课程名称：微分几何课程代码：02014(理论).doc
高等数学A课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：06122001课程名称：微分几何英文名称：Differential Geometry课程性质：限选适用专业：数学与应用数学开课学期：春期总学时：34总学分：2课程简介：微分几何是数学与应用数学专业的基础课, 内容包括曲面论、曲线论、活动标架法、整体微分几何初步。
本课程的教学目的是使学生掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，同时培养学生直观分析能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，培养其理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
本课程主要教学内容是曲线的切向量与弧长、曲率与扰率、Frenet标架与Frenet公式、曲线的局部结构、曲线论基本定理、曲面的表示、切向量、法向量、旋转曲面、直纹面与可展曲面、曲面的第一基本形式与内蕴量、曲面的第二基本形式、曲面上的活动标架与基本公式、Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线、Gauss曲率和平均曲率、曲面的局部结构、Gauss映照与第三基本形式、全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面、曲面论基本定理、测地曲率与测地线、向量的平移、曲面上的Gauss-Bonnet公式、向量场与孤立奇点的指标、球面的刚性、极小曲面中的Bernstein定理、完备曲面与Hopf-Rinow定理等等。
课程英文描述：Differential geometry is a basic course of applied mathematics subject. The content includes surface theory, curve theory, method of moving frames, and introduction to global geometry. The purpose of this course is to introduce the students to some basic geometrical concepts, and to some common methods in the study of curves and surfaces, so as to lay the foundation for the further study of modern geometry. Meanwhile it is contented to cultivate their intuitive analysis capabilities, the ability to solve geometric problems by analysis, algebra and other tools, and to develop the ability to conform theory with practice, so as to develop the skill to analyze and solve problems.This main content of this course is tangent vectors and arc length of curves, curvature and torsion, Frenet frames and Frenet formulas, local structure of a curve, fundamental theorem of curve theory, representation of a surface, tangent vector, normal vector, surface of revolution, ruled surfaces, developable surfaces, the first basic form of a surface, intrinsic quantities of a surfaces, the second basic form of a surface, moving frames on a surface and basic formulas, Weingarten transform, asymptotic curves and conjugate curves of a surface, normal curvature, main directions, main curvatures, Gauss and mean curvature, the local structure of a surface, Gauss mapping and the third basic form, totally umbilical surfaces, minimal surfaces, surfaces with constant Gauss curvature, the fundamental theorem of surface theory, geodesic curvature and geodesics, vector translation, Gauss-Bonnet formula on a surface, indicator of a vector fields with isolated singularities, rigidity of the sphere, Bernstein Theorem for minimal surfaces, complete surfaces and the Hopf-Rinow theorem, etc.推荐教材：《微分几何》（第四版），梅向明黄敬之编，高等教育出版社，2008.5《微分几何》，苏步青等编，高等教学出版社，1979参考书目：1.《微分几何》，彭家贵等编，高等教育出版社，20022.《微分几何初步》，陈维桓编，北京大学出版社，20043.《微分几何讲义》，吴大任编，高等教育出版社，19814.《微分几何讲义》，虞言林等编，高等教育出版社，1989二、课程总目标1．在知识理论方面，本课程教学要求学生掌握曲线的切向量与弧长、曲率与挠率，掌握Frenet标架与Frenet公式，熟悉曲线的局部结构，理解曲线论的基本定理，掌握曲面的表示、切向量、法向量，熟悉旋转曲面、直纹面与可展曲面，掌握曲面的第一基本形式与内蕴量，掌握曲面的第二基本形式，掌握曲面上的活动标架与基本公式，熟悉Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线，掌握Gauss曲率和平均曲率，熟悉曲面的局部结构，熟悉Gauss映照与第三基本形式，了解全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面，理解曲面论的基本定理，掌握测地曲率与测地线，掌握向量的平行移动，掌握曲面上的Gauss-Bonnet公式，理解向量场与孤立奇点的指标，理解球面的刚性，了解极小曲面中的Bernstein定理，熟悉完备曲面与Hopf-Rinow定理。
微分几何课程标准
《微分几何》课程标准一、课程概述《微分几何》是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课，本课程是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门数学分科。
它以经典微分几何为主要内容，主要讨论三维欧氏空间中曲线和曲面的局部性质。
同时还介绍了现代研究方法，即外微分、活动标架方法去处理曲线、曲面的局部理论。
通过本课程的学习，可以使学生空间思维及几何直观想象能力得到提高，为进一步学习诸如流形上微积分、偏微分方程、拓扑、黎曼几何等课程打好基础。
二、课程目标1、知道《微分几何》这门科学的性质，地位与独立价值，知道该学科的研究对象、研究方法、学科进展与未来方向；2、理解本学科的基本概念、基本原理和方法及初步的应用；3、能用《微分几何》的观点来认识中学几何的内容；4、具备进一步学习现代微分几何及其它数学分支的基础知识。
三、课程内容、教学要求该课程的知识与技能要求分为了解、理解、掌握三个层次，下面教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。
（一）曲线论（二）曲面论四、课程实施（一）课时安排与教学建议《微分几何》是数学与应用数学（师范）专业的一门选修课。
每周安排4课时，共60课时。
函授生一般为40课时。
具体安排如下：（二）教学组织形式与教学方法的要求1、教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。
根据几何学种的特点，尽可能使用多媒体教学手段。
2、充分利用习题课课时，灵活地组织学生进行有利于培养学生发现问题，分析问题与解决问题的能力的各种教学活动。
3、评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情，更好地培养学生的空间思维及几何直观想象能力。
五、教材编写与选用本课程选用梅向明、黄敬元编写的由高等教育出版社出版的教材《微分几何》（第二版）六、学习评价与考核1、这门课程的评价依据本课程标准规定的课程目标、教学内容和要求。
该门课程的成绩评定采用平时考核（30%）和期末考试（70%）相结合的形式。
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
《微分几何》课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。
微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。
【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。
【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。
四川省高等教育自学考试2016年4月(16·1次)
09:00-11:3014:30-17:0009:00-11:3000147 人力资源管理(一)00018 计算机应用基础00182 公共关系学00163 管理心理学00107 现代管理学00277 行政管理学00292 市政学00341 公文写作与处理03350 社会研究方法12656 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论03706 思想道德修养与法律基础00051 管理系统中计算机应用00054 管理学原理00070 政府与事业单位会计00053 对外经济管理概论04184 线性代数(经管类)00078 银行会计学00058 市场营销学04183 概率论与数理统计(经管类)00067 财务管理学00068 外国财政00139 西方经济学03708 中国近现代史纲要00051 管理系统中计算机应用00054 管理学原理00078 银行会计学00053 对外经济管理概论00061 国家税收04183 概率论与数理统计(经管类)00058 市场营销学00076 国际金融00067 财务管理学00150 金融理论与实务00068 外国财政04184 线性代数(经管类)03708 中国近现代史纲要00051 管理系统中计算机应用00045 企业经济统计学00102 世界市场行情00097 外贸英语写作00149 国际贸易理论与实务04183 概率论与数理统计(经管类)00100 国际运输与保险04184 线性代数(经管类)07750 国际投资学03708 中国近现代史纲要05844 国际商务英语00042 社会经济统计学原理00054 管理学原理00153 质量管理(一)00051 管理系统中计算机应用00061 国家税收00154 企业管理咨询00067 财务管理学00149 国际贸易理论与实务04183 概率论与数理统计(经管类)00151 企业经营战略00150 金融理论与实务03708 中国近现代史纲要04184 线性代数(经管类)00042 社会经济统计学原理00061 国家税收00159 高级财务会计00051 管理系统中计算机应用00149 国际贸易理论与实务00160 审计学备注：1.代码以A开头的为自考专科，B.D开头的为本科。
自学考试科目及时间安排
陕西省2011年4月高等教育自学考试课程时间安排表（本科）陕西省2011年4月高等教育自学考试课程时间安排表（本科）课程 时间 专业及代码星期六（4月16日）星期日（4月17日）上午8:30-11:00 下午14:00-16:30上午8:30-11:00下午14:00-16:30金融（B020106）中国近现代史纲要（03708） 市场营销学（00058） 保险学原理（00079） 管理系统中计算机应用（00051） 马克思主义基本原理概论（03709） 管理学原理（00054） 线性代数（经管类）（04184）银行会计学（00078） 概率论与数理统计（经管类）（04183） 对外经济管理概论（00053） 英语（二）（00015）国际贸易（B020110） 中国近现代史纲要（03708） 外贸英语写作（00097） 管理系统中计算机应用（00051） 马克思主义基本原理概论（03709） 国际商务英语（05844） 企业经济统计学（00045） 线性代数（经管类）（04184）外刊经贸知识选读（00096） 概率论与数理统计（经管类）（04183） 涉外经济法（00099）会计（B020204） 中国近现代史纲要（03708） 市场营销学（00058） 管理系统中计算机应用（00051） 马克思主义基本原理概论（03709） 金融理论与实务（00150） 线性代数（经管类）（04184） 审计学（00160） 概率论与数理统计（经管类）（04183）资产评估（00158） 英语（二）（00015）工商企业管理 （B020202） 中国近现代史纲要（03708） 企业经营战略（00151） 管理系统中计算机应用（00051）马克思主义基本原理概论（03709） 管理学原理（00054） 金融理论与实务（00150） 线性代数（经管类）（04184） 质量管理（一）（00153）概率论与数理统计（经管类）（04183）组织行为学（00152）英语（二）（00015）电子商务（B020216） 中国近现代史纲要（03708） 互联网数据库（00911） 电子商务法概论（00996）马克思主义基本原理概论（03709） 网络营销与策划（00908）数量方法（二）（00994） 英语（二）（00015）电子商务与金融（00913）物业管理（B020222） 中国近现代史纲要（03708） 城市社区建设概论（05673） 马克思主义基本原理概论（03709） 管理学原理（00054） 物业信息管理（05674）物业管理国际标准与质量认证（05675） 公司管理学（07519） 英语（二）（00015）社会学概论（00034）物业管理（00176） 物流管理（B020229） 中国近现代史纲要（03708）马克思主义基本原理概论（03709） 政治经济学（财）（00009） 线性代数（经管类）（04184）概率论与数理统计（经管类） （04183）英语（二）（00015）采购与供应管理 （B020282） 中国近现代史纲要（03708） 采购战术与运营（03616）马克思主义基本原理概论（03709） 政治经济学（财）（00009）英语（二）（00015）业及代码上午8:30-11:00下午14:00-16:30上午8:30-11:00 下午14:00-16:30概率论与数理统计（二）（02197）（02364）计算机信息管理 （B082208）信息资源管理（02378） 运筹学基础（02375）马克思主义基本原理概论（03709） 管理经济学（02628）中国近现代史纲要（03708） 英语（二）（00015） 计算机网络原理（04741） 操作系统概论（02323） 管理信息系统（02382）计算机网络 （B080709） 网络操作系统（02335）马克思主义基本原理概论（03709） 高等数学（工本）（00023） 计算机网络安全（04751） 中国近现代史纲要（03708） 英语（二）（00015） 计算机网络原理（04741） 通信概论（04742） 建筑工程 （B080806）结构力学（二）（02439） 建筑设备（02446）线性代数（02198） 物理（工）（00420）马克思主义基本原理概论（03709） 概率论与数理统计（二）（02197） 计算机基础与程序设计（02275）中国近现代史纲要（03708） 英语（二）（00015） 钢结构（02442）农学 （B090102）生物化学（二）（02634）马克思主义基本原理概论（03709） 中国近现代史纲要（03708） 英语（二）（00015） 农业市场学（06206） 园林 （B090115） 园林树木学（06637）计算机应用基础（00018）马克思主义基本原理概论（03709）中国近现代史纲要（03708） 英语（二）（00015） 园林管理（06642） 护理学 （B100702） 内科护理学（二）（03202） 计算机应用基础（00018） 预防医学（二）（03200）马克思主义基本原理概论（03709） 护理学导论（03201）中国近现代史纲要（03708） 英语（二）（00015） 急救护理学（03007） 社区护理学（一）（03004）陕西省2011年10月高等教育自学考试课程时间安排表（本科）陕西省2011年10月高等教育自学考试课程时间安排表（本科）二、本科段/独立本科段/本科。
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
陈维桓 微分几何教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息1二、课程内容及基本要求第一章为预备知识。
要求学生掌握标架、向量函数的概念，及常用的公式与性质定理。
第二章介绍空间曲线的基本理论与研究方法。
了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。
会熟练地计算曲线的曲率、挠率。
掌握运用Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。
了解曲线论基本定理的内容和证明方法。
第三章介绍曲面的第一基本形式。
掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。
能熟练计算曲面的第一基本形式，第一类基本量。
了解参数曲线网、正交曲线网、保长（等距）对应、保角（共形）对应的概念。
掌握可展曲面的定义和分类定理。
第四章介绍曲面的第二基本形式。
能熟练计算曲面的第二基本形式，第二类基本量。
掌握法曲率、高斯映射和Weingarten变换的概念。
了解渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式。
能计算曲面的主曲率，确定对应的主方向。
了解Dupin标形和曲面的局部近似形状。
了解常曲率旋转曲面和极小旋转曲面。
第五章介绍曲面论基本定理。
了解曲面的Gauss-Codazzi方程。
会计算Christoffel符号和Riemann 曲率。
了解曲面论基本定理的内容。
掌握Gauss定理的内容及其应用。
第六章介绍曲面上的测地曲率和测地线。
掌握测地曲率、测地挠率的概念，计算测地曲率的Liouville 公式。
了解测地线的局部短程性、测地平行坐标系和测地极坐标系，运用测地坐标系证明具有相同常曲率的曲面相互等距。
了解切向量沿曲面上一条曲线平行移动的概念。
掌握Gauss-Bonnet公式的内容。
三、学时分配表：四、课程教学的有关说明要求学生课前预习，认真完成课外作业。
每周安排一次课外答疑时间。
在授课过程中，对部分较容易理解的内容开展几次讨论和课堂报告，培养学生的自学能力。
2南昌大学课程教学进度表(2006—2007学年第二学期适用)任课教师在每学期开课前根据教学大纲编写“课程进度表”，经教研室讨论在开学后一周内发至学生班级，并送学生所在系一份。
课程名称(中文)微分方程定性理论
课程名称（中文）：微分方程定性理论课程名称（英文）：Qualitative Theory of Differential Equations一）课程目的和任务：微分方程定性理论是20世纪逐步发展形成的一个数学分支，由常微分方程来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想，主要是研究奇点类型及其邻域内的轨线结构、极限环的存在性等问题。
它和稳定性理论和微分动力系统都有密切的联系，它已成为许多方面(例如生物模型、流行病模型)研究的必不可少的数学工具。
本课程是为微分方程方向的研究生而开设的一门专业必修课程。
主要内容包括动力系统的基本知识、极限集、奇点邻域轨线结构、极限环的存在、唯一性等问题。
可以作为微分方程方向的专业课，也可以作为其它方向的选修课。
其目的是使学生基本理解和掌握定性理论中常见的概念和基本方法，使他们对自己的专业知识能够有更清晰和全面的了解，并对该学科研究前沿的概貌有一定的了解，从而提高他们的科学研究能力。
二）预备知识：数学分析，常微分方程三）教材及参考书目：教材：常微分方定性与稳定性方法，马知恩、周义仓，，科学出版社，2001；参考书目：1．张芷芬、丁同仁、黄文灶、董镇喜，微分方程定性理论，科学出版社，2003。
四）讲授大纲（中英文）第一章基本定理1）解的存在唯一性2）解的延拓3）解对初值的连续依赖性4）比较定理第二章动力系统基本知识1）自治系统与非自治系统2）轨线的极限集合3）平面上的极限集第三章稳定性理论1）自治系统的稳定性2）非自治系统的稳定性3）Liapunov 函数第四章平面系统奇点1）初等奇点2）中心与焦点3）旋转数与指标理论第五章极限环1）极限环的不存在性2）极限环的存在性3）后继函数与极限环的稳定性4）极限环的唯一性第六章高维系统1）稳定流形定理2）拓扑等价与Hartman-Grobman定理3）中心流形定理4）奇点分支5）Hopf 分支Chapter 1 Basic Theorem1) the existence and uniqueness of solutions2) Continuation of solutions3) Continuous dependence on initial value of solutions4) the comparison theoremChapter 2 Basic knowledge of dynamicalr system1) autonomous system with nonautonomous system2) limit set of the trajectory3) the limit set in the planeChapter 3 Stability theory1) Stability of autonomous system2) The stability of nonautonomous systems3) Liapunov functionChapter 4 Equilibrium of the plane1) Elementary equilibrium2) Center and focus3) the rotation number and the index theoryChapter 5 Limit Cycle1) The nonexistence of limit cycle2) the existence of limit cycles3) Successor function and stability of limit cycles4) the uniqueness of a limit cycleChapter 6 High dimensional system1) the stable manifold theorem2) The topological equivalence and Hartman-Grobman Theorem3) The center manifold theorem4) Bifurcation of equilibrium5) Hopf bifurcation五）教学总学时：3学时/周×19周= 57学时。
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：维恒著，《微分几何初步》，北大梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。
第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
大纲制定者：洪军执笔大纲审定者：红斌大纲批准者：胜利大纲校对者：洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．传璋等，《数学分析》，高等教育。
．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
微分几何大纲
微分几何大纲《微分几何》教学大纲课程名称：微分几何课程编号：0641010课程类别：专业必修课程适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数：54学分：3一、课程性质和教学目标1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程；2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。
二、教学要求和教学内容第一章曲线论（12学时）【教学要求】1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积；2. 理解向量分析的基本内容；3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。
4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。
5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。
6. 掌握曲线论的基本定理。
7. 了解曲线在一点邻近的结构。
【教学内容】●讲授内容1. 向量分析的基本内容；2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数；※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理；5．曲线在一点邻近的结构。
第二章曲面的第一基本形式 (10学时)【教学要求】1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线；2. 理解曲面上的曲线族和曲线网；3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；4．掌握曲面间的保长变换和保角变换；5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。
《整体微分何》课程简介
《整体微分几何》课程简介06191440 整体微分几何 3Global Differential Geometry 3-0预修要求：微分几何（局部理论）面向对象: 三、四年级本科生内容简介：《整体微分几何》主要介绍曲线与曲面的大范围整体几何性质，包括某些拓扑性质。
内容分四章：第一章介绍活动标架法，它是研究整体微分几何和几何分析的有力工具。
第二章介绍3维欧氏空间中闭曲线的整体微分几何性质。
第三章介绍3维欧氏空间中曲面的整体微分几何性质。
第四章介绍曲面的内蕴几何。
通过本课程学习，使学生掌握整体微分几何的基本概念和重要思想方法，了解数学各方向之间相互交织、相互渗透的现代数学概貌。
推荐教材或参考书：教材：《整体微分几何初步》, 沈一兵编著, 浙江大学（原杭州大学）出版社, 1998.主要参考书：（1）《微分几何》, 苏步青、胡和生等编著, 高等教育出版社, 1984.（2）《黎曼几何初步》, 白正国、沈一兵等编著, 高等教育出版社, 1992.《整体微分几何》教学大纲06191440 整体微分几何 3Global Differential Geometry 3-0预修要求：微分几何（局部理论）面向对象: 三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：随着现代数学的发展，整体微分几何已成为核心数学的一个重要组成部分。
为了使数学专业的大学生具备较高的数学素质，有必要让他们了解这方面的基本内容和思想方法。
通过对《整体微分几何》的学习，使学生初步掌握整体微分几何的基本概念和重要思想方法，学会简单的外微分计算和活动标架法，了解有关整体曲线和整体曲面的著名定理和重要公式，以及它们的证明主要思路。
要求学生通过本课程学习，了解数学各方向之间相互交织、相互渗透的现代数学概貌，为今后进一步深造打下扎实基础。
二、主要内容及学时分配（打▲号为重点讲授部分）每周3学时，共16周。
主要内容：(一) 外微分与活动标架法1. 幺正标架2学时2. 外微分形式▲3学时3. 可积系统2学时4.曲面论的活动标架法2学时(二) 曲线的整体微分几何1.平面曲线的某些整体性质▲ 4学时2.空间曲线的某些整体性质▲ 6学时（三）E3中曲面的整体微分几何1．曲面的Gauss-Bonnet公式 3学时2．球面的刚性定理▲ 3学时3．凸曲面与积分公式▲ 3学时4．全平均曲率与Willmore猜想▲ 3学时5．常负曲率曲面与Backlund变换▲ 3学时6．极小曲面的Bernstein定理▲ 3学时7．常平均曲率曲面 3学时（四）曲面的内蕴几何1．向量场与指标定理▲ 3学时2．完备曲面与Hopf-Rinow定理 3学时3．复习2学时三、教学方式：课堂讲授，课后练习, 教学和练习相结合.四、相关教学环节安排：1.采用课堂讲授和课外作业，强调启发式教学。
课程名称 微分几何 课程代码02014(理论)
课程名称：微分几何课程代码：02014（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点微分几何是高等学校数学专业的一门专业方向课，它以微积分的理论为研究工具，主要研究三维欧氏空间中曲线和曲面的内在性质，是几何学范畴的一个分支。
二、课程目标与基本要求通过本课程的学习，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力，使学生掌握空间曲线、曲面的一般理论，以及一般的研究空间曲线、曲面的结构和性质的基本方法，并运用这些方法研究某些特殊曲线、曲面的形状和性质。
需要达到的基本要求：1、正确理解和熟练掌握向量函数的概念，向量函数的各种运算，以及运用向量函数表示空间中的曲线和曲面。
2、以微积分为工具，能对空间中曲线的形状、性质和结构进行研究，掌握一般曲线的基本理论，并运用这些理论讨论某些特殊曲线的性质和结构。
3、在曲线理论的基础上，进一步研究空间曲面的局部性质和结构。
会利用曲面的第一和第二基本形式研究空间曲面的曲率，并根据曲率对曲面进行分类研究。
4、掌握曲面的基础定理，并对曲面上测地线进行研究，了解曲面的某些整体性质。
三、与本专业其他课程的关系微分几何是数学专业学生的研究方向课，是学习现代微分几何和拓扑学以及理论物理的基础课程。
微分几何也可以看作是曲线、曲面上的微积分，需要微积分、线性代数和解析几何的相关知识，因此学习此课程之前，需要先修数学分析、高等代数、解析几何和常微分方程等课程。
学习微分几何之后，可以进一步学习微分流形、微分拓扑、黎曼几何、数学物理等课程。
第二部分考核内容与考核目标第一章曲线论一、学习目的与要求正确理解向量函数的概念，熟练运用向量函数的基本性质和运算研究空间曲线的结构和性质，并通过探索曲线在一点邻近的结构，从而研究曲线的一般理论。
二、考核知识点与考核目标（一）曲线的切线、法平面、密切平面、曲率、挠率等（重点）识记：光滑曲线、曲线的切向量、曲线的弧长、曲率与挠率的概念。
理解：曲线的自然参数、密切平面、主法向量、副法向量、曲率与挠率的计算、曲线在一点处的结构等。
《微分几何》教学大纲09
《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。
通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。
本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。
（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。
学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。
本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。
要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。
理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。
（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。
（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。
本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。
（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。
教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。
难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。
第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。
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课程名称：微分几何课程代码：02014（理论）
第一部分课程性质与目标
一、课程性质与特点
微分几何是高等学校数学专业的一门专业方向课，它以微积分的理论为研究工具，主要研究三维欧氏空间中曲线和曲面的内在性质，是几何学范畴的一个分支。
二、课程目标与基本要求
通过本课程的学习，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力，使学生掌握空间曲线、曲
面的一般理论，以及一般的研究空间曲线、曲面的结构和性质的基本方法，并运用这些方法
研究某些特殊曲线、曲面的形状和性质。
需要达到的基本要求：
1、正确理解和熟练掌握向量函数的概念，向量函数的各种运算，以及运用向量函数表示
空间中的曲线和曲面。
2、以微积分为工具，能对空间中曲线的形状、性质和结构进行研究，掌握一般曲线的基
本理论，并运用这些理论讨论某些特殊曲线的性质和结构。
3、在曲线理论的基础上，进一步研究空间曲面的局部性质和结构。
会利用曲面的第一和
第二基本形式研究空间曲面的曲率，并根据曲率对曲面进行分类研究。
4、掌握曲面的基础定理，并对曲面上测地线进行研究，了解曲面的某些整体性质。
三、与本专业其他课程的关系
微分几何是数学专业学生的研究方向课，是学习现代微分几何和拓扑学以及理论物理的基
础课程。
微分几何也可以看作是曲线、曲面上的微积分，需要微积分、线性代数和解析几何的
相关知识，因此学习此课程之前，需要先修数学分析、高等代数、解析几何和常微分方程等课
程。
学习微分几何之后，可以进一步学习微分流形、微分拓扑、黎曼几何、数学物理等课程。
第二部分考核内容与考核目标
第一章曲线论
一、学习目的与要求
正确理解向量函数的概念，熟练运用向量函数的基本性质和运算研究空间曲线的结构和性质，并通过探索曲线在一点邻近的结构，从而研究曲线的一般理论。
二、考核知识点与考核目标
（一）曲线的切线、法平面、密切平面、曲率、挠率等（重点）
识记：光滑曲线、曲线的切向量、曲线的弧长、曲率与挠率的概念。
理解：曲线的自然参数、密切平面、主法向量、副法向量、曲率与挠率的计算、曲线在
一点处的结构等。
应用：会计算给定曲线的切线、弧长、法平面、曲率和挠率等。
（二）曲线的概念、基本三棱形和一般螺线的性质（次重点）
识记：曲线的概念、曲线基本三棱形。
理解：伏雷内公式、曲线论的基本定理。
应用：运用曲线的基本理论研究一般螺线的性质。
（三）向量函数（一般）
识记：向量函数的定义。
理解：向量函数的极限、微商、积分等。
应用：会计算给定一个向量函数的极限、微商和积分等。
第二章曲面论
一、学习目的与要求
熟练掌握曲面的基本性质，正确理解曲面的第一、第二基本形式和测地线，会计算曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率，掌握直纹面和可展曲面的性质，并了解曲面的一般理论和某些
整体性质。
二、考核知识点与考核目标
（一）曲面的第一基本形式、第二基本形式、测地线（重点）
识记：曲面第一和第二基本形式的概念，曲面上曲线的弧长，曲面的正交曲线族和正交轨线，等距变换、曲面上测地线的概念等。
理解：曲面的渐近方向和共轭方向，曲率线，高斯曲率和平均曲率，曲面上的测地线的
性质。
应用：会计算给定曲面的主曲率、平均曲率，会判断测地线，能运用曲面的第一和第二
基本形式计算曲面的各种不变量。
（二）曲面的概念及表示，曲面的切平面和法线，直纹面和可展曲面（次重点）
识记：曲面的表示，切平面和法线的定义，曲面上的曲线族和曲线网。
理解：会计算曲面的切平面和法线，会计算直纹面和可展曲面的不变量。
应用：运用研究曲面的一般理论和方法研究直纹面和可展曲面的性质和结构，并给出其
分类。
（三）曲面论的基本定理，曲面的整体理论和常曲率曲面（一般）
识记：曲面的基本方程、基本公式和曲面论的基本定理。
理解：曲面上向量的平行移动，高斯—波涅公式，常曲率曲面的相关性质。
应用：研究一些特殊常高斯曲率曲面的简单性质。
第三部分有关说明与实施要求
一、考核的能力层次表述
本大纲在考核目标中，按照“识记”、“理解”、“应用”三个能力层次规定其应达到的能力层次要求。
各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义是：
识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。
理解：在识记的基础上，能全面把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。
应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和
解决有关的理论问题和实际问题，是最高层次的要求。
二、教材
1、指定教材
微分几何，高等教育出版社，梅向明、黄敬之，第三版，2003年。
2、参考教材
简明微分几何，清华大学出版社，马力，2004年。
三、自学方法指导
1、在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点
的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。
2、阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必
须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。
3、在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方
法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。
4、完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决
问题及提高能力的重要环节，在做练习之前，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识点进行层次（步骤）分明的论
述或推导，明确各层次（步骤）间的逻辑关系。
四、对社会助学的要求
1、应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点。
2、应掌握各知识点要求达到的能力层次，并深刻理解对各知识点的考核目标。
3、辅导时，应以考试大纲为依据，指定的教材为基础，不要随意增删内容，以免与大纲脱节。
4、辅导时，应对学习方法进行指导，宜提倡"认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动争取帮助，依靠自己学通"的方法。
5、辅导时，要注意突出重点，对考生提出的问题，不要有问即答，要积极启发引导。
6、注意对应考者能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导考生逐步学会独立学习，在自
学过程中善于提出问题，分析问题，做出判断，解决问题。
7、要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事，在各个能力层次中会存在
着不同难度的试题。
8、助学学时：本课程共4学分，建议总课时72学时，其中助学课时分配如下：
章次内容学时
1 曲线论22
2 曲面论50
合计72
五、关于命题考试的若干规定
(包括能力层次比例、难易度比例、内容程度比例、题型、考试方法和考试时间等)
1、本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。
试题覆盖到章，适当突出重点。
2、试卷中对不同能力层次的试题比例大致是："识记"为 20 %、"理解"为 40 ％、"应用"为40 ％。
3、试题难易程度应合理：易、较易、较难、难比例为2：3：3：2。
4、每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占65%，次重点占25%，一般占10%。
5、试题类型一般分为：选择题、填空题、计算题、证明题。
6、考试采用闭卷笔试，考试时间150分钟，采用百分制评分，60分合格。
六、题型示例（样题）
1、选择题（每小题有四个备选答案，从中选出一个正确答案，将其代号（A，B，C，D）填入括号中）
例：平面曲线的挠率（）
（A）等于0；（B）大于0；（C）小于0；（D）一般无法求出。
2、填空题
例：曲面z=xy上坐标曲线x=a（常数），y=b（常数）的交角为。
3、计算题（要求写出主要计算过程）
例：计算悬链面r={cosh u cos v, cosh u sin v, u}的第一和第二基本形式。
4、证明题（要求写出主要的证明步骤）
例：证明双曲抛物面r={a(u+v), b(u-v), 2uv}(其中u,v为等于0的常数)的坐标曲线就是它的直母线。