数学物理方法(10)--期末考试试卷(4)答案

华中师范大学期末考试参考答案
课程名称 数学物理方法 课程编号 83810012 任课教师 李高翔
题型 问答题 证明题 计算题 计算题
总分
分值 12 27 25 36
100
得分
得分 评阅人 一、问答题：（共 2 题，每题 6 分，共 12 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线
w(0w) ''z-00z,ww0'(00) 1
1．试用级数解法求解在邻域内 的解，其初始条件为 。
ﾥ p(wz )( z)z00,zq0ﾥ(0zc)kz k- z k 0
解：系数在解析，是方程的常点，解的形式为：
� � ﾥ
ﾥ
k (k -1)ck zk-2 - ck zk+1 0
答： 函数的傅里叶变换：，又称为的像函数；
F -1 G

f
xGfx21
G eixd
-
函数的傅里叶逆变换：，又称为的像原函数。
专业：
院（系）：
得分 评阅人 二、证明题：（共 3 题，每题 9 分，共 27 分）
1. 已知，试证明： （）
证明：将对 r 求导
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx

ﾥ l0
Pl (x)rl
( x < 1)
(l +1)Pl+1(x) - (2l +l 1ﾥ)1xPl (x) + lPl-1(x) 0
ﾥ 1
1+ r2 - 2rx

ﾥ l0
Pl (x)rl
( x < 1)
ﾥ -
1 2
(1 +
r2
-
2rx)-
3 2
(2r
-
2x)

k 2
k 0
� w( z )
2c2 +
ﾥ
[(k + 2)(k +1)ck+2 - ck-1]zk
0
k 1
将代入方程
c2 0c,3ckkk+23kk((ck33kkk--+-33-12c)1)k-()1k + 1)
即亦即
c3k

c3k -3 3k(3k -1)

1 3k (3k
-1)
ﾥ l0
Pl (x)lrl-1
ﾥ x - r
1+ r2 - 2rx

(1+ r2
ﾥ
- 2rx)
l0
Pl (x)lrl-1
改写为
xP0 (x)r0 p1(x)
比较两边项的系数得
rl (l ﾥ1)
比较等式两边项的系数，有
xpl (x) - Pl-1(x) (l +1)Pl+1(x) - 2xlPl (x) + (l -1)Pl-1(x)
代换，有


f1
t -
e- pt dt

0
f1

e- p + d

0
f1 e-p d
0
f2
第e- p d1
页F(1共p F23 p页 )
f (x) lim
n e -nx2
n
3. 试证明：是函数的一种表达式。
整理递推公式得 （）
(l +1)Pl+1(x) - (2l +l 1ﾥ)1xPl (x) + lPl-1(x) 0
2. 对于拉普拉斯变换，试证明两函数的卷积的像函数等于它们各自的像函数的乘积。
f1t * f2 t F1 p F2 p
①
f1t * f2 t
---------------------------------------------------------
学号：
1． 用分离变量法求解定解问题的基本思想和基本步骤是什么？
答：（1）基本思想：把偏微分方程中未知的多元函数分解成一元函数的乘积，从而把 求解偏微分方程的问题转化为解常微分方程的问题。
（2）基本步骤：定解问题中，偏微分方程和边界条件都是其次的，先找出满足方程 和边界条件的特解，再利用叠加原理求这些特解的线性组合，得到满足方程和边界条 件的一般解，最后使其满足初始条件。
学生姓名：
年级：
2． 写出傅里叶变换的定义式。
F
f

x

G

Gf
x -
f

x e-ixdx
� (3k
c3k -6 - 3)(3k
- 4)

3k (3k
-1)(3k
1 - 3)(3k
- 4)L6 �5 �3 �2 c0
c3k +1

c3k -2 3k(3k +1)

1 3k (3k
+ 1)
�(3k
c3k -5 - 2)(3k
- 3)

(3k
+ 1)3k (3k
-
1 2)(3k
- 3)L7
�6 �4 �3 c1
因，故
c5 c82 L0 0
� ﾥ � w(z)

c0
+
ﾥ k 1
3wk1((3zk)
-1cz)0L+z 3ﾥﾥﾥkk160ﾥ1�5(3ww�k3ﾥ((+00�2))1)+3zckzc031L+k +1k7ﾥ1�6(3�k4 +�31)3c1kzL3k +71
�6 �4 �3
nﾥ( x)ﾥ
证明：根据函数的定义和性质可知，当时，中央峰额高度趋于无穷大，而宽度趋于零，
满足这一性质的式子就可以作为的一种表达式。
e-a2x2
根据高斯误差函数的性质
得到
ﾥﾥ e-a2x2 dx -ﾥ
a
(x) lim n e-nx2 nﾥ ﾥ
得分 评阅人 三、计算题：（共 2 题，每 1 题 15 分，第 2 题 10 分，共 25 分）
2．试将函数 解：
f
(t)

ﾥe-at ﾥﾥ0,
Baidu Nhomakorabeasin(2n
t
),
t > 0, t < 0.
用傅里叶积分展开。
ﾥ f
(t)

1 2
+ﾥ c( )eitd
-ﾥ
ﾥ c() +ﾥ f (t)e-itdt -ﾥ
ﾥ +T e-at sin 2n te-it dt -T
ﾥ
1 2
e- pt
0

0
f1 t
-

f2
d
d
证

0
f2 d
0
f1t - e-ptd
在上式右边交换积分次序，得到
t t<<f1t,0-tt,f，ft-tf2 t00
由于都是拉普拉斯变换的原函数，满足条件，所以上式第二个几分从开始【】。在这一积分中作变量
{e - e }dt +ﾥ [i(2n -)-a ]t
[i (2n + )+a ]t
0

1 2
{ e[i(2n - )-a ]t i(2n - ) -a