特殊行列式与行列式计算方法总结
行列式的计算技巧和方法总结
计算技巧及方法总结一、 一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。
但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。
以便计算。
计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注 由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式 计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）.（2）1211021101211121---=--（第二、三列互换） （3）072501111=（第一、二两行相等） （4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解 利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解 先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131＝--- 例12计算.3111131111311113=D 解 注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解 根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解 从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、 行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理（常用） 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解 按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。
行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算
～
Ｄ
ｘ 一１ … ０
０
一
●
Ｏ Ｄ＝ ０
ｌ Ｏ
Ｏ … ０ １ … ０
一
●
０
Ｏ …
＿ ．
。 ２
■■
加
行 列 式 的 计 算 方 法 及 一 些 特 殊 行 列 式 的 计 算
陈 洁
（ 湖北 工 业 大 学 理 学 院 ， 湖北 武汉 摘
一
４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
１ ＋ａ
引 Ｉ １
１ ｌ ＋ａ ２
● ● ●
０
１ １
● ● ●
递 推 法 是 根 据 行 列 式 的性 质 ， 建 立 阶行 列 式 和 阶 行 列 式 的关 系．
４ ３
●墨
１ ２ ３ … ｎ
２
１
０ … ０ ｌ … Ｏ
例５ ． 计 算 行 列 式
Ｘ
Ｏ 例７ ． 计算Ｄ ＝ ３ ｎ
一
要： 行 列 式 的 计 算 是 线 性 代 数 的 基 础 和 重要 内容 之
本 文 通过 一 些 具 体 的 例 子 ， 介 绍 了 计 算 行 列 式 的 一般 方 法 ７ ２ ． 一 些特 殊行 列 式 的计 算．
．
例３ ． 计算行列式Ｄ ＝
●
１
● ●
关键 词 ： 行 列式 降 阶 法 升 阶 法
一
１
１
、
１ ． 化为“ 三 角形 ”
Ｉ
化为 “ 三角形 ” 是利 用行列式 的性质 ， 把 所 求 行 列 式 的 主
对 角 线 下 方 的 元 素 全化 为零 ．
３
关于求解行列式的几种特殊的方法
关于求解行列式的几种特殊的方法行列式是线性代数中一个重要的概念，它在计算机科学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
在求解行列式的过程中，存在一些特殊的方法，可以帮助我们简化计算和提高效率。
本文将介绍几种常见的特殊方法，包括拉普拉斯展开、三角形展开和行列式性质的运用等。
1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种基本方法，适用于任意阶的矩阵。
其核心思想是通过分解矩阵，将复杂的行列式转化为多个较小规模的行列式的代数和。
具体步骤如下：1)选择一个行(列)展开，将行(列)按照一些特定的顺序展开。
2)对每一个元素a[i][j]，构造一个以该元素为顶点的代数余子式M[i][j]，即划去第i行和第j列后剩下的矩阵所构成的行列式。
3)计算每一个代数余子式的值M[i][j]，并与对应的元素a[i][j]相乘，得到M[i][j]*a[i][j]。
4)将所有得到的乘积相加，该结果即为原行列式的值。
>例如，对于一个3阶矩阵A，可以选择按照第一行展开，则拉普拉斯展开为：>，A，=a11*M11-a12*M12+a13*M13>其中，M11，M12，M13分别是以元素a11，a12，a13为顶点的代数余子式。
拉普拉斯展开法的优点是适用于任意规模的矩阵，但是对于高阶矩阵来说，计算量较大，效率较低。
2.三角形展开法三角形展开法是求解上三角行列式的一种特殊方法，适用于上三角矩阵，即矩阵的主对角线以下的元素都为0。
该方法通过逐步消元来简化计算，减少了矩阵的规模。
具体步骤如下：1)将上三角矩阵A拆分为一个上三角矩阵B和下三角矩阵C的乘积，即A=BC。
2) 计算上三角矩阵B的主对角线上的元素的乘积，即B =b11*b22*...*bnn。
3)将下三角矩阵C的主对角线上的元素分别除以上一步得到的乘积，得到新的下三角矩阵C'。
4) 计算新的下三角矩阵C'的主对角线上的元素的乘积，即C' =c'11*c'22*...*c'nn。
行列式的计算技巧总结
行列式的计算技巧总结行列式是线性代数中的重要概念，它在计算中有着广泛的应用，如矩阵求逆、解线性方程组、判断矩阵的线性无关性等。
行列式的计算可以通过展开定理、性质和转置等多种方法进行。
下面是行列式计算的一些常见技巧总结。
1.行列式的定义和性质行列式是一个标量，用来描述一个矩阵的一些特性。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或∆。
行列式具有以下性质：(1) det(A) = det(A^T) //行列互换，行列式不变(2) det(A·B) = det(A)·det(B) //两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积(3) 若矩阵A的其中一行（列）全为0，则det(A) = 0(4) 若矩阵A的两行（列）相同，则det(A) = 0(5) 若矩阵A的其中一行（列）成比例，即全部为c倍关系，则det(A) = c^n·det(A')(6) 若矩阵A的其中一行（列）都是两个矩阵B和C对应行（列）的和，则det(A) = det(B) + det(C)2.二阶和三阶行列式的计算二阶行列式的计算可以直接进行运算，即ad-bc。
三阶行列式的计算可以通过对角线和副对角线元素的乘积之和减去反对角线和主对角线元素的乘积之和，即a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)。
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是矩阵A的元素。
3.行列式的展开行列式的展开定理是行列式计算的重要工具。
对于n阶行列式，可以通过对任意一行（列）展开来计算行列式的值。
展开的时候，可以选择展开到其他行（列）上，也可以选择展开到其他元素，具体选择哪一行（列）或元素展开要根据实际情况决定。
展开后的行列式可以继续进行展开，直到变为二阶行列式，然后通过二阶行列式的计算结果反推回原行列式。
4.行列式的转置行列式的转置是行列式计算的另一个常用方法。
对于n阶行列式A，可以将其转置为A^T，然后利用性质(1) det(A) = det(A^T)进行计算。
(完整版)行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:B A BC A BC A ==0021,B A BA D DB Amn )1(0021-==,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: nn abab ab b a b abaD 22=,利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式ab ba 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=n n n n n n n D b a D ab b a D ,此为递推公式,应用可得n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=-- .3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例:nn n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=0001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100101010011)(3332221111-------⋅-=∏=nn n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1001000010)(33322221111nn n ni ii i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-⋅-=∑∏== --------(将第n ,,3,2 列加到第一列)其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.n x a aa a a x a a a a a x a a a aa x a ++++ 321,nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++ 321321321321. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).例子:nn n n nnn n nn n n nn b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=++++++++++++10101010000011112122212212111121212221212111∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=------=ni in i i i ni in ni i n i i i ni in n b b a na b b b b b a na a a ab b b 1112111121211110100000101111111010100111011101∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=nj nji i j i j ni i ni i ni i i ni i ni i a a b b a b a n b a 1111111)(1)1)(1(.例子:nnx a aaaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a aaaa x a a a a a x a aa a a x a ++++=++++0001321321).1(00000000000010100010001000111213211321∑∑==+=+=----=ni in nni inx a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: n nn n nn nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x D321223222122322213211111----=解: 令: nnnn nn n nn n n n nn n n ny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D211112112222212222212111111--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ .可看做是关于y 的一个n 次多项式.另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=-- ,其中1-n y 的系数1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .由)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ 来计算1-n y的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-⋅--=ni i ni j j in x x xp 111)(,故有∑∏=≤<≤-⋅-=-=ni i ni j j in x x xp D 111)(其它的例子:=+-+++-++-++------n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nb b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111……每一行提公因子n i a ,nn n n n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a ba b a a a )()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121++-++++++--+=).(1121∏≤<≤+-=n i j j j ii nn n n a b a b a a a7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.例子: 计算行列式,10000010001000βααββαβααββααββα+++++=n D 解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n n D D D D βαβ 利用递推公式(1)得:n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D βα+=-1. (3)利用递推公式(2)得:n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D αβ+=-1. (4)由(3)(4) 解得: ,,)1(,11⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D其它的例子nn acb a ac b a c b a D00000000000=,按第一行展开可得21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02=+-bc ax x 的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子:accccb ac c c bb ac c bbbac b b b b c a c accccb ac c c bb ac c bbbacb b b b a D n-+==210000V V acccb ac c b b a c b b b a b b b b c a accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+=1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列展开,2V 按第一列展开.11)(0000000--=----------=n b a c ba b c b c bc ba b c b c b b b a b c ba b b b b c V12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,由c b ,的对称性质,亦可得11)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,bc c a b b a c D nn n ----=)()(.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。
几种特殊类型行列式及其计算
1 行列式的定义及性质1.1 定义[3] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积1212n j j nj a a a (1)的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成()()121212111212122212121n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.1.2 性质[4]性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.2 行列式的分类及其计算方法2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.例1 计算n 阶行列式()1232311110010001n n na a D a a a a a =≠.解 将第一列减去第二列的21a 倍，第三列的31a 倍第n 列的1na 倍，得1223111110000000n n na a a a D a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=1221nni i i i a a a ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∏. 2.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.例2 计算行列式123n n a c c c b a c c D bb ac bbba =. 解 当bc =时123n na b b b b a b b D bb a b bbba =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即112131000000n n a b b bb a a b D b a a bb a a b--=----.用上述特征1的方法，则有()11212131100000000ni i n n a bba abb a a b D b a a b b a a b=-----=----∑()()()()()11111n ni i i n i i a b b a b a b a b a b -+===-+----∑∏.当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则112233000n nn x a a a x a a a b x a a b x a a D bb x a b b x a bbbx bbbb x b++==++-112233000nxa a x a a ab x a b x a ab b x b b x a bb bx bb b bb=+-()121100n n n x a ab a x a ax b D a b a b a x a a b-----=+----.化简得()()()()1211n n n n D b x a x a x a x b D --=---+-. ()1而若一开始将n x 拆为n a x a +-，则得()()()()1211n n n n D a x b x b x b x a D --=---+-. ()2由()()()()12n n x b x a ⨯--⨯-，得()()111nn n ij i j D a x b b x a a b ==⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦∏∏. 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例3 计算行列式()2n d b b bc x a aD n ca x a caax=≥. 解 将第一行a b ⨯，第一列ac⨯，得22n a da a a bc a x a a bc D aa x a a aaax=.即化为上()21-情形，计算得()()()()121n n n D d x a n ad bc x a --=-+---.而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法[8]来简化.例4 计算行列式2112122122212111n n n n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+.解 将行列式升阶，得1221121221222121010101n nn n n n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++. 将第i 行减去第一行的i x ()2,,i n =倍，得1212110001001n n nx x x x D x x -=--.这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得212110100001001ni n i n x x x x D =+=∑ 211ni i x ==+∑.2.3 两条线型行列式这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.例5 计算行列式112211n n n nna b a b D a b b a --=.解 按第一行展开可得()2213322111111111nn n n n n n nn n a b b a b a b D a b a b a b a a b +------=+-()112121n n n a a a b b b +=+-.例6 计算行列式111121111nnn n n n n nna b a b a b D c d c d c d ----=.解 方法1 直接展开可得()1111111112211111111010n n n n nn nn n n n n nna b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-()()11112111111111111111n n n n n n nn n n n n n a b a b a b a b a d b c c d c d c d c d -----+----=--()()21n n n n n a d b c D -=-.则()()()()()()2111121221nn n n n n n n n n n n n n i i i i n n i D a d b c D a d b c a d b c D a d b c ------==-=--==-∏.方法2 (拉普拉斯定理法[3]) 按第一行和第2n 行展开得()11121211211111n n n nn n n nnn n a b a b a b D c d c d c d --+++--=-()()21n n n n n a d b c D -=-. 其余的同法1.2.4 Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n 行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.例7 计算行列式123111000022022011n n n D n nn n---=----.解 将各列加到第一列得()123120100022022000011n n n n n D n nn n+---=----. 按第一列展开得()100220122200011n n n D n n n n--+=----()()11!12n n -+=-.2.5 三对角型行列式形如n a bc abD cbca=的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的1n -阶行列式再展开即得递推公式. 对这类行列式用递推法[5].例8 计算行列式n a b c a bD cbca=.解 按第一列展开有12n n n D aD bcD --=-解特征方程20x ax bc -+=得12x x ==.则()()11121212,n n nx x D x x x x ++-=≠-.例9 计算行列式95499549n D =.解 按第一行展开得19200n n D D --+=.解特征方程得124,5x x ==.则1145n n n D a b --=+.分别使1,2n =得16,25,a b =-=则1154n n n D ++=-.2.6 各行(列)元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n 行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.例10 计算行列式111222111n nnna a a a a a D a a a ++=+.解 将第2行到第n 行都加到第1行，得11122211111n nnn nnna a a a a a a a a D a a a ++++++++++=+()2221111111n nnna a a a a a a a +=++++()1111010101n a a =+++()11n a a =+++.2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行n (列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或1-的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.若相邻两行(列)元素相差倍数k ，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k -倍，可使行列式出现大量的零元素.例11 计算行列式012211013221432340112310n n n n n n n D n n n n n ------=-----.解 依次用前行减去后行，可得111111111111111111111231n D n n n ------=-------.现将第1列加到第2列至第n 列，得10000120001220012220123241n D n n n nn ------=--------()()12121n n n --=--.例11 计算阶n 行列式221132214323423111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a aa a a ----------=.解 这是相邻两行(列)相差倍数a ，可采用前行减去后行的a -倍的方法化简得231100000100000100000101nnnn n n a a a D a aa a a ----=-()11n n a -=-.2.8 德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为德蒙德行列式来计算.例12 计算行列式1111111111222222111111111n n n n nn n nn n n n n nn n nn n n n n n a a b a b b a a b a b b D a b a a b a b b ----+--++++++=.解 将第i 行提出n i a ，得111122112211111111nnn nn i i nn n n n b b a a b b D a a a b b a a ++=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭∏()11iji j i j n a bb a ≤≤≤+=-∏.。
几种特殊类型行列式及其计算
几种特殊类型行列式及其计算特殊类型行列式是指其中元素满足一定的特殊规律或形式的行列式。
下面将介绍几种常见的特殊类型行列式及其计算方法。
1.对角行列式：对角行列式是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的行列式。
对角行列式的计算非常简单，只需将主对角线上的元素相乘即可。
例如，行列式a00b00的值为a*b*c。
2.上三角行列式：上三角行列式是指除了主对角线及其上方的元素外，其余元素都为0的行列式。
上三角行列式的计算方法是将主对角线上的元素相乘。
例如，行列式120400的值为1*4*6=243.下三角行列式：下三角行列式是指除了主对角线及其下方的元素外，其余元素都为0的行列式。
下三角行列式的计算方法与上三角行列式相同，将主对角线上的元素相乘。
例如行列式708910111的值为7*9*12=7564.三角行列式：三角行列式是指一个矩阵的主对角线两侧的元素相同。
例如，行列式122334的值可以通过利用矩阵的对称性进行计算。
首先，将第二行减去第一行得到121134然后，再将第三行减去第一行的三倍得到12110-2-然后，再将第三行减去第二行的两倍得到121100-最后，将主对角线上的元素相乘，即1*1*(-2)=-2，即该行列式的值为-25.雅可比行列式：雅可比行列式是指一种特殊的三阶行列式形式。
∂(f1,f2,f3)---------∂(x,y,z)表示函数f1,f2,f3关于x,y,z的偏导数。
以上介绍了几种特殊类型的行列式及其计算方法。
了解不同类型的行列式有助于我们更好地理解和应用线性代数的相关理论和方法。
一类特殊行列式的计算公式
一类特殊行列式的计算公式在矩阵与行列式的计算中，常常会遇到一类特殊的行列式形式，它们有一些特殊的性质和计算公式。
在本篇文章中，我将介绍几种常见的特殊行列式，并给出它们的计算公式。
1.对称行列式对称行列式指的是行列式中的每一行都与其对应的列完全相同。
例如，以下是一个对称行列式的例子：```abcbcdcde```对称行列式有一个非常重要的性质，即它的值等于其中任意一个元素与该元素所在的余子式的乘积之和。
余子式是指将该元素所在的行列删去后的行列式。
以前述的对称行列式为例，假设我们要计算元素a的余子式：```deef```则根据上述性质，对称行列式的值可以表示为：abcbcdcde=a*，de，+b*，ef，+c*，dfef，，gh，，g```2.三角行列式三角行列式指的是行列式中的元素有一定的规律，每个元素下方都有一个或多个为0的元素。
以下是一个三角行列式的例子：```ab0c0000d```三角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。
以前述的三角行列式为例，其计算公式为：```ab000d=a*0*0+0*0*0+0*b*0+0*0*d+c*0*0+0*0*d=0+0+0+0+0+0=0```3.对角行列式对角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，只有对角线上的元素不为0。
以下是一个对角行列式的例子：```a000b000c```对角行列式的值等于对角线上的元素的乘积。
以前述的对角行列式为例，其计算公式为：```a000b0=a*b*c```4.上三角行列式与下三角行列式上三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以下的元素全为0。
以下是一个上三角行列式的例子：```abc0de00f```类似地，下三角行列式指的是行列式中的非对角线上的元素全部为0，并且对角线以上的元素全为0。
以下是一个下三角行列式的例子：```a00bc0def```对于上三角行列式和下三角行列式，它们的值等于对角线上的元素的乘积。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算方法-计算行列式的格式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的计算方法摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。
本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
行列式的计算技巧及方法总结总结修改版本.doc
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1.行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法2.1定义法2.2利用行列式的性质2.3降阶法2.4升阶法（加边法）2.5数学归纳法2.6递推法3.行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2构造法3.3特征值法4.几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6范德蒙德行列式5.行列式的计算方法的综合运用5.1降阶法和递推法5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3构造法和套用范德蒙德行列式1.2行列式的性质性质 1行列互换，行列式不变．即a11a12a1na11a21an1a 21a22a2na12a22an2.a n1a n2a nn a1n a2n a nn性质 2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即a11a12a1n a11a12a1nk a i1k a i2ka in k ai1ai2ain.an1an2annan1an2ann性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即a 11 a12 Ka1na11a12 Ka1na11a12 Ka1nM MMM M M M M M M M Mb1 c1 b2 c2 K b n c n b1 b2 K b n c1 c2 K c n . M MMM M M M M M M M Man1 an2 Kannan1an2 Kannan1an2 Kann性质 4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即a11a12a1na11a12a1na i1a i 2a in a i 1a i 2a ink=0. ka i1ka i 2ka in a i 1a i 2a inan1an 2annan1an 2ann性质 5把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即a 11 a12a1na11a12a1nai1cak1ai 2cak2ain ca knai1ai 2ain.ak1 ak2aknak1ak2aknan1 an2annan1an2ann性质 6 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 即a11 a12 a1n a11 a12 a1na i 1 a i 2 a in a k1 a k 2 a knak1 ak 2akn=- ai 1 a i 2 a in .a n1a n 2a nn a n1a n2a nn性质 7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即a11a12a1,n-1a1n00000 .a n1a n2a n, n-1a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．0 0 0 1例 10 0 2 0计算行列式3 0.0 04 0 0 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！ 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1 j1a2 j2a3 j3a4 j4．显然，如果 j 14 ，那么 a 1 j 1 0 ，从而 个 就等于零．因此只 考 j 1 4 的 ，同理只 考j 2 3, j 3 2, j 4 1的 些 ， 就是 ，行列式中不 零的 只有a 14 a 23 a 32 a 41 ，而43216 ，所以此 取正号．故0 0 0 10 2 0= 1 4321a 14 a 23 a 32 a 41 24 .0 3 0 040 0 02.2 利用行列式的性即把已知行列式通 行列式的性 化 上三角形或下三角形. 方法适用于低 行列式．2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其 分 如下：a11a12 a13a1na110 0 0 a22a23 a2n a21a220 0 a33a 3na 11a 22ann，a31a 32a 33a 11a 22a nn.annan1an2 an3ann1 a 1a 2 a n 例 21 a 1 b 1 a 2a n算行列式 D n 1.1 a 1 a2 a n b n解析： 察行列式的特点， 主 角 下方的元素与第一行元素 相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主 角 下方的元素全部 零．即：化 上三角形．解：将 行列式第一行的1 倍分 加到第 2,3 ⋯（n1）行上去，可得1 a 1 a2 K a nDn 10 b 10 0 0b 1b 2 K b n.M M M O M0 00 Kb n2.2.2 加法行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使 行（或列）元素均相等或出 多零，从而 化行列式的 算． 算行列式的方法称 加法．例3解：2.2.3x1 m x2 x n计算行列式 D nx1 x2 m x n.x1 x2 x n mnx i m x2 x ni 1nD nx i m x2 m x ni 1nx i m x2 x n mi 11 x2 x n 1 x2 x nn 1 x2 m x n n 0 m 0x i m x i mi 1 i 11 x2 x n m 0 0 mm n 1 n x i m .i 1滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．1 2 3 n 1 n2 1 2 n 2 n 1例 4 计算行列式 D n 3 2 1 n 3 n 2 n 2 .n n 1 n 2 2 1解：从最后一行开始每行减去上一行，有1 2 3 n 1 n 1 2 3 n 1 n1 1 1 1 12 0 0 0 2D n 1 1 1 1 1 2 2 0 0 21 111 1 1 1 11 11 2 3 n 1 n 11 0 0 0 01 n 1 n 12 n 2.2 n 2 1 1 0 0 01 1 1 1 02.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．a1 a1 0 0 00 a2 a2 0 0例 5 计算行列式 D 0 0 a3 0 0.0 0 0 a n a n1 1 1 1 1解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：a1 0 0 0 00 a2 0 0 0D0 0 a3 0 00 0 0 a n 01 2 3 n n 11 2n2 1 n n 1 a a an 1 n n 1 a a a .1 2 1 2 n2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展开x 1 0 0 00 x 1 0 0例 60 0 x 0 0 解行列式 D n .0 0 0 x 1a nan 1an 2 a2 a1解：按最后一行展开，得D n a1 x n 1 a2 x n 2 a n 1 x a n.2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D 中任意选定了k 1 k n - 1 个行.由这k行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D. 即D M 1A 1 M 2 A 2 M n A n ，其中 A i 是子式 M i对应的代数余子式．即Ann 0A nn ?B nn ，Cnn BnnAnn CnnA nn ?B nn.0 Bnna a a ab例 7 解行列式 D n b .b解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得a a a abD n 0 0 00 0 0 0n 1 a a a ab n 20 0 0 00 0 0 0n 1 a 0 0n 2 n 1 ab n 2b n?2.2.4升阶法就是把 n 阶行列式增加一行一列变成n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子, 那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．0 1 1 1 11 0 1 1 1例 81 1 0 1 1 解行列式 D= .1 1 1 0 11 1 1 1 0解：使行列式 D 变成n 1 阶行列式，即1 1 1 1 10 0 1 1 10 1 0 1 1.D0 1 1 0 10 1 1 1 0再将第一行的 1 倍加到其他各行，得：1 1 1 1 11 1 0 0 01 0 1 0 0D= .1 0 0 1 01 0 0 0 1从第二列开始，每列乘以 1 加到第一列，得：（ n 1) 1 1 1 10 1 0 0 0D0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 n 1 n 1 .2.5 数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0例 9 计算行列式 D n 0 1 2 cos 0 0.0 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos解 : 用数学归纳法证明 .当 n 1 时，D1cos.当 ncos 12cos2 1 cos2 .2 时， D21 2 cos猜想， D n cosn.由上可知，当n 1 ， n 2 时，结论成立．假设当 n k 时，结论成立．即： D k cos k .现证当n k 1时，结论也成立．cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0当 n k0 1 2 cos 0 01时，D k 1 .0 0 0 2cos 10 0 0 1 2 cos将 D k 1按最后一行展开，得cos 1 0 01 2 cos 1 0 Dk 1 1 k 1 k 1 ? 2 cos 0 1 2 cos 00 0 0 2 coscos 1 0 01 k 1 k1 2cos 1 0 0 1 2cos 0000 12 cos D k D k 1.因为D k cosk，D k 1cos k 1cos k cosk cos sin k sin，所以D k 1 2 cos D k D k 12 cos cosk cos k cos kcos1.cos k cossin k sinsin k sin这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即： D n cosn.2.6递推法技巧分析：若n 阶行列式D满足关系式aD n bD n 1cD n 20 .则作特征方程ax 2 bx c 0 .① 若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax1n 1 Bx2n 1．② 若0，则特征方程有重根x1 x2，则 D n A nB x1n 1．在①②中， A ， B 均为待定系数，可令n 1, n 2 求出．9 5 0 0 0 0 04 95 0 0 0 00 4 9 5 0 0 0例 10 计算行列式 D n .0 0 0 0 4 9 50 0 0 0 0 4 9解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20D n 2.即D n9D n 120D n 20 ．作特征方程x 29x 200 .解得x14, x25 .则D n A ? 4 n 1B ? 5n 1.当 n 1 时， 9 A B ；当 n 2 时， 61 4A 5B .解得A16, B25 ，所以D n 5 n 1 4 n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．3.1.2例题解析1 a1 a2 0 0 01 1 a2 a3 0 0例 110 1 1 a3 0 0计算行列式 D n .0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1 a1 a2 0 0 01 0 1 a2 a3 0 00 0 1 1 a 3 0 0D n0 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n1 a2 0 0 01 1 a2 a3 0 00 1 1 a3 0 00 0 0 1 an 1 a n0 0 0 1 1 a na1 a2 0 0 00 1 a2 a3 0 00 1 1 a3 0 0.0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n上面第一个行列式的值为1，所以1 a2 a3 0 01 a3 0 0D n 1 a10 0 1 a n 1 a n0 0 1 1 a n1a1 D n 1.这个式子在对于任何n n 2 都成立，因此有D n1a1 D n 11 a1 1 a2 D n 2 1 a1 a1a2 1 n 1 a1a2 a nn i i1 1 a j.i 1 j 13.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值．3.2.2 例题解析1 1 1x1 x2 x n例 12x12 x22 x n2求行列式 D n .x1n 2 x2n 2 x n n 2x1n x2n x n n解：虽然 D n不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1 阶的范德蒙德行列式来间接求出 D n的值．构造 n 1 阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1x1 x2 x n xx12 x22 x n2 x 2f x .x1n 2 x2n 2 x n n 2 x n 2x1n 1 x2n 1 x n n 1 x n 1x1n x2n x n n x n将 f x 按第 n 1 列展开，得f x A1,n 1A2, n 1xA n,n 1 x n 1 A n 1,n 1 x n，其中， x n 1的系数为A n, n 1n n 11 D n D n.又根据范德蒙德行列式的结果知f xx x1 x x2x x n x i x j.1 j i n由上式可求得x n 1的系数为x 1x 2x nx ix j.1 j i n故有D nx 1 x 2x nx i x j .1 j i n3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设1， 2，n 是 n 级矩阵 A 的全部特征值，则有公式A 1 2n. 故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例 13 若1， 2，n 是 n 级矩阵 A 的全部特征值， 证明： A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为A 1 2n ，则A 可逆A1 2n 0i 0 i 1,2 n .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念a 11a12a13a1na11a 22a23 a2 na21a22形如a33a3n， a 31a32a33这样的行列式，形状像个三角形，a nna n1 a n2 a n3 a nn故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，a11 a12a13a1na11 0 0 00 a22 a23 a2n a21 a22 0 00 0 a 33 a3n a11a22 a nn ,a31 a32 a33 0 a11a22 a nn.000a nn a n1a n 2a n 3a nn4.2“爪”字型行列式4.2.1概念a0 b1 b2 b n b n b2 b1 a0 c n a nc1 a1 a1 c1形如 c2 a2 ，a2 c2 ， c2 a2 ，c1 a1c n a n a n c n a0 b1 b2 b na n c na2 c2 这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式．a1 c1b n b2 b1 a04.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线” ，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．4.2.3 例题解析a1 1 1 11 a2例 14 计算行列式 1 a3 ，其中 a i 0, i 1,2, n.1a n分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第i (i 2,3,n.) 列元素乘以1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．a ia 11 11n 11a 11 11 a 2i 2a i0 a 2解 : 1a 3a 31a na nn1a 2 a 3 a n a 1.i2a i4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念c n a na 0 c 1b nb 2 b 1a 0b 1 a 1c 2a 1 c 1形如c 2 a 2， b 2a 2，a 2 c 2，c 1 a 1c na 0b 1b 2b n b na n a n c na nb nb n a n a 0 b 1 b 2 b nc nc nc 1 a 1a 2b 2 ， b 2a 2 ，c 2 a 2，c 2a 1b 1 b 1 a 1c 2c 1 a 0a 0c 1c n a na n c nc 1 a 0c 2 a 1 b 1a 2 c 2 ，a 2b 2 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常a 1 c 1 c nb 1 b nb 2b 1 a 0a nb n称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用a n 消去 c n ，然后再用 a n 1 消去 c n 1 ，依次类推．4.3.3 例题解析1111b 1例 15计算 n1 阶行列式 D n 1.11bn 11b n解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得n1b in i 11b in n 1 nDn 1i 11?n211b ii 11bn 1b n 1b n1n n 3n21b ii 1.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念a 1b 1 0 0 0 a 2b 2 0形如这样的行列式叫做“两线型”行列式．0 0 b n 1 b na n4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．4.4.3 例题解析a 1b 1 0 0a 2b 2 0例 16求行列式 D n.0 0 0 b n 1b na n解：按第一列展开，得a2 b2 0 b1 0 0Dn 1 a10 0b n 1 n 1a2 b2 0 bn 10 0 a n 0 0 bn 1a1 a2 a n 1 n 1 b1b2 b n.4.5“三对角”型行列式4.5.1概念a b ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 0 00 1 a b ab 0 0 0形如这样的行列式，叫做“三对角型”行0 0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 0 1 a b列式．4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明．4.5.3例题解析a b ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 0 00 1 a b ab 0 0 0例 17 求行列式 D n .0 0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 0 1 a b解：按第一列展开，得ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 00 1 a b ab 0 0D n a b D n 1a ba b D n 1 abD n 2.0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 1 a b变形，得D n aD n 1 b D n 1 aD n 2.由于D 1a b, D 2a 2 ab b 2 ，从而利用上述递推公式得D n aD n 1b D n 1aD n 2b 2 D n 2aD n 3b n 2 D 2aD 1 b n.故D n aD n 1 b n a aD n 2b n 1b na n 1D 1a n 2b 2ab n 1 b na na n1ab n1b n.b4.6 Vandermonde 行列式 4.6.1 概念1 1 11a 1a 2 a 3 a n形如 a 12a 22a 32a n2这样的行列式，成为 n 级的范德蒙德行列式．a 1n 1 a 2n 1 a 3n 1a n n 14.6.2计算方法1 1 1 1a 1a 2a 3 a n通过数学归纳法证明，可得a 2a 2a 2a 2a ia j .123n1 j i1a 1n 1a 2n 1 a 3n 1a n n 14.6.3例题解析1 1 1x 1 x 2x n 例 18求行列式 D nx 12x 22x n 2.x 1n 2 x 2n 2 x n n 2x 1nx 2nx n n解：虽然 D n 不是范德蒙德行列式， 但可以考虑构造 n 1 阶的范德蒙德行列式来间接求出D n 的值．构造 n 1 阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1x1 x2 x n xx12 x22 x n2 x 2f x .x1n 2 x2n 2 x n n 2 x n 2x1n 1 x2n 1 x n n 1 x n 1x1n x2n x n n x n将 f x 按第 n 1 列展开，得f x A A x An, n 1 x n 1 A x n，1,n 1 2,n 1 n 1, n 1其中， x n 1的系数为A n, n 1 1 n n 1 D n D n.又根据范德蒙德行列式的结果知f x x x1 x x2 x x n x i x j.1 j i n由上式可求得x n 1的系数为x1 x2 x n x i x j,1 j i n故有D n x1 x2 x n x i x j.1 j i n5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1降阶法和递推法2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0例 19 计算行列式 D n .0 0 0 2 10 0 0 1 2分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到n 1阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得 D n 2D n 1 D n 2.即D n D n 1 D n 1 D n 2.∴D n Dn 1 D n 1 D n 2 D 2 D1 3 2 1 .∴ D n 1 D n 1 1 1 1 Dn n 1n 1 2 n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例 20计算行列式1 1 11 sin 1 1 sin2 1 sin 3Dsin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin 1 1 2 2 3 3 sin 2 1 sin 3 1 sin 2 2 sin3 2 sin 2 3 sin 3 3一行开始，依次用上一行的 1 倍加到下一行，进行逐行相加，得11 sin 4解：从第sin sin 24 4sin 2 4 sin 3 41 1 1 1sin 1 sin 2 sin 3 sin 4.Dsin2 sin2 sin2sin2 1 2 3 4sin3 1 sin3 2 sin3 3 sin3 4再由范德蒙德行列式，得1 1 1 1sin 1 sin 2 sin 3 sin 4sin i sin j. Dsin2 sin2 sin2sin2 1 2 3 4 1 j i 4sin3 1 sin3 2 sin3 3 sin3 45.3构造法和套用范德蒙德行列式1 1 1x 1 x 2x n 例 21x 12x 22x n 2求行列式 D n.x 1n 2 x 2n 2x n n 2x 1nx 2nx n n解：虽然 D n 不是范德蒙德行列式， 但可以考虑构造 n 1 阶的范德蒙德行列式来间接求出D n 的值．构造 n1 阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1 x 1 x2 x n xx 12x 22x n 2x 2f x.x 1n 2 x 2n 2 x n n 2 x n 2x 1n 1 x 2n 1 x n n 1 x n 1x 1nx 2nx n nx n将 f x 按第 n1 列展开，得f x AAx Ax n 1A1x n ，1,n 12, n 1n,n 1 n 1,n其中， x n 1 的系数为A n, n 11 n n 1 D nD n .又根据范德蒙德行列式的结果知f xx x 1x x 2x x nx i x j .1 j i n由上式可求得 x n 1的系数为x 1 x 2x nx ix j .1 j i n故有： D nx 1 x 2x nx ix j .1 j i n。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。
在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。
本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。
一、行列式的定义行列式是一个数。
行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。
对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。
二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。
具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。
b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。
c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。
d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。
4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。
行列式的多种计算方法
例文一：行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式. 例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b b a a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k =1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n n n n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列(1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B 和D 可逆，求A -1.例12 计算nn b b b a a a D 101000102121=例13 设：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A , BC T =0. 证明：|AA T|=|BB T||CC T |.例文2：行列式的多种计算方法行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．例1：nn n n n D ⨯-=000100002000010解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式n21nn n 21nn n 21nn n 210*00000000*0000000)1(λλλλλλλλλλλλ===⨯⨯⨯下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nn n 21nn n 21nn n n 21)1(000000000000000)2(λλλλλλλλλλλλλ-⨯⨯⨯-===n n 次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式例2 nn n n D ⨯=001030100211111解：)11(!0000300002011111221,3,21∑∑==⨯=-=-=-nj nn nj C jC nj njn n j D j2.3 可化为箭形的行列式∏∑∏∑=∏===+===⨯--+=---+⨯------=------==≠=n 1i i i n1k 222n1k i iC C n,2j n 333222111n1i i i n 1133112211321r -r n 2,i n 321321321321)x ()1(10101)(x101-0101-0011-)(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,j11i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a ni a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k kkk n kk knn n n i i nn nn n n n解3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111+-=-++-+=-++=n b a ba b b b b ab a a b a a a b b a b a b a D n n n n n按第一列展开例4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算)()1(00000001c c c c 010010011r r r r ,r r 00011n nax 112ax 11nn 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n nn ax a n n D a x a x ax naa x a x a x a a aa x a x a x a a a xa a a x aa a x aa a D a x xaa a a x a a a a x a a a a x D 时当时当5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值:,)()(:,)()(0000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==n n n n n nn n n n nn nn nn n a x a D a x D a x a D a x a aa x a a x a a x D a x a a a a a x a a a a x a a a a x a x a a a x a a a x a a a x a a x a a a x aa a x a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x D])1([)()()1()()(])())[((1111122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n .)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121∑∑∑-=--==+=-≥+=+⋅=++=+=+=≠+++=n i in n ni in n i in nn a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例1121121212111110000000011111111111111111111---+=+=+++++=n n n n n nn D a a a a D a a a a a a a a D于是又归纳假设得：)11()11(12111121121∑∑=-=--+=++=ni in n i i n n n n a a a a a a a a a a a a D故对一切自然数n 猜得正确，即1),11(121≥+=∑=n a a a a D ni in n7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式 例8nnn n nn nn n n n n x x x x x x x x x x x x D32122322213211111----=n 阶范德蒙行列式为∏≤<≤-----=nj i i jn nn n n nna aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111解 构造n+1阶范德蒙行列式=)(x f 1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111+++-+--+++⨯+----------+++=n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n nn n n nn n n n n n n A x A x A x xA A x x xx x x x x x xx xx xx xx x x x∏≤<≤-⋅---=ni j j in x xx x x x x x 121)()())((1,1,++-==n n n n n A M D 由f(x)的表达式知，1-n x 的系数为∏∏≤<≤≤<≤+-+++=∴-+++-=ni j j in n ni j j in n n x xx x x D x xx x x A 1211211,)()()()(8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算例9 设nnn na a a a D1111=nnn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a D ++++++=221122221211212111解n nn n n nn n n n x a x a a x a x a a x a x a a D ++++++=221222221121211nnn n nn n n x a x a x x a x a x x a x a x +++++++2212222112121∑=+++++++=ni i nnn n n nn n n A x x a x a a x a x a a x a x a a 111221222221121211∑∑∑∑====+=+++==ni ij nj j ni i ni in n A x D A x A x D 1111119 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果 例10211121112a a aa a a D n ------=解令a x -=1，由（拆项法例题结果）知∑∑==-++++=-++-+-+-+-++-+-+-+-++=ni nj ijn A a aa a a a aaa a a a a a a a D 11)1(10010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11n a n a D j i j i a A n n n ij -+++=∴≠= ⎝⎛-=-- 10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值 例11nn nn n n n nn b a b a b a b a b a b a D ⨯++++++=212221212111解213))((0000001111001001001001122111321321==≥⎪⎩⎪⎨⎧--+=⋅=n n n b b a a b a b b b b a a a a D nn n例题。
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结线性代数是现代数学的一个分支，研究向量、向量空间和线性变换等代数结构的性质与特征。
行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解线性方程组、求逆矩阵以及描述线性变换的性质等方面起到了关键作用。
在这篇文章中，我将总结特殊行列式的特点以及行列式的计算方法。
一、特殊行列式1.恒等行列式：表示为，I，其中I是一个n阶单位矩阵。
恒等行列式的值始终为12.零行列式：当矩阵的其中一行（列）全为0时，行列式的值为0。
3.对角行列式：当一个矩阵只有两条对角线上的元素不为0，其他元素都为0时，该行列式称为对角行列式。
对角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
4.正交行列式：当一个矩阵的行（列）两两正交时，该行列式称为正交行列式。
正交行列式的值为1或-15.上三角行列式和下三角行列式：当一个矩阵上方（下方）所有元素都为0时，该行列式称为上三角行列式（下三角行列式）。
上三角行列式和下三角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
二、行列式的计算方法1.全选定理：对于一个n阶行列式，可以通过全选定理将其划分为n 个部分，每个部分都取自不同行不同列的元素。
根据全选定理，行列式的值等于每个部分的和。
2.代数余子式法：通过将行列式的每个元素都与其代数余子式相乘，并加减得到行列式的值。
代数余子式是从行列式中划去一行一列后剩下的(n-1)阶行列式。
3.列展开法：选择行或列展开，将行列式的展开式记作以第i行（列）展开为Ai，行列式的值可以表示为Ai与其对应的元素的代数余子式的乘积的和。
4.递推关系式：行列式有一个重要的性质，即当对调行（列）的位置时，行列式的值相反。
利用这一性质，可以通过多次对调行（列）将矩阵化简为上三角行列式或下三角行列式，进而求解行列式的值。
5.三角行列式：对于上三角行列式和下三角行列式，可以直接用对角线上的元素的乘积得到行列式的值。
总结：线性代数中的特殊行列式具有一些独特的特点，包括恒等行列式、零行列式、对角行列式、正交行列式以及上三角行列式和下三角行列式。
线性代数行列式计算总结
11
返回
故 An - An－1 是以 为公比的等比数列(n 3, 4,L ).
A2 ( )2 2 2 ,
即 归纳可得，
同理,
A2 ( ) 2
A2 A1 2，
An An1 n，
An An1 n.
00
196 10
2
返回
2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶 法（基本方法）1 4 1 4
例10. 计算
2 D
1
4
3
4 2 3 11
解.
30 9 2
7 0 17 8
7 17 8
21 4 D
3 (1)22 0 5 5
0 0 5 5
392
30 9 2
7 25 8
c2
c3
L
cn
0
Dn
0
a2 a3
n i2
ai a1
n i2
bi ai
ci
M
O
0
4 an
返回
3. 各行（列）相加法，“加边”法。
适用于各行（或列）的和相等；或各行（列）元有相同规 律，而主对角线元与众不同的情况。
例12. 计算 解. 法一
x y y y x y Dn y y x
8
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法二：
1 a1 a2 L
Dn
a1 L
1 a2 L LL
a1
a2 L
n
1 ai
a2
L
an
i 1
n
an L
1 i1 ai 1 a2 L
几类特殊N阶行列式的计算
几类特殊N阶行列式的计算在线性代数中，N阶行列式是一个非常重要的概念。
行列式可以看作是一个矩阵的一种特殊性质，它在很多数学和应用问题中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将讨论一些特殊的N阶行列式的计算方法。
一、对称行列式对称行列式是指行列式中的每个元素都关于主对角线镜像对称。
例如，一个3阶对称行列式可以写成如下形式：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$$对称行列式的计算方法有很多，以下是其中几种常用的方法。
1.代数余子式法代数余子式法是一种常用的计算对称行列式的方法。
首先，我们可以按照主对角线元素展开行列式，得到：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{23} \\ a_{13}& a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22}\\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix}$$然后，继续按照代数余子式展开行列式，直到得到一个2阶行列式。
最后，根据2阶行列式的计算公式计算出最终的结果。
2.克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式计算方程组的方法。
行列式计算方法小结
计算公式
对角行列式的计算公式为 $Delta = prod_{i=1}^{n} a_{ii}$，其中 $a_{ii}$ 表 示第 $i$ 行第 $i$ 列的元素。
04
行列式计算在矩阵中的应 用
行列式与矩阵的逆
总结词
上三角行列式的计算公式为 $Delta = sum_{i=1}^{n} (1)^{i+j} a_{ij} prod_{k=1}^{i1} a_{ik}$，其中 $a_{ij}$ 表示 第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
在计算上三角行列式时，需要 注意保持运算的正确性，避免 因元素位置错位导致计算错误 。
矩阵的秩是其行或列向量中线性无关向量的个数，而零行列式的矩阵必然有零秩 。因此，通过计算行列式值，可以确定矩阵秩的性质。
行列式与线性方程组
总结词
行列式在解线性方程组中起到关键作 用，通过行列式的性质可以简化方程 组的求解过程。
详细描述
对于线性方程组，如果系数矩阵的行 列式不为零，则该方程组有唯一解。 此外，行列式的性质如代数余子式等 在方程组的求解过程中也具有重要应 用。
代数余子式是由去掉一个元素后得到的$(n-1)$阶行列 式乘以一个系数$(n-1)$得到的。这种方法在实际应用 中较为常用，特别是在行列式中有很多零元素的情况。
展开法Βιβλιοθήκη 展开法是一种基于行列式展开定理的计算行列式值的方 法。具体来说，对于一个$n$阶行列式$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} end{matrix}|$，其 值等于按照某一行或某一列展开后的代数和。
行列式性质及其计算方法
目录页
Contents Page
1. 行列式基本定义与性质 2. 行列式的基本运算规则 3. 行列式的展开定理证明 4. 特殊行列式的计算方法 5. 行列式与矩阵的关系 6. 行列式在线性方程组中的应用 7. 行列式的几何意义解释 8. 行列式计算实例与解析
行列式性质及其计算方法
行列式与矩阵的关系
▪ 行列式与矩阵在计算科学中的实现
1.在计算机中，可以通过编写程序来实现行列式和矩阵的计算 。 2.常用的计算行列式的方法包括：化三角形法、按行（列）展 开法等。 3.对于大型矩阵，可以采用一些高效算法来计算行列式，例如 LU分解法、QR分解法等。
行列式性质及其计算方法
行列式在线性方程组中的应用
行列式的基本运算规则
▪ 拉普拉斯定理
1.在n阶行列式中，取定k行（列），由这k行（列）的元素所 构成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式。 2.拉普拉斯定理亦称按k行展开定理，是行列式计算的重要工 具之一，可以用于化简和计算行列式。在使用拉普拉斯定理时 ，需要选择合适的k行（列）进行展开，并注意计算过程中的 符号变化。 以上内容仅供参考，建议查阅线性代数书籍或咨询专业人士获 取更全面和准确的信息。
行列式性质及其计算方法
行列式的基本运算规则
行列式的基本运算规则
▪ 行列式基本性质
1.行列式与其转置行列式相等。 2.互换行列式的两行（列），行列式变号。 3.行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k，等于 用数k乘此行列式。 行列式的基本性质是行列式计算的基础，必须熟练掌握。这些 性质表明了行列式的一些基本特性和变化规律，为行列式的计 算和化简提供了重要的依据和方法。在利用性质进行计算时， 需要注意性质的适用条件和范围，以及计算过程中的符殊行列式的计算方法
各种行列式的计算方法
各种行列式的计算方法宝子们，今天咱们来唠唠行列式的计算方法呀。
一、定义法。
这就像是最基础的招式啦。
按照行列式的定义，把所有可能的排列组合算出来。
不过呢，这个方法可有点费时间，就像你要一个一个数小珠子一样，要是行列式的阶数大一点，那可就累得够呛。
比如说二阶行列式，按照定义算起来还比较轻松，就是主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘。
但是三阶或者更高阶的，那可就复杂得多喽。
二、三角形行列式法。
这个方法可就比较巧妙啦。
我们想办法把行列式通过行变换或者列变换变成上三角或者下三角行列式。
为啥呢？因为三角形行列式的值就等于主对角线元素的乘积呀，多方便。
就像把一堆乱乱的东西整理得整整齐齐的，然后一下子就能算出结果。
比如说给你一个行列式，你就观察一下，哪行或者哪列加上或者减去其他行或者列的倍数，能让它慢慢变成三角形的样子。
三、按行（列）展开法。
这个方法就像是拆积木一样。
你可以按照行列式的某一行或者某一列展开。
比如说按第一行展开，那这个行列式的值就等于这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式然后相加。
代数余子式呢，就像是这个元素的小跟班，有自己的计算方法。
这个方法在行列式里有很多零元素的时候特别好用，就像走捷径一样，直接找那些简单的部分来计算。
四、行列式的性质法。
行列式有好多有趣的性质呢。
比如说两行（列）交换，行列式的值就变成原来的相反数；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。
我们就可以利用这些性质，把行列式变得简单一些再去计算。
就像给行列式做个小整容，让它变得更可爱（好计算）。
宝子们，行列式的计算方法就这么些啦，多做做练习，就会发现其实也没有那么难啦。
加油哦！。
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特殊行列式及行列式计算方法总结一、 几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式11112112,1221222,11,21,11,112,1(1)212,1100000000000000(1)n n n n n n n n n n n nnn n n n n nnn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------===-L L L LL L MM M M M M M M M NL LLL 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：00n n m n n m n m m n m m nmA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==⋅0(1)0n m n n m nmn n m mm nmm nA C A AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-⋅4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题）0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。
解法一：定义法(1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-=解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。
2001(20011)2001120011200002001000100200(1)(1)(1)2001!2001!019990002000000D ⨯---=-=--=L LL M M M M MML L解法三：分块法0001000200019990002000000002001D =L LM M M M M M L L L利用分块行列式的结果可以得到2000(2000-1)200010020=2001=2001(-1)2000!=200101999002000000D ⋅⋅L L MMM M M L L！ 解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。
2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例21111111111111111a a D b b+-=+-分析：该行列式的特点是1很多，可以通过12r r -和34r r -来将行列式中的很多1化成0. 解：214143220011001100111111110110000110011111111110111100011001100r r r r r r a a a a a D ababb b b b ba aba b b------===----==-例33223111111322322222232233333333223444444a ab a b b a a b a b b D a a b a b b a a b a b b = ，(0)i a ≠ 分析：该类行列式特点是每行a 的次数递减，b 的次数增加。
特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式。
解：2311111123222222333312342333333323444444333331241234123433331234141()()()1()()()1()()()1()()()(,,,)()ji j i ij b bb a a a b b b a a a D a a a a b b b a a a b b b a a a b b b b a a a a V a a a a b b a a a a a a ≤<≤=⋅=⋅=⋅-∏练习：（11-12年 IT 专业期末考试题）若实数z y x ,,各不相等，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111z y x z y x M 的行列式=M __________ 3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 例400000000000n a b a b D a b ba=L L L L L L分析：该行列式特点是a 处于主对角线，b 在a 后的一个位置，最后一行中b 是第一个元素，a 是最后一个元素。
解：按第一列展开：1111111000000(1)(1)000000(1)(1)n n n n n n n na b b a b ab D a ba b aba a ab b a b ++-+-+=⋅-+-⋅=⋅+-⋅=+-L LL L OO L L练习：（11-12年期中考试题）xyy x x y x y x D n 00000000000000ΛΛΛΛΛΛΛ=4. 行（列）和相等的行列式 例5n a b b b a bD b b a=L L M M M ML分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a ，其余位置上都是b 。
可将第2,3，…，n 列加到第1列上。
（类似题型：教材P12例8，P27 8(2)） 解：111110[(1)][(1)]110[(1)]()n n b b b b a b a b D a n b a n b b a a ba nb a b --=+-⋅=+-⋅-=+--L L L L M M M M M M M M L L 5. 箭头形（爪行）行列式 例601111200130100D n=L L L L L L分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。
解：分别从第2,3,…,n 列提出因子2,3，…，n ，然后将第2,3,…,n 列分别乘以-1，再加到第1列上。
注：爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算！ 练习：1) 教材习题P28: 8(6) 2) （11-12年期末考试题）23(1)2000300010000n a n n a a A n a na-----=-L L L L L L L3) （11-12年IT 期末考试题）nxn x xxa a a a x D n n n 00100002000011211ΛΛM M M M M ΛΛΛ-=-+例7123123123123n n n nx a a a a x a a D a a x a a a a x =L L L L L L分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。
解：1231122113311312112233112221221122000001100()()()101010011()()()01001(n n nn n nn n ni n i i in nn n i i x a a a a x x a D a x x a a x x a a a x a x a x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a x a x a x a x a =--=---------=-⋅----+---=-⋅--=-∑L L L L LLL L L L M M M M M LL L L M M M M L 11)[1]n nii i i ia x a ==+-∑∏6. 递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15例11就是递推法的经典例题。
利用同样的方法可以计算教材P27 8(4)。
7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。
例8 （教材P28 8(6)）121+1111+1=111+n na a D a LL M M M M L , (0)i a ≠分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。
因为行列式中有很多1，因此可以增加一行1，使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。
注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。
为了使行列式的值不改变，因此增加的列为1,0,0, 0例9 （教材P27 6(4)）222244441111=a b c d D abcda b c d分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。
解法一：2433221213122222222222222222111100()()()0()()()111=()()()()()()100()()()()()()()(r a r r ar r ar c c c c b a c a d a D b b a c c a d d a b b a c c a d d a b a c a d a b cdb b ac c ad d a b a c a d a bc bd bb b ac c a b b ad d a b --------=---------+++=-----++-++-按第一列展开2222)()()()()()()()()()()()()()()b ac bd b b a c a d a c c a b b a d d a b b a a b a c a d b c b d c d a b c d +--=---+-++-+=------+++按第一行展开解法二：25322224444333341111()()()()()()()()()()1a b c d D a b c d a b c d x a x b x c x d b a c a d a c x x a b c d d x b x b d c ==----------3x 的系数是D -，因此D 等于3x 的系数的相反数，由此可计算得到结果。