高三数学平面向量的基本定理及其坐标表示PPT精品课件

课堂互动讲练
由m4m＋＋2nn＝ ＝11， ，
解得m＝17， n＝37，
＝17a＋37b.
所以O→M
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【名师点评】 (1)本题两次利用 了共线的条件，并且注意方程思想的 利用；
(2)解决类似问题应重视平面几何 知识的应用；
(3)用基底表示向量是用向量解决 问题的基础，应根据条件灵活应用， 并熟练掌握．
∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5－5 ，解得mn＝＝－－11
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【名师点评】 利用向量的坐标 运算解题，主要是根据相等的向量坐 标相同这一原则，通过列方程组求解； 在将向量用坐标表示时，要看准向量 的起点和终点坐标，也就是要注意向 量的方向不能写错．
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互动探究
若例 2 条件不变，又已知C→M＝3c， C→N＝－2b.
第2课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示
基础知识梳理
1．平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个 不平行的向量，那么该平面内任一向 量 ＝aa，1e1存＋在a2唯e2 一，的把一不对共实线数向a量1，e1a，2使e2a叫 做表示这一平面内所有向量的一组基 底，记为 {e1，e2}，a1e1＋a2e2 叫做向 量a关于基底{e1，e2}的分解式．
求 M、N 的坐标及向量M→N的坐标．
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解：∵C→M＝O→M－O→C＝3c， ∴ O→M＝ 3c＋ O→C ＝ (3,24)＋ (－ 3， － 4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵C→N＝O→N－O→C＝－2b， ∴O→N＝－2b＋O→C＝(12,6)＋(－3，－ 4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴M→N＝(9，－18)．
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【思路点拨】 利用向量的坐标 运算及向量的坐标与其起点、终点坐 标的关系求解．
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【解】 由已知得 a＝(5，－5)， b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n) ＝(5，－5)，
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考点二 平面向量的坐标运算
向量的坐标运算，使得向量的线 性运算都可用坐标来进行，实现了向 量运算完全代数化，将数与形紧密结 合起来，就可以使很多几何问题的解 答转化为我们熟知的数量运算．
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例2 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－ 3，－4)．
设A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c， (1)求：3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
基础知识梳理
向量与它的坐标之间是什么关系？ 【思考·提示】 向量与它的坐标 之间是一一对应关系，即向量确定， 则坐标唯一；坐标确定，则向量唯 一．
基础知识梳理
4．向量的直角坐标运算 (a1＋设b1a，＝a(2a＋1，b2a) 2，)，ab－＝b(b(a1，1－bb2)1，，则a2－a＋b2b)＝， λa＝(λa1，λa2) ．
答案：1 2
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考点一 平面向量的基本定理及其应用
1．以平面内任意两个不共线的 向量为一组基底，该平面内的任意一 个向量都可表示成这组基底的线性组 合，基底不同，表示也不同．
2．利用已知向量表示未知向量， 实质就是利用平行四边形法则或三角 形法则进行向量的加减运算或数乘运 算．
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提醒：由于基底向量不共线，所 以0不能作为一个基底向量．
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例1 如图所示，在
△ OAB 中，O→C＝14
O→A
Βιβλιοθήκη Baidu
，
O→D
＝
1 2
O→B
，
AD 与 BC 交于点
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M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.
【思路点拨】 先用平面向量基 本定理设出O→M＝ma＋nb，再利用共 线向量的条件列出方程组，确定 m，n 的值．
基础知识梳理
2．正交分解 如果基底的两个基向量e1，e2 互相垂直，则称这个基底为 正交 基底 ，在正交基底下分解向量， 叫做正交分解 ．
基础知识梳理
3．向量坐标 设{e1，e2}为平面直角坐标系内的 正交基底，由平面向量基本定理，对于 平面上的一个向量a，有且只有一对实 数x，y，使得a＝xe1＋ye2，我们把有序 实下数的对坐(标x，，y)叫记做作向：量a＝a(在x，基y底) ，{e1，x 叫e2}a 在x轴上的坐标， y 叫a在y轴上的坐 标 ． 把 a ＝ (x ， y) 叫 做 向 量 的 坐 标 表 示．
基础知识梳理
5．用平面向量坐标表示向量共线条 件
设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，向量 a∥b ⇔a1b2－a2b1＝0⇔ab11＝ab22(b1≠0 且 b2≠0)．
三基能力强化
1．(2009年高考湖北卷改编)若向
量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则
b＝( )
A．3a＋c
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【解】 设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)， 则A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b. 因为 A，M，D 三点共线，所以m－－11 ＝n1，即 m＋2n＝1. 2
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而C→M＝O→M－O→C＝(m－14)a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b， 因为 C，M，B 三点共线，所以m－－1441 ＝n1，即 4m＋n＝1.
B．3a－c
C．－a＋3c
D．a＋3c
答案：B
三基能力强化
2．在平行四边形 ABCD 中，AC 为
一条对角线，若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，
则B→D等于( )
A．(－2，－4) C．(3,5)
B．(－3，－5) D．(2,4)
答案：B
三基能力强化
3．已知两点 A(4,1)，B(7，－3)，则
与A→B同向的单位向量是( )
A．(35，－45)
B．(－35，45)
C．(－45，35)
D．(45，－35)
答案：A
三基能力强化
4．若 p＝(1，－2)，q＝(12，0)，a ＝(3,4)且满足 a＝mp＋nq.则 m＋n＝ ________.
答案：8
三基能力强化
5．(教材习题改编)已知向量a＝ (1,2)，b＝(x,1)，若u＝a＋2b，v＝2a －b，且u∥v，则x＝________.