教师招聘考试《学科专业知识·中学数学》复习全书【核心讲义】- 第1~5章【圣才出品】
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量称为常量。 （2）变量 有些量可以取不同的数值，是变化的，通常称为变量。 6．变量之间的依赖关系——函数概念及图像 （1）在一些情境中，可以有很多变量，有些变量之间存在着依赖关系。 （2）一个变量的变化引起另一个变量的变化，把这种具有相互依赖的变量关系称为函
数关系。 （3）变量与变量之间的依赖关系，揭示了函数的本质，即反映函数是描述变化的。 7．函数模型初步——几类重要的函数 （1）正比例函数； （2）一次函数（线性函数）；
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（3）反比例函数；
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（4）一元二次函数；
（5）简单分段函数。
8．函数概念的再认识——三个维度
（1）变化角度——变量关系；
（2）整体角度——函数图像；
（3）映射角度——建立两类事物间的对应关系。
9．函数模型的再认识——基本初等函数
它们仍然是基本的模型。 4．正、反比例关系——关系概念的形成 从具体到抽象是数学发展规律，通过对实际的模型，抽象反映出一般的量与量的反比例
关系，初步形成量与量之间关系概念，对于学生认识和理解函数起着十分重要的作用。 5．常量与变量 （1）常量 在具体的情境中，有些量是不变的，例如，在匀速运动中，速度是不变的，通常把这种
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种量与实数（整数、自然数）的一个映射——一种对应关系。 3．建立量与量的关系—小学数学中的两个基本模型 （1）两个基本模型：总价=单价×数量、路程=速度×时间。 （2）这两个模型一个是离散的经济模型，一个是连续的物理模型，在大学数学学习中，
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模块一 学科知识
第 1 章 数学学科基础知识（上）
1.1 考纲解读 1．准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 2．理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识。 3．掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理等基本能力以及综合运用能力。
1.2 核心讲义 一、函数概念及其性质 （一）中小学数学课程中函数概念形成的基本脉络 1．量、数量与数 （1）数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。 （2）映射 f 是集合 A 到集合 B 的单值对应关系，即对于集合 A 中的每一个元素 a，根 据对应关系 f，在集合 B 中有惟一元素 f（a）与之对应，这样的对应 f 称为映射。 （3）函数是实数集合到实数集合的映射。对函数与映射的认识与理解是相辅相成的。 2．量与单位 （1）“量”指一般意义的量，不仅包括前面讨论的离散的量，也包括如长度、时间、 质量、温度、电阻等，同种量可相互比较大小。 （2）“单位”是度量“量”大小的出发点，对于一个量确定了一种单位，就建立了这
简单幂函数（特别是整数幂函数）、指数函数、对数函数、三角函数是基本函数，又称
为基本初等函数。
10．函数应用
（1）应用领域
①在研究数学问题方面的应用。
②用函数思想解决其他学科问题，如物理、化学、生物中的问题。
（2）用函数解决问题时的三个基本层次
①能用学过的函数知识描述问题；
②用学过的函数模型直接解决问题；
2．整体角度——函数图像 （1）函数关系是平面上点的集合，又可以看作平面上的一个“图形”。研究函数就是 研究曲线的性质，研究曲线的变化。 （2）在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图像习惯，并且用函数图像思考问题。 3．映射角度——对应关系 （1）函数是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。 （2）这是用映射的观点理解函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起 了一座桥梁。 （三）函数的基本性质 1．单调性 单调性是中学最重要的函数性质。 （1）第一阶段 依函数图像直观地感受单调性，理解单调性的定义及在研究函数中的作用。 （2）第二阶段 ①理解导数与单调性的联系； ②用单调性判断导数的符号。 2．周期性 周期性反映了函数变化周而复始的规律。在高中数学课程中，只讨论基本的具体三角函 数的周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。 3．对称性（奇偶性） （1）对称性是反映函数特点的基本性质。 （2）偶函数的图像是关于 y 轴对称的。
即 dy kdx ，一方面，函数的微分 dy 与自变量的改变量（也称为自变量微分）成正比例，
其中比例系数 k 是这一点函数的导数。
②函数的微分 dy 与函数的改变量 y 之差是自变量微分 dx 的高阶无穷小，即函数的微
分 dy 可以近似表示函数的变化，称之为“以直代曲”。 （2）“好函数” ①在微积分学习中，研究的主要函数类是具有任意阶导数的函数，称之为“好函数”。 ②幂函数以及所有基本初等函数都是“好函数”，并且，初等函数拓展的所有初等函数
二、基本初等函数及函数的分类 （一）基本初等函数 1．幂函数和整数幂函数 幂函数是基本初等函数，在幂函数中，最重要的是整数幂函数，以及由它们拓展的多项
式函数，即 y an xn an1xn1 L a0 。
（1）微分 在微积分的学习中，微分是最重要的概念之一。 ①微分是一个可导函数在一点的线性主部，线性主部就是一个一次函数（线性函数），
③经历使用函数进行数学建模的过程，体会数学建模的思想和基本过程。
（二）认识函数概念的三个维度
1．变化角度——变量关系
这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这
个变量的另wk.baidu.com个变量有惟一确定的值。
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（3）奇函数的图像是关于原点对称的。 4．函数性质的综合认识 （1）函数的学习一定要在头脑中建立起几个重要的模型。 （2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。 （3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。 （4）在学习与函数知识有关的内容时，理解函数思想。
数关系。 （3）变量与变量之间的依赖关系，揭示了函数的本质，即反映函数是描述变化的。 7．函数模型初步——几类重要的函数 （1）正比例函数； （2）一次函数（线性函数）；
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（3）反比例函数；
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（4）一元二次函数；
（5）简单分段函数。
8．函数概念的再认识——三个维度
（1）变化角度——变量关系；
（2）整体角度——函数图像；
（3）映射角度——建立两类事物间的对应关系。
9．函数模型的再认识——基本初等函数
它们仍然是基本的模型。 4．正、反比例关系——关系概念的形成 从具体到抽象是数学发展规律，通过对实际的模型，抽象反映出一般的量与量的反比例
关系，初步形成量与量之间关系概念，对于学生认识和理解函数起着十分重要的作用。 5．常量与变量 （1）常量 在具体的情境中，有些量是不变的，例如，在匀速运动中，速度是不变的，通常把这种
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种量与实数（整数、自然数）的一个映射——一种对应关系。 3．建立量与量的关系—小学数学中的两个基本模型 （1）两个基本模型：总价=单价×数量、路程=速度×时间。 （2）这两个模型一个是离散的经济模型，一个是连续的物理模型，在大学数学学习中，
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第 1 章 数学学科基础知识（上）
1.1 考纲解读 1．准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 2．理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识。 3．掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、 数据处理等基本能力以及综合运用能力。
1.2 核心讲义 一、函数概念及其性质 （一）中小学数学课程中函数概念形成的基本脉络 1．量、数量与数 （1）数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。 （2）映射 f 是集合 A 到集合 B 的单值对应关系，即对于集合 A 中的每一个元素 a，根 据对应关系 f，在集合 B 中有惟一元素 f（a）与之对应，这样的对应 f 称为映射。 （3）函数是实数集合到实数集合的映射。对函数与映射的认识与理解是相辅相成的。 2．量与单位 （1）“量”指一般意义的量，不仅包括前面讨论的离散的量，也包括如长度、时间、 质量、温度、电阻等，同种量可相互比较大小。 （2）“单位”是度量“量”大小的出发点，对于一个量确定了一种单位，就建立了这
简单幂函数（特别是整数幂函数）、指数函数、对数函数、三角函数是基本函数，又称
为基本初等函数。
10．函数应用
（1）应用领域
①在研究数学问题方面的应用。
②用函数思想解决其他学科问题，如物理、化学、生物中的问题。
（2）用函数解决问题时的三个基本层次
①能用学过的函数知识描述问题；
②用学过的函数模型直接解决问题；
2．整体角度——函数图像 （1）函数关系是平面上点的集合，又可以看作平面上的一个“图形”。研究函数就是 研究曲线的性质，研究曲线的变化。 （2）在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图像习惯，并且用函数图像思考问题。 3．映射角度——对应关系 （1）函数是联结两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。 （2）这是用映射的观点理解函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起 了一座桥梁。 （三）函数的基本性质 1．单调性 单调性是中学最重要的函数性质。 （1）第一阶段 依函数图像直观地感受单调性，理解单调性的定义及在研究函数中的作用。 （2）第二阶段 ①理解导数与单调性的联系； ②用单调性判断导数的符号。 2．周期性 周期性反映了函数变化周而复始的规律。在高中数学课程中，只讨论基本的具体三角函 数的周期性，例如，正弦、余弦、正切函数的周期性。 3．对称性（奇偶性） （1）对称性是反映函数特点的基本性质。 （2）偶函数的图像是关于 y 轴对称的。
即 dy kdx ，一方面，函数的微分 dy 与自变量的改变量（也称为自变量微分）成正比例，
其中比例系数 k 是这一点函数的导数。
②函数的微分 dy 与函数的改变量 y 之差是自变量微分 dx 的高阶无穷小，即函数的微
分 dy 可以近似表示函数的变化，称之为“以直代曲”。 （2）“好函数” ①在微积分学习中，研究的主要函数类是具有任意阶导数的函数，称之为“好函数”。 ②幂函数以及所有基本初等函数都是“好函数”，并且，初等函数拓展的所有初等函数
二、基本初等函数及函数的分类 （一）基本初等函数 1．幂函数和整数幂函数 幂函数是基本初等函数，在幂函数中，最重要的是整数幂函数，以及由它们拓展的多项
式函数，即 y an xn an1xn1 L a0 。
（1）微分 在微积分的学习中，微分是最重要的概念之一。 ①微分是一个可导函数在一点的线性主部，线性主部就是一个一次函数（线性函数），
③经历使用函数进行数学建模的过程，体会数学建模的思想和基本过程。
（二）认识函数概念的三个维度
1．变化角度——变量关系
这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这
个变量的另wk.baidu.com个变量有惟一确定的值。
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（3）奇函数的图像是关于原点对称的。 4．函数性质的综合认识 （1）函数的学习一定要在头脑中建立起几个重要的模型。 （2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。 （3）函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。 （4）在学习与函数知识有关的内容时，理解函数思想。