹣1）=﹣2，则f （2013）等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013分析：本题是借助函数的周期性与奇偶性求值问题，对于此种问题的处理，首先是利用特值确定f 20=（﹣），从而利用奇偶性得f 20=（），利用函数的周期性即可求解.【答案】A【解析】由f x 4f x f 2+=+（）（）（），取x 2=﹣，得：f 24f 2f 2+=+（﹣）（﹣）（），即f 20=（﹣），所以f 20=（），则f x 4f x f 2f x +=+=（）（）（）（），所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以f 2013f 45031f 1f 1=⨯+===（）（）（）﹣（﹣）-(-2)=2． 例2已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()2f x +=()f x -，则()6f -的值为_______. 分析：本题是利用函数的周期性与奇偶性求对抽象函数求值，对于此种问题的处理，首先应该从条件()()2f x f x +=-得出函数()f x 的周期，然后利用周期性将所求的函数值对应的自变量的绝对值化小，并结合已知条件求解. 【答案】0【解析】由于函数()f x 时定义在R 上的奇函数，所以()00f =，且()()2f x f x +=-，故函数()f x 的周期为4，因此()()()()6624200f f f f -=-+⨯==-=.【练一练趁热打铁】1. 奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为（ ）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8【答案】D2.已知函数()f x 满足()()21f x f x ⋅+=且()12f =，则()99f = . 【答案】12. 【解析】由()()()()1212f x f x f x f x ⋅+=⇒+=，故函数()f x 的最小正周期为4，()99f = ()()25411f f ⨯-=-，在等式()()12f x f x +=中令1x =-得，()()()1112112f f f ==⇒-=-.（一） 选择题（12*5=60分）1. 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ）(A) [3,1]- (B) (3,1)-(C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ，故选D. 【考点定位】函数的定义域与二次不等式.【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解.本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零.2. 下列函数()f x 中，满足对任意1x 、()20,x ∈+∞，当12x x <时都有()()12f x f x >的是（ ）A.()1f x x= B.()()21f x x =- C.()x f x e = D.()()ln 1f x x =+【答案】A3. 下列函数中，在(0,)+∞上是单调递增的偶函数的是（）A ．cos y x =B ．3y x =C ．x x y e e -=+D ．212log y x =【答案】 C ．【解析】cos y x =在(0,)+∞上不是单调递增的，3y x =是奇函数，212log y x =在(0,)+∞上是单调递减的，x xy e e -=+在(0,)+∞上是单调递增的偶函数，故选C.4. 已知)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且2)1()1(=+-g f ，4)1()1(=-+g f ，则)1(g =A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B.【解析】因为)(x f 是奇函数、)(x g 是偶函数，且4)1()1(=-+g f ，所以4)1()1(=+--g f ，又因为2)1()1(=+-g f ，所以3)1(=g ，故应选B.5. 奇函数)(x f 的定义域为R ，若)2(+x f 为偶函数，且)1(f =1，则)8(f +)9(f =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】D.6. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A .y ＝sin (2x ＋2π)B .y ＝cos (2x ＋2π) C .y ＝sin 2x ＋cos 2x D .y ＝sinx ＋cosx【答案】B【解析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y (2x ＋4π)是非奇非偶函数 故正确答案为B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.7. 已知函数2()21,()1x f x g x x =-=-，构造函数()F x 的定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x g x =-，则()F x ( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值【答案】B【解析】作出函数图象可得，()F x 的图象为图中x 轴上方A 点左侧（含A 点），B 点右侧（含B点）部分，x 轴下方的红色虚线部分，由图可知，()F x 无最大值，最小值为1-,选B.8.已知函数()y f x =是在闭区间[]0,2上单调递增的偶函数，设()2a f =-，()0b f =，()1c f =-，则（ ）A.b c a <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a <<【答案】A9. 设10()2,0x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32 【答案】C【解析】因为21(2)24f --==，所以111((2))()11422f f f -===-=，故答案选C 【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求(2)f -的值，继而去求((2))f f -的值；2.若求函数[()]f f a 的值，需要先求()f a 的值，再去求[()]f f a 的值；若是解方程[()]f f x a =的根，则需先令()f x t =，即()f t a =，再解方程()f t a =求出t 的值，最后在解方程()f x t =；3.本题属于基础题，注意运算的准确性.10. 已知函数3,0,()ln(1),>0.x x f x x x ⎧≤=⎨+⎩若2(2)()f x f x ->，则实数x 的取值范围是（ ）A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞B.(,2)(1,)-∞-⋃+∞C. (1,2)-D. (2,1)-【答案】D【解析】由题意易知分段函数()f x 为单调递增函数，若2(2)()f x f x ->，则22x x ->，解得21x -<<．11. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+【答案】A 【考点定位】1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点.12. 已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.（二）填空题（4*5=20分）x x为偶函数，则a=13. 若函数f(x)=ln(【答案】1【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x ++-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在x =0处有意义，常用f (x )=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.14. 已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .【答案】1【解析】∵(2)(2)f x f x +=-，∴(4)()f x f x +=-．∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x =-， ∴(4)()f x f x +=，∴3(2014)(45032)(2)(2)log 31f f f f =⨯+==-==．15. 已知32,(),x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.16. 已知函数32tan sin )(x x x x f ++=，)1,1(-∈x ，则满足不等式0)12()1(<-+-a f a f 的实数a 的取值范围是 ． 【答案】2(0,)3。
第3章 函数的概念与性质-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第一册)
第3章 函数的概念与性质§3.1函数的概念及其表示1. 设A .B 是非空的实数集，使对于集合A 中的任意一个数x ，如果按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有惟一确定的数y 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.5. 分段函数§3.2.函数的基本性质§3.2.1单调性与最大（小）值1.函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆，如果12,x x D ∀∈、当12x x <时，都有：12()()f x f x <或12()()0()f x f x f x D -<，就称在区间上单调递增；特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；12()()f x f x >或12()()0()f x f x f x D ->，就称在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；2. 最大值、最小值：设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）x I ∀∈，都有()M f x ≤;（2）0,x I ∃∈使得0()M f x =，我们就称M 是函数()y f x =的最大值.如果存在实数N 满足：（1）x I ∀∈，都有()f x N ≥;（2）0,x I ∃∈使得0()f x N =，我们就称N 是函数()y f x =的最小值.§3.2.2奇偶性1.定义：设函数()x f 的定义域为I , 如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()x f x f =-（或()()0f x f x --=），那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.且若()()f x f x -=-（或()()0f x f x -+=），那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.2.奇函数的性质：若奇函数()x f 的定义域为I , 如果0I ∈，则有(0)0f =.3.奇偶性与单调性：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.§3.3幂函数1.幂函数的解析式： y x α=，x 是自变量，α是常数.2.几种幂函数的图象：3.幂函数的性质：（1） 定点：()1,1.（2） 单调性：当0α>时，y x α=在()0,+∞上单调递增；当0α<时，y x α=在()0,+∞上单调递减；。
高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性课件新人教A版必修第一册
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且 奇函数 _f(_－__x_)＝__－__f_(_x)，那么函数f(x)是奇函数
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的
画“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定
是奇函数．
题型2 奇、偶函数的图象问题 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象
如图所示． (1)画出函数f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 素养点睛：考查数学抽象和直观想象的核心素养．
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于 原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图 所示．
【答案】0 【解析】易知ff12＝＝－－ff－－12，， 则a4＋a＋b＝2b0＝，－2， 解得ab＝ ＝－ 1. 1， 当 a＝－1，b＝1 时，经检验知 f(x)为奇函数，故 a＋b＝0.
4．(题型2)如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3) ＝0，则不等式f(x)<0的解集ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ________．
偶函数、奇函数的图象特征
1．偶函数的图象关于__y_轴_____对称． 2．奇函数的图象关于__原__点____对称．
【预习自测】 如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧 部分的图象．
解：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y 轴左侧部分的图象．如图所示．
1．(题型1)(2020年景德镇高一期中)下列各函数在其定义域内，既
函数的基本性质ppt课件
证明或判断函数单调性的方法步骤
例二：根据定义证明函数
复习巩固
1．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增 函数，则实数a的取值范围是什么？ 练习：如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞) 上是增函数，则b的取值范围为( ) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3
一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，若存在实数M，则满足：
由图像可知，二次函数y=x²的图像上有最低点(0,0) (1)∀x∈I,都有f(x)≤M
即∀x∈R，都有f(x)≥f(0)
(2)∀x0∈I,都有f(x0)=M
那么称M是y=f(x)的最大值
则说明，函数f(x)的图像有最低点时，就有最小值
2.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b. (1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式． (2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围.
把本题(2)条件“不单调”改为“单调”， 求实数a的取值范围．
打开课本81页
小结：本节课你学到了什么？
函数的最值：
问题：观察以下图像，图像有什么特点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
像这样，函数图像在某个区间保持上升（或下降） 的性质叫做函数的单调性
研究二次函数f(x)=x2的单调性 为什么f(x1)>f(x2)?
为什么f(x1)>f(x2)?
研究二次函数f(x)=x2的单调性 请你用符号语音描述y轴右侧的性质特征
思考：函数y=-x2的单调性是怎样？如何描 述 y=|x|的单调性呢？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间
函数单调性的定义
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增 时，我们就称它为增函数
高中数学重点、难点突破(3)函数的基本性质
高中数学重点、难点突破（3）函数的基本性质1．增函数、减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有：(1) ⇔f (x )在区间D 上是增函数; (2) ⇔f (x )在区间D 上是减函数.2．单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的 .3．函数的最值前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 .①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 . 结论 M 是y ＝f (x )的最大值 M 是y ＝f (x )的最小值4．奇函数、偶函数的定义对于函数f (x )的定义域内的任意一个x . (1) ⇔f (x )为偶函数;(2) ⇔f (x )为奇函数.5．奇、偶函数的性质(1)图象特征：奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称．(2)对称区间上的单调性：奇函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有 的单调性．(3)奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f (x )在原点有意义，则f (0)＝ .1.如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( )A ．a ＝－2B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥22.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝3－xB ．y ＝1xC ．y ＝－x 2＋4D ．y ＝|x | 3.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在x ∈R 上是减函数，则k 的取值范围是( )A ．k ＞12B ．k ＜12C ．k ＞－12D ．k ＜－124.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－125.已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．26.已知y ＝f (x )是偶函数，则函数y ＝f (x ＋1)的图象的对称轴是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－127.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数8.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |9.函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增10. 函数f(x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.11.函数f (x )＝11－x (1－x )的值域是________． 12.函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________. 13.已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.14.设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )＜0的解集为R ，则实数m 的取值范围是___。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性(第1课时)奇偶性的概念a
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－1x2＝x12＝f(x)，
则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－1x＝－f(x)， 则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非
奇非偶函数．]
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3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x
－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则 a－4＝0，即 a＝4.
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自主预习 探新知
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第三页，共三十八页。栏Fra bibliotek导航函数的奇偶性
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论 图象特点
f(－x)＝f(x) 关于 y 轴 对称
f(－x)＝－f(x) 关于原点 对称
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法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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利用函数的奇偶性求值 [探究问题] 1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇 偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？ 提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
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高三新数学第一轮复习教案（讲座3）函数的基本性质一．课标要求1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。
预测2007年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。
预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。
三．要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
3．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )； 4．周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
四．典例解析题型一：判断函数的奇偶性 例1．讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222+-+-=⎪⎩⎪⎨⎧<-+-=>++=++=x x og x f x x x n x x x x n x f x f xxx);0(||)()4(22≠-+-=a aa x x a x f 常数解：（1）函数定义域为R ，)(2211614161211161222116)(x f x f xx x x x xx x x x x =++=++∙=++=++=----， ≨f (x )为偶函数；（另解）先化简：14414116)(++=++=-xx xx x f ，显然)(x f 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论： ①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n xx nx x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴< ③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ≨f (x )为奇函数；（3）10101222=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，≨函数的定义域为1±=x ， ≨f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，≨f (x )既是奇函数，又是偶函数；（4）≧x 2≤a 2, ≨要分a >0与a <0两类讨论，①当a >0时，)],,0()0,[(||a a a a x ax a -⇒⎩⎨⎧≠+≤≤-函数的定义域为xx a x f a x 22)(,0||-=∴>+∴，≨当a >0时，f (x )为奇函数； ,2,2,2)(,0||2122ax a x a x x a x f a x -==---=∴<+称的两点取定义域内关于原点对)(,0,03353)2()2(x f a a f a f 时当<∴≠±=-± 既不是奇函数，也不是偶函数.点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例2．(2002天津文.16)设函数f （x ）在（－≦，+≦）内有定义，下列函数：①y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）答案：②④；解析：y =（－x ）f ［（－x ）2］=－xf （x 2）=－y ；y =f （－x ）－f （x ）=－y 。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。
对学生逻辑思维能力有较高的要求。
题型二：奇偶性的应用 例3．（2002上海春，4）设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ _。
答案：－1；解：因为x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）=－f （x ），设x ＜0，所以f （x ）=－f （－x ）=－f （1－x ），所以f （－2）=－lo g 33=－1。
点评：该题考察函数奇偶性的应用。
解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。
例4．已知定义在R 上的函数y = f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )=2x －1，求x ∈[－4，0]时f (x )的表达式。
解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]， ≧f (x )为偶函数，≨当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1,②若x ∈[－4，－2)， ≨4+ x ∈[0，2)，≧f (2+x )+ f (2－x )， ≨f (x )= f (4－x )，≨f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7； 综上，.)02(12)24(72)(⎩⎨⎧≤<---≤=≤-+=x x x x x f点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。