导数方法与技巧
求导数公式及运算法则方程
求导数公式及运算法则方程在微积分中，求导数是一项重要的运算技巧，它用于计算函数的变化率。
本文将介绍一些常见的求导数公式和运算法则方程，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
导数基本概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(f)，它在点f处的导数可以定义为：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$如果这个极限存在，那么函数f(f)在点f处可导，导数即为这个极限的值。
常见导数公式基本导数1.$ \frac{d}{dx} (c) = 0 $ （常数函数的导数为 0）2.$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} $ （幂函数的导数）3.$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $ （指数函数的导数）4.$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x} $ （对数函数的导数）三角函数导数1.$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x) $2.$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) $3.$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) $复合函数导数若 $ y = f(g(x)) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $导数运算法则和差法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：1.$ \frac{d}{dx} (u(x) + v(x)) = \frac{du}{dx} +\frac{dv}{dx} $2.$ \frac{d}{dx} (u(x) - v(x)) = \frac{du}{dx} -\frac{dv}{dx} $乘法法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：$ \frac{d}{dx} (u(x) \cdot v(x)) = u(x) \cdot \frac{dv}{dx} + v(x) \cdot \frac{du}{dx} $商法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，且 $ v(x)eq 0 $，则：$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{v(x)\cdot \frac{du}{dx} - u(x) \cdot \frac{dv}{dx}}{(v(x))^2} $运算法则的应用通过以上运算法则，我们可以对各种函数进行求导操作。
高考数学导数解题技巧
高考数学导数解题技巧
在高考数学中，导数是一个常见的解题工具。
以下是一些解题技巧：
1. 使用定义法求导数：如果需要求一个函数在某个点的导数，可以使用定义法，即计算函数在该点附近的斜率。
具体步骤是计算函数在点x处的斜率极限，即Lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。
2. 使用基本导数公式：熟记一些基本导数公式可以帮助简化计算过程。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数等于幂次乘以原函数的导数，指数函数的导数等于常数乘以指数。
3. 使用导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性质和乘积规则。
线性性质表示导数是线性运算，即对于两个函数
f(x)和g(x)，以及常数a和b，有导数[a*f(x) + b*g(x)]' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积规则表示两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
4. 使用链式法则：当一个函数由两个复合函数相乘或相除构成时，可以使用链式法则简化导数的计算。
链式法则可以表示为如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
5. 注意求导的顺序：当需要求一个复合函数的导数时，要注意求导的顺序。
通常，外函数的导数应该先求出来，再将其嵌入到内函数中求导。
以上是一些常见的高考数学导数解题技巧。
通过熟练掌握这些技巧，可以在考试中更快、更准确地解题。
导数与微分的计算
导数与微分的计算计算导数和微分是微积分学中的重要概念和技巧。
导数和微分的计算涉及多种方法和公式，本文将介绍其中的几种常见方法，并通过例子来说明具体计算的步骤和技巧。
一、导数的计算方法导数是用来描述函数在某一点的变化率的概念，计算导数的方法有几种：1. 用极限定义计算导数根据导数的定义，对于函数f(x)，其在点x=a处的导数f'(a)可以通过以下极限计算得到：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h是一个无限趋近于0的实数。
2. 使用导数的性质进行计算导数具有一些性质，如导数的加减乘除法则和链式法则等，利用这些性质可以简化导数的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的导数分别为f'(x)和g'(x)，那么可以利用加减法则计算复合函数的导数： (f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)同样，利用乘法法则可以计算两个函数相乘的导数：(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)二、微分的计算方法微分是函数在某一点的线性近似，计算微分的方法有以下两种：1. 使用导数进行微分计算根据微分的定义，函数f(x)在点x=a处的微分df可以表示为： df = f'(a)·dx其中，dx是自变量的增量。
2. 利用微分的性质进行计算微分具有一些性质，如微分的线性性和链式法则等，利用这些性质可以简化微分的计算过程。
例如，如果已知函数f(x)和g(x)的微分分别为df和dg，那么可以利用线性性计算复合函数的微分： d(f(x)±g(x)) = df±dg同样，利用链式法则可以计算复合函数的微分：d(f(g(x))) = f'(g(x))·dg三、导数与微分的计算举例下面通过几个例子来具体说明导数与微分的计算过程和技巧：例1：计算函数f(x) = x²在点x=2处的导数和微分。
导数的计算方法与技巧的扩展和深化
导数的计算方法与技巧的扩展和深化导数是微积分中的重要概念，广泛应用于物理、经济、工程等领域。
在求解函数的极值、刻画函数的变化率等问题时，计算导数是一个基本步骤。
本文将介绍导数的计算方法，并讨论一些扩展和深化的技巧。
一、导数的定义和基本计算方法在微积分中，导数描述了函数在某一点处的变化率。
导数的定义如下：\[f'(x)=\lim_{{h\to 0}}\frac{{f(x+h)-f(x)}}{h}\]为了方便计算，有一些基本的导数公式可以应用：1. 常数规则：若\(f(x)\)为常数，则\(f'(x)=0\)；2. 幂函数规则：若\(f(x)=x^n\)，其中\(n\)为常数，则\(f'(x)=nx^{n-1}\)；3. 指数函数规则：若\(f(x)=a^x\)，其中\(a\)为常数，则\(f'(x)=a^x\lna\)；4. 对数函数规则：若\(f(x)=\log_a x\)，其中\(a\)为常数，则\(f'(x)=\frac{1}{x\ln a}\)；5. 三角函数规则：若\(f(x)=\sin x\)，\(f(x)=\cos x\)或\(f(x)=\tan x\)，则\(f'(x)=\cos x\)，\(f'(x)=-\sin x\)或\(f'(x)=\sec^2 x\)。
基于这些基本的导数公式，我们可以通过连续应用链式法则、乘法法则和除法法则等来计算复杂函数的导数。
二、导数计算的技巧除了基本的计算方法外，还有一些技巧可以帮助我们更快地计算导数。
1. 高阶导数导数的计算不仅仅局限于一阶导数，还可以计算二阶导数、三阶导数等。
一阶导数的符号、斜率和函数的变化率有关，而高阶导数则关注函数的曲率和凹凸性。
例如，二阶导数大于零表示函数图像为凸的，小于零表示为凹的。
2. 隐函数求导对于某些函数，它们的导数不容易直接使用基本公式计算出来，这时可以考虑使用隐函数求导的方法。
导数题的十大解题技巧
导数题的十大解题技巧一、导数概念1、先了解基本的导数概念，掌握常用的求导法则，如链式规则、技术分解法之类的解题方法。
二、根据定义式求导数2、若检验某函数的连续性，则可以用极限的方法求出导数，考虑函数的不同取值求导数的变化。
三、图像的理解运用3、利用函数图像求取导数，判断函数的性质，进而探究关于函数的性质，例如凸凹形态等。
四、反比例函数求导4、利用反比例函数求导，了解反比例函数的导数特征，能快速求得反比例函数的导数的函数，有效提高解题效率。
五、指数函数求导5、利用指数函数求导，弄清楚指数函数的导数特点，掌握求取指数函数导数的方法，做到心中有数，有助于提高解题效率。
六、复合函数求导6、利用复合函数求导，它的求导需要利用到链式规则和技术分解法等方法，能够准确求取复合函数的导数，配合其他解题方式，可以准确解出复杂的复合函数的导数。
七、导数的几何意义7、根据函数的解析式对曲线进行分析，用导数的几何意义可以很好的分析函数的凹凸性，分别解决凸函数和凹函数的情况，利用几何图形可以直观的确定曲线的凹凸性。
八、极值点8、从求导的角度出发，考虑一元函数的极值点，掌握求极值点的基本方法，主要是求解一阶导数的极限即可，结合函数的定义域可以判断函数的极值点分布情况。
九、积分函数求导9、由于积分函数可以形成函数，而函数求导可以利用积分函数求导，根据求积分的原则可以对积分函数进行求导，如分部积分法、积分反演法等，考虑函数在定义域的变化，可以熟练掌握积分函数的求导方法。
十、椭圆函数求导10、考虑函数的特点，可以把椭圆函数拆分为有限多个单独的函数，再利用求导法则求取导数，合并求得得出椭圆函数的导数，熟练掌握椭圆函数的求导方法，可以有效提高解题的效率。
导数的运算法则公式
导数的运算法则公式1. 导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数表示为f'(x)，可以理解为x点处的瞬时变化率。
2. 导数的意义导数有很多实际应用，例如物理学中的速度和加速度，经济学中的边际效应等，都可以通过导数来计算。
此外，导数还可以用于求解函数的极值和函数的图像特征等问题。
3. 导数的计算导数的计算有多种方法，最基本的方法是使用极限定义。
对于f(x)在x点的导数f'(x)，可以用以下极限定义来计算：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h, h->0其中，h为一个无限趋近于0的数。
这个公式的意思是将x点的函数值和x+h点的函数值的差，除以h的值，即得到函数在x点的变化率。
随着h趋近于0，这个差值越来越接近于瞬时变化率，也就是导数。
除了极限定义外，还有一些常见函数的导数公式，如下：(1) 常数函数f(x) = c的导数为0，即f'(x) = 0；(2) 幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)；(3) 指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x·ln(a)；(4) 对数函数f(x) = logₐx的导数为f'(x) = 1/(x·ln(a))。
另外，还有一些重要的导数计算法则，如下：(1) 基本运算法则：导数具有线性性质，即（f(x)±g(x))' =f'(x)±g'(x)；(2) 乘法法则：（f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)；(3) 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)) / [g(x)]^2；(4) 复合函数法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)。
基本求导法则与导数公式
基本求导法则与导数公式基本求导法则是微积分中的基本技巧之一，用于计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的概念，它可以在一点上表示函数的斜率，也可以通过函数在不同点上的导数值描绘函数曲线的特性。
掌握基本求导法则对于理解和应用微积分非常重要。
以下是一些常用的基本求导法则：1.常数规则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数为0。
2.乘法规则：如果f(x)=u(x)v(x)，那么它的导数为f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
这个规则是求两个乘积函数的导数。
3.除法规则：如果f(x)=u(x)/v(x)，那么它的导数为f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)²。
这个规则是求两个商函数的导数。
4. 指数函数规则：如果f(x)=aˣ，那么它的导数为f'(x)=aˣ·ln(a)，其中a是一个常数。
5. 对数函数规则：如果f(x)=logₐ(x)，那么它的导数为f'(x)=1/(x·ln(a))，其中a是一个常数。
6.幂函数规则：如果f(x)=xʳ，那么它的导数为f'(x)=r·xʳ⁻¹，其中r是一个常数。
7. 正弦函数规则：如果f(x)=sin(x)，那么它的导数为f'(x)=cos(x)。
8. 余弦函数规则：如果f(x)=cos(x)，那么它的导数为f'(x)=-sin(x)。
9. 正切函数规则：如果f(x)=tan(x)，那么它的导数为f'(x)=sec²(x)。
10.反函数规则：如果f和g是互为反函数的函数，那么f'(x)=1/g'(f(x))。
除了上述的基本求导法则外，还有一些常用的导数公式，便于计算特定类型的函数的导数：1. 复合函数法则：如果y=f(g(x))，那么y对x的导数可以写为dy/dx=df/dg·dg/dx。
导数的运算法则和复合函数的导数
导数的运算法则和复合函数的导数导数是微积分中一个非常重要的概念，它表征了函数在其中一点上的变化率。
导数的运算法则以及复合函数的导数是我们在求导过程中经常用到的方法和技巧。
下面我将分别介绍导数的运算法则和复合函数的导数，并给出相应的例子进行说明。
一、导数的运算法则1. 常数规则：常数的导数为零。
即对于任意常数c，有d/dx (c) = 0。
例如，d/dx (3) = 0。
2. 幂规则：对于任意实数a和正整数n，有d/dx (x^n) = n *x^(n-1)。
例如，d/dx (x^2) = 2x。
3. 和差规则：两个函数的和(差)的导数等于两个函数分别的导数的和(差)。
即d/dx (f(x) ± g(x)) = d/dx (f(x)) ± d/dx (g(x))。
例如，如果f(x) = 2x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) + g(x)) = d/dx(2x^2) + d/dx (3x) = 4x + 34. 积法则：两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数再乘以第二个函数的导数。
即d/dx (f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
例如，如果f(x) = x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) * g(x)) = 2x * 3x + x^2 * 3 = 6x^2 + 3x^35. 商法则：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数再乘以分母函数的导数，最后再除以分母函数的平方。
即d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2、例如，如果f(x) = x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) / g(x)) = (2x * 3x- x^2 * 3) / (3x)^2 = (6x^2 - 3x^2) / (9x^2) = 3x / 9x^2 = 1 /3x。
求导数的三种方法
求导数的三种方法在微积分中，求导数是一项重要的技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及优化问题。
在本文中，我们将介绍求导数的三种常用方法：导数定义法、基本求导法和复合函数求导法。
导数定义法导数定义法是求解导数最基础的方法。
给定函数f(f)，它在f处的导数定义为：$$f'(x) = \\lim_{{h \\to 0}} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$这个定义可以帮助我们计算函数在某一点的斜率，进而求得导数值。
虽然这个方法在理论上最为严谨，但在实际计算中通常不太实用，因为需要涉及到极限运算，并且计算量较大。
基本求导法基本求导法是求导数的常用方法之一，适用于多项式、三角函数、指数函数等常见函数。
通过一系列基本的导数公式以及求导法则，我们可以快速求得函数的导数。
下面是一些常用的导数公式：•(f)′=0，其中f为常数•(f f)′=ff f−1，其中f为常数•$(\\sin x)' = \\cos x$•$(\\cos x)' = -\\sin x$•(f f)′=f f通过这些基本的导数公式，我们可以求解一些简单函数的导数，为后续的计算提供基础。
复合函数求导法在实际问题中，我们经常会遇到复合函数，即一个函数内部嵌套了另一个函数。
对于这种情况，我们可以利用复合函数求导法来求导数。
假设函数f=f(f(f))，则f对f的导数可以表示为：$$\\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$$这个公式可以帮助我们快速求解复合函数的导数，避免了繁琐的导数展开过程。
通过灵活运用复合函数求导法，我们可以解决许多实际问题中的导数计算。
总结通过导数定义法、基本求导法和复合函数求导法这三种方法，我们可以更全面地理解导数的求解过程，并且在实际问题中更灵活地运用导数的相关知识。
求导数作为微积分的基础，对于深入理解函数的性质以及解决优化问题都有着重要的作用。
导数的应用分析方法技巧
导数的应用分析方法技巧导数作为微积分中的重要概念，在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将介绍一些导数的应用分析方法技巧，帮助读者更好地理解和应用导数。
一、极值问题的分析方法导数可以帮助我们分析函数的极值问题，即函数取得最大值或最小值时的情况。
在分析极值问题时，我们可以根据函数的导数的特点来确定极大值和极小值的存在与位置。
1. 求函数的导数。
首先，我们需要求出函数的导数。
通过求导，我们可以得到函数的增减性信息，从而判断函数在某一区间上是递增还是递减。
2. 解方程f'(x)=0 。
在求得函数的导数后，我们需要找到导数为零的点，即求解方程f'(x)=0。
这些点可能对应函数的极值。
3. 判断极值情况。
接下来，我们需要通过求二阶导数的符号来判断函数在极值点处的情况。
如果二阶导数大于零，则函数在该点处取得极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点处取得极大值。
如果二阶导数等于零，则无法确定极值情况，需要通过其他方法进行分析。
二、函数图像的分析方法利用导数分析函数图像是一种常用的方法，可以帮助我们揭示函数的特性和趋势。
1. 导数与函数的增减性。
通过求函数的导数，我们可以算出函数在某一区间上的增减性。
当导数大于零时，函数在该区间上是递增的；当导数小于零时，函数在该区间上是递减的。
2. 极值点与拐点。
我们可以通过导数的零点（极值点）和导数多次变号的点（拐点）来判断函数图像的特性。
极值点对应函数的极值，拐点对应函数图像的拐曲变化。
3. 函数图像的绘制与分析。
利用求得的导数信息，我们可以根据一些基本的绘图规则来绘制函数的图像。
在绘制图像的过程中，我们可以结合导数的信息对曲线的变化进行解释和分析。
三、速度与加速度问题的应用导数在物理学中也有着广泛的应用，特别是在速度与加速度问题中。
1. 速度与位移。
速度是位移对时间的导数，可以表示物体的移动快慢和方向。
通过求解位移函数的导数，我们可以得到物体的速度函数。
高中导数七大题型解题技巧
高中导数七大题型解题技巧高中导数七大题型解题技巧1. 导数的定义与计算•理解导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，可以通过极限的方法求得。
•使用导数的基本计算公式：对于常见的函数，可以根据函数的性质和导数的定义来计算导数。
2. 函数的求导法则•使用求导法则简化求导过程：如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
•注意链式法则的应用：当函数由多个复合函数组成时，可以使用链式法则简化求导过程。
3. 高阶导数的计算•理解高阶导数的概念：高阶导数表示导数的导数，可以通过多次求导得到。
•使用链式法则和求导法则计算高阶导数：根据函数的性质和导数的法则，可以计算出高阶导数。
4. 函数的极值与单调性•寻找函数的极值点：通过判断导数的正负来确定函数的增减性和极值点。
•判断函数的单调性：根据导数的正负判断函数的单调递增和单调递减区间。
5. 函数的凹凸性与拐点•判断函数的凹凸性：通过求导数的二阶导数和符号判断函数的凹凸性。
•寻找函数的拐点：通过判断导数的二阶导数的变化来确定函数的拐点。
6. 函数的渐近线与极限•理解函数的渐近线：渐近线是函数在无穷远点或某一点趋近于无穷时的极限情况。
•计算函数的极限：根据导数和高阶导数的性质计算函数在某一点的极限。
7. 应用题的解题方法•理解应用题的背景和要求：应用题通常涉及到实际问题，需要将问题转化为数学模型进行求解。
•使用导数解决应用题：根据问题的要求，建立函数模型并使用导数来解决问题。
以上是高中导数七大题型解题的一些基本技巧和方法，希望可以帮助到你在学习导数时的理解和应用。
导数常用的一些技巧和结论
导数常用的一些技巧和结论导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，常常需要用到导数的一些技巧和结论来求解具体问题。
下面介绍一些常用的导数技巧和结论。
一、常数规则和幂规则1.常数规则：如果f(x)是一个常数，那么f'(x)=0。
2. 幂规则：对于任意实数n，如果f(x)=x^n，那么f'(x)=nx^(n-1)。
特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1二、和差规则和乘积规则1.和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
2.乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
三、商规则和复合函数规则1.商规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^22.复合函数规则：如果h(x)=f(g(x))，且f(x)和g(x)都是可导函数，那么h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
四、链式法则和反函数的导数1. 链式法则：如果y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么y=f(g(x))的导数为dy/dx = f'(g(x))g'(x)。
2.反函数的导数：如果y=f(x)在区间I上可导，且f'(x)≠0，则它的反函数x=f^(-1)(y)在对应的区间f(I)上可导，且有[f^(-1)(y)]'=1/[f'(f^(-1)(y))]。
五、隐函数的导数和参数方程的导数1. 隐函数的导数：如果方程F(x, y) = 0确定了一个隐函数y=f(x)，那么这个函数的导数可以通过求解dy/dx = -F_x/F_y来得到，其中F_x表示对x求偏导，F_y表示对y求偏导。
导数求导的方法
导数求导的方法当我们谈论导数和求导的方法时，实际上是在讨论函数的变化率，以及如何计算函数在某一点的斜率或变化率。
在数学上，导数表示函数在某一点处的斜率，可以帮助我们找到函数的最大值、最小值和函数的变化趋势。
以下是关于导数求导的50种方法，包括基本的导数规则、常见函数的导数计算以及一些常用的求导技巧。
1. 基本导数规则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导、反三角函数求导等。
2. 使用极限定义：根据导数定义的极限表达式，计算函数在某一点的导数。
3. 使用导数的性质：利用导数的性质，如加法性、乘法性、导数与乘积的关系、导数与商的关系等，简化函数的导数计算。
4. 利用链式法则：对复合函数求导时，使用链式法则计算导数，将复合函数拆解成简单的函数并依次求导。
5. 利用反函数求导：利用反函数的导数与原函数导数的倒数关系，对反函数求导。
6. 隐函数求导：对含有隐函数的方程，利用隐函数求导公式计算导数。
7. 用总导数公式：对多元函数，利用总导数公式计算偏导数。
8. 利用对数求导：对指数函数求导时，可以先将指数函数化为自然对数形式，再进行求导。
9. 利用差商定义求导：将函数的差商形式化，然后利用极限定义计算导数。
10. 利用牛顿-莱布尼茨公式：对定积分求导时，利用牛顿-莱布尼茨公式将导数和定积分联系起来。
11. 利用泰勒展开式：通过泰勒展开式将函数转化为多项式形式，然后求导。
12. 利用微分方程求导：对包含微分方程的函数，通过微分方程的特定形式计算导数。
13. 利用参数方程求导：对包含参数方程的函数，利用参数方程的导数计算方式求导。
14. 利用极坐标求导：对极坐标形式的函数，通过极坐标的导数计算方式求导。
15. 利用数值方法求导：通过数值微分或数值积分方法估算导数值。
16. 利用导数的几何意义：利用导数表示函数在某一点的切线斜率，计算导数。
17. 利用对称性求导：利用函数的对称性质简化导数计算过程。
导数题的十大解题技巧
导数题的十大解题技巧
导数题的十大解题技巧
一、熟练掌握基本形式的导数
解决导数问题，最基本的是要掌握几种常见函数的导数形式，如常用的多项式函数、三角函数、泰勒级数等。
二、熟练运用基本运算法则
基本运算法则是指对函数的加减乘除、乘方、链式法则等多项操作的计算公式。
三、利用倒数公式
在两函数相除时，可以利用倒数公式把除法变成乘法。
也就是相除的两个函数导数的乘积等于其一除以另一函数的倒数的导数。
四、运用链式法则
链式法则是求解复杂函数导数的有力工具。
它的做法是用函数的导数来求复合函数的导数，即将复杂函数分解为几个简单函数的组合。
五、会用技巧简化运算
解决导数问题，要熟悉几种常用的技巧，比如去项技巧、因式分解技巧、合并同类项技巧等，尽量减少计算量。
六、善于利用对称性
在有关导数的计算中，当函数具有对称性时，有时可以利用对称性把计算时间缩短。
七、多分类讨论
对于某种特殊情况的求导，要多分类考虑，把它们分开，分别求
解。
八、把不熟悉的形式改写成熟悉的形式
有时，在求解导数时，可以把不熟悉的函数形式改写成熟悉的形式，从而简化计算。
九、运用泰勒展开法
当函数形式太复杂时，可以用泰勒级数展开法来求解它的导数，其中，泰勒展开第N项的系数是函数的N次导数值。
十、加强练习熟练掌握
多进行练习，加强熟练掌握，能有效帮助学生解决导数问题。
导数题的十大解题技巧
导数题的十大解题技巧导数题的十大解题技巧一、熟练掌握导数的定义1、函数的导数：函数y=f（x）的导数，记作f′（x），表示函数y=f（x）在点x处的切线斜率。
2、数列的导数：数列y的极限导数，记作y′，表示数列y中趋势的变化率。
二、准确掌握导数的计算1、用法则：将函数代入法则（如指数函数法则，三角函数法则等）所给表达式中，可得出函数的导数；2、变量分离：将函数用变量分离法（如商式分解法，多项式分解法等）分解，再用法则进行求导；3、链式法则：将函数中的连续函数拆分，用累加法或链式法则进行求导；4、转换关系：将函数中的变量用等价关系（如t=sax，x=a/t）进行转换，使变量适合法则，再求导；5、隐函数法：将函数中的变量用隐函数（如x=f（t））进行表达，再求导；6、偏导法：将函数中的变量用偏导数（如y/t）表达，再求导。
三、理解利用导数性质1、函数的导数是函数表示的变化率；2、导数的正负性有助于判断函数的单调性；3、函数的极值点可判断导数的符号；4、函数尖峰和凹处的判断；5、导数判断函数的模式；6、可以用导数的特性求函数的拐点；7、用导数可以求函数的泰勒级数；8、可以用导数的递推来求函数的定义域；9、可以用导数求一些曲线的面积。
四、利用科学计算器快速完成计算1、熟悉科学计算器的使用功能，即可完成导数的运算；2、可按法则准确求函数的导数；3、可以快速判断函数的极值、拐点等；4、对于复杂函数，可以简化计算，提高效率。
五、熟悉求导方程的解法1、建立方程，移项，量化，变形，以达到最简形状；2、变换为通解方程，求其特解；3、使用科学计算器计算求得函数的解。
导数解题技巧归纳
导数解题技巧归纳
在解题时，我们可以使用以下技巧来求解导数：
1. 基本导数公式：掌握常用函数的导数公式，例如常数函数、幂函数、多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 基本运算法则：了解基本导数运算法则，例如和法则、差法则、积法则、商法则等。
3. 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则来求导数。
链式法则的公式为：如果 y=f(g(x))，则 y' = f'(g(x)) * g'(x)。
4. 隐函数求导法则：对于含有隐函数的方程，可以使用隐函数求导法则来求导数。
隐函数求导法则的公式为：如果F(x,y)=0，则 dy/dx = - F_x / F_y，其中 F_x 表示 F 对 x 求偏导数，F_y 表示 F 对 y 求偏导数。
5. 参数方程求导法则：对于参数方程，可以使用参数方程求导法则来求导数。
参数方程求导法则的公式为：如果 x=f(t)，
y=g(t)，则 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
6. 高阶导数：在一些情况下，需要求高阶导数，即导数的导数。
在求高阶导数时，可以多次应用导数法则和技巧。
7. 极限法求导：有时，可以使用极限法来求导数，即根据导数的定义进行计算。
8. 几何意义：了解导数的几何意义，即导数表示函数曲线在某一点的切线斜率。
根据几何意义，可以判断函数在某一点的导数的正负性以及函数的变化趋势。
综上所述，以上是一些常见的导数解题技巧，通过掌握这些技巧，可以更有效地求解导数。
不同的题目可能需要结合不同的技巧和方法来求解，因此在解题时，需要根据具体情况选择合适的技巧和方法。
解答导数问题的三个技巧
考点透视故g ()x 在()0,x 0上为增函数，则g ()x >g ()0=0，故h ()x 在()0,x 0上为增函数，所以h ()x >h ()0=0，与题设相矛盾.若0<a ≤12，则h ′()x =()1+ax e ax-e x=eax +ln ()1+ax -e x，下证：对任意x >0，总有ln ()1+x <x 成立，设S ()x =ln ()1+x -x ，则S ′()x =11+x -1=-x 1+x<0，所以S ()x 在()0,+∞上为减函数，则S ()x <S ()0=0，即ln ()1+x <x 成立.所以e ax +ln ()1+ax -e x <e ax +ax -e x =e 2ax -e x ≤0，故h ′()x ≤0总成立，即h ()x 在()0,+∞上为减函数，所以h ()x <h ()0=0.当a ≤0时，h ′()x =e ax -e x +axe ax <1-1+0=0，所以h ()x 在()0,+∞上为减函数，所以h ()x <h ()0=0.所以xe ax -e x +1<0，xe ax -e x <-1，即f (x )<-1，综上可得，a ≤12.第一问比较简单，根据导函数与函数的单调性之间关系，即可判断出函数的单调性.对于第二问，要对参数a 的取值进行分类讨论，中间需要多次构造函数，进行多次求导，以根据导函数的正负判断出函数的单调性，进而求得原函数的值域.三、构造同构式有时通过等价变形，可将方程、不等式左右两端的式子变为结构一致的式子，即同构式，便可根据同构式的结构特征构造函数.然后对函数求导，运用函数的单调性来解题.同构法较为灵活，需仔细观察代数式的特点，对其进行合理的变形，从中发现，或通过类比、分析，找出同构式，以利用同构式，寻找新的解题途径.例3.已知函数f ()x =kx ()1-ln x ，其中k 为非零实数.（1）求f ()x 的极值；（2）当k =4时，在函数g ()x =f ()x +x 2+2x 的图象上任取两个不同的点M ()x 1,y 1、N ()x 2,y 2.当0<x 1<x 2<t 时，总有不等式g ()x 1-g ()x 2≥4()x 1-x 2成立，求正实数t 的取值范围.解：（1）f ()x =kx ()1-ln x ，其中k 为非零实数，则f ′()x =-k ln x ，x >0.①当k <0时，x ∈()0,1，f ′()x <0，则函数y =f ()x 单调递减；当x ∈()1,+∞时，f ′()x >0，则函数y =f ()x 单调递增.所以，函数y =f ()x 有极小值f ()1=k ；②当k >0时，x ∈()0,1，f ′()x >0，则函数y =f ()x 单调递增；当x ∈()1,+∞时，f ′()x >0，则函数y =f ()x 单调递减.所以，函数y =f ()x 有极大值f ()1=k .综上所述，当k <0时，y =f ()x 有极小值f ()1=k ；当k >0时，y =f ()x 有极大值f ()1=k ；（2）当k =4时，f ′()x =-4ln x ，g ()x =x 2+2x -4ln x ，当0<x 1<x 2<t 时，总有不等式g ()x 1-g ()x 2≥4()x 1-x 2成立，即g ()x 1-4x 1≥g ()x 2-4x 2，构造函数F ()x =g ()x -4x =x 2-2x -4ln x ，由于0<x 1<x 2<t ，F ()x 1≥F ()x 2，则函数y =F ()x 在区间()0,t 上为减函数或常函数，而F ′()x =2x -2-4x =2()x -2()x +1x，因为x >0，解不等式F ′()x ≤0，得0<x ≤2.由题意可知()0,t ⊆(]0,2，可得0<t ≤2，因此，正实数t 的取值范围是(]0,2.在解答第二问时，要先将目标式变形为g ()x 1-4x 1≥g ()x 2-4x 2，即可发现该不等式左右两边的式子为同构式，于是构造函数F ()x =g ()x -4x =x 2-2x -4ln x ；再对其求导，讨论其单调性、最值，即可求得参数的取值范围.运用同构法解题的关键在于构造同构式和“母函数”.常用的“母函数”有：f (x )=xe x ，f (x )=e x ±x .除了上述三种技巧，解答导数问题的技巧还有数形结合、参变量分离、整体换元、放缩等，同学们需在练习时总结方法、技巧.由于导数问题较为复杂，有时解答一道题往往要用到多种方法.（作者单位：江苏省高邮市临泽高级中学）考点透视37。
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专题：导数定积分方法与技巧一、求切线的四种情况：1、求)(x f y =在),(00y x P 处的切线方程（切线唯一） 所求切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-2、求)(x f y =过),(00y x P 点的切线方程（切线可能有两条）设切点))(,(11x f x P 10101')()(x x x f y x f k --==⇒求出1x所求切线方程为：))((01'0x x x f y y -=-3、求)(x f y =、)(x g y =在两曲线交点),(00y x P 处的公切线方程（切线唯一）所求切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-4、求)(x f y =、)(x g y =在两曲线公切线方程（切线不一定唯一）设切点))(,(11x f x P ，))(,(22x f x P 10102'1')()()(x x x f y x f x f k --===⇒求出1x所求切线方程为：))((01'0x x x f y y -=-1、已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．2、已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点(2,0)P 处的切线方程是 ．3、已知点)2,1(A 在函数3)(ax x f =的图像上，则过点A 的曲线)(:x f y C =的切线方程是( )A ．046=--y xB ．074=+-y xC ．046=--y x 或074=+-y xD ．046=--y x 或0123=+-y x4、已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； ()2()10f x ax a =+>3()g x x bx =+()y f x =()y g x =()1,c a b5、（2016课标2）（16）若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线)2ln(+=x y 的切线，则=b 。
6、已知曲线a x e y +=与2)1(-=x y 恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________．二、求函数值或导函数值1、已知函数43)1(ln )(2'-+--=x x f x x f ，则)1('f ＝______.2、已知函数x x f x f sin cos )4()('+=π，)('x f 是)(x f 的导函数，则)4(πf ＝________．3、如图，)(x f y =是可导函数，直线2:+=kx y l 是曲线)(x f y =在3=x 处的切线，令)()(x xf x g =，)('x g 是)(x g 的导函数，则)3('g ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．2D ．4三、利用直线相切求最短距离1、点P 在曲线ln 2y x =+上运动，点Q 在直线40x y -+=上运动，则P 、Q 两点最短距离是( )AB． CD．2、（2012新课标）12、设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 的最小值为（ ）（A ）2ln 1- （B ）)2ln 1(2- （C ）2ln 1+ （D ）)2ln 1(2+3、直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D.32四、单调性)(x f 在],[b a 上单调增（减）⇒)(x f 在],[b a 上）（0)(' 0)('≤≥x f x f 恒成立利用上述结论求参数的取值范围需谨慎。
1、（2014课标2）11．若函数在区间单调递增，则的取值范围是 （ ）A. B. C . D. 2、已知函数x ax x x f ln 221)(2-+=，若)(x f 在区间]2,31[上是增函数，则实数a 的取值()f x kx Inx =-()1,+∞k (],2-∞-(],1-∞-[)2,+∞[)1,+∞范围为________．3、已知函数1()2ax f x x +=+在(2,)-+∞内单调递减，则实数a 的取值范围为________．4、已知函数321()3f x x x ax =++，a R ∈.若f (x )在区间3(,)2-∞-上存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．5、若函数ax x x x f 22131)(23++-=在),32[+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是__________．6、若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．),1[+∞B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，2 六、构造函数解抽象函数不等式类型一：已知0)()('<+x f x f ，构造)()(x f e x g x=，则可知)(x g 为单调减函数；已知0)()('<-x f x f ，构造)()(x f e x g x=，则可知)(x g 为单调减函数；类型二：已知0)()('<+x f x xf ，构造)()(x xf x g =，则可知)(x g 为单调减函数； 已知0)()('<-x f x xf ，构造)()(x f xx g =，则可知)(x g 为单调减函数；类型三：已知0)()()()(''<+x g x f x g x f ，构造)()()(x g x f x h =，则可知)(x h 为单调减 函数；已知0)()()()(''<-x g x f x g x f ，构造)()()(x g x f x h =，则可知)(x h 为单调减函数； 1、已知函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R x ∈，2)('>x f ，则42)(+>x x f 的解集为__________．2、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，其导函数为)('x f ，若)()('x f x f <且)3()1(x f x f -=+，2)2015(=f ，则不等式12)(-<x e x f 的解集为( )A ．),1(+∞B ．),(+∞eC ．)0,(-∞D ．)1,(e-∞3、设函数()()xf x F x e =是定义在R 上的函数，其中()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '<对于x R ∈恒成立，则( ) A.)0()2(2f e f >)0()2016(2016f e f > B ．)0()2(2f e f <)0()2016(2016f e f >C ．)0()2(2f e f <)0()2016(2016f e f < D ．)0()2(2f e f >)0()2016(2016f e f <4、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x'-<恒成立， 则不等式()0f x >的解集是()A ．),1()0,1(+∞-B ．)1,0()0,1( -C ．),1()1,(+∞--∞D ．)1,0()1,( --∞5、设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，'()()xf x f x -＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．()()0,11,⋃+∞6、若()()f x f x '是的导函数，()()()()212,ln 2f x f x x R f e f x x ⎛⎫'>∈=< ⎪⎝⎭，则的 的解集为 .7、设函数)(x f 是定义在)0,(-∞上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0)()(3'>+x f x f ，则不等式0)3(27)2015()2015(3>-+++f x f x 的解集为( )A ．(－2 018，－2 015)B ．(－∞，－2 016)C ．(－2 016，－2 015)D ．(－∞，－2 012) 七、函数的极值与最值1、设)('x f 是函数)(x f 的导数，)('x f y =的图象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能是( )2、函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43、函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 时有极值10，则a 的值为________．4、设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围是________．5、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-⋅≤，则必有( )A ．(3)(3)2(1)f f f -+<B ．(3)(7)2(1)f f f -+>C ．(3)(3)2(1)f f f -+≤ D ．(3)(7)2(1)f f f -+≥6、设函数)(x f 满足x e x xf x f x x =+)(2)('2，8)2(2e f =，则0>x 时，)(x f ( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值7、已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是_8、函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1,2) C ．(－1,3] D ．(－1,2] 八、定积分 1、由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 22、曲线12e x y =在点2(4,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）（A ）29e 2（B ）24e （C ）22e （D ）2e3、一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动，则此点在t ＝4 s 时运动的路程（ ）A ．43(m)B ．83(m) C ．2(m) D ．4(m)4、dx x x ])1(1[12---⎰5、在平面直接坐标系中，记抛物线2x x y -=与x 轴所围成的的平面区域为M ，该抛物线与直线）（0>=k kx y 所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为81，则k 的值为_______.6、曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________．7、如图所示，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S .导数解决不等式问题的方法与技巧类型一：M x ∈∀a x f ≥)(或 M x ∈∀a x f ≤)( 方法一：M x ∈∀a x f ≥)(恒成立⇔a x f ≥min )(M x ∈∀a x f ≤)(恒成立⇔a x f ≥max )(方法二：M x ∈∀a x f ≥)(恒成立⇔0)(≥-a x f ⇔0])([min ≥-a x f M x ∈∀a x f ≤)(恒成立⇔0)(≤-a x f ⇔0])([max ≤-a x f 方法三：M x ∈∀a x f ≥)(恒成立⇔0)(≥-a x f ⇔0)()()(≥⋅=-x h x g a x f M x ∈∀a x f ≤)(恒成立⇔0)(≤-a x f ⇔0)()()(≤⋅=-x h x g a x f 类型二：M x ∈∀)()(x g x f ≥或 M x ∈∀)()(x g x f ≤方法一：M x ∈∀)()(x g x f ≥恒成立⇔0)()(≥-x g x f ⇔0)]()([min ≥-x g x f M x ∈∀)()(x g x f ≤恒成立⇔0)()(≤-x g x f ⇔0)]()([max ≤-x g x f 方法二：M x ∈∀)()(x g x f ≥恒成立⇔)(x h a ≥⇔max )(x h a ≥ M x ∈∀)()(x g x f ≤恒成立⇔⇔)(x h a ≤⇔min )(x h a ≤ 方法三：M x ∈∀)()(x g x f ≥恒成立⇔)()()(x g x h x f ≥≥ M x ∈∀)()(x g x f ≤恒成立⇔)()()(x g x h x f ≤≤ 方法四：M x ∈∀)()(x g x f ≥恒成立⇔max min )()(x g x f ≥ M x ∈∀)()(x g x f ≤恒成立⇔min max )()(x g x f ≤类型三： ],[,21b a x x ∈∀使M x f x f ≥-)()(21恒成立；],[,21b a x x ∈∃使M x f x f ≤-)()(21成立],[,21b a x x ∈∀使M x f x f ≤-)()(21恒成立⇔M x f x f ≤-max )()(⇔M x f x f ≤-min max )()(；1、设函数x x e e x f --=)(．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围．2、已知函数．（Ⅰ）设是)(x f 的极值点，求，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）当2≤m 时，证明0)(>x f ．3、已知函数ln ()xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设，其中是的导函数．证明：对任意，．k ()f x 2()()'()g x x x f x =+'()f x ()f x 0x >2()1g x e -<+4、设函数xbe x ae x f x x1ln )(-+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.16.（2015课标卷Ⅱ）（21）设函数mx x e x f mx -+=2)(. (Ⅰ) 证明：)(x f )在)0,(-∞单调递减，在),0(+∞单调递增；(Ⅱ) 若对于任意]1,1[,21-∈x x ，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值范围．。