(完整版)函数极限与连续复习题参考答案
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
函数、极限与连续测试卷带答案
函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。
（完整版）函数与极限习题与答案
（完整版）函数与极限习题与答案第⼀章函数与极限（A ）⼀、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-=，其定义域为。
2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。
3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。
4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。
5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。
6、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
7、函数xxy sin =有间断点，其中为其可去间断点。
8、若当0≠x 时，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。
9、=++++++∞→)21(lim 222nn nn n n n n Λ。
10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。
11、=++++∞→352352)23)(1(lim xx x x x x 。
12、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
13、函数231x1是⽐3-+x 15、当0→x 时，⽆穷⼩x --11与x 相⽐较是⽆穷⼩。
16、函数xe y 1=在x=0处是第类间断点。
17、设113--=x x y ，则x=1为y 的间断点。
18、已知33=??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
19、设??>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在，则a= 。
20、曲线2sin 2-+=xxx y ⽔平渐近线⽅程是。
21、114)(22-+-=x x x f 的连续区间为。
22、设??>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数a= 。
⼆、计算题1、求下列函数定义域（1）211xy -= ；（2）x y sin = ；（3）x2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f == ；（3）x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== ；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22x x y -= ；（2）323x x y -= ；（3）)1)(1(+-=x x x y ；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22,sin ,x v v u u y === ；（2）21,x u uy +==；5、计算下列极限（1）)2141211(lim n n ++++∞→Λ；（2）2)1(321lim nn n -++++∞→Λ；（3）35lim 22-+→x x x ；（4）112lim 221-+-→x x x x ；（5）)12)(11(lim 2x x x -+∞→；（6）2232) 2(2lim -+→x x x x ；（7）x x x 1sin lim 20→；（8）xx x x +---→131lim 21 ；（9）)1(lim 2x x x x -++∞→；6、计算下列极限（1）xwx x sin lim 0→；（2）x x→；（4）xx xx )1(lim +∞→；（5）1)11(lim -∞→-+x x x x ；（6）x x x 10)1(lim -→；7、⽐较⽆穷⼩的阶（1）32220x x x x x --→与，时；（2）)1(21112x x x --→与，时；8、利⽤等价⽆穷⼩性质求极限（1）30sin sin tan lim x x x x -→；（2）),()(sin ) sin(lim0是正整数m n x x m n x →；9、讨论函数的连续性。
函数极限与连续习题加答案(供参考)
第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与x y =相同；（ ） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数； （ ） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ） 4. )0(2>=x x y 是偶函数； （ ） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。
（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ；3.122+=x xy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(xx +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ；5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数 和 复合而成；6.1)(2+=x x f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。
三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sinB 、13+xC 、x x +3D 、x x -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性(1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xxx f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程(1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y (3)212x y -= (4))3lg(x y -=6.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
函数极限连续复习题答案
函数极限连续复习题答案一、选择题1. 函数极限的定义是什么？A. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的值B. 当自变量趋近于无穷大时，函数值趋近于一个确定的值C. 当自变量趋近于无穷小时，函数值趋近于一个确定的值D. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大答案：A2. 函数在某点连续的定义是什么？A. 函数在该点的极限值等于函数值B. 函数在该点的极限值等于无穷大C. 函数在该点的极限值等于无穷小D. 函数在该点的极限值不存在答案：A3. 函数在某点不连续的类型有哪些？A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 以上都是答案：D二、填空题1. 函数极限的符号表示为：\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，其中\(L\)表示函数值趋近于的确定值。
2. 函数在某点连续的充要条件是：\(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)。
3. 函数在某点不连续时，若左极限和右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，则该点为可去间断点。
三、解答题1. 求函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)在\(x = 1\)处的极限值。
解：首先对函数进行化简，得到\(f(x) = x + 1\)（当\(x \neq1\)）。
因此，\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\)。
2. 判断函数\(g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\)在\(x = 0\)处是否连续，并说明理由。
解：计算左极限和右极限，得到\(\lim_{x \to 0^-} g(x) = 0\)和\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)。
由于\(g(0) = 0\)，且左极限等于右极限等于函数值，所以函数在\(x = 0\)处连续。
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
第一章函数、极限与连续习题答案.doc
第一章函数、极限与连续1 . 若」 t =t31，贝 U 「t 31 =( D )A. t 31 B. t62 C. t92 D. t 9 3t 6 3t322. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C )1 5C.-1,1 D. -1,13 ,233. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 （A ）— 2A. f x = x 2 , g x - x4B . fx=x ,gx= xC.fX gx「X 1x -14. 下列函数中为奇函数的是 （A )2x x八sin xf- c 2— 22 ?A. y2B .y - xe xCsin xD . y = x cosx xsin xx25 . 若函数 fxl=x , - 2：； x ：：： 2，则 f x-1 的值域为 （B ）A. 0,2B. 0,3C. 0,21D. 0,316 . 函数y =10x4 -2 的反函数是（D )xC .A . y =igB .log x 2x—2a X X 是有理数7.设函数 %是无理数°<a"，则（B ）1y =Iog 2_ D . y =1 lg x 2 x1A . 当 Xr J 时， f x 是无穷大B . 当 x- 工: 时， f x 是无穷小C. 当 Xr - ■时， f x 是无穷大 D . 当 x—. - ■时， f x 是无穷小8 . 设 f x 在R上有定义 ,f x 在点X。
连续的（A . 充分条件C.必要条件x2 a,cos x, 函数 f x 在点X。
左、右极限都存在且相等是函数B. 充分且必要条件D. 非充分也非必要条件x—1在 R 上连续，则 a 的值为（D）x::: 1C. -1D.-210.若函数 f x 在某点X。
极限存在，则（C ）f x 在X o的函数值必存在且等于极限值B. f x 在X o函数值必存在，但不一定等于极限值C. f X 在X o的函数值可以不存在D. 如果f X o存在的话 ,11 . 数列0，3 ，2，4，是 (B )A.以0为极限B.以1为极限C . 以口为极限D . 不存在在极限n112 . lim xsin( CxB. 不存在C. 1D. 013.li=(A )C.0x2214?无穷小量是（C）A.比零稍大一点的一个数B. —个很小很小的数C. 以零为极限的一个变量 D . 数零[2X，-1 _ x ：： 015. 设f(x)= 2, x :：: 1 则f x的定义域为[-1,3] , f 0 =x—1, 1 _x _32 __ , f 1 =0。
高等数学函数的极限与连续习题精选和答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
函数极限与连续习题(含答案)
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
函数的极限与连续训练题1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。
高等数学：函数 、极限与连续习题含答案
1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。
函数极限与连续习题(含答案)
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
函数的极限与连续训练题1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。
高等数学函数的极限与连续习题及答案
上式化简为
1a2
0，∴a1，
2
1b
12ab12abx1b212ablimlimlim
xxx1a∴1
a1，12ab0，b2
10、函数fx
的间断点是（x0,x1）．
11
xx2x2
11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．
x4x3ax2sinx
2，则a（2）12、若lim．
xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx
a
xx21
logaxx21fx
3、当x0时，ex1是x的（c）
a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小
4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界
5、函数fx1
1x在（c）条件下趋于.
a．x1 b．x10 c．x10
6、设函数fxsinx
x，则limx0fx（c）
a．１b．－１c．不存在∵sinx
6、如果～，则o．
1，是
∴limlim10，即是的同阶无穷小．
2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2
2正确∵lim
11limxlimsin0．x0xx0x0x
1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
第一章函数与极限复习题
1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．
错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1
是不同的函数。
2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．
经济应用数学(习题参考详细答案)
经济应用数学(习题参考详细答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2习题参考答案第1章 函数、极限与连续习题1.11．（1）不同，因为它们的定义域不同；（2）不同，因为它们的定义域和对应法则都不同． 2．（1）[2,1)(1,2]-U ；（2）(3,3)-．3．2,41,1． 4．（1）12,,ln 2+===x v v u u y ； （2）13,sin ,2+===x v v u u y ；（3）x u u y ln 1,5+==； （4）52,sin ,,2+==-==x t t v v u e y u． 5．(100)2000C =，(100)20C =． 6．2214)(x x x R -=． 7.（1）25000；（2）13000；（3）1000． 8．()1052p Q p =+⨯． 9．130,(0700)9100117,(7001000)x x y x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩． 习题1.21．（1）0； （2）0； （3）1； （4）0； （5）24； （6）41； （7）1； （8）41； （9）0； （10）∞． 2．（1）无穷大； （2）无穷大； （3）无穷小； （4）无穷小； （5）无穷小； （6）无穷大； （7）无穷大； （8）无穷大．2 3．（1）2；（2）1；（3）53；（4）4e ；（5）e1；（6）21e ；（7）4；（8）0．4．0lim ()lim ()lim ()1x x x f x f x f x +-→→→===-．习题1.31．（1）32；（2）2sin 2；（3）0；（4）2；（5）21；（6）∞． 2．不连续；图形略． 3．2=k ．因为函数()f x 在其定义域内连续，即在0=x 也联系，则()0lim (0)x f x f →=，即()()0lim lim x x f x f x k ++→→==，0lim ()2x f x -→=，所以2=k ． 4．略．习题1.41．本利和1186.3元，利息186.3元；本利和1164.92元，利息164.92元． 2．1173.51元；xey ⋅-=1.06000，4912.39元，4444.91元，3639.19元，2979.51元．第1章 复习题1．（-2，2），图形略． 2．（1）13,-==x u u y ；（2）x u u y 21,3+==； （3）x u u y ln 2,10+==；（4）2,,x v e u e y vu===-；（5）x v v u u y ===,ln ,；（6）x t t w w v v u u y 2,cos ,,lg ,22=====． 3．（1）()1200010C q q =+；（2）()30R q q =；（3）()2012000L q q =-． 4．280,(0900)22450400,(9002000)q q R q q ⎧=⎨+<⎩≤≤≤． 5．1,(04)1.5,(410)2,(1020)s P s p <<⎧⎪=⎨⎪<⎩≤≤≤，图形略．3 6．1-．7．（1）9-； （2）∞； （3）0； （4）0； （5）2； （6）0； （7）5； （8）2； （9）5e ； （10）8-e ． 8．1k =． 9．a π=．10．221R Q Q =++．11．150,(0300)142.52250,(300800)1358250,(8001000)q q R q q q q ⎧⎪=+<⎨⎪+<⎩≤≤≤≤．12．800001000Q P =-．13．3000100Q P =+；平衡状态时，70,10000P Q ==． 14．(600)1000400L =；．第2章 导数与微分习题2.11.（1）1-；（2）51． 2.（1）3ln 1x y ='；（2）3132-='x y ；（3）32x y -='；（4）2523--='x y ；（5）2121-='x y ；（6）3734--='x y ； （7）2ln 1x y ='；（8）x y sin -='．3．033633=--+πy x ．4．切线方程：02=-+y x ；法线方程：x y =． 5．切线方程：01-=+y x ；法线方程：03=-+y x ．4 习题2.21．（1）4|2='=x y ； （2）1sin 2|0='=x y ； （3）32|1-='=x y ； （4）213|-=='e y x ； （5）2|21-='=x y ； （6）92|1-='=x y ． 2．（1）x x y 2cos 432+='； （2）xe y x 122+='； （3）2)cos 1(sin cos 1t t t y +++='；（4）xx y ln 121+='；（5）xx x x y 3)12(-+='；（6）)63cos(6+='x y ；（7）x x x x x y tan sec sec 3tan 32++='； （8）x x y 2sin cos 22-='； （9）x e x y x 52cos 42sin 2+⋅='；（10）)sin 2(sec cos 22x x y ⋅='； （11）xx ex x y 221)2ln 1(2⋅++='；（12）xe xe y x e 11++⋅='-． 3．（1）yx y x dx dy 22+-=； （2）)2cos(sin )2cos(2cos y x y x y x y dx dy +++-=． 4．0222=-+y x ．5．（1）x y x y x y x y cos ,sin ,cos ,sin )4(=='''-=''-='； （2）x x x y cos sin 2--=''．6．切线方程：022=--y x ；法线方程：012=-+y x ．习题2.31．（1）dx x x dy )26(2-=； （2）dx x x dy )sin (cos -=；5 （3）dx xx x dy 2ln 2-=； （4）dx x e x dy x2)1(-=；（5）dx e dy x 2.04.0=； （6）dx x x dy )32(sec )32tan(42++=．2．（1）221x ； （2）x sin ； （3）||ln x ； （4）x 2．3．11.75．习题2.41．（1）2；（2）1；（3）a cos ；（4）n m ；（5）3；（6）21-；（7）21；（8）∞+．2．（1）1； （2）0．习题2.51．（1）在)2,(-∞内单调增加，在),2(∞+内单调减少，有极大值为7)2(=f ； （2）在),(∞+-∞内单调增加，无极值； （3）在),(∞+-∞内单调增加，无极值；（4）在),1()0,(∞+-∞Y 内单调减少，在)1,0(内单调增加，有极小值为0)0(=f ，有极大值为1)1(-=e f ．2．（1）最大值为69)4(=f ，最小值为61)6(-=-f ； （2）最大值为2)1(=f ，最小值为26)3(-=f ； （3）最大值为2)2(ππ=-f ，最小值为2)2(ππ-=f ．3．当销售量80=x 时，平均成本最低为40)80(=C 元．4．当学费降低15次，即学费降为325元时，这个培训班可获得最大收益，最大收益为422500元．5．当每周泵的销售量33=x 个时，每周取得利润最大约为662.31元．习题2.61．（1）凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞+，拐点为)2,1(； （2）凹区间为),2(∞+，凸区间为)2,(-∞，拐点为)3,2(； （3）凹区间为),1(∞+，凸区间为)1,(-∞，拐点为)6,1(；（4）凹区间为)1,1(-，凸区间为),1()1,(∞+--∞Y ，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(； （5）凸区间为),0()0,(∞+-∞Y ，无拐点；6 （6）凹区间为)2,(-∞，凸区间为),2(∞+，无拐点．2．平均成本函数在)80,0(内单调减少，在),80(∞+内单调增加，有极小值为40)80(=C ，在),0(∞+内是凹的．3．收益函数曲线在)6,0[内单调增加，在]80,6(内单调减少，有极大值为44.73)6(=R ，在)80,0(内是凸的．习题2.71．(20)160L =元，(20)8L =元，(20)6L '=元．2．（1）2()0.092S t t t '=++；（2）(5)29.25S =（百万元），(5)9.25S '=（百万元）；（3）(5)29.25S =表明5个月的销售总量为29.58百万元；(5)9.25S '=表明若再多销售1个月，将多销售9.25百万元．3．（1）23780()N x x '=；（2）(10)37.837N '=≈（只），表明当广告费用为1万美元时，若多投入1千美元的广告费，将再多销售船只37只；(20)9.459N '=≈（只），表明当广告费用为2万美元时，若再多投入1千美元的广告费，将多销售船只9只．4．（1）179.9美元；（2）180美元． 5．约108.27元． 6．（1）13EQ P EP =-；（2）11|3P EQ EP ==-，3|1P EQ EP ==-，55|3P EQ EP ==-．7．3EQ P EP P =+，31|2P EQ EP ==．8．（1）24EQ P EP P =--； （2）61|3P EQ EP ==-；（3）因为62|03P ER EP ==>，所以在6P =时，若价格上涨1%，总收益增加0.67%． （4）12P =时，总收益最大，最大总收益是(12)72R =． 第2章 复习题1．（1）212sin(31)y x x '=-+；（2）41y x '=+； （3）34)1(2x x y -='；（4）2222(1)x x y x -+'=-；7 （5）222sec tan (1)2sec (1)x x x x xy x +-'=+；（6）sin 22cos 2x y e x '=；（7）2(1)[2cot (1)csc ]y x x x x '=+-+；（8）22ln(1)1x x y x --=-．2．222(24)x d yx x e dx=++．3．（1）21x x y e y ye '=-+； （2）32xy y '=-．4．求下列函数的微分． （1）2(622)dy x x dx =+-； （2）(sin 22cos2)dy x x x dx =+；（3）222(1)x dy x x edx -=-； （4）2332(1)x dy dx x =-．5．切线方程：870x y --=；法线方程：890x y +-=．6．在(,0)(1,)-∞+∞U 内单调增加，在(0,1)内单调减少，有极大值为(0)0f =，有极小值为3(1)2f =-．7．在(0,24)内单调增加，在(24,)+∞内单调减少，有极大值为(24)6916f =；凹区间为(0,12)，凸区间为(12,)+∞，拐点为(12,3460)．8．生产50000个单位时，获得的利润最大，最大利润为30000)50000(=L ． 9．455100dP x Pdx x P+=-+，其实际含义为：当需求量为x 时，若需求量再增加一个单位，则价格将减少455100dP x Pdx x P+=-+元． 10．280()(2)N t t '=+，其实际意义是：当对一个新工人进行t 天培训后，若再多培训一天，该工人就能多装配280()(2)N t t '=+个元件．11.（1）生产量3Q =时，平均成本最小为(3)6C =元． （2）边际成本2()15123C Q Q Q '=-+，显然(3)(3)6C C '==元． （3）1Q ECEQ ==0.6，其经济意义为：当生产量1Q =时，若生产量增加1%，则成本将增加0.6%．8 第3章 不定积分与定积分习题3.11．（1）C x +661； （2）C x x ++2717； （3）C x+22ln 1；（4）C x x ++-sin cos ； （5）C x +22ln 81；（6）C x x ++3||ln ；（7）C x +2774；（8）C x x ++23223；（9）C x x +-232931092；（10）C x x x ++-838522325；（11）C x x +-sin 3||ln 2；（12）C x x e x +-+sin 32； （13）C x x x +++65225；（14）C x x x +++-3271344； （15）C x x x++--||ln 21；（16）C x x x x +--+23327323172．2．()f x 2)21(2x e x --=． 3．2ln +=x y （21ex ≥）． 4．2125Q Q R -=． 5．20005212++=x x C ． 习题3.21．（1）41(53)20x C ++； （2）31(32)6x C --+；（3）1sin(31)3x C ++；（4）1cos(12)2x C -+；（5）2313x e C ++；（6）2x e C --+；（7）212x e C +；（8）2214x e C --+；（9）21cos(2)2x C -++；（10）322(sin )3x C +；（11）2xeC + ；（12）2xe C --+．2．（1）532224(2)(2)53x x C +-++；（2）26ln(3)x x C -++；（3）5322210(35)(35)4527x x C -+-+； （4）3ln 322x x C ---+；（5）322(3)633x x C -+-+；（6）23ln(123)x x C --+-+．3．（1）3311ln 39x x x C -+；（2）221124x x xe e C -+；（3）ln3x x x C -+；（4）1(cos sin )2x x x e C ++．习题3.31.（1）32； （2）52； （3）214a π； （4）0． 2.（1）⎰102dx x ≥⎰13dx x ；（2）⎰10dx e x ≥⎰12dx e x ；（3）⎰10dx e x ≥⎰+1)1(dx x ；（4）⎰20πxdx ≥⎰2sin πxdx ．习题3.41．（1）2243； （2）0； （3）2183740--； （4）e e -3；（5）331-； （6）3340； （7）34； （8）487． 2．245．3．⎰-=503001.030201dx e p x ．4．146250元．习题3.51．（1）313； （2）431121121）（π--； （3）32---e e ； （4）)1(211--e ； （5）)1(23-e ； （6）)2cos 1(cos 21-．2．（1）52ln 8-； （2）2ln )1ln(1++-e ； （3）35； （4）15216532+-．3．（1）0； （2）0； （3）332π； （4）22π-． 4．（1）121--e ；（2））（251+-πe ． 习题3.61．（1）31； （2）2； （3）21； （4）0．2．1．习题3.71．50424.0)(2++=x x x C ．2．4200)(2x x x R -=，17500)100(=R 元，175)100(=R 元/单位．3．t e t S 08.05050)(--=，18.3)6(≈S 辆． 4．约8.97万元． 5.（1）40；（2）总收益为5200美元，平均单位收益为130美元/kg ，总成本为4200美元，总利润是1000美元．习题3.81.（1）一阶； （2）二阶； （3）五阶； （4）四阶．2．（1）C x y +=221； （2）C x y +-=21；（3）)ln(C e y x +=； （4）1-⋅=x C xy ；（5）22332x e C y -⋅+=； （6）)21(122C e x y x +-=-．3.（1）xe e y =； （2）)1(212x y --=．第3章 复习题1．（1）C x ++-)1(cos 212；（2）C x +-4)53(121；（3）C x x +++-+)22ln(422； （4）C x x +-)41(ln 44．2．（1）21； （2）24； （3）)25(6-； （4）)3132(313+e ．3．1． 4．40000． 5．约1.53美元．6．10ln0.216-≈，在[0,16]内的全部利润约87.82百元． 7．总成本函数为2()215200C x x x =++； 总利润函数为2()442200L x x x =--；11=x 个单位时，获得最大利润，最大利润是42)11(=L ．8.（1）C x y =+-)1)(1(； （2）)(2C e e y x x +-=-； （3）4)1(21+=x y ，． 第4章 矩 阵习题4.1略．习题4.21．11,3,2,7,5-====-=z u w y x ．2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=111325325310373432316317383Z ． 3．5211114208235-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦4．15461021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5．（1）505176213-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）1235-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）[]13161922； （4）20742769-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦；（5）123246369⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（6）[]70． 8．（1）12190544-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）26751110614-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（3）1111580391241424201225218--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦； （4）5303128⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（5）5313028⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．运费 耗费 9．420000130000382000119000320001000001122000349000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一班二班三班总计 10．[]64601600010540钾氨磷习题4.31．（1）113-1-200-7470000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2R =； （2）120001130024000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3R =； （3）12390236596410022⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，3R =；（4）1312074800210000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3R =． 2．（1）2；（2）2；（3）4；（4）3．3．（1）8=k ；（2）8≠k ，（3）k 不存在．习题4.41．因为AB =BA =E ,所以B 是A 的逆矩阵．2．11,510x y =-=．3．（1）2550291111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）414457568⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）2015215911-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦414457568⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 4．（1）1-A143153164--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）1-A 不存在，（3）15111444411112222111144441111A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4）1-A 1153222421731222⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 5．A =18315511115511055⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 6．1200020002B AB -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．第4章 复习题一、1．().,,2,1;,,2,1,,n j m i b a t n s m ij ij ΛΛ=====2．t l m k s n ===,,． 3．()TA 1-． 4．B ，A ． 5．非零行的行数．二、1．(d)； 2．(b)(d)； 3．(a)； 4．(c)(d)．三、1．3071845232⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦．2．()3R A =，()1R B =．3．38172777122221935222Z ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦．第5章 线性方程组习题5.21．（1）123783x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩；（2）无解；（3）123000x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（4）1233252x kx k x k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩；（5）1123212331425351622623x k k k x k k k x k x k x k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩；（6）12342,3,1,0.x x x x =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩．2. （1）4m =，1233x k x k x k =-⎧⎪=⎨⎪=⎩； （2）3m =，1233525x k x k x k ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩．3．（1）5m ≠； （2）5,2m k =≠-； （3）5,2m k ==-． 4．（1）02p q ≠≠或时方程组无解；（2）02p q ==且时有解，解为11232123314253522263x k k k x k k k x k x kx k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩5．5=m ，1122123142164555373555x k k x k k x k x k ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪=⎩．6．（1）7349121714Z ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦；（2）22308Z -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 第5章 复习题一、1．111111111,n n m mn m mn m a a a a b aa a ab ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭LL MM MM M LL，无解，有唯一解，有无穷多组解，无解，未知数个数，小于2．（1）无解（2）有无穷多组解（3）有唯一解 3．3124121,2.x x x x x x =++⎧⎨=+⎩二、1. (d)；2. (c)． 三、04122112Z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦四、1．11221331427188373x k k x k k x k x k =-+⎧⎪=-+-⎪⎨=⎪⎪=⎩；2．1234,321.2x x x ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩；3．1231,1,1.x x x =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；4. 1230,0,0.x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩； 5．112321324332x k k k x k x k x k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩．五、11221231422223x k k x k k x k x k =++⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩．第6章 线性规划初步习题6.11．设生产1A 产品1x 万瓶，生产2A 产品2x 万瓶，获得利润L 美元． 则该问题的数学模型为：12max 80003000L x x =+12121212535003008020000..1249000,0x x x x s t x x x x +⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥其矩阵形式为：max ..0L CX AX B s t X =≤⎧⎨≥⎩其中：[]80003000C =，12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5330080124A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，50020000900B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2．设A 需要1x 个单位，B 需要2x 个单位，总费用为F ． 则该问题的数学模型为：121212min 20030024.0,0F x x x x s t x x =++⎧⎨⎩≥≥≥其矩阵形式为：min ..0F CX AX B s t X =⎧⎨⎩≥≥ 其中：[]200300C =，12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]12A =，[4]B =．3．设第i 月的进货量为1i x 千件，售货量为2i x 千件（3,2,1=i ），利润为L 美元．则该问题的数学模型为：111221223132max 8969910L x x x x x x =-+-+-+111112211112212231300300..3000(1,2,3;1,2)ij x x x x s t x x x x x x i j ⎧⎪-+⎪⎨-+-+⎪⎪==⎩≤≤≤≥ 其矩阵形式为：max ..0L CX AX B s t X =⎧⎨⎩≤≥其中：[]8969910C =---，111221223132x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100000111000111110A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，300300300B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．习题6.21．（1）最优解为12032x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，最优值为min 3S =-．（2）无最优解．（3）无穷多组最优解为满足8221=+x x 且介于点（2,3）和（4,2）件的线段上的所有点，最优值为16max =S ．第6章 复习题1．设生产A 产品1x 个单位，生产B 产品2x 个单位，获得利润L 元． 则该问题的数学模型为：12max 800010000L x x =+ 12121212128940058320..642804123500,0x x x x s t x x x x x x +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪+⎪⎪⎩≤≤≤≤≥≥其矩阵形式为：max ..0L CX AX B s t X =⎧⎨⎩≤≥其中：[]800010000C =，12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，895864412A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，400320280350B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2．设工厂i 给工地j 的砖量为ij x 万块（其中：1,2i =分别表示工厂A 、B ，1,2,3j =分别表示工地甲、乙、丙），总运费为F 元．则该问题的数学模型为：111213212223min 5060706011027F x x x x x x =+++++112112221323111213212223171815..23270(1,2;1,2,3)ij x x x x x x s t x x x x x x x i j +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎪≥==⎪⎩ 其矩阵形式为：min ..0F CX AX B s t X ==⎧⎨≥⎩其中：[5060706011027]C =，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=232221131211x x x x x x X ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111000000111100100010*********A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2723151817B3．设第i 个煤矿运往第j 个城市的煤量为ij x 千吨（其中：1,2,3i =分别表示甲、乙、丙三个煤矿，1,2,3,4j =分别表示A 、B 、C 、D 四个城市），总运费为F 元．则该问题的数学模型为：111213142122232431323334min 1211181191111131014137F x x x x x x x x x x x x =+++++++++++41142143131132133134149115..4780)1,2,3;1,2,3,4)j j j j j j i i i i i i i i ij x x x x s t x x x x i j =======⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑ 其矩阵形式为：min ..0F CX AX B s t X ==⎧⎨≥⎩其中：[1211181191111131014137]C =，111213142122232431323334x x x x x x X x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111100000000000011110000000000001111100010001000010001000100001000100010000100010001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，49115478B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．4．设i A 机床生产j B 工件的数量为ij x （1,2;1,2,3i j ==），总加工费为S 元． 则该问题的数学模型为：111213212223min 139********S x x x x x x =+++++1121122213231112132122230.40.54001.1 1.26001.3500..0.41018000.5 1.2 1.39000(1,2;1,2,3)ij x x x x x x s t x x x x x x x i j +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨++≤⎪⎪++≤⎪≥==⎪⎩ 其矩阵形式为：min ..0F CX AX Bs t AeqX BeqX =⎧⎪=⎨⎪⎩≤≥ 其中：[1391011128]C =，111213212223x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.4 1.110000000.5 1.2 1.3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，800900B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 0.4000.5000 1.100 1.2000100 1.3Aeq ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，400600500Beq ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5．用图解法求下列各题．（1）最优解为1220x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，最优值为max 4S =．（2）无最优解为．（3）无穷多组最优解为满足121x x +=且介于点（1,0）和点（0,1）间的线段上的所有点．第7章 随机事件与概率习题7.11．（1）{}0t t Ω=≥；（2）设}{个次品取到正品前抽取了i A i =（0,1,2,3,4i =），则01234{,,,,}A A A A A Ω=；（3）设}{次中得一等奖第i A i =（1,2,i =L ），则12{,,}A A Ω=L ． 2．（1）AB ； （2）A ； （3）ABC ABC ABC ⋃⋃； （4）ABC ； （5）A B C ⋃⋃； （6）A B C ⋃⋃或ABC ； （7）ABC 或A B C ⋃⋃；（8）ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃．3．（1）321A A A ；（2）321A A A ⋃⋃；（3）321321321A A A A A A A A A ⋃⋃；（4）321321321321A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃．4.（1）[0,3)； （2）[0,2)； （3）(,0)[2,)-∞⋃+∞； （4）φ．习题7.21．14． 2．（1）13； （2）215； （3）815．3．（1）61； （2）b ； （3）0.84； （4）1511； （5）0.7； （6）0.6． 4．（1）61； （2）65．5．（1）158； （2）97．6．(|)0.3P B S =． 7．0.64．8．（1）0.42；（2）0.88；（3）0.46． 9.（1）89110；（2）81100．10．35．11．0.592．12．0.4，0.5，0.6，0.6，0.75． 13．0.93．第7章 复习题1．12B A A =；12C A A =；1212()()D A A A A =⋃；12E A A =⋃．其中B C D 、、两两互不相容，C 与E 为对立事件．2．因为B A ⊂，所以()()P B P A <． 3．（1）2845； （2）145； （3）15； （4）1645； （5）1745； （6）4445． 4．0.97；0.03． 5．0.75；0.25．6．（1）0.988；（2）0.012；（3）0.83．7．（1）44%；（2）15%；（3）2.25%；（4）0.25%；（5）13.6%；（6）13.3%． 8．（1）0.27；（2）0.15．9．（1）0.45，0.24，0.14；（2）0.83；（3）0.54． 10．0.78． 11．0.72．12．（1）0.74；（2）0.56．第8章 随机变量分布及其数字特征习题8.11．设随机变量0,()1,()X ⎧=⎨⎩没投中投中，则(0)0.6P X ==，(1)0.4P X ==．2．设取出产品的等级为随机变量X ， X 取1、2、3分别表示产品等级为一、二、三级，则4(1)7P X ==，2(2)7P X ==，1(3)7P X ==．习题8.21．（1）是概率分布．因为满足离散型随机变量分布律的性质；（2）25.0)30(==XP；（3）35.0)25(=≤XP；（4）4.0)30(=>XP．2.（1）P (X=100) =0.25；（2）7.0)0(=>XP；（3）4.0)100(=≥XP．3．X-1 2 6)(XP0.1 0.3 0.6 4．X0 1 2P（X）213815381195．（1）X0 1 2) (X P 194949（2）X0 1 2) (X P115815256．0.14；0.95．7．0.009；0.998；7，0.617．8.（1）25.0=C；（2）0.25，0.75；（3）F (X)=0,10.25,13 0.5,3 4.51, 4.5xxxx<-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥．9．0.000008．习题8.31.（1）a =3；（2）95． 2.（1）0.2325；（2）0.5479． 3.（1）常数k=4；（2）0.5392．4.（1）c=61；（2）127；（3）()F x =20,211,241231,4x x x x <⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪⎩≤≥．5.（1）0.4773；（2）0.0227；（3）0.9545． 6． 1.96λ=．7.（1）0.475；（2）0.025．8.（1）0.09176；（2）12475支/周．习题8.41．47． 2．（1）31； （2）32； （3）2435．3．（1）c =6； （2）61； （3）67．4．0.3． 5．2．6．k =4；α=3．7．（1）445；（2）盈利57500元．习题8.51．163． 2．数学期望为0.3；方差为0.319． 3．E (X )=9元；D (X )=3.4． 4．（1）31；（2）454；（3）4516．5.（1）12-；（2）20．6.（1）4.1；（2）3.93，1.98． 7．7．8.（1）5；（2）17；（3）0． 9．a =0.6，b=1.2， D ( X )=0.08．第8章 复习题1．1()(1,2,3,4,5,6)6P X k k ===； 0,(1)1,(12)61,(23)31(),(34)22,(45)35,(56)61,(6)x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2.（1）0.11；（2）0.96．3.（1）不是；（2）是． 4．0.9324． 5．0.3935． 6．（1）61；（2）21625． 7．（1）K =0.5；（2）1.414． 8．（1）0.483；（2）0.983． 9．50.85．10．（1）0.1056；（2）0.1056． 11．（1）0.5；（2）0.25；（3）43；（4）29． 12．（1）0；（2）1． 13．开发该软件．14．（1）()145,()140E X E Y ==，选择中型扩建． （2）()2725,()12400D X D Y ==，选择中型扩建． 15.（1）X 1 2 3 4 5 P4%39%29%21%7%（2）() 2.88E X =；（3）() 1.0256,() 1.013D X D X =≈．16．（1）X 1 2 3 4 5 P7/296/293/296/297/29（2）()3E X =，()11.34D X ≈；（3）略．第9章 数理统计初步习题9.1略．习题9.21.（1290,1304）．2.（1271,1323）．3.（2.08, 2.42）．4.（18,20）．5.（17.9,91.1）．习题9.31．产品合格． 2．产品合格． 3．不正常． 4．广告不真实． 5．有变化．习题9.41．（1）略；（2）ˆ 6.45 1.58=-；（3）变量x与y存在显著线性相关关系．y x2．x与y存在显著线性相关关系；ˆ41.320.53=+．y x第9章复习题1．（1）（93.54,136.72）；（26.4,46.84）；（2）略．2．该校3年级男生平均身高与全国一致，身高差异程度没有拉大．3．该生产线不正常．4．这两种药品对血压影响是相同的．5．该基金的风险没有增大．6．（71.15, 80.45）．7．（1）ˆ66.6 1.36=+；（2）y与xx存在显著线性相关关系．y x8．（1）y与x存在显著线性相关关系；（2）ˆ 4.950.18=-+．y x29目录习题参考答案 (1)第1章函数、极限与连续 (1)第1章复习题 (2)第2章导数与微分 (3)第3章不定积分与定积分 (8)第4章矩阵 (11)第4章复习题 (14)第5章线性方程组 (15)第6章线性规划初步 (17)第7章随机事件与概率 (23)第8章随机变量分布及其数字特征 (24)第9章数理统计初步 (28)。
高等数学东北大学出版社第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案(精品文档)
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与是同一函数 （2）y x =与（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的 （4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限 （2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n2.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，xe 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量 （6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？ （１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限： （1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→xx x x 7.求下列极限： （1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？ （1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的.3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案
1、函数与函数相同．()12++=x x x f ()113--=x x x g 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴与函数关系相同，但定义域不同，所以与()12++=x x x f ()113--=x x x g ()x f 是不同的函数。
()x g 2、如果（为一个常数），则为无穷大．()M x f >M ()x f 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列是有界数列，但极限不存在()nn x 1-=4、，．a a n n =∞→lim a a n n =∞→lim 错误 如：数列，，但不存在。
()nn a 1-=1)1(lim =-∞→nn n n )1(lim -∞→5、如果，则（当时，为无穷小）．()A x f x =∞→lim ()α+=A x f ∞→x α正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果～，则．αβ()α=β-αo 正确 ∵，是1lim=αβ∴，即是的高阶无穷小量。
01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβαβα-α7、当时，与是同阶无穷小．0→x x cos 1-2x 正确 ∵ 2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 ．01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x 错误 ∵不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
xx 1sin lim 0→9、 ．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0错误 ∵ex xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 10、点是函数的无穷间断点．0=x xxy =错误 ，=-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x =+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点是函数的第一类间断点．0=x xxy =11、函数必在闭区间内取得最大值、最小值．()x f x1=[]b a ,错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，在处不连续()x f x1=0=x ∴函数在闭区间内不一定取得最大值、最小值()x f x1=[]b a ,二、填空题：1、设的定义域是，则()x f y =()1,0（１）的定义域是（ ）；()xef (,0)-∞ （２）的定义域是（ ）；()x f 2sin 1-,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭（３）的定义域是（ ）．()x f lg (1,10)答案：（1）∵ 10<<xe（2）∵ 1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x 2、函数的定义域是（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f (]4,2-3、设，，则（ ）．()2sin x x f =()12+=ϕx x ()[]=ϕx f ()221sin +x 4、＝（ ）．nxn n sinlim ∞→x ∵x x n n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim sin limsin lim 5、设，则（ 2 ），（ 0 ）．()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩()10lim x f x →--=()=+→x f x 01lim ∵，()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x 6、设，如果在处连续，则（ ）．()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ()x f 0=x =a 21∵，如果在处连续，则21cos 1lim 20=-→x x x ()x f 0=x ()a f x x x ===-→021cos 1lim 207、设是初等函数定义区间内的点，则（ ）．0x ()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f ∵初等函数在定义区间内连续，∴()x f ()=→x f x x 0lim ()0x f 8、函数当（ 1 ）时为无穷大，当（ ）时为无穷小．()211-=x y x →x →∞ ∵，()∞=-→2111limx x ()11lim2=-∞→x x 9、若，则（ 1 ），（ ）．()01lim2=--+-+∞→b ax x xx =a =b 21-∵()bax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令，∴，012=-a 1a =±上式化简为∴()22112lim lim lim1x x x bab x a →+∞→+∞→+∞--+==+，，1a =021=+ab 12b =-10、函数的间断点是（ ）．()x x f 111+=1,0-==x x 11、的连续区间是（ ）．()34222+--+=x x x x x f ()()()+∞∞-,3,3,1,1,12、若，则（ 2 ）．2sin 2lim =+∞→x xax x =a ∴()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x 2=a13、（ 0 ），（ 1 ），=∞→x x x sin lim=∞→xx x 1sin lim （ ），（ ）．()=-→xx x 11lim 1-e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim ke ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x x x x x 111sinlim 1sinlim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(101)(1lim 1lim ---→→=-+=-e x x xx xx k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim 14、（不存在 ），（ 0）lim sin(arctan )x x →∞=lim sin(arc cot )x x →+∞=三、选择填空：1、如果，则数列是（ b ）a x n n =∞→lim n x a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数是（ a ）()()1log 2++=x x x f a a ．奇函数 b ．偶函数 c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa ()()x f x x a -=++-=1log 23、当时，是的（ c ）0→x 1-xe x a ．高阶无穷小 b ．低阶无穷小 c ．等价无穷小4、如果函数在点的某个邻域内恒有（是正数），则函数在该邻域内（ c ()x f 0x ()M x f ≤M ()x f ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数在（ c ）条件下趋于.()x f x-=11∞+a ． b ． c ．1→x 01+→x 01-→x 6、设函数，则（ c ）()x f xxsin =()=→x f x 0lim a ．１ b ．－１ c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x 1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：不存在。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得l i 0x =. （10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x ．（也可用洛必达法则） （11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=． （12）30tan sin limx x xx→-． 解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为 ∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限． 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ，由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导. 答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导. （2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy 解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得=2)(22x y yy x +-'， 将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得：即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f xe e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即 当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数， 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值，,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表知，上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0，可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe xd 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x xx d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x, （12）⎰-24d x x . 解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. （10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .（6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x xxd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰．解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. （2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x x d e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.（4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]， 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）（2）分离变量得21d d xx y y -=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解.（3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n )(=， 故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy xy2d d =，x x y y d 2d =， 两边积分，得x x y y ⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ， )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x xx +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx 121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ，故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解：对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解：对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
第一章 函数极限与连续练习题
1 x →0 x 1 (C) lim(1 − ) x = −e x →∞ x
(A) lim (1 + ) x = 1 + 4、 设 阶无穷小，则当 x → 0 时（ （ A） （ B） （ C） （ D）
1 x ) =e x →0 x 1 (D) lim(1 + ) − x = e x →∞ x
f ( x), g ( x) 在 x = 0 的某去心领域内有定义，并且当 x → 0 时 f ( x), g ( x) 都与 x 为同
(B) (D)
1 2 1 A = , B = − ,C = 3 3 6 1 2 1 A = , B = ,C = − 3 3 6
⎧ ln(1 + sin 4 x) ,x ≠ 0 ⎪ 7、 设 f ( x) = x − sin x cos x cos 2 x, g ( x) = ⎨ 则 x → 0 时：f ( x) 是 g ( x) x ⎪0 ,x =0 ⎩
5)
( x + a) ( x + b) lim 2 x + a +b x →∞ ( x + a + b)
x+a
x +b
x
6)
x →0
lim x 1+ ln x +
⎛ x⎞ ⎟ ⎟ ⎠
.
1 x
7) I = lim ⎜ x → 0+
⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ x⎠
tan x
8) lim⎜ ⎜
x
1 cos 2 − x →0 sin 2 x x2 ⎝
且 x = x1 是 f ( x) 的唯一间断点，x = x2 是 g ( x) 的 f ( x), g ( x) 在 (−∞, +∞) 上有定义， ）
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函数、极限与连续 复习题
一.填空题:
1. 函数1
1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1
2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 11x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-.
4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+.
5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e
6. =∞→x
x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )11(lim 1e - 8. 5
432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43
2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+=1
34)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __
12__，=b __3__. 12. 函数3
212--=
x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题
1、ln(1)
y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞）
2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）
A 、x 1sin
B 、x 1cos
C 、x e 1
D 、)1ln(2x +
3、A x f x x =→)(lim 0
（A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义
4、设⎩⎨⎧≥+<=0
,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、
2
1 5、函数)(x f =32-x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、以上都不是
三.求下列极限:
1. )1(lim 2x x x x -++∞
→ 解：)1(lim 2x x x x -++∞→
=lim x
lim x =
lim x =12 2. 30
tan sin lim x x x x
→- 解：30tan sin lim x x x x →-=32
00sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =201cos lim x x x →-=2
202lim x x x →=12 3. x
x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-∞→11lim 解：x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭=1
e e -=2e - 4. x
x x x x 3sin 2sin lim 0-+→
解：x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→=0sin 21lim sin 31x x x x x
→+
-=123132+=-- 5. 5
21sin lim 2+∞→x x x x 解：521sin lim 2+∞→x x x x =1sin lim()1
25x x x x x →∞⋅+=11122⨯= 6. 0lim x x x x x
∆→+∆-∆ 解
：000()()11lim lim lim ()2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+===∆∆+∆++∆+ 四.讨论函数⎩
⎨⎧=≥-<+=00,2,0,1)(x x x x x x f 在点处的连续性,并作出它的图像. 解：在点x=0处
0(00)lim(1)1x f x -→-=+=，0(00)lim(2)2x f x +
→+=-= (00)(00)f f -≠+
()f x ∴函数在点x=0处不连续
函数的图形如下
五.设⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∞≤+>=),()(.
0,,0,1sin )(2在要使x f x x a x x x x f 内连续,应当怎样选择数a. 解：10,()sin x f x x x
>=时是初等函数，连续
20,()x f x a x <=+时是初等函数，连续
在x=0处，20(00)lim()x f a x a -→-=+=，01(00)lim sin 0,(0)x f x f a x
+→+=== 则当(00)(00)(0)f f f -=+=即a=0时函数()f x 在x=0处连续
因此，当a=0()(,)f x -∞+∞在连续
六.设1,1,()()ln(1),1 1.
x x f x f x e x x ⎧>⎪=⎨⎪+-<≤⎩求函数的间断点,并说明间断点的类型.
解：在点x=1处
111(10)lim x x f e e -→-==，1(10)limln(1)ln 2x f x +
→+=+= (10)(10)f f -≠+ ∴x=1是函数的第一类间断点（跳跃间断点）
七.某农户有稻谷10吨要出售.当购买量在4吨以内时，定价500元/吨；当购买量在4吨至8吨时，超出4吨部分定价450元/吨；当购买量大于8吨时，超出8吨部分定价400元/吨.试将销售总收入与销量的函数关系式列出来. 解：设x 表示销量，()f x 表示销售总收入，由题意知
当04x ≤<时，()500f x x =
当48x ≤≤时，()2000450(4)450200f x x x =+-=+
当8x >时，()2000450(84)400(8)400600f x x x =+⨯-+-=+
于是500,04()450200,
48400600,810x x f x x x x x ≤<⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<≤⎩。