第三章 振动
第三章强迫振动(2011版)
第三章 强迫振动3.1 引言本章讨论.1自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通常称为振系对周期激扰的响应。
周期激扰可以是作用于振系的周期扰力，也可以是振系支座的周期运动。
本章着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单。
而所得结论却有很重要的工程应用.任意的周期激扰，都可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别求份各个正弦型激扰单独引起的振动，然后累加，就可以得到振系对任意周期激扰响应。
叠加原理适用于线性系统，振系由周期激所引起的振动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加。
才得到振系总的运动。
本章还简略地说明强迫振动理论应用于隔振与侧振等问题;最后提出激扰力与阻尼力在强迫振动各个周期内所做的功，以及各种非线性阻尼的等值粘性阻尼系数的计算方法。
3.2 无阻尼振系在正弦型扰力作用下的振动在自由振动中，作用于振动物体的力只有恢复力与阻尼力，二者都随物体的运动而改变。
现在假定，除上述两种力之外，还有周期改变的外力经常作用于振动物体，力的大小与频率都是由外界条件所决定的，不受物休本身振动的影响。
这种力称为周期的激扰力．．．或扰力．．。
本节考虑无阻尼的振系，图3.2-1，假定物体可以沿铅垂方向上下运动，仍取铅垂坐标轴 x ，以物体在无扰力作用时静平衡位置为原点，向下为正，则恢复力为kx -设扰力为t F F ωsin 0= (a)其中0F 称为扰力的力幅．．，假定为常值，ω称为激扰频率．．．．，简称扰频．．。
由牛顿运动定律有 t F kx xm ωsin 0+-= 或者t F kx xm ωsin 0=+ (3.2-1) 这就是无阻尼振系在正弦型扰力作用下的运动微分方程。
仍令m k p=2图3.2-1方程(3.2-1)可写为t mF x p xωsin 02=+ (3.2-1)’这是非齐次．．．的二阶常系教线性常微分方程，它的解由两部分组成，即 21x x x += (b)其中1x 代表方方程（3.2-1）在右端为零时〔即齐次方程（2.2-1）的通解，简称为齐次解．．．，可以写为方程(2.2-2)或（2.2-5)的形式。
第三章 晶格的振动
i [ q ( 2 n2 ) at ]Be it Ae it
原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。
长声学波代表原胞质心的振动。
2）光频支 2 2 cos qaA ( 2 M ) B 0 两种原子的振幅比：
2 A 2 M2 ( )2 B 2 cos qa
玻恩—卡门边界条件： 晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。 晶格振动的频率数等于晶体的自由度数
（振动模式数）
2. 一维单原子链的波矢数
N M x N 1 x1 i q ( N 1) a t i qa t Ae Ae i qna t x Ae n ei qNa 1 Nqa 2l 2l q Na
光学波代表原胞中两个原子的相对运动。
三、玻恩—卡门边界条件 1. 玻恩—卡门假设和主要结果 a. 由N个原子构成的原子链为无限长的原子 链上的一段，这里N=mM m—每个原胞的原子数，M—原胞数。 b. 把这N个原子组成的一维原子链看成一个 闭合环，它包含有限数目的原子，但实际 上第N+1个原子就是第1个原子。 只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就 局部看仍认为原子排列在一条直线上从而 得出结论。
0
U 1 2U 2 U ( x0 ) U ( x0 ) ( ) x0 x x0 ( 2 ) x0 x x0 ... x 2 x U 1 2U U ( x0 ) ( ) x0 ( 2 ) x0 2 ... x 2 x
2
mM
{(m M ) [m 2 M 2 2m M cos(2qa)] }
1 2
2. 振动方程及其试探解 类似于一维单原子链的讨论
第三章 振动与波 声
A A2
A1
o
x
o
x1 反相
T
t
x2
x
3.3.2 两个频率不同、振动方向相同的简谐振动的合成
设振动 :
x1 A1 cosω1 t x2 A2 cosω2t
1. 旋转矢量法合成: x x1 x2
随 t 变, 不恒定
当 (ω2 ω1) t 2kπ 时,
A 有最大值 A A1 A2 当 (ω2 ω1) t (2k 1)π 时，
2
2
特例:
当 2 1 时 , 2 - 1 2 + 1 ， 令 x A(t) cos t
其中 A(t) 2Acos( 2 1 t)
2
随 t 缓变
cos t cos( 2 1 t)
2
随 t 快变
结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
拍的现象:两振动方向相同, 频率接近的谐振动合成时, 其合振幅时强时弱, 有规律交替出现的现象.
到的新波面。 说明
S1
S2
(1) 知某一时刻波前， 可用几何方法决定 下一时刻波前；
t 5T
t 5T 4
4
t 3T
2
横波
纵波
结论
(1) 波动中各质点并不随波前进
yy
u
(2) 各个质点的相位依次落后,波
t
动是相位的传播
x
(3) 波动曲线与振动曲线不同
振动波曲动线曲线
3.4.1 波的描述
1. 波的几何描述 波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中 振动相位相同的点联结成的面
波线 沿波的传播方向作的有方向的线 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面
2
x A1
y A2
第三章-振动和波
第三章振动和波当飞机以超过音速的速度飞行，飞机所发出的音波无法跑在飞机前方，全部叠在机身后方，形成了音爆(sonic boom)，这种波传到时，我们会听到一声轰然巨响。
在飞机正好要加速穿过音障(sound barrier)时，在飞机的周围有时会有一团云雾形成。
这是一架F/A-18大黄蜂战机穿过音障的瞬间。
振动是物体一种普遍的运动形式。
物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，将机械振动范围这一概念加以推广，对描述物体运动状态的物理量在某一数值附近来回往复的变化时，均可称该物理量在振动。
如电路中电压、电流、电路中的电场强度和磁场强度等也都可能随时间作周期性的变化，这种变化也称为振动—电磁振动。
各种振动本质不同，基本规律相同。
振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动又包括阻尼自由振动和无阻尼自由振动（简谐运动）。
波动是振动状态在空间的传播，它是物质的一种特殊的运动形式。
常见的波有两大类:机械波和电磁波。
近代物理研究发现，微观粒子具有二相性-波动性和粒子性，因此研究微观粒子的运动规律时，波动概念也是很重要的基础。
各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。
本章主要讨论机械振动和机械波的概念和规律，其规律可推广到一般振动和波动。
简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。
描述简谐运动的三个特征量是振幅、周期和相位。
简谐运动物体的速度、加速度也是随时间变化的周期性函数，除解析方法外，简谐运动也可以用曲线法和旋转矢量法表示。
简谐运动过程中存在着势能与运动动能的相互转化，总机械能守恒。
简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。
当描述物体的变量如位移x(t)满足运动方程时，其解可以表示为x = A cos (w t+j)，这种用时间t的正弦或余弦函数来描述的运动，叫做简谐振动或简谐运动（simple harmonic motion），上述两式分别叫做简谐运动的微分方程和积分方程。
振动力学3
A
i
，则
R
M
i
i i
T
i T
K
i
2 i
为第 i 阶固有频率的平方值
若任选一个列阵 作为假设模态，一般不是实际模态，但能 表示为简正模态的线性组合
a jNj N a
j 1
n
a 为系数 a j 1,2,, n 构成的列阵
例题1： 用瑞利法估计系统的基频上限。
解：考虑离固定基座愈远的物体 的等效弹簧刚度愈小，位移愈大。 近似取
1 1.4 1.8
T
T
2 k 1 1.4 1.8 1 T 0 K R T M 1 T m 1 1.4 1.8 0 0
k k k 2 2 , 2 , 3 m 2m 5m
2 1
1
12
1 1 1 8m 2 2 12 2 3 k
k 1 0.3535 m
1 0.3730
k m
精确解
课堂练习： P123-5.1
作业： P123- 5.2
第二节 瑞利法和里茨法
1 k 0.6 0.4 0.8 1.4 1.8 1.48k 9.44m 1 m 1 1.4 3.6 1.4 1.8
1 0.3959
k m
与基频的精确值
1 0.3730
k m 相比，相对误差约为6%
k k , 2 1.3642 m m
1
1 2 2 1.8 ， 1 2 1
代入 K T K , M T M 得
第三章(多自由度系统的振动)
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
振动理论基础及激励源分析
(3-13)
例 3-3 图 3-8 所示凸轮-从动杆机构利用一个轴的旋转运动实现阀的往复运动。从动杆系统 由质量为 m p 的推杆、质量和绕质心转动惯量分别为 mr 、 J r 的摇臂、质量为 mv 的阀门和不 计质量的阀门弹簧组成。求该机构在位置 A 点和 C 点的等效质量。
图 3-8
凸轮-从动杆系统
图 3-7 平动和转动多质量系统
（3-8）
1 1 1 1 m a2 1 1 2m (2a)2 2 2 T m1 x12 m2 x2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3
假设 xe x1 ，且 x1 a ， x2 2 a ，则
(3-9)
1 1 T m1 xe2 2m2 xe2 m3 xe2 2 2
（1） 如果假设等效质量的位置在 A 点，则其速度为 xeq x p ，动能表达式为
(3-14)
1 2 Teq meq xeq 2
5
(3-15)
令 T 与 Teq 相等，并注意到下列关系：
x p x ， xv l2 l1 x ， xr l3 l1 x ，
得
r x l1
(3-16)
F F F ( x* ) dF dx (x)
x*
（3-24）
注意到弹簧 F F ( x* ) ， F 可以写成如下的形式：
F k x
dF 显然，等效线性弹簧常数为 k dx
（3-25）
x*
为了简单，可以利用式（3-25） ，但有时由于这种近似带来的误差可能比较大。 像梁这样的弹性元件其作用也相当于弹簧。例如，如图 3-4 所示端部有集中质量 m 的 悬臂梁，为了简单，可以假设梁的质量相对于集中质量 m 可以忽略不计。根据材料力学的 结果，梁在自由端的静变形为
振动污染及其控制
接作用于媒介物，就会发生振动。
振动往往以波动的的形式迁移，或将周期性作
用力施加到其它部件或基座上，形成振源。
典型的振源：压缩机、破碎机、自动织布机、各
种风钻、振动输送机等。
（二）共振引起的扩大
共振现象的主要形式有4种
1.
无阻尼受迫振动
2.
有阻尼受迫振动
图3-11
受迫振动
（三）振动体与共振
1. 固有频率 2. 共振发生的频率
3.
共振烈度的表示
4. 振动体与共振频率
1. 固有频率（也称共振频率）
单自由度振动系的固有频率与质量、劲度常数及衰
减系数相关。
激振力的频率与机械或构筑物的固有频率一致时，
就会发生共振。
（二） 振动对心理的影响
人们在感受到振动时，心理上会产生不愉快、烦躁、
不可忍受等各种反应。
除振动感受器官感受到振动外，有时也会看到电灯
摇动或水面晃动，听到门、窗发出的声响，从而判断 房屋在振动。
人对振动的感受很复杂，往往是包括若干其他感受
在内的综合性感受。
（三） 振动对工作效率的影响
振动引起人体的生理和心理变化，导致工
1
2 3 4
●
三、振动的影响
（一） 振动对生理的影响 （二） 振动对心理的影响
（三） 振动对工作效率的影响
（四） 振动对构筑物的影响
（一） 振动对生理的影响
振动的生理影响主要是损伤人的机体，
引起循环系统、呼吸系统、消化系统、神 经系统、代谢系统、感官的各种病症，损 关节等
伤脑、肺、心、消化器官、肝、肾、脊髓、
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
物理性污染控制_第三章_振动污染及其控制
当回复力与位移成正比而反向时，所作的无阻尼自 由振动才是简谐振动，这时，振动周期和频率完全取 决于振动系统本身的各个参量，称为固有周期和固有 频率
l0——弹簧原长； k——弹簧刚性系数；
st——弹簧的静变形；
l0 k
l0
W ks t s tW /k m
st
x
取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正
m d d22 xtW FW k(xs)tkx
当t=0，x=x0时求解得 xx0co0ts
k F
O
W x
式中ω0 为固有圆频率： 0 k m
ω0 还可表示为： 02 f0
f0 为固有频率，与位移和振幅无关：
f0
振动的利用：
琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固； 振动检测；振动传输、筛选、研磨、抛光； 振动压路机、振动给料机和振动成型机等。
2、振动污染
振动污染： 振动超过一定的界限，轻则对人的生活和工作环 境形成干扰，降低机器及仪表的精度；重则危害 人体健康、引起机械设备及土木结构的破坏。
振动污染特点：
幅
( 3 )若 0 振 b 幅 随 频 频特率 增 大 而 , 减,小 b0 性
曲 线
（3）共振现象
当 ＝0 时，激振力频率等于系统固有频率，振幅 趋于无穷大，这种现象称为共振。
无阻尼系统发生共振时，振幅随时间无限增大。
2、有阻尼受迫振动
FH si n t 简谐激振 kc
Ff
c
vcdx dt
C为阻尼系数
弹簧振子受力：弹性恢复力—kx，阻力Байду номын сангаасf
运动方程:
第三章--晶格振动
可以确定ω (q)，
—— 中子的能量 ~ 0.02~0.04 eV —— 声子的能量 ~ 10 –2 eV
测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差
—— 确定声子的频率 E 'n En (q)
根据入射中子和散射中子方向的几何关系
—— 确定声子的波矢
第三章 晶格振动
X光子的频率比声子高得太多 X光子受到声子散射后，其频移非常小，
这在测量上是相当困难的。
第三章 晶格振动
目前最方便和有效的测量声子谱的方法是 用中子的非弹性散射方法。
慢中子的能量和动量都和声子相差不太远
可以较易测定被声子散射前后中子能量和 动量的变化，
较易获得声子能量（频率）和动量（波矢） 的信息，即能方便地获得声子谱
由于声子频率远小于光子，碰撞后光子的
频率改变很小，可以认为：
我们有k≈k′
第三章 晶格振动
这样据图3.5，声子波矢可由下式得到
q 2k sin
2
图3.5 光散射过程中晶 格动量守恒示意图
第三章 晶格振动
这样根据光子与声子碰撞后的频移，可以 得到声子的频率。
由光子波矢方向的改变，可得声子的波矢
表示在单位体积内，频率在ω 到ω +dω 范围内 的振动模式数目
E 0 (
1
1)g() d 2
ekBT 1
第三章 晶格振动
3.5.2频谱密度
如果知道g(ω )，积分是可以计算的。
定义： g() lim Δn dn 0 Δω dω
dn为频率在ω 到ω +dω 范围内的振动模式 数目
第三章 晶格振动
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。
只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。
以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。
此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。
这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。
取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。
这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。
(工程实际中两自由度振动系统) [工程实例演示]§3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（①汽车动力学模型）②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
第三章 振动、波动和声
解 取平衡位置为坐标原点。
设简谐振动的表达式为 x A cos(t )
2 , A= 0.12 m 由题设T= 2 s，则 T
由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0
x A cos( t 0 )
v A sin( t 0 )
初始条件 t 0 , x x0 , v v0
x0 A cos 0
v0
A sin 0
A
x0 (
2
v0
)
2
2、周期 、频率、角频率
周期T ：物体完成一次全振动所需时间。
1 频率：单位时间内振动的次数。 T 2 2 角频率 2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
3-2
简谐振动的合成
M
一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成 质点同时参与同方向同频率 的谐振动 :
x1 ( t ) A1 cos( t 10 ) 20 x2 ( t ) A2 cos( t 20 )
合振动 : x x1 x 2
(3) 20 10
2
x2 y2 1 A1 A2
合振动的轨迹为以x轴和y轴 为轴线的椭圆
x A1 cos( t 10 )
y A1 cos( t 10
y
x
2
)
质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。
x2 y2 x y 2 2 cos( 20 10 ) sin2 ( 20 10 ) A12 A2 A1 A2
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
第三章机械振动
x 2 Xsin（t - ）
F0 eit F （ t isint） 0 cos
（3-3）
为了求出振幅X和相位角 ，将激励力和响应均表示为复数形式
（3-4）
Xe i（t -） X（cos（t - ） isin（t - ））（3-5）
可得采用复数表示的振动方程为
（ X 1 ） max X0 2 1 - 2 2
(3-17)
在振动测试时，若测得了响应的最大幅值，则系统的阻尼比可通过式(3-17) 来确定。
(5)从式（3-16）可知，若 2 2 ，则 rmax =0 ，即振幅最大值发生在 =0 处，即静止时位移最大。由此可以得到以下结论：当 2 2 时，不论r为 何值，X/X。≤1；当 < 2 2时，对于很小或很大的r值，阻尼对响应的影 响可以忽略。 对图3-1所示的系统，若粘性阻尼力为0，则运动方程式(3-1)简化为
X F0
2 2 （k - m 2） （c）
arctan
c k - m 2
于是式(3-1)的非齐次方程的特解可以表示为
x2 F0 sin（t - ）
2 2 （k - m 2） （c）
从而得到式(3-1)的完整解为
x x 1 x 2 e （Acosd t Bsind t）
可见，两种情况求出的A和B是不一样的。 对于一特定系统，X和 是外力F0 和激励频率 的
函数，只要 F0 和 保持不变，则X和 是常值。稳态
响应的位移与各力之间的关系可以用图3-3所示的矢量 表示：物体的惯性力- m 2 X 、弹性力kX 、阻尼力 ic X
F0
ic X
kX 3-3 单自由度有阻尼系 统的强迫振动矢量图
第三章-单自由度系统的受迫振动
x = Ae
i (ωt −θ )
F0 i(ωt −θ ) = βe = Bβei(ωt −θ ) ≈ Bei(ωt −θ ) k
振动理论与声学原理
——幅频特性 二、稳态响应的特性——幅频特性
幅频特性曲线 β (s) = 稳态响应的特性：
1 (1− s2 )2 + (2ξs)2
（2）当 s >>1（ω>> ωn ） （ ） 即激振频率相对系统固有频率很高
2ξs θ(s) = arctan 1− s2
（1）当 s <<1（ω<< ωn ） （ ）
θ ≈ 0 ，响应与激振力相位几乎相同 （2）当 s >>1（ω>> ωn ） （ ）
相位差
ω ） （3）当 s ≈1（ ≈ ωn ） （
共振时相位差 θ
相位差 θ ≈ π ，响应与激振力相位几乎相反
≈
π
2
，且几乎与阻尼无关
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统， 由于是线性系统，也适用叠加原理
2 x &&+ωn x = 0 x m&&+ kx = F0 sin ωt = + &(0) = x0 & x(0) = x0 , x & & x(0) = x0 , x(0) = x0 2 2 &&+ωn x = Bωn sin ωt x & x(0) = 0, x(0) = 0
振动理论与声学原理 第三章 单自由度系统的受迫振动
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
表示， 设外部谐波激振力用复数 F (t ) = F0 e iω t 表示，F0 为其幅 为其频率。 值，ω 为其频率。实部 F0 cos ωt ，虚部 F0 sin ωt 微分方程
振动理论-第3章 单自由度系统的强迫振动
x0 0
、
x0
n
F0 k
1
r r
2
则初始条件为：
x0 0
x0
n
F0 k
r 1 r2
讨论：
x(t
)
C1
cos
nt
C2
sin
nt
F0
m(n2
2
)
cos
t
x(0) x0
C1
x0
F0 k
1
1 r
2
x(0) x0
C2
x0
n
故全解：
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
F0 k
1
1 r
2
cos nt
a
复数的三角函数表示：Z Z cos i sin
复数的指数函数表示：Z Z ei
对于复数域内复函数 H () a() ib() A() iB()
可表示为 H () H () ei ()
H ()
a2 b2 A2 B2
() arctan Im[H ()] Re[H ()]
二. 激励力引起的强迫振动
n
2
2
2
n
2
激励与响应的相位角
arctan
2
n
1
n
2
或写为：
X st
1
1 r 2 2 2 r 2
arctan
2 r
1 r2
st
F0 k
r n
系统的最大静位移 频率比
所以，强迫振动的稳态解为：
x2
F0 k
1
sin(t )
1 r 2 2 2 r 2
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4、振动的测量
（1）振动计：测量大型机器的振动或地震 （位移仪）
（2）加速度计：被测物体的振动加速度 （3）利用声级计测量振动：适用于声频范
围内的振动测量（改装声级计）
二、振动的控制
（1）控制振源
振动来源：振动源本身的不平衡力引起的对设备的 激励；
Zm：力阻抗
力的角频率ω与系统固有频率ω0相等，Zm最小（Zm=Rm），共振；
力的角频率ω远离系统固有频率ω0，Zm较大，共振不明显；
隔振：从相反的角度，振源的外力F频率固定，振源下装弹簧 （隔振），组成的系统的固有频率若设计得与振源外力F频率 相同则共振，避免。
（4）隔振的力传递率TA 定义：通过隔振装置传递到基础上的力Ff的幅值与作用于振动 系统上的激励力幅值之比。
影响因素：频Biblioteka 比（ω/ω0，f/f0）、阻尼比（ξ）。
① f/f0《1，TA近似为1，激振力全部传给基础； ② f/f0=1，TA>1，不合理，共振，起反作用； ③ f / f0 2 ，TA<1，隔振（卡车满载与空载问题）； ④ TA与阻尼比的关系（略）
2、积极隔振与消极隔振
积极隔振：隔离振动源(机器)的振动向基础的传递； 消极隔振：隔离基础的振动向仪器设备（甚至是房屋，
整体振动标准：人体暴露在振动作业环境 中的允许界限
环境振动标准：《城市区域环境振动标准》 （我国）
机械设备振动的评价（略）
城市各类区域铅垂向z振级标准/dB
适用地带范围 特殊住宅区 居民、文教区 混合区、商业中心区
昼间 夜间 65 62 70 67 75 72
适用地带范围 工业集中区 交通干线道路两侧 铁路干线两侧
几个概念
① 振动加速度级（VAL）：与噪声类似，振动的位移、速度、 加速度等也可用分贝数表示它们的相对大小。
VAL 20 lg a (dB) a0
式中：a指振动加速度有效值，m/s2 a0指基准加速度，a0=10-6m/s2
② 振动级(VL)：按全身振动不同频率计权因子修正后得到的振 动加速度级。
1、振动对机械设备的危害和对环境的污染
（1）精密仪器、设备
影响仪器仪表正常运行，影响读数准确 性；影响仪表寿命
（2）对建筑物
基础、墙壁龟裂、墙皮剥落、石块 滑动、地基变形、下沉
（3）环境污染
2、振动对人体的危害 （1）振动传至人体的几种形式
全身振动指人体直接位于振动物体上时所受到的振动； 局部振动是指手持振动物体时引起的人体局部振动。
控制措施 类别
降噪原理
适用场合
减噪效 果
利用吸声材料或结构，降低 吸声减噪 厂房内反射噪声，如吊挂空 车间设备噪声大
间吸声体
4～ 10dB
隔声
利用隔声结构，将噪声源和 接受点隔开，如隔声罩、隔 声间和隔声屏等
车用二隔间者声工均罩人不允；多许反，时之噪用用声隔隔设声声备屏间少；，4100d～B
消声器 隔振 减振
具体原理：主要是利用材料内损耗的原理。当金属板被涂上 阻尼材料而弯曲振动时，阻尼层也随着振动、拉压而交替变 化，材料内部分子相互挤压、摩擦、相对的错动和位移，使 振动能量转化为热能而散失。
两个概念
① 损耗因子η：薄板振动时每周期时间内损耗的能量E与系
统的最大弹性势能EP之比除以2
E 2 • EP
（2）对操作工人的危害
① 操作速度下降，生产效率降低，工人感到 疲劳；
② 长期在相当强度下的振动环境中工作，神 经系统、消化系统、心血管系统、内分泌 系统、呼吸系统等方面造成危害或影响。
（3）对居民：干扰睡眠、休息、读书等日常 活动，长期在振动环境中，造成身体健康 的危害。
3、振动的评价标准
局部振动标准：评价手传振动对人体的损 伤
阻尼层随金属板的弯曲产生周期性的压缩与 拉伸，损耗能量。
阻尼层厚度为金属板厚度的2～5倍。 应用：厚度在3mm以下的金属板材。
（2）约束阻尼层结构：是在基板和阻尼材料上 再附加一层弹性模量较高的起约束作用的金 属板。
当金属板弯曲变形时，原金属层与附加的约束 层的弹性模量比阻尼层大得多，这上下两层的 相应弯曲基本保持并行，从而使中间的阻尼层 产生剪切形变，以消耗振动能量，提高阻尼减 振效果。
大多数材料，
金属：10-5~10-4
η=10-1~10-5
木材：10-2
橡胶：10-2~10-1
② 弹性模量E：理想材料在小形变时应力与相应的应变之比， 以单位面积上承受的力表示，N/m2,表示固体对弹性形变的抵 抗能力（或物体变形难易程度的表征）
2、阻尼材料
要求
① 具有很高的损耗因子的材料 ② 具有较好的粘结性能，在强烈振动下不脱落，不老化 ③ 在某些特殊环境下可耐高温、高湿、油污
昼间 75 75 80
夜间 72 72 80
特殊住宅区：需要特别安静的住宅区； 居民、文教区：纯居民和文教、机关区； 混合区：一般居民与商业混合区，以及工业、商业、少量交通与居民混合 区； 商业中心区：商业集中的繁华地段； 工业集中区：城市中明确规划出来的工业区 交通干线道路两侧：每小时车流量大于100辆的道路两侧； 铁路干线两侧：每日车流量不少于20列的铁道外轨30m外两侧的住宅区。
常用
弹性阻尼材料（橡胶类、沥青类和塑料类） 复合材料（层压材料和混合材料） 阻尼合金（铁基、铝基等） 库仑摩擦阻尼材料（不锈钢丝网、钢丝绳等） 其他（阻尼陶瓷、玻璃等）
3、减振措施
在振动板件上附加阻尼的常用方法有自由阻尼层 结构和约束阻尼层结构两种。
（1）自由阻尼层结构：将一定厚度的阻尼 材料粘贴或喷涂在金属板的一面或两面形 成自由层结构。
辐射——阻尼减振。
三、隔振技术（概念）
1、隔振原理
定义：在仪器设备与基础之间插入弹性元件，以减弱振动的传 递（在设备下安装隔振元件）。
原理：把物体和隔振器（主要是弹簧）系统的固有频率设计的 比激励频率低得多（至少3倍），再在隔振器上垫上橡皮、毛 毡等垫子。
（1）单向自由振动（简谐振动：质点离开平衡位置的位移随 时间的变化规律遵从余弦或正弦的振动）
如消声室）的传递。
3、隔振元件
隔振器主要包括金属弹簧、橡胶隔振器、空气弹簧等。 隔振垫主要有橡胶隔振垫、软木、酚醛树脂玻璃纤维
板和毛毡。
橡胶隔振垫
弹簧隔振垫
隔振平台
四、阻尼减振
区别
隔振：不一定要减弱振动源的振幅，只是把振动加以隔离。 阻尼减振：在振源上采取措施，直接减弱振动。
1、原理
阻尼减振定义：金属薄板本身阻尼很小，而声辐射效率很高， 降低振动和噪声，普遍采用的方法是：在金属薄板结构上喷 涂或粘贴一层高内阻的粘弹性材料，如沥青、软橡胶或高分 子材料。让薄板振动的能量尽可能多地耗散在阻尼层中，这 种由于阻尼作用，一部分振动能量转变为热能，而使振动和 噪声降低的方法称阻尼减振。
常选用与基板材料、厚度相同的对称型结构作 约束层，或厚度为基板的25~50%。
间接振动：未直接作用于人体，人能通过视觉、听觉 等感觉到振动
人体能感觉到的振动按频率范围分为：
低频振动（30Hz以下）、中频振动（30～100Hz）和 高频振动（100Hz以上）
对于人体最有害的振动频率是与人体某些器官固 有频率相吻合的频率。
人体在 6 Hz附近；内脏器官 8 Hz；头部 25 Hz；神经 中枢 250 Hz。
y y0 cos(0t )
f 2
f0
1
2
K M
K：弹簧的刚度（劲度）系数，N/m
（2）阻尼振动（：振动能量不断被消耗的减幅振动） 摩擦阻尼：机械能→热能
辐射阻尼：机械能→声能
（阻尼系数（Rm）、临界阻尼系数（Rc），阻尼比 （ξ））
（3）强迫振动
F F0 cos(t)
y F0 sin(t ) Z m
改进方法：减少或消除振动源本身的不平衡力。
（2）防止共振
共振现象普遍存在，方法： ➢ 改变机器的转速或机型来改变振动频率； ➢ 将振源安装在非刚性的基础上； ➢ 用粘贴弹性高阻尼结构材料增加一些薄壳机体或仪器仪表阻
尼 ➢ 改变设施的结构和总体尺寸
（3）采用控制技术：隔振技术、阻尼减振
采取隔离措施——隔振； 用阻尼材料消耗振动的能量从而减弱振动向空间的
第三章 振动污染及其控制
振动危害、评价标准及测量 振动控制的基本方法 隔振技术 阻尼减振
物体的振动除了向 周围空气传播的声 波外，还通过其基 础或相连的固体结 构传播声波。
机车可通过路基 向周围传播；
工人可直接感受 到机床振动的影 响。
物体的振动
向空气辐射→空气声 通过与其相连的固体结构传播→固体声
利多噪用孔 声阻扩性散等、原抗理性，和减小弱孔气喷流注、气声动设备的空气动力性噪
将振动设备与地面的刚性连
接该为弹性接触，隔绝固体 设备振动严重
声传播
利用内摩擦损耗大的材料涂 贴在振动表面上，减少金属 薄板的弯曲振动
设备外壳、管道等振动噪 声严重
15～ 40dB
5～ 25dB
5～ 15dB
一、振动系统的危害、评价标准及测量