第二章习题答案
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o o
2 r 1 r d 0 d a 2 e 0 co s 3 dr d r 3 2 a 0 a 0
1 3 2 a 0
5
r a0
re
r 2 0 a0
解 之 得 ： r 2 a（ r = 0 和 r = 舍 去 ） 0 d 0 又因： 2 dr
2. 计算氢原子 1 s 在 r a 0 和 r 2 a 0 处的比值。
解：氢原子基态波函数为：
1s
1 1 a0
3/2
r a0
e
该 函 数 在 r=a 0 和 r=2a 0 两 处 的 比 值 为 ： 1 1 a0 1 1 a0
作业：
1. 已知氢原子的 2 P
Z
1 4 2 a
3 0
(
r a0
) exp(
r 2a0
) cos
，试回答下列
问题：
(1) 原子轨道能 (2) 轨道角动量
E ?
M ?
轨道磁矩
?
(3) 轨道角动量和轴的夹角是多少度？
(4)节面的个数、位置和形状怎样？ (5)概率密度极大值的位置在何处？
cos M M
z
0 2 h 2 2
0
90o
（ 4） 令 2p 0, 得 ：
z
r 0， r ， 90
o
节 面 或 节 点 通 常 不 包 括 r 0 和 r ， 故 2p 的 节 面 只 有 一 个 ， 即 xy 平 面
z
（ 当 然 ， 坐 标 原 点 也 包 括 在 xy 平 面 内 ） 。 亦 可 直 接 令 函 数 的 角 度 部 分 Y= 3 4 cos 0， 求 得 90 。
2
r 2 a0
0 2
o o 2 2pz
所 以 ， 当 0 或 1 8 0 ， r 2 a 0时
有极大值为：
3
m
2a 0 e 3 3 2 a 0 a 0 1
2
2a0 a0
Biblioteka Baidu
e
2 3
8 a 0
3 6 .4 n m
2 3/2 a0 a0 1 2
e
3/2
2a 0 a0
e e
e 2 .7 1 8 2 8
e
而 1s 在 r = a 0 和 r = 2 a 0 两 处 的 比 值 为 e 7 .3 8 9 0 6
2
3.试写出He原子基态和第一激发态的Slater行列式波函数。 解：
o
（ 5） 概 率 密 度 为 ：
= 2pz
2
r e 3 32 a 0 a 0 1
2
r a0
cos
2
由 式 可 见 ， 若 r 相 同 ， 则 在 =0 或 180 时 最 大 （ 亦 可
o o
令
= - sin = 0 ， = 0 或 1 8 0 ） ， 以 0 表 示 ， 即 ：
解： （1）原子轨道能为：
E 2 .1 8 1 0
h
18
J
1 2
2
5 .4 5 1 0
19
J
（2） 轨道角动量为：
M 1(1 1) 2 2
h 2
轨道磁矩为：
1(1 1) e 2e
z
（3）设轨道角动量M和z轴的夹角为 ,则因 2 p 的 m=0,故可得: h
2 r 1 r d 0 d a 2 e 0 co s 3 dr d r 3 2 a 0 a 0
1 3 2 a 0
5
r a0
re
r 2 0 a0
解 之 得 ： r 2 a（ r = 0 和 r = 舍 去 ） 0 d 0 又因： 2 dr
2. 计算氢原子 1 s 在 r a 0 和 r 2 a 0 处的比值。
解：氢原子基态波函数为：
1s
1 1 a0
3/2
r a0
e
该 函 数 在 r=a 0 和 r=2a 0 两 处 的 比 值 为 ： 1 1 a0 1 1 a0
作业：
1. 已知氢原子的 2 P
Z
1 4 2 a
3 0
(
r a0
) exp(
r 2a0
) cos
，试回答下列
问题：
(1) 原子轨道能 (2) 轨道角动量
E ?
M ?
轨道磁矩
?
(3) 轨道角动量和轴的夹角是多少度？
(4)节面的个数、位置和形状怎样？ (5)概率密度极大值的位置在何处？
cos M M
z
0 2 h 2 2
0
90o
（ 4） 令 2p 0, 得 ：
z
r 0， r ， 90
o
节 面 或 节 点 通 常 不 包 括 r 0 和 r ， 故 2p 的 节 面 只 有 一 个 ， 即 xy 平 面
z
（ 当 然 ， 坐 标 原 点 也 包 括 在 xy 平 面 内 ） 。 亦 可 直 接 令 函 数 的 角 度 部 分 Y= 3 4 cos 0， 求 得 90 。
2
r 2 a0
0 2
o o 2 2pz
所 以 ， 当 0 或 1 8 0 ， r 2 a 0时
有极大值为：
3
m
2a 0 e 3 3 2 a 0 a 0 1
2
2a0 a0
Biblioteka Baidu
e
2 3
8 a 0
3 6 .4 n m
2 3/2 a0 a0 1 2
e
3/2
2a 0 a0
e e
e 2 .7 1 8 2 8
e
而 1s 在 r = a 0 和 r = 2 a 0 两 处 的 比 值 为 e 7 .3 8 9 0 6
2
3.试写出He原子基态和第一激发态的Slater行列式波函数。 解：
o
（ 5） 概 率 密 度 为 ：
= 2pz
2
r e 3 32 a 0 a 0 1
2
r a0
cos
2
由 式 可 见 ， 若 r 相 同 ， 则 在 =0 或 180 时 最 大 （ 亦 可
o o
令
= - sin = 0 ， = 0 或 1 8 0 ） ， 以 0 表 示 ， 即 ：
解： （1）原子轨道能为：
E 2 .1 8 1 0
h
18
J
1 2
2
5 .4 5 1 0
19
J
（2） 轨道角动量为：
M 1(1 1) 2 2
h 2
轨道磁矩为：
1(1 1) e 2e
z
（3）设轨道角动量M和z轴的夹角为 ,则因 2 p 的 m=0,故可得: h