水力学第三章(1)

拉格朗日参数
在拉格朗日方法中，某一起始时刻t=t 在拉格朗日方法中，某一起始时刻t=t0时，每 个流体质点都有一个初始坐标（a,b,c）， ），不同 个流体质点都有一个初始坐标（a,b,c），不同 的初始坐标（a,b,c）代表不同的质点，所以a 的初始坐标（a,b,c）代表不同的质点，所以a、 称为拉格朗日参数 拉格朗日参数。 b、c称为拉格朗日参数。 任意时刻，任意质点的空间位置坐标x 任意时刻，任意质点的空间位置坐标x、y、z可 由拉格朗日参数a 和时间t给定： 由拉格朗日参数a、b、c和时间t给定：
• 元流：当封闭曲线 所包围的面积无限小时， 元流：当封闭曲线L所包围的面积无限小时 所包围的面积无限小时，
充满微小流管内的液流称为元流， 充满微小流管内的液流称为元流，元流的过水 面面积记为dA。 面面积记为 。 • 元流的特点：元流的过水断面面积很小，过 元流的特点：元流的过水断面面积很小， 水断面上的流速、 水断面上的流速、动水压强等运动要素是均匀 分布的。 分布的。 • 总流：当封闭曲线 所包围的面积具有一定尺 总流：当封闭曲线L所包围的面积具有一定尺 度时，充满流管内的液流称为总流。 度时，充满流管内的液流称为总流。 • 总流的特点：总流可以看作为无数元流的总 总流的特点： 其过水断面面积记为A。 和，其过水断面面积记为 。
= h2 +
γ1 γ γ h1 − 1 h1 − 2 h2 = 1 − γ 2 h2 + γ 1 − γ 1 h1 > 0 γ γ γ2 γ3 γ3 γ3 3 2
第三章 液体一元运动基本理论
§3-1 液体运动的若干基本概念 §3-2 描述液体运动的两种方法
令a、b、c为常数，t为变数，则可以得到某个指 为常数， 为变数， 定的液体质点在不同时刻的位置，即质点的迹线； 定的液体质点在不同时刻的位置，即质点的迹线； 为常数， 为变数， 令t为常数，a、b、c为变数，就可以得到某一固 定时刻不同质点的空间分布情况。 定时刻不同质点的空间分布情况。
渐变流特点 由于流线近乎是平行直线，则流动近似于均匀流， 由于流线近乎是平行直线，则流动近似于均匀流， 可以近似地认为： 可以近似地认为：渐变流过水断面上的动水压强 z + p /γ =。 也近似按静水压强规律分布， 常数。 也近似按静水压强规律分布， 常数 注意：此结论只适合于有固体边界约束的水流。 注意：此结论只适合于有固体边界约束的水流。 管路出口断面上的动水压强就不符合静水压强分 布规律， 布规律，即，这时断面上各点处的动水压强均等 于大气压强。 于大气压强。
各处压强均为 大气压强
c c
有固体边界约束的流动 （b)无固体边界约束的流动
z+p/γ≠c
急变流特点 • 急变流多发生在流动的边界急剧变化的地点。 急变流多发生在流动的边界急剧变化的地点。 • 急变流中过水断面上的动水压强不按静水压强 规律分布。 规律分布。
除了动水压力和重力之外，还需要考虑离心惯性力。 除了动水压力和重力之外，还需要考虑离心惯性力。当 离心力的方向与重力的方向相反时， 离心力的方向与重力的方向相反时，断面上任意一点的 动水压强小于静水压强。 动水压强小于静水压强。当离心力的方向与重力的方向 相同时，断面上任意一点的动水压强将大于静水压强。 相同时，断面上任意一点的动水压强将大于静水压强。
流量和断面平均流速
• 流量：单位时间内通过某一过水断面的液体体积为 流量： 流量，记为Q，单位为m 或 。 流量，记为 ，单位为 3/s或L/s。 元流的流量为 总流的流量为
dQ = udA
Q = ∫ dQ = ∫ A udA
• 断面平均流速：保证过水断面流量不变的前提下， 断面平均流速：保证过水断面流量不变的前提下， 流速均匀分布时断面流速的大小，为假想的流速。 流速均匀分布时断面流速的大小，为假想的流速。
流线的绘制
流线的特点
• 恒定流流线的形状及位置不随时间而变化。 恒定流流线的形状及位置不随时间而变化。 • 恒定流流线与迹线重合。 恒定流流线与迹线重合。
• 一般情况下流线本身不能折曲，流线彼此不 一般情况下流线本身不能折曲， 能相交。 能相交。
由流线的形状和分布可以得出如下结论
• 由流线上各点处切线的方向可以确定流速的 方向； 方向； • 由流线的疏密可以了解流速的相对大小，密 由流线的疏密可以了解流速的相对大小， 处流速大，疏处流速小； 处流速大，疏处流速小； • 由流线弯曲的程度可以反映出边界对流动影 响的大小，以及能量损失的类型和相对大小。 响的大小，以及能量损失的类型和相对大小。
h3 pc pD B s3 zc + − z D + D γ2 γ3 1 1 = (hD + h2 − hc ) + (γ 1h1 + γ 2 hc ) − (γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3hD )
γ2
γ3
γ1 γ1 γ2 = hD + h2 − hc + h1 + hc − h1 − h2 − hD γ2 γ3 γ3
α dz
0
P G z+dz d n
0
均匀流中，垂直于流线方向取断面面积为dA dA、 均匀流中，垂直于流线方向取断面面积为dA、 高为dn的小柱体研究其平衡。 高为dn的小柱体研究其平衡。 dn的小柱体研究其平衡
n dA +dp p dn α dz
z
0
P G z+dz d n
0
在与流线垂直的n 在与流线垂直的n-n方向上只有上下两个表面上 的动水压力(p+dp)dA pdA,以及重力的分量 (p+dp)dA、 的动水压力(p+dp)dA、pdA,以及重力的分量 dGcosα。 dGcosα。柱体侧表面上的动水压力及摩擦力在 方向上没有分量。 n-n方向上没有分量。
静 压 分 水 强 布
均 流 匀
变 渐 流
I
急 流 变
n n
动 压 水 强 分 布
动 压 分 水 强 布
II
n
I
n
II
静 压 分 水 强 布
3.2 描述液体运动的两种方法
在研究液体运动时，常采用两种方法： 在研究液体运动时，常采用两种方法：拉格朗 Lagrange）法和欧拉（Euler） 日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。 拉格朗日法 以个别液体质点作为研究对象， 个别液体质点作为研究对象， 作为研究对象 描述出每个质点的运动状况， 描述出每个质点的运动状况，综合所有质点的 运动就可获得整个液体的运动规律。 运动就可获得整个液体的运动规律。这种方法 又叫做质点系法。 又叫做质点系法。
现实的水流运动均是三元流动， 现实的水流运动均是三元流动，一元流和二元流 只是不影响工程应用的前提下的简化模型。 只是不影响工程应用的前提下的简化模型。
均匀流与非均匀流
均匀流 流线是相互平行直线的流动称为均匀流。 流线是相互平行直线的流动称为均匀流。
特点 • 过水断面为平面，其形状和尺寸沿程不变； 过水断面为平面，其形状和尺寸沿程不变； • 各过水断面上的流速分布相同，各断面上的平 各过水断面上的流速分布相同， 均流速相等； 均流速相等；
• 过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分 布规律相同， 布规律相同，即在同一过水断面上z + p / γ = 常 但是，不同过水断面上这个常数不相同， 数，但是，不同过水断面上这个常数不相同，它 与流动的边界形状变化和水头损失等有关。 与流动的边界形状变化和水头损失等有关。
n dA dn
z
p+dp
平面 曲面 平面
密
疏
过水断面、流管、元流、 过水断面、流管、元流、总流
• 过水断面：与流线正交的液流横断面称为过水断面，过 过水断面：与流线正交的液流横断面称为过水断面， 水断面的面积大小称为过水断面面积。 水断面的面积大小称为过水断面面积。 • 流管：在流场中取一非流线的任 流管： 意闭曲线L， 意闭曲线 ，然后通过此封闭曲线 上的每一点作流线， 上的每一点作流线，由这些流线所 构成的管状曲面称为流管。 构成的管状曲面称为流管。 • 流管的特点：流管是由一族流线 流管的特点： 所围成的，流管内外的液体不能穿 所围成的， 越它流出或流入， 越它流出或流入，只能由流管的一 端流入而从另外一端流出， 端流入而从另外一端流出，流管就 可以看作为管壁。 可以看作为管壁。
x = x(a, b, c; t ) y = y (a, b, c; t ) z = z (a, b, c; t )
任意时刻，任意质点的空间位置坐标x 任意时刻，任意质点的空间位置坐标x、y、z可 由拉格朗日参数a 和时间t给定： 由拉格朗日参数a、b、c和时间t给定：
x = x(a, b, c; t ) y = y (a, b, c; t ) z = z (a, b, c; t )
习题2 2-2 习题 2-2 图所示容器内盛有三种不相混合的液 各液体的比重分别为s 体，各液体的比重分别为s1、s2、s3（s1<s2<s3）， 深度各为h 深度各为h1、h2、h3。（1）画铅直面上的压强分布 图 。 （ 2） 定性划出A、 B、 C 、 D各测压管中液面的 定性划出A 位置。 位置。
A s1 s2 B s3 h1 h2 C h3 D
题2-2图
A s1 s2 s3 B
h1 h2 C h3 D
P1 P2 P3
zc +
zD +
γ2
pc
= zc +
1
1
γ2
(γ 1h1 + γ 2 hc )
γ3
pD
A s1 s2
h1 h2 C
= zD +
γ3
(γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3hD )
Q = ∫ A udA = vA
Q v= A
一元流、二元流、 一元流、二元流、三元流
• 一元流 在水流中若运动要素只与一个位置坐标有关的 一元流: 流动称为一元流， 流动称为一元流，如管流和渠道流动中的断面平均流速 v就只与流程 有关，即v=f(s)。 就只与流程s有关 就只与流程 有关， 。 • 二元流 凡运动要素与两个位置坐标有关的流动称为二 二元流: 元流，如溢流坝上的点流速u，u只是位置坐标 只是位置坐标s和z的函 元流，如溢流坝上的点流速u，u只是位置坐标s和z的函 数，即u=f(s,z)。 。 • 三元流 凡运动要素与三个位置坐标都有关的流动称为 三元流: 三元流动。 三元流动。
流场中任意一点处的任何运动要素 的大小及方向随时间变化的流动称为非恒定流。 的大小及方向随时间变化的流动称为非恒定流。
∂u u = u ( x, y , z, t ), ≠0 ∂t
∂p p = p( x, y , z, t ), ≠0 ∂t
非恒定流
迹线和流线
迹线 某液体质点在不同时刻所占据的空间点 连线，也即某液体质点运动的轨迹线称为迹线。 连线，也即某液体质点运动的轨迹线称为迹线。 流线 在指定时刻，通过某一固定空间点在流 在指定时刻， 场中画出一条瞬时曲线， 场中画出一条瞬时曲线，在此曲线上各流体 质点的流速向量都在该点与曲线相切， 质点的流速向量都在该点与曲线相切，此曲 线定义为流线。 线定义为流线。
n dA dn
zBaidu Nhomakorabea
p+dp α dz
0
P G z+dz d n
0
∑F
n
= pdA − ( p + dp)dA − dG cosα = 0
− dpdA − γdAdn cos α = 0
dn cosα = dz p z+ =C
γ
• 非均匀流：流线不是相互平行直线的流动称为 非均匀流： 非均匀流。 非均匀流。 根据流线弯曲的程度和彼此间的夹角大小又将非 均匀流分为渐变流和急变流。 均匀流分为渐变流和急变流。 • 渐变流：如流线几乎是平行的直线（如果有弯 渐变流：如流线几乎是平行的直线（ 曲其曲率半径很大，如果有夹角其夹角很小）， 曲其曲率半径很大，如果有夹角其夹角很小）， 这样的流动称为渐变流。 这样的流动称为渐变流。 • 急变流：流线弯曲的曲率半径很小，或者流线 急变流：流线弯曲的曲率半径很小， 间的夹角很大的流动均称为急变流。 间的夹角很大的流动均称为急变流。
3.1 液体运动的若干基本概念
恒定流与非恒定流 恒定流 如果在流场中任何空间点上所有的运动 要素都不随时间而改变，这种水流称为恒定流。 要素都不随时间而改变，这种水流称为恒定流。
u = u ( x, y, z ), ∂u ∂u =0 ∂t p = p ( x, y , z ), ∂p ∂p =0 ∂t