恒定磁场-2-11

2012/10/6 2-2 安培环路定理 5
说明： v v (1) 定理中的 B 是闭合回路上各点的 B ，它是 L内外所有电流共同产生的，与场点位置有关。 v v (2) ∫LB ⋅ dl = 0只能说明环路内无电流或电流代数 v 和为零，而不能说明环路上各点的 B 均为零。 (3) 电流的正负规定： 若环路的绕行方向与电流的流向之间满足右手 螺旋关系时 ；反之，
L
改变电流方向或 环路绕行方向
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v v ∫ B ⋅ dl = −μ0 I
L
2-2 安培环路定理
与环路中所包围的电流有关
与环路中所包围的电流有关
2
v v v ∫LB ⋅ dl = ∫LB cosθdl v′ B I r μ0 I (Q dl cosθ ≈ rdϕ) vdϕ =∫ cos θdl r v L L 2πr dl μ0 I μ0I θ =∫ rdϕ = 2π L 2πr 2π v v ∫ B ⋅ dl = μ 0 I 与环路中所包围的电流有关
a
d
v B
⎧ μ 0 nI B=⎨ ⎩ 0
b
cI
内 外
⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗⊗ ⊗ ⊗⊗⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗
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2-2 安培环路定理
16
例3. 环形载流螺线管 已知：I 、N、R1、R2 N——导线总匝数 分析对称性 磁感应线分布如图 作积分回路如图 方向 右手螺旋
. . . .. .. .. . . +++ ++ . . ++ ++ . . + + . + . + r+ . + . + R1 . + + . ++ . + . . R2 + + + . .. +++++ . .. . . . . ...
L
. . . .. .. .. . . +++ ++ . . ++ ++ . . + + . + . + r+ . + . + R1 . + + . ++ . + . . R2 + + + . .. +++++ . .. . . . . ...
B O r
18
B ≈ μ 0 nI
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R1
dS 2
P
2-2 安培环路定理
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选过场点p的一条半径r为的磁感应线作积分环路L，
v v ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = 2πrB
L L
当r
∑
i
> R 时，有
Ii = I (r > R )
μ0
v B
I R
由安培环路定理可得
v v ∫ B ⋅ dl = μ 0 I
L
r
μ0I ⇒ B = 2π r
一、 安培环路定理
• 以无限长载流直导线为例 μ0 I B= 2πr
以闭合的磁感应线为积分回路
I
L
r
v B
v v μ0 I μ0 I μ0 I 0 ∫LB ⋅ dl = ∫LB cos 0 dl = ∫L 2πr dl = 2πr ∫Ldl = 2πr ⋅ 2πr
v v ∫ B ⋅ dl = μ0 I
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理 计算磁感应强度 例1. 无限长载流圆柱导体 已知：I、R 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称
2012/10/6 2-2 安培环路定理 8
I R
v B 的方向判断如下：
v dB
r
dS1
O
v dB2
v d B1
L
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L i
静电场是保守力场，或 有势场；它是无旋场
磁场是非保守力场，或 无势场；它是有旋场
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑q
i
v v ∫∫ B ⋅ dS = 0
S
电场线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
2012/10/6 2-2 安培环路定理
磁感应线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
7
v v 二、安培环路定理 ∫LB⋅ dl = μ0 ∑Ii 的应用
d c
a
+ ∫ Bdl cos 0 + ∫ d Bdl cos
π
2
= B ⋅ ab + B ⋅ cd = 2 B ⋅ ab r 利用安培环路定理求 B v v
b
a
.........
c d
20
∫ B ⋅ dl = μ n ⋅ ab⋅ I
B = μ0 nI 2
L 0
板上下两侧为均匀磁场
2-2 安培环路定理
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练习：如图，螺绕环截面为矩形 I = 1.7 A 导线总匝数 N = 1000 匝 外半径与内半径之比 R 2 高 h = 5 . 0 cm 1. 求： 磁感应强度的分布 2. 通过截面的磁通量
R 1 = 1 .6
I
R1 h
2012/10/6 2-2 安培环路定理
R2
21
解：1.
v B
i
I′
μ0
则由安培环路定理可得
∫
L
v v B ⋅ d l = 2 π rB = μ 0 ∑ I
2
i
r
= μ0
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r I ⇒ B = μ0 Ir (r < R) 2 R 2
2πR
2-2 安培环路定理
11
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
⎧ μ 0 Ir ⎪ 2π R 2 ⎪ B = ⎨ ⎪ μ0I ⎪ 2π r ⎩ B
μ0I ⎡
= 0
I
ϕ
L2
L1
L
若环路不包围电流，则磁场环流为零
2-2 安培环路定理
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4
推广到一般情况 I1 ~ I k —— 在环路 L 中
I k +1 ~ I n —— 在环路 L 外
则磁场环流为
In
I2 I1
Ii
P
Ik L
v v ∫ B ⋅ dl = ∫
L
L
v v ∑ Bi ⋅ dl
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r < R r > R
μ0I 2π R
B
O
2-2 安培环路定理
R
13
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
v 求 B 的分布。
R1
(1 ) r > R 2 , B = 0
μ0I ( 2 ) R1 < r < R 2 , B = 2 πr
R2
I
r I
( 3 ) r < R1 , B = 0
23
L
任意平面闭合回路为积分回路
若回路绕行方向相反或电流的流向相反
v v ∫LB ⋅ dl = − μ 0 I 与环路中所包围的电流有关
2-2 安培环路定理 3
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若环路中不包围电流
v v v v v v ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
L L1 L2
I
L
⎤ = ∫L1 dϕ−∫L2 dϕ⎥ ⎣ ⎦ 2π ⎢ 对一对线元来说
§2-2 安培环路定理
v v 1 静电场： E ⋅ dS = ∫∫
S
v v ∫ E ⋅ dl = 0
L
ε0
∑q
i
i
——静电场是有源场 ——静电场是无旋场 ——磁场是无源场 ——磁场是有旋场
1
v v 磁场： ∫∫ B ⋅ dS = 0
S
v v ∫ B ⋅ dl = ?
L
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2-2 安培环路定理
i =1
环路上各点的 磁场为所有电 流的贡献
I k +1
= ∑∫
L
v v ∫ B⋅dl = μ0 ∑Ii（L内）
L
k k v v Bi ⋅ dl = μ0 ∑ I i + 0 = μ0 ∑ I i ( L内） i =1
—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中，磁感应强度沿一闭合路径 L 的 线积分等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
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2 π rB = μ 0 I
(r > R )
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2-2 安培环路定理
选过场点p的一条半径r为的磁感应线作积分环路L， 则磁感应强度的环流为
B
I R
当
I r 2 ∑ Ii = πR2 πr = R2 I i
2
r<R
v v ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = 2πrB
L L
时，有
(r < R)
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λ E = 2 πε 0 r
E = 0
电流均匀分布 μ0I B = 2π r
B = 0
λ E = 2 πε 0 r λr E = 2 πε 0 R 2 λ E = 2 πε 0 r
2-2 安培环路定理
μ0I B = 2π r μ 0 Ir B = 2π R 2 μ0I B = 2π r
R2
2-2 安培环路定理
例4. 无限大载流导体薄板 已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n 分析对称性 磁感应线如图 作积分回路如图 ab、cd与导体板等距
v dB
I
b
a
.........
c d
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2-2 安培环路定理
计算环流
v v b c π ∫LB⋅ dl = ∫a Bdlcos0 + ∫b Bdlcos 2
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2-2 安培环路定理
I
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v v 计算环流 ∫LB ⋅ dl = ∫LBdl = 2πrB v 利用安培环路定理求 B
⎧ μ 0 NI ⎪ 内 B = ⎨ 2π r ⎪ 0 外 ⎩ R1、 R2 >> R1 − R2 N n = 2π R 1
v v ∫ B ⋅ dl = μ0 NI
v v ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = 2πrB = μ0 NI
L L
B = μ0 NI 2πr
v v R2 μ0 NI hdr 2. ∫∫ B ⋅ dS = ∫ S R1 2πr μ0 NIh R2 = ln R1 2π
I
R2 R1 h
dr
r
22
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2-2 安培环路定理
电场、磁场中典型结论的比较 电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面 长 直 圆 柱 体 内 外 内 外
μ0I 2π R
r ≤ R r ≥ R
v B
I
R
v B
O
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r
2-2 安培环路定理 12
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
v v ∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = 2πrB
L
⎧ 0 ⎪ = ⎨ ⎪μ I ⎩ 0
L
r < R r > R
I R
⎧ ⎪ 0 ⎪ B = ⎨ ⎪ μ0I ⎪ 2π r ⎩
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2-2 安培环路定理
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例2. 长直载流螺线管。 已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁感应线平行于管轴 管外磁场为零
...............
v B
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
I
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选通过管内中央部分任一点的一个矩形回路abcda作 积分环路L，则磁感应强度的环流为
Ii > 0
Ii < 0
(4) 磁场是有旋场 —— 电流是磁场涡旋的轴心 (5) 安培环路定理只适用于闭合的载流导线，对于任 意设想的一段载流导线不成立
2012/10/6 2-2 安培环路定理 6
比较：
v v ∫ E ⋅ dlFra Baidu bibliotek= 0
L
静电场
恒定磁场 v v ∫ B ⋅ dl = μ 0 ∑ I i
v v v bv v c v ∫LB⋅ddlv = ∫avB⋅ dl a + ∫b B ⋅ dl v v + B ⋅ dl + ∫ B ⋅ d l = B ⋅ ab
回路内包围的电流为 ∑ I i = nabI
i
∫
c
d
由安培环路定理可得
v v ∫ B ⋅ dl = μ0 nabI
L
... . . . ... . . . ...