第二讲全参数方程同步练习

第二讲 参数方程 第一节 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程一、选择题1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )．A ．(2，3)B ．(1，5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D ．(2，0)2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2 θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )．A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2 (2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)3．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( )．A ．(x －1)2(y －1)＝1B ．y ＝x （x －2）（1－x ）2C ．y ＝1（1－x ）2－1D ．y ＝x1－x 24．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t ，(t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( )．A ．|t 1|B ．2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1| 二、填空题5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，a ，则a ＝________．6．物体从高处以初速度v 0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x 轴，物体所经路线的参数方程为________．7．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．8．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θcos θ化成普通方程为__________．三、解答题9．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．11．求圆x 2＋y 2＝9上一点P 与定点(1，0)之间距离的最小值．第2课时 参数方程和普通方程的互化一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－sin θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( )．A ．y 2＝1＋xB ．y 2＝1－xC ．y 2＝1－x (－2≤y ≤2) D ．以上都不对2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )．A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝13．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝2t 1＋t 2(t 为参数)化为普通方程为 ( )．A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点C ．x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点4．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为( )．A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3D ．－π6或－5π6二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________． 6．令x ＝t ，t 为参数，则曲线4x 2＋y 2＝4(0≤x ≤1，0≤y ≤2)的参数方程为________．7．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．8．(2009·天津高考)设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x＋4，则l 1与l 2的距离为________．三、解答题9．设y ＝tx (t 为参数)，求圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程．10．两曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ (θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t 2，y ＝－4t2(t 为参数)，求它们的交点坐标．11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．第二节 圆锥曲线的参数方程一、选择题1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( )．A.23B ．－23C.32D ．－322．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C ．(2，3)D ．(1，3)3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 4．双曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的一个焦点为( )．A ．(3，0)B ．(4，0)C ．(5，0)D ．(0，5)二、填空题5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________．解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1 或x ＝－5.6．点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (其中参数t ∈R )上的点的最短距离为________．7．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ (θ是参数)的左焦点的坐标是________．8．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)上的两点M ，N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，那么|MN |＝________． 三、解答题9．在椭圆x 216＋y 212＝1上找一点，使这一点到直线x －2y －12＝0的距离的最小值．10．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点， (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．11．(椭圆参数方程的应用)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．第三节 直线的参数方程一、选择题1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为 ( )．A.23B ．－23C.32D ．－322．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )．A ．7 2B ．4014C.82D.93＋433．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为 ( )．A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)4．过点(0，2)且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)互相垂直的直线方程为( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝t二、填空题5．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A (1，2)，则|AB |＝________．6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．7．经过点P (1，0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点为M ，则M 的坐标为____________．8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________． 三、解答题9．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P 到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝2＋2t (t 为参数)的最短距离．10．已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点．(1)求|AB |的长；(2)求点P (－1，2)到线段AB 中点C 的距离．11．(直线参数方程意义的考查)已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π3.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相交于点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．本讲质量评估(一)(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程； ②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线． 在这三个结论中正确的是( )．A ．①③B ．①C ．②③D ．③2．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫5，－2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫－5，－5π33．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π34．极坐标ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( )．A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )．A ．ρsin θ＝2B ．ρcos θ＝2C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－46．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝12的图形是( )．8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )．A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝19．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )．A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆10．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )．A ．直线θ＝π3对称B ．直线θ＝5π6对称C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3中心对称D ．极点中心对称二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上) 11．极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．12．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________．13．在极轴上与点⎝⎛⎭⎪⎫42，π4的距离为5的点的坐标是________．14．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．16．在直角坐标系中，已知三点P (23，2)，Q (4，－4)，R (6，0)．(1)将P 、Q 、R 三点的直角坐标化为极坐标；(2)求△PQR 的面积．17．根据曲线的极坐标方程判定曲线类型． (1)ρsin θ2cos θ2＝1；(2)ρ2(25－16cos 2θ)＝225.18.设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．19．(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C 的方程； (2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程．本讲质量评估(二)(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2，3)的距离等于2的点的坐标是( )．A ．(－4，5)B ．(－3，4)C ．(－3，4)或(－1，2)D ．(－4，5)或(0，1)3．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( )．A ．(2，－7) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1，0)4．若P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝5C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝05．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝cos 2 tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan ty ＝1－cos 2t 1＋cos 2t6．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是 ( )．A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2 (t 为参数)所表示的曲线是( )． A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线8．设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ是参数)的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定9．过点(0，2)且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝t10．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )．A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)11．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，若圆上一点P 对应参数θ＝43π，则P点的坐标是________．12．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝1＋2sin θ，则C 上各点到l 的距离的最小值为________．13．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________．14．点(－3，0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________．三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．16.如图所示，连结原点O 和抛物线y ＝2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹．17．已知点A 为椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，点B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB |的最大值和最小值．18．设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率．(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．19．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2. 写出C ′1，C ′2的参数方程．C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数 是否相同？说明你的理由．。