08.幻方(三)双偶数阶幻方的编排方法
偶数阶幻方的填充方法与步骤
偶数阶幻方的填充方法与步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊偶数阶幻方的填充方法和步骤。
这玩意儿可有意思啦，就像搭积木一样，一块一块地把数字摆好，最后就会出现一个神奇的图案！咱先说说这偶数阶幻方是啥。
简单来说，就是一个正方形的格子里，填上一些数字，让每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
这是不是挺神奇的？就好像这些数字都商量好了似的。
那怎么填充呢？别着急，听我慢慢道来。
咱就拿四阶幻方来举例子吧。
首先，把 1 放在第一行的中间位置，这就像给这个幻方找到了一个起点。
然后呢，就开始一格一格地填数字啦。
下一个数字要放在右上角的格子里，如果右上角的格子已经有数字了，那就放到下面的格子里。
就这么一格一格地填下去，就像在走迷宫一样，有趣得很呢！比如说，填到 2 的时候，右上角的格子已经有数字了，那就把 2 放在 1 的下面。
然后 3 又该放到右上角了，4 又会根据规则放到 3 的下面。
这样一直填下去，直到所有的格子都填满了。
你看，这过程是不是挺有意思的？哎呀，你想想看，就这么一个个数字填进去，最后就能形成一个那么神奇的图案，这不是很奇妙吗？就好像是数字们在跳舞一样，最后跳出了一支完美的舞蹈。
再来说说六阶幻方。
其实方法也是差不多的，只是格子更多了，就像一个更大的舞台，让数字们去尽情表演。
你说这偶数阶幻方是不是很像一个魔法盒子？打开它，就能看到各种神奇的数字组合。
在填充的过程中，可别粗心大意哦，一个不小心填错了，那可就前功尽弃啦！就像盖房子，一块砖没放好，可能整座房子都会歪掉。
而且啊，你还可以自己创造一些新的方法来填充幻方，说不定你能发现更有趣的规律呢！这就像是在探索一个未知的世界，充满了惊喜和挑战。
总之呢，偶数阶幻方的填充方法和步骤虽然有点复杂，但只要你有耐心，慢慢去尝试，肯定能掌握的。
这就像是学骑自行车，一开始可能会摔倒，但多练习几次，你就能骑得稳稳当当啦！相信自己，你一定可以的！去试试吧，让我们一起在偶数阶幻方的世界里遨游！。
偶数阶幻方构造方法
偶数阶幻方构造方法我折腾了好久偶数阶幻方构造方法，总算找到点门道。
一开始我真的是瞎摸索，就感觉这偶数阶幻方特别神秘。
我先试了最简单的4阶幻方构造，我就按照常规思路，想把1到16这些数字依次摆放。
我先从左上角开始放1，然后按照顺序横着摆。
结果发现最后得到的根本不是幻方，每行每列以及对角线上的数字之和都不一样。
我当时就有点懵，知道自己这个方法肯定不对。
后来我看书才知道，原来对于4阶幻方有一种双偶阶幻方的构造方法。
我就跟着这个方法重新试。
这方法就像搭积木一样，先把1到16分成四组。
然后先确定四个角的数字，把最小的那一组数字里最小的数放在左上角，最大的数放在右下角，第二小的数放在右上角，第二大的数放在左下角。
这就像给房子先打四个桩基一样。
再慢慢地按照一定的规则往里面填数，比如从左到右，从上到下，遇到已经填过数字的格子就按斜线方向跳着填。
这个过程一定要特别仔细，我第一次填的时候就因为粗心大意跳错了格，结果又失败了。
对于6阶这样的双偶阶幻方也可以用类似的方法。
不过分组的时候是分成六组，操作起来就会更复杂一点。
我有一次在构造6阶幻方的时候，前面填角上的数字就弄错了，因为要根据数字的大小顺序和分组情况准确放置，我当时一马虎就搞错了，结果全盘皆输。
对于单偶阶幻方，比如说10阶，构造起来就更加复杂了。
我还没完全掌握特别好的通用方法。
我现在知道一种方法是先把它当成大的双偶阶幻方构造，然后再进行调整。
但这个调整的过程中很容易出错，要根据具体的数字和位置关系来操作。
我觉得要是构造偶数阶幻方的话，最重要的就是得细心，不管是分组还是按规则填数，差一点就全不对了。
而且每个不同规模的偶数阶幻方可能都有自己需要注意的小细节，一定要先搞清楚基本的构造框架。
像4阶幻方可以当做最基本的模型去研究，把它搞透彻了，再去弄6阶、8阶之类的可能就会好一些。
幻方之填法(自我学习总结)
幻方的填写技巧一、N阶幻方的分类：1、奇数阶幻方：当n=2k+1时，称为奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方：（1）双偶数幻方：当n=4k=2×2k时，称为双偶数数阶幻方。
（2）单偶数幻方：当n=4k+2=2×(2k+1）时，称为单偶数阶幻方。
二、幻方的填写方法：1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作：Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。
如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】（2）杨辉“阳动阴静”法南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作：（一）四阶幻方：（1） 对角线上的数字一律不动；（2） 对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3） 完成后的四阶幻方如下：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3）3、（按奇数阶幻方填法按区域填写）（二）十阶幻方：我就在旁边静静地呆着，不言不语，生怕惊扰这静谧的美好，惟愿时光驻留，变成永恒回忆；惟愿几十年后，两鬓斑白的我们仍然携手坐在阳台上，不谈悲喜，只闻花香。
携手的日子总是温暖多过于寒冷，欢笑多过于失意，此时此刻，感恩日子的温润让自己满足。
一个人的独立，两个人的扶持，让光阴有滋有味，富有弹性。
偶阶幻方的解法（文档4篇）
偶阶幻方的解法（文档4篇）以下是网友分享的关于偶阶幻方的解法的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
第1篇偶阶幻方的填法第一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B C D A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u 即在调用子函数的时候分别如下面传递参数: A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n) 所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置。
上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系) 第二种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。
先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t) 如果不在，则填上i。
（4的倍数幻方，4，8，12可以。
6、10是不行的。
这样才有一般填法，4的方法是先画好格，连接对角线，这样有8格也就是一半的格子被斜线划过，然后从头到尾，数格子，没有斜线的格子就填上数的数，那么第一排就是1不填，2填，3填，4不填，第二排就是5填，6不填，7不填，8填三四排一样，然后从尾到头数，填划了斜线的格子，就成4介幻方；8阶就是对角线画斜线外，相邻边的中点相连再画4条线，形状就如4个4阶幻方；12阶就是三等分点，画9个如四阶的。
偶数阶幻方的快速构作口诀课件
若不满足，根据口诀进行调整，直到满足幻方的性质为止。
04
常见问题解答
如何确定初始格子数字？
从中间开始 对于一个偶数阶幻方，首先将数字1放在中间行中间列的位置。
如何确定后续格子数字？
03
2. 构建具有特定性质的幻方（如对称性、 中心对称等）。
04
3. 解决幻方构建中的经典难题和未解决问 题。
THANKS
感谢观看
于15。
将1-16的数字填入4×4的正 方形网格中，使得每行、每 列及两条对角线上的数字之
和都等于34。
将n^2个连续整数填入n×n的 正方形网格中，使得每行、 每列及两条对角线上的数字 之和都等于相同的常数。
将n^2个偶数填入n×n的正方 形网格中，使得每行、每列 及两条对角线上的数字之和
都等于相同的常数。
填充幻方
根据口诀的指示，将数字逐行逐列地填入幻方中。
检查与调整
填完所有数字后，检查是否满足幻方的性质（每行、每列、两条对角 线上的数字之和相等）。若不满足，根据口诀进行调整。
口诀法实例演示
以4阶幻方为例，其口诀为“1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写， 右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。”
02
偶数阶幻方的特性
偶数阶幻方的定义
定义
偶数阶幻方是一个由数字组成的 正方形阵列，其中每行、每列以 及两条主对角线上的数字之和都 相等。
阶数
幻方的阶数表示其行数或列数， 通常为偶数。常见的偶数阶幻方 有4阶、6阶、8阶等。
偶数阶幻方的特性
01
幻方
第四章双偶数阶幻方的制作方法（《数学趣味幻方》电子版 2004年5月13日修改定稿）人们一般将偶数分成两类，其中是偶数的2倍（是4的倍数）的称为双偶数，是奇数的2倍的称为单偶数。
4、8、12、16、……是双偶数，用4m的形式表示；2、6、10，14、18、……是单偶数，用4m + 2的形式表示（其中m是自然数）。
例如m = 3时，4m = 4×3 = 12是一个双偶数；4m + 2 = 4×3 + 2 = 14是一个单偶数。
双偶数阶幻方与单偶数阶幻方的制作方法有较大的区别，在这一章我们只介绍双偶数阶幻方的制作方法。
在双偶数阶幻方中，阶数最低的是已在第二章作了详细研究的四阶幻方。
本章主要是研究八阶幻方的制作方法，给出16阶幻方的一些实例，并对4m（m为自然数）阶幻方的一般制作方法作简单的介绍。
同时对某些特殊的双偶数阶幻方作一些研究。
一、3种制作方法简介（一）平移补空法1 2 3 4 13 12 8 1 13 12 8 15 6 7 8 14 7 11 2 2 7 11 149 10 11 12 15 6 10 3 3 6 10 1513 14 15 16 16 9 5 4 16 9 5 4A 初始方阵—→B 环形填写数—→C 四阶幻方图4—1 用平移补空法制作四阶中心对称幻方如图4—1所示，从右上角起顺时针方向环形依次填写1～8这些数；再从与数8所在的方格成中心对称的方格起，逆时针方向依次填写9～16这些数，得到B图。
然后将B图中处于四阶方阵外面的各个数作平移复位（平移复位，参看第一章第二节），得到的C图就是一个四阶中心对称幻方。
57 56 25 24 48 33 16 158 26 55 47 23 15 34 259 27 46 54 14 22 35 360 28 45 13 53 21 36 461 29 44 12 52 20 37 562 30 43 51 11 19 38 663 31 50 42 18 10 39 764 49 32 17 41 40 9 8图4—2 用平移补空法制作的八阶中心对称幻方用这种方法也可以制作其它双偶数阶幻方。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n 是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。
偶阶幻方构造方法
偶阶幻方构造方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊偶阶幻方的构造方法，这可好玩啦！
你说啥是偶阶幻方？嘿嘿，就好像是一个神奇的数字魔法阵呀！想象一下，一堆数字整整齐齐地排列在那里，横竖斜着加起来都一个得数，多有意思！
那怎么构造偶阶幻方呢？咱先来说说双偶数阶幻方，也就是 4 的倍数阶幻方。
这就像是搭积木一样，得有步骤。
先把数字按顺序排好，就像给它们排排队。
然后呢，把对角线上的数字互换位置，就像是给它们换了个新伙伴。
瞧，一个漂亮的幻方就出来啦！是不是很简单？
再来说说单偶数阶幻方，这就稍微有点难度咯，但别怕呀！咱可以把它分成几个小部分来处理。
就好像把一个大拼图分成小块，一块一块地拼起来。
先把中间的那部分搞定，然后再慢慢往外扩展。
这可得有点耐心哦，别着急，慢慢来，肯定能成功的。
你想想看，通过自己的努力，构造出一个完美的偶阶幻方，那得多有成就感呀！这就像是自己创造了一个小小的数字世界，多酷呀！而且，这可不是随便玩玩的哦，在很多地方都有用呢。
比如在数学研究里，在游戏设计里，都能看到偶阶幻方的身影呢。
构造偶阶幻方就像是一场冒险，每一步都充满了惊喜和挑战。
有时候可能会遇到困难，但别灰心，多试试，肯定能找到解决办法的。
就像走路会遇到小石子，但咱跨过去不就好啦！
总之呀，偶阶幻方的构造方法真的很有趣，也很有用。
大家都来试试吧，说不定你就是那个能创造出最神奇幻方的人呢！不用犹豫，不用害怕，大胆地去尝试吧！让我们一起在数字的海洋里畅游，感受那奇妙的魅力！。
幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“”、“”，又叫“”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方的N种构造方法.
幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。
最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。
三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。
第一种：推理法①1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。
1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。
再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。
）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。
这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
所以得出的3阶幻方如下：第二种：推理法③和第四种方法基本相似吧，但是更简单。
前提条件：已知幻和=15，中间是5。
分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
假设①位置为奇数，则⑨位置也为奇数。
可是，填下一个奇数时，都会推算出产生剩下的数都是奇数的情况。
例如：当②为奇数时，⑧为奇数，③为奇数，⑥为奇数，⑦为奇数，④为奇数。
当③为奇数时，②为奇数，⑦为奇数，⑧为奇数，⑥为奇数，④为奇数。
所以，①位置不能填奇数，只能填偶数。
第三种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。
当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
偶阶幻方的填法
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偶阶幻方是一种特殊的幻方，其填法可以分为单偶数阶幻方和双偶数阶幻方两种情况，下面分别介绍：
- 单偶数阶幻方n=2(2m+1)：
- 分区调换法：将n=2(2m+1)阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D。
注意保持A、B、C、D的相对位置不变，由于2m+1为奇数，所以A、B、C、D均为奇数阶幻方。
然后，在A中填入1到a²，在B中填入(a²+1)到2a²，在C中填入(2a²+1)到3a²，在D中填入(3a²+1)到4a²（a=n/2），即可完成幻方的填写。
- 在A中间一行上从左侧的第二列起取m个方格，在其它行上从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调。
- 在A中从最右一列起在各行中取m-1个方格，把这些方格中的数与D中相应方格中的数字对调。
- 双偶数阶幻方n=4m：
- 轴对称法：将八阶幻方均分成4个同样的小幻方，在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格并加上底色，然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格。
从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1到64从小到大依次填入八阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格。
然后从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩余的数从小到大依次填入八阶幻方，这样填满了有底色的方格。
以上是。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k 个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。
双偶数阶幻方的圆环补空法
双偶数阶幻方的循环补空法范贤荣2016.5.30所谓双偶数（即4m式）幻方，就是阶数N能被4整除的幻方，比如4阶、8阶、12阶、16阶……。
下面介绍的是双偶数阶幻方的循环补空法。
适用于所有4m式偶数阶幻方。
所谓循环，就是将方阵的每两行为一组，按圆圈的方式进行排列，形成循环。
如4阶的1、2、3、4、5、6、7、8，形成红色的圆环。
9、10、11、12、13、14、15、16，形成黄色的圆环所谓补空，就是圆环之间出现了“空白”。
同时，有数字出现在方阵之外。
最后，按照“左到右、右到左”的原则，将框外的数字移回到“空白”处，即为“补空”。
例如4阶幻方，填写步骤是：1）先列出4阶的空方格（4×4），并分成4小区，如图1。
2）顺时针填环。
在空方格的1区右上角处填数字1，再右移一格+下移一格，记作（X，Y）=（1，1）填写“2”。
如图，继续填写“3、4、5、6、7、8”，形成一个顺时针的环，如图2。
3）反时针填环。
在4区，靠近第一环的下部空白处（5的旁边），开始填写第二环的起点“9”，如图9、10、11、12、13、14、15、16。
形成一个反时针的环，如图2。
4）补空。
将落在框左边的14、15移到右边的空白处；将落在框右边的2、3移到左边的空白处。
4阶幻方即成，如图3！图1 图2 图3例如8阶幻方，填写步骤是：1）先列出8阶的空方格（8×8），并分成4小区，如图4。
2）顺时针填环。
在空方格的1区右上角处填数字1，再右移一格+下移一格，记作（X，Y）=（1，1）填写“2”。
如图，继续填写“3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16”，形成一个顺时针的环，如图5。
3）反时针填环。
在空方格的4区的右下第一格空白处，开始填写第二环的起点“17”，如图18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32。
形成一个反时针的环，如图5。
在如同上法，继续完成33-48和49-64的两个环，如图5。
幻方及编程
奇数阶幻方的方法：首先把1放在最上一行的正中间的方格，然后把下一个整数放置在右上方，如果到达最上一行，下一个整数放在最后一行，就好像它在第一行的上面，如果到达最有端，则下一个整数放在最左端，就好像好像他的最右端一样。
当到达方格中填上数时，下一个整数就放在刚填1到9走一下，就可以明白它的构造方法。
偶阶幻方分为单偶阶和双偶阶：1双偶阶幻方（对称交换）n为偶数，且能被4整除（n=4,8,12….）先说明一个定义，互补：如果两个数字和，等于幻方的最大数和最和最小数的和，即n*n+1，称互补。
先看看四阶幻这里，n*n+1=4*4+1=17;把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11换成17-11=6……..换成后就是四阶幻方。
对于n=4m阶的幻方，我们先把把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成m*m各方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，像制作成四阶幻方地方法一样，对角线上的数字换成互补数字，就构成幻方。
Array2单偶阶幻方（不能被四整除的是单偶阶幻方）如6阶、10阶、14阶…将n阶单偶阶幻方表示为4m+2，将其等分成四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1的奇阶幻方。
A CD BA用1到（2m+1）^2填写成2m+1阶幻方，B用（2m+1）^2+1到2*（2m+1）^2填写成2m+1 阶幻方，C用2*（2m+1）^2+1到3*（2m+1）^2填写成2m+1阶幻方，D用3*（2m+1）^2 到4*（2m+1）^2填写成2m+1阶幻方。
【注：^是平方的意思】六阶幻方如下：在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是对角线格即可）也就是说在A中间一行取包裹中心格在内的第m个小格，其它行左侧边缘取m个小格，将其与D中对应得方格交换；B与C任取m-1列进行交换6阶幻方就是4*1+2，那么m就是1在A中间一行取中心格1个小格，将其与D中相应方格进行交换，B与C接近右侧m-1列进行交换（6阶幻方m-1=0故不用交换）。
偶数阶幻方填法
偶数阶幻方填法以4阶为例，说说偶数阶的填法：首先，按顺序写下１６个数：１２３４５６７８９１０１１１２１３１４１５１６接下来固定对角线上数字不动（这里是１、６、１１、１６和４、７、１０、１３），其它数字作左右对换，如２与３换，５与８换等，得到下面的排列：１３２４８６７５１２１０１１９１３１５１４１６继续固定对角线，其他数字作上下对称变换，如８与１２换，２与１５换等，得到如下排列：１１５１４４１２６７９８１０１１５１３３２１６这就是四阶幻方，每行每列四个数字之和均为３４，其他偶数阶幻方填法可类推！奇数阶幻方——口诀1坐边中间，斜着把数填；出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间。
一、奇数阶纪方的构造方法(楼梯法)。
把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：1)每一个数放在前一个数的右上一格；2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。
图示：* 1 * * 1 ** * * * * ** * * * * 2* 1 * * 1 *3 * * 3 * ** * 2 4 * 2* 1 * * 1 63 5 * 3 5 *4 * 2 4 * 2* 1 6 8 1 63 5 7 3 5 74 * 2 4 * 28 1 63 5 74 9 2奇数阶幻方的一种用公式表达的构造方法：设x是要填入的数，(xx,yy)是坐标。
坐标如何确定呢？k= (x-1) div n +(n+3) div 2 + (x-1)yy=k- (k-1) div n *np= (n+1) div 2 + (x-1)- (x-1) div nxx=n+1-p+(p-1) div n * n二、双偶阶(4k)阶幻方的构造方法。
偶数阶幻方
偶数阶幻方二阶幻方不存在。
如果存在着二阶幻方，那么这个幻方的幻和为123452+++=。
这表明这个幻方的四个角上的四个数1,2,3,4，只能是1,4和2,3分别占据两组对角线，但是在这种情况下行、列的和只能是3,7或4,6，而不能是5。
所以偶数阶幻方如果存在，只能是四阶以上。
四阶幻方四阶幻方的幻和为121516344++++= 。
我们试着排一个四阶幻方。
首先将1,2,,15,16 这16个数按自然顺序写入44⨯方阵中，通过简单计算不难发现，两条对角线上的四个数之和都是34，而各行各列上的四个数之和都不是34。
我们来调整，因为两条对角线上的四个数之和都是34，所以我们在调整的时候应当使对角线上的数不离开对角线。
第一行12343424+++-=-， 第四行131415163424+++-=，如果将1,16对调，将4,13对调，这样不仅第一行与第四行的四个数之和都是34，第一列和第四列的四个数之和也都是34，同样将6,11对调，将7,10对调，就调整好了第二、三行（列）。
对于四阶幻方，我们称和为17的两数为互补两数。
因此，我们可以总结四阶幻方的排法：首先将1,2,,15,16 这16个数按自然顺序写入44⨯方阵中，然后把对角线上的数都换成它的补数，即得。
六阶幻方六阶幻方的幻和为图 1123456789101112131415161235361116++++= ，要排出一个六阶幻方，我们能借用四阶幻方的经验吗？如果我们将1,2,,35,36 像图2一样，排成一个66⨯方阵，虽然也有两条对角线上六个数的和为111，但是我们立即发现，无论怎么调整，也得不出六阶幻方。
所以要排出六阶幻方，我们必须另想办法。
观察图2，我们看到一个66⨯方阵可以划分为四个33⨯方阵，如果我们把1,2,,35,36 平均分为四段，每一段排成一个三阶幻方，将这四个三阶幻方拼成一个66⨯方阵，情形将如何呢？第一段，1,2,3,,8,9 用杨辉的方法（以下我们都用杨辉方法），排成幻方A ：()492357 816A 幻和为15A H =；第二段，10,11,,17,18 ，排成幻方B ：()131811121416 171015B 幻和为42B H =；第三段，19,20,,26,27 ，排成幻方C ：()222720212325 261924C 幻和为69C H =；第四段，28,29,,35,36 ，排成幻方D ：()313629303234 352830D 幻和为96D H =。
双偶阶幻方新解.doc
双偶阶幻方别解
双偶阶[4n (即：2×2n)]阶幻方的解法：
1、在两条对角线上依次填上0，1，2，……，4n-2，4n-1，得到如下图方阵：
2、在上图的方阵中从第一列开始按4n-1，1，2，……，4n-3，4n-2，0，的顺序先由下而上填入，然后在第二列由上而下填入，第三列再由下而上填入，第四列由上而下填入，……直到第2n列，即表格的左半部分，如图（1）
注意：填入时，如果单元格中已填入的数字与按顺序填入要填入的数字不符时，就在前一列中把两个不符的数字所在行上的两个数字对换位置。
对换后如下图（2）：
图（1）
图（2）
最后，把第一列复制到第4n列，把第二列复制到第4n-1列，把第三列复制到第4n-2列，……，把第2n列复制到第2n+1列。
这样就得到方阵（1）如图（3）
图（3）
这样每行、每列、对角线上的数字和都为2n (4n-1)。
3、把方阵（1）以对角线为对称轴，旋转180度，得到方阵（2）
4、把方阵（1）的第i行、第j列设为a ij，方阵（2）的第i行、第j 列设为b ij，设a ij×（2n+1）+b ij+1=c ij，c ij是方阵（3）第i行、第j列的数字，这样就得到了方阵（3），方阵（3）即为4n阶幻方。
例如：12阶幻方，方阵（1）为：
按左上右下对角线对称翻转方阵（1）得到方阵（2）为：
按步骤4就得到12阶幻方：
至此，4n幻方的解法全部完成。
注：用电子表格解决比较好。
08.幻方(三)双偶数阶幻方的编排方法
3、幻方（三）——双偶数阶幻方的编排方法奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。
这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。
一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。
先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。
再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。
①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。
这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。
②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。
第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。
为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。
同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。
③再观察上图C的第一、第四行。
第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。
为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。
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3、幻方（三）——双偶数阶幻方的编排方法
奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。
这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。
一、中心对称交换法
例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。
先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。
再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。
①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。
这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。
②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。
第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。
为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。
同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。
③再观察上图C的第一、第四行。
第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。
为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。
同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即8与12，5与9）相互交换就可以了。
交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。
这样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方？
对比图A与图D可以发现：只要把图A中的2与15，3与14，5与12，8与9互相交换，就可以直接得到图D（见下图）。
那么，2与15，3与14，5与12，8与9是什么关系呢？不难看出，它们的位置是“对称”的。
例如2在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15在从下往上、从右往左数的第一行第二列。
又如，9在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8在从下往上、从右往左数的第三行第一列。
我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。
由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下：
①把1～16按顺序排成四阶自然方阵；
②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数；
③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。
运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。
例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。
【分析与解答】编排步骤如下:
①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图）
②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角线（图中有颜色的数字）；
③每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动，把对角线以外的数字在八阶自然方阵中进行中心对称交换。
这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。
二、环形平移补空法
例3、用“环形平移补空法”编排一个八阶幻方。
【分析与解答】编排步骤如下:
①画一个8×8的八阶幻方空格（下图A的中间实线部分），并在左右两端画出凸阶梯状虚线方格（如图A所示，每向外一层上、下各减少一格）。
②把1至64这六十四个数分成四组，即第一组：1～16，第二组：17～32，第三组：33～48，第四组：49～64。
③把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始，按顺时针方向依次排成环形（红色）；第二组的十六个数从八阶幻方的第八行第四列开始，按逆时针方向依次排成环形（蓝色）；第三组的十六个数从八阶幻方的第一行与1相隔一格开始，按顺时针方向依次排成环形（深绿色）；第四组的十六个数从八阶幻方的第八行第二列开始，按逆时针方向依次排成环形（浅绿）。
（见图B）
④把右边凸阶梯状虚线方格中的数分别向左平移8格到相应的八阶幻方中，去掉右边凸阶梯状虚线格（图C）；把左边凸阶梯状虚线方格中的数分别向右平移8格到相应的八阶幻方中，去掉左边凸阶梯状虚线格。
这样就编成了一个八阶幻方。
（图D）
环形平移补空法可分为：“画左、右阶梯状图”、“数字分组”、“环形填数”、“平移补空”四个步骤。
一般地，当编排任意4k阶幻方时，先画一个4k×4k且左、右有凸阶梯状虚线方格，再把1至（4k）2个自然数依次分成（4k÷2）组，如8阶就分成8÷2＝4组，12阶就分成12÷2＝6组，…把第一、三、五、…等组中的各数，从4k阶幻方的右上角开始，每次起点左移二格，按顺时针方向依次排成环形。
再把第二、四、六、…等组中的各数，从4k阶幻方的左半部分的右下角开始，每次起点左移二格，按逆时针方向依次排成环形。
最后把凸阶梯状虚线方格中的各数进行平移补空，便得到一个4k阶幻方。
（这种方法很难，请多练习）。