2017年上海市春季高考数学试卷(含答案详解)

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2017年上海春季高考数学试卷(附简析)

；
x
10.
设椭圆
x2 2
y2
1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在该椭圆上，则使得△ F1F2P 是
等腰三角形的点 P 的个数是
；
11. 设 a1 、 a2 、…、 a6 为 1、2、3、4、5、6 的一个排列，则满足 | a1 a2 | | a3 a4 |
| a5 a6 | 3 的不同排列的个数为
17. 如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AA1 3 ；（1）求四棱锥 A1 ABCD 的体积；（2）求异面直线 A1C 与 DD1 所成角的大小；18.设 a 来自R ，函数f (x)
2x a 2x 1
；
（1）求 a 的值，使得 f (x) 为奇函数；（2）若 f (x) a 2 对任意 x R 成立，求 a 的取值范围；
16. 如图所示，正八边形 A1A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的边长为 2，若 P 为该正八边形边上的动点，
则 A1A3 A1P 的取值范围为（）
A. [0,8 6 2]
B. [2 2,8 6 2]
C. [8 6 2, 2 2]
D. [8 6 2,8 6 2]
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
C. (, 0]
D. (,1]
14. 设 a R ，“ a 0 ”是“ 1 0 ”的（ a
A. 充分非必要
B. 必要非充分
）条件 C. 充要
D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）
A. 三角形
B. 长方形

2017年上海市春季高考数学试卷(含答案详解)

2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：，解得b2=4或b2=kk，当b2=4时，满足n=，当b2=kk0时，由2b2=k2+k2，得k=k（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．解：（1）∵f（x）=log2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1；②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +．设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。

2017年上海市高考数学试卷(含解析版)

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= ．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= ．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= {3，4} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m= 3 ．【考点】D4：排列及排列数公式．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】31：数形结合；48：分析法；5U：球．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πＲ3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πＲ2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= ．【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|= 11 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【考点】JH：空间中的点的坐标．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5H：空间向量及应用．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2 ．【考点】8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n 项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω＝{P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P 的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5M：推理和证明．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；设四边形重心为M（x，y），则+++=，由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5R：矩阵和变换．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于B．等于0C．等于D．不存在【考点】6F：极限及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c=0D．a﹣2b+c=0【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；5L：简易逻辑．【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化简即可得出．【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω＝{（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个B．4个C．8个D．无穷个【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤αβ＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω＝{（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=9nu，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质；58：解三角形．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】38：对应思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则?，即（x0﹣，﹣）?（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则?=0，即（﹣x0，1）?（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα＝（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα＝，或sinα＝﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1?g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1?g（x0+T g）=c1?g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]?[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）?f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）?f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。

(完整word版)20xx年上海春考数学试卷.doc

2017年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学试卷一填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设集合 A 1,2,3 ,集合 B 3,4,则A B .2. 不等式 x 1 3 的解集为。

3. 若复数 z 满足 2z 1 3 6i （ i 是虚数单位），则z 。

4. 若 cos 1，则 sin 。

3 25. 若关于 x 、y的方程组x 2 y 43x ay 无解，则实数 a 。

66. 若等差数列a n的前5项的和为25 ，则a1 a5= 。

7. 若 P 、Q是圆x2 y2 2x 4 y 4 0 上的动点，则PQ 的最大值为。

8. 已知数列a n的通项公式 a n 3n，则 lima1a2 a3 a n 。

n a n2 n9. 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为。

若 xx10. 设椭圆 x 2 y2 1 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点P在该椭圆上，则使得F1F2P 是2等腰三角形的点P 的个数是。

11. 设 a1, a2 , , a6为 1,2,3,4,5,6 的一个排列，则满足a1 a2 a3 a4 a5 a6 3 的不同排列的个数为。

12. 设 a ，b R ，函数 f ( x) x a1,2 上有两个不同的零点，则 f 1 的取值b 在区间x范围为。

二、选择题(A) 0, (B) 1, (C) ,0 (D) ,114. 设a R ，“ a 0 ”是“1”的（）。

a(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件15.过正方体中心（即到正方体的八个顶点距离相等的点）的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）。

(A) 三角形(B) 长方形(C) 对角线不相等的菱形(D) 六边形16. 如图所示，正八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8的边长为2 .若P为该正八边形上的动点，则A1 A3 A1 P 的取值范围为（）A6 A5 P(A) 0, 8 6 2 (B) 2 2, 8 6 2A7(C) 8 6 2,2 2 (D) 8 6 2, 8 6 2 A8三、解答题A1 A2 17. 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2, AA1 3 .（1）求四棱锥A1ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小 .A4 A318. 设 a 函数2x aR , f (x) .2x 1（ 1）求a的值，使得 f ( x) 为奇函数；a 2对任意 x R 成立，求a的取值范围. （ 2）若f x219.某景区欲建造两条圆形观景步道M 1、M 2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，AB AC AD 60（单位：米），要求圆M1与 AB 、 AD 分别相切于点B 、 D ，圆M2与 AC 、 AD分别相切于点C、 D.（ 1）若BAD 60 ，圆 M 1和圆 M 2的半径（结果精确到0.1 米）；（ 2）若观景步道M 1与 M 2的造价分别为每米0.8 千元与每米 0.9 千元。

2017年高考数学上海试题及解析

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，则A∩．{3,4} 【解析】∵集合{1，2，3，4}，集合{3，4，5}，∴A∩{3，4}．2．（2017年上海）若排列数=6×5×4，则．2.3 【解析】∵排列数=6×5×…×(61)，∴61=4，即3. 3．（2017年上海）不等式＞1的解集为．3.(-∞，0) 【解析】由＞1，得1>1，则<0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0).4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．4.9π 【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36π，可得πR3=36π，解得 3.该球的主视图是半径为3的圆，其面积为πR2=9π．5．（2017年上海）已知复数z满足=0，则．5 【解析】由=0，可得z2+3=0，即z23，则±i，.6．（2017年上海）设双曲线=1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若15，则2．6.11 【解析】双曲线=1中，=3，由双曲线的定义，可得126，又15，解得211或﹣1（舍去），故211.7．（2017年上海）如图，以长方体1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（4，3，2），则向量的坐标是．7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为（4，3，2），可得A（4，0，0），C(0,3,2)，D1(0,0,2)，则C1（0，3，2），∴=（﹣4，3，2）．8.（2017年上海）定义在（0，+∞）上的函数（x）的反函数为﹣1（x），若g（x）为奇函数，则1（x）=2的解为．8 【解析】g（x）为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g(x)（﹣x）(31)=1-3，则f(x)=1-3.由1（x）=2，可得(2)=1-3-2，即1（x）=2的解为.9．（2017年上海）已知四个函数：①，②，③3，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．9 【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数=6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为.10．（2017年上海）已知数列{}和{}，其中2，n∈N*，{}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{}的第项等于{}的第项，则=10.2 【解析】∵2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{}中的第项恒等于{}中的第项，∴.∴b112，b422，b932，b1642.∴b1b4b9b16=(b1b2b3b4)2，=2.11．（2017年上海）设α1，α2∈R且α1)2α2)=2，则|10π-α1-α2|的最小值等于．11 【解析】由-1≤α1≤1，可得1≤2 α1≤3，则≤α1)≤1.同理可得≤2α2)≤1.要使α1)2α2)=2，则α1)2α2)=1，即α1 2α21.所以α1=2k1π，2α2=2k2π，k12∈Z.所以|10π-α1-α210π-(2k1π)-(k2π)10π-(2k12)π|，当2k12=11时，|10π-α1-α2|取得最小值.12．（2017年上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧．用D1（）和D2（）分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和．若过P的直线中有且只有一条满足D1（）2（），则Ω中所有这样的P为．12134【解析】设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段，，，的中点分别为E，F，G，H，易知为平行四边形，如图所示，四边形两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线.因此经过点P2的符合条件的直线有无数条；经过点P134的符合条件的直线各有1条，即直线P2P12P32P4.故Ω中所有这样的P为P134.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（2017年上海）关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D 为( )5,4 3)) 0,2 4)) 5,2 3)) 0,5 4))13 【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式．故选C．14．（2017年上海）在数列{}中，（）n，n∈N*，则（）A.等于 B.等于0 C.等于 D.不存在14 【解析】数列{}中，（）n，n∈N*，则()0．故选B．15.（2017年上海）已知为实常数，数列{}的通项2，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列”的一个必要条件是（）≥0≤00 2015 【解析】存在k∈N*，使得x100，x200，x300成等差数列，可得2[a（200）2（200）]（100）2（100）（300）2（300），化简得0，∴使得x100，x200，x300成等差数列的必要条件是a≥0．故选A．16．（2017年上海）在平面直角坐标系中，已知椭圆C1：=1和C2：x2=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是·的最大值．记Ω={（P，Q）在C1上，Q在C2上且·}，则Ω中的元素有（）A.2个B.4个C.8个D.无穷个16 【解析】P为椭圆C1：=1上的动点，Q为C2：x2=1上的动点，可设P（6α，2α），Q（β，3β），α，β∈[0,2π],则·=6αβ+6αβ=6（α-β），当α-β=2kπ，k∈Z时，·取得最大值6，即使得·的点对()有无穷多对，Ω中的元素有无穷个.三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（2017年上海）如图，直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．（1）求三棱柱1B1C1的体积；（2）设M是中点，求直线A1M与平面所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱1B1C1的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱1的长为5．∴三棱柱﹣A1B1C1的体积△·1··1×4×2×5=20.（2）连接.∵直三棱柱1B1C1，∴1⊥底面.∴∠1是直线A1M与平面所成角.∵△是直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，点M是的中点，∴×.由1⊥底面，可得1⊥,∴∠A1).∴直线A1M与平面所成角的大小为．18．（2017年上海）已知函数f（x）2x﹣2，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△为锐角三角形，角A所对边，角B所对边5，若f（A）=0，求△的面积．18.【解析】（1）函数f（x）22 2，x∈（0，π）.由2kπ-π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z.1时，≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）.（2）f（A）=0，即有2=0，解得22kπ±.又A为锐角,故.又5，由正弦定理得,38),则,38).所以(),2)×,38)×,38),38).所以S△××5×,38),4).19．（2017年上海）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量4（n﹣46）2+8800（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解析】（1）前4个月共享单车的累计投放量为a1234=20+95+420+430=965，前4个月共享单车的累计损失量为b1234=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令≥，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10470≥5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{}为公差为﹣10等差数列，而{}为公差为1的等差数列，∴到第42个月底，共享单车保有量为×39+535×42×39+535×42=8782．又S42=﹣4×(42-46)2+8800=8736，8782＞8736，∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（2017年上海）在平面直角坐标系中，已知椭圆Γ：2=1，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限且，求P的坐标；（2）设P（），若以为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若，直线与Γ交于另一点C且=2，=4，求直线的方程．20.【解析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），由点P在椭圆Γ：2=1上且,可得2=1，22=2，))解得x22，则P（,3)，,3)）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（，）.若∠90°，则•=0，即（，）•（x0﹣，﹣）=0，∴（﹣）x0=0，解得x0．若∠90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴x02x0=0，解得x0=1或x0.若∠90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为或1或．（3）设C（2α，α），∵=2，A（0，1），∴Q（4α，2α﹣1）.又设P（2β，β），M（x0，0），∵，∴x02+1=（2β﹣x0）2+（β）2，整理得x0β.∵=（4α﹣2β，2α﹣β﹣1），=（β，﹣β），=4，∴4α﹣2β=﹣5β，2α﹣β﹣1=﹣4β.∴β=﹣α，β（1﹣2α）.以上两式平方相加，整理得3（α）2α﹣2=0，∴α或α=﹣1（舍去）.此时，直线的斜率,10)（负值已舍去），如图．∴直线的方程为为,10)1．21．（2017年上海）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．21.【解析】（1）由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的取值范围是[0，+∞）.（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为，任取x0∈R，则有f（x0）（x0）.由题意，对任意x∈[x0，x0]，f（x0）≤f（x）≤f（x0），∴f（x0）（x）（x0）．又∵f（x0）（x0），n∈Z，并且…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴对任意x∈R，f（x）（x0），为常数.（3）证明：(充分性)若f（x）是常值函数，记f（x）1，设g （x）的一个周期为，则h（x）1•g（x），对任意x0∈R，h（x0）1•g（x0）1•g（x0）（x0），故h（x）是周期函数.(必要性)若h（x）是周期函数，记其一个周期为．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x21＞x1，∴f（x21）＞f（x1）＞0，且h（x21）（x2）．又h（x2）（x2）f（x2）＜0，而h（x21）（x21）f（x21）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2≤x0﹣，即[x0﹣，x0]⊆[x0﹣N2，x0]，∵…∪[x0﹣3，x0﹣2]∪[x0﹣2，x0﹣]∪[x0﹣，x0]∪[x0，x0]∪[x0，x0+2]∪…，∴…∪[x0﹣2N2，x0﹣N2]∪[x0﹣N2，x0]∪[x0，x02]∪[x02，x0+2N2]∪…．h（x0）（x0）•f（x0）（x0﹣N2）（x0﹣N2）•f（x0﹣N2），∵g（x0）≥g（x0﹣N2）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2）＞0．因此若h（x0）（x0﹣N2），必有g（x0）（x0﹣N2），且f（x0）（x0﹣N2）．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）（x0），为常数．必要性得证．综上所述，“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．。

(word完整版)2017上海高考数学试题(Word版含解析)

2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分)1.已知集合 A {1,2,3,4}，集合 B {3,4,5}，则 AI B ______________2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________x 13. 不等式1的解集为 ________x4. 已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 _____________5. 已知复数z 满足z 30，则|z| ______z2 26. 设双曲线— 爲 1(b 0)的焦点为F 1、F 2，P 为该9 b双曲线上的一点，若| PR | 5，则| PF 2 | __________7. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________3x 1 x 08. 定义在(0,)上的函数y f(x)的反函数为y f lx)，若g(x) ' 为f(x), x 0奇函数，则f 1(x)2的解为 ________1 3 f9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事 x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________2 *10.已知数列｛a n ｝和｛b n ｝，其中a n n , n N , ｛0｝的项是互不相等的正整数，若对于12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 P 、P 2、B 、F 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,巳，卩3,巳｝，点P ，过P 作直线I P ,使得不在I P 上的“ ”的点分布在I P 的两侧.用D(l p )和D 2(I P )分别表示I P 一侧和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直线I P 中有且只有一条满足 DdI p ) D 2(I P )，则中所有这样的P 为 ___________二.选择题(本大题共 4题，每题5分，共20分)2017.6任意n N *，｛b n ｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则Iggbqdbw)Ig(bb 2b 3b 4)11.设 a 1、a 2 R，且 2 sin 112 sin(2 2)2，则 |10 2|的最小值等于x 5v 013.关于x 、y 的二元一次方程组' 的系数行列式D 为(2x 3y 4A.0 5 B. 1 0C.1 5D.6 04 32 42 35 4uuu uuirOP OQ w ｝，贝U中元素个数为().解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17.如图，直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ABG 的体积; (2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小.2 218.已知函数 f (x) cos x sin x(1 )求f(x)的单调递增区间;A 所对边a 19，角B 所对边b 5，若f (A) 0，求△ ABC 的面积.A. a 0B. b 0C. cD. a 2b c0 16. 在平面直角坐标系 2 x xOy 中，已知椭圆C : 2y 21 和 C 2: X 2- 1 P 为C 1上的动36 4 9uuu urnr占八Q 为C 2上的动点， w 是OP OQ 的最大值. 记{(P,Q)|P 在 C 1 上, Q 在C 2上，且)使得Moo k 、X 200 k 、X 300 k 成等差数列”的一个必要条件是14.在数列｛a n ｝中, a n，则 lim a n (nA.等于-2B.等于0C.等于-2D.不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项2X n anbn，则“存在A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个12，x (0,).(2)设厶ABC 为锐角三角形，角19. 根据预测，某地第n (n N )个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b (单位：辆), "亠5n 15, 1 n 3其中a n , b n n 5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的10n 470, n 4累计投放量与累计损失量的差•(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？x220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆: y 1，A为的上顶点，P为上异于4上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.(1 )若P在第一象限，且|OP| 2，求P的坐标；(2)设P(8,3)，若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；5 5umr uuir uuu uuun(3)若| MA | |MP |，直线AQ 与交于另一点C,且AQ 2AC，PQ 4 PM，求直线AQ的方程.21.设定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的X1、X2 R，当x, X2时，都有f(X1) f(X2).(1 )若f (x) ax31，求a的取值范围；(2)若f(x)为周期函数，证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上、恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值.函数h(x) f(x)g(x).证明：“ h(x)是周期函数”的充要条件是“ f (x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷.填空题(本大题共 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5 分) 1. 已知集合 A ｛1,2,3,4｝，集合 B ｛3,4,5｝，则 AI B ________ 【解析】AI B ｛3,4｝2. 若排列数P m 6 5 4，则m ______________【解析】m 32 26.设双曲线工占 1(b9 b 2则 | PF 2 | ______ 【解析】2a 6| PF 2 | 117. 如图，以长方体ABCD AB1GD 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐uu u UUUD标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1的坐标为(4,3,2)，则AC 1的坐标为 ___________UUUU 【解析】A(4,0,0)，C 1(0,3,2)，AC 1( 4,3,2)13x 1, x 0 込 8. 定义在(0,)上的函数y f (x)的反函数为y f (x)，若g(x)为f(x), x 01奇函数，则f (x) 2的解为 ________ 【解析】f (x)3x 1f(2)9 18 f 1(x)2 的解为 x 81 3 -9. 已知四个函数：① y x :②y :③yx ；④yx 2.从中任选2个，则事x件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 _____________ 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，.••概率为2017.6x1【解析】1 -10 x 0 ,解集为(xx4.已知球的体积为 36 ,则该球主视图的面积等于4【解析】43r 3 36 r 3 S 95.已知复数 z 满足3 z -z 0，则 |z| 【解析】z 23 z |z| .3,0)0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若2 *10.已知数列｛a n｝和｛b n｝，其中a n n , n N , ｛b n｝的项是互不相等的正整数，若对于任意n N * , ｛0｝的第a n 项等于｛a n ｝的第b n 项，则lg(blb4b9bl6)©(b^b q )【解析】b a n a b n b n 2 b n 2 bAb g% (bfeb s b q )2即 sin 1sin （2 2 ）1，二 12k,2k , I10 1 2〔min2 4412.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 R 、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合｛P,P 2,P 3,P 4｝，点P ，过P 作直线I p ，使得不在I p 上的“ ”的点分布在I P 的两侧.用D 1（I P ）和D 2（I P ）分别表示I P 一侧和另一侧的“ ”的点到I p 的距离之和.若过P 的直线I p 中有且只有一条满足 D 1（I p ） D 2（I p ），则中所有这样的P 为__________ 【解析】P 、F 3A.0 5 B. 1 0C.1 5 D .6 04 32 42 35 4【解析】C【解析】k 、x 200 k 、x 300 k 成等差数列”的一个必要条件是©(bb q b g bj 2 IgglbAb q )11.设 a-i 、a 2，且2 sin i2，则 |102 sin(2 2)12|的最小值等于I解析】人［1,1］，口1冇［1,1］，1 1 1 ,2 si n t 2 sin(2 2)二.选择题（本5分，共 20分)13.关于x 、y 的二元一次方程组x 5y 2x 3y的系数行列式4 D 为（）14.在数列｛a n ｝中,(J ，，则 Iim a n (nA.等于B.等于0C. 1等于12D.不存在15.已知 b 、c 为实常数，数列｛X n ｝的通项 2X n anbn c ，n N *，则“存在 k N *，使得X ,oo A. a 0 【解析】AB. b 0C. c 0D. a 2b c 02累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 S n 4(n 46)2 8800 (单位：辆).设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?2 2一一 x y16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆G :盘 -1和C 2：x 2鲁1.P为C 1上的动uuu urnr点，Q 为C 2上的动点，w 是OP OQ uuu uuirOP OQ w}，贝U中元素个数为( 的最大值•记 {(P,Q)|P 在G 上，Q 在C 2上，且A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个【解析】D三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76 分)17.如图，直三棱柱 ABC AB1G 的底面为直角三角形，两直角边 AB 和AC 的长分别为4和2,侧棱AA 的长为5.(1 )求三棱柱 ABC ARG 的体积;(2)设M 是BC 中点，求直线AM 与平面ABC 所成角的大小•【解析】(1) V S h 20(2) tan5.5 ，线面角为arcta n ■. 518.已知函数 2f (x) cos x sinx 1 , x (0,).(1 )求f(x)的单调递增区间;(2)设厶ABC 为锐角三角形, A 所对边a ■ 19，角B 所对边b 5，若f (A)0，求△ ABC 的面积.【解析】(1) f(x)cos2xx (0,)，单调递增区间为［―,) 2(2) cos2A根据锐角三角形，cosB2A 25 c 191…ccosAc 2 或 c 3 ,2 5c 20，二 c 3 , S - bcsin A ^^432 4 19.根据预测，某地第n 4甘出5n 15, 1其中a n10n 470,(nN *)个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n (单位：辆),3, b n n 5，第n 个月底的共享单车的保有量是前4n 个月的(1 )若P 在第一象限，且|OP| 耳，求P 的坐标;求直线AQ 的方程. 3 uuu uuur 3 1 3y 0.Q( -x 0, 3y 。

2017上海高考数学试题(含解析) (1)

2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A. 0543B. 1024C. 1523D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = 【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ== 18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得09x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。

2017年上海市高考数学试卷及解析

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=、3、（4分）不等式＞1的解集为、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=016、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1、（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} 、题目分析：利用交集定义直接求解、试题解答：解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}、故答案为：{3，4}、点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用、2、（4分）若排列数=6×5×4，则m=3、题目分析：利用排列数公式直接求解、试题解答：解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3、故答案为：m=3、点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用、3、（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）、题目分析：根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可、试题解答：解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）、点评：本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题、4、（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π、题目分析：由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积、试题解答：解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π、故答案为：9π、点评：本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题、5、（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=、题目分析：设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案、试题解答：解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：、∴、则|z|=、故答案为：、点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题、6、（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11、题目分析：根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案、试题解答：解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11、点评：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义、7、（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）、题目分析：由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果、试题解答：解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴、故答案为：（﹣4，3，2）、点评：本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题、8、（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为、题目分析：由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值、试题解答：解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=、故答案为：、点评：本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题、9、（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为、题目分析：从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率、试题解答：解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）、事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==、故答案为：、点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用、10、（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2、题目分析：a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得==、于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、即可得出、试题解答：解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==、∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16、∴b1b4b9b16=、∴=2、故答案为：2、点评：本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题、11、（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于、题目分析：由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值试题解答：解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1、则：，k1∈Z、，即，k2∈Z、那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z、∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为、故答案为：、点评：本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查、12、（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧、用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和、若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4、题目分析：根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论、试题解答：解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4、故答案为：P1、P3、P4、点评：本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力、二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A、B、C、D、题目分析：利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解、试题解答：解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=、故选：C、点评：本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用、14、（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A、等于B、等于0C、等于D、不存在题目分析：根据极限的定义，求出a n=的值、试题解答：解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0、故选：B、点评：本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题、15、（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n=an2+bn+c，n∈N*，则“存、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）在k∈N*，使得x100+kA、a≥0B、b≤0C、c=0D、a﹣2b+c=0，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+k x300+k，代入化题目分析：由x100+k简即可得出、、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）试题解答：解：存在k∈N*，使得x100+k2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0、，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0、∴使得x100+k故选：A、点评：本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题、16、（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值、记Ω={（P，Q）|P 在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A、2个B、4个C、8个D、无穷个题目分析：设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数、试题解答：解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1、P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对、另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确、故选：D、点评：本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题、三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小、题目分析：（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果、（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小、试题解答：解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5、∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20、（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan、点评：本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题、18、（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）、（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积、题目分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值、试题解答：解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=、点评：本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题、19、（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差、（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）、设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？题目分析：（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论、试题解答：解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935、（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大、当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782、S42=﹣4×16+8800=8736、∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量、点评：本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题、20、（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点、（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程、题目分析：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、由此能求出点M的横坐标、（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ、试题解答：解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）、（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=、如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意、∴点M的横坐标为，或1，或、（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图、∴直线AQ为y=x+1、点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题、21、（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）、（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值、函数h（x）=f（x）g（x）、证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”、题目分析：（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明、类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明试题解答：（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0、故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）、又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h、若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）、又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾、综上，f（x）＞0恒成立、由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=Rh（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0、因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数21/ 21。

2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析

2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分) 1.(4分)已知集合A ＝{1,2,3,4},集合B ＝{3,4,5},则A ∩B ＝ . 2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m ＝ .3.(4分)不等式＞1的解集为 .4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .5.(4分)已知复数z 满足z ＋＝0,则|z|＝ .6.(4分)设双曲线－＝1(b ＞0)的焦点为F 1、F 2,P 为该双曲线上的一点,若|PF 1|＝5,则|PF 2|＝ .7.(5分)如图,以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是 .8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f －1(x),若g(x)＝为奇函数,则f －1(x)＝2的解为 .9.(5分)已知四个函数：①y ＝－x,②y ＝－,③y ＝x 3,④y ＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .10.(5分)已知数列{a n }和{b n },其中a n ＝n 2,n ∈N *,{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N *,{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项,则＝ .11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于 .12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 .二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝016.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)1.(4分)已知集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},则A∩B＝{3,4} .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},∴A∩B＝{3,4}.故答案为：{3,4}.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m＝ 3 .【分析】利用排列数公式直接求解.【解答】解：∵排列数＝6×5×4,∴由排列数公式得,∴m＝3.故答案为：m＝3.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.3.(4分)不等式＞1的解集为(－∞,0) .【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可.【解答】解：由＞1得：,故不等式的解集为：(－∞,0),故答案为：(－∞,0).【点评】本题考查了解分式不等式,考查转化思想,是一道基础题.4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于9π.【分析】由球的体积公式,可得半径R＝3,再由主视图为圆,可得面积.【解答】解：球的体积为36π,设球的半径为R,可得πR3＝36π,可得R＝3,该球主视图为半径为3的圆,可得面积为πR2＝9π.故答案为：9π.【点评】本题考查球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法,考查运算能力,属于基础题.5.(4分)已知复数z满足z＋＝0,则|z|＝.【分析】设z＝a＋bi(a,b∈R),代入z2＝－3,由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案.【解答】解：由z＋＝0,得z2＝－3,设z＝a＋bi(a,b∈R),由z2＝－3,得(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝－3,即,解得：.∴.则|z|＝.故答案为：.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题.6.(4分)设双曲线－＝1(b＞0)的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|＝5,则|PF2|＝11 .【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a的值,结合双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝6,解可得|PF2|的值,即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：－＝1, 其中a＝＝3,则有||PF1|－|PF2||＝6,又由|PF1|＝5,解可得|PF2|＝11或－1(舍)故|PF2|＝11,故答案为：11.【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义.7.(5分)如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是(－4,3,2) .【分析】由的坐标为(4,3,2),分别求出A和C1的坐标,由此能求出结果.【解答】解：如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,∵的坐标为(4,3,2),∴A(4,0,0),C1(0,3,2),∴.故答案为：(－4,3,2).【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),若g(x)＝为奇函数,则f－1(x)＝2的解为.【分析】由奇函数的定义,当x＞0时,－x＜0,代入已知解析式,即可得到所求x＞0的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值.【解答】解：若g(x)＝为奇函数,可得当x＞0时,－x＜0,即有g(－x)＝3－x－1,由g(x)为奇函数,可得g(－x)＝－g(x),则g(x)＝f(x)＝1－3－x,x＞0,由定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),且f－1(x)＝2,可由f(2)＝1－3－2＝,可得f－1(x)＝2的解为x＝.故答案为：.【点评】本题考查函数的奇偶性和运用,考查互为反函数的自变量和函数值的关系,考查运算能力,属于基础题.9.(5分)已知四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.【分析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【解答】解：给出四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,③④有两个公共点(0,0),(1,1).事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③,①④共2个,∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P(A)＝＝.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.10.(5分)已知数列{an }和{bn},其中an＝n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn }的第an项等于{an}的第bn项,则＝ 2 .【分析】an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,可得＝＝.于是b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.即可得出.【解答】解：∵an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,∴＝＝.∴b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.∴b1b4b9b16＝.∴＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于.【分析】由题意,要使＋＝2,可得sinα1＝－1,sin2α2＝－1.求出α1和α2,即可求出|10π－α1－α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质,可知sinα1,sin2α2的范围在[－1,1],要使＋＝2,∴sinα1＝－1,sin2α2＝－1.则：,k 1∈Z.,即,k 2∈Z. 那么：α1＋α2＝(2k 1＋k 2)π,k 1、k 2∈Z.∴|10π－α1－α2|＝|10π－(2k 1＋k 2)π|的最小值为.故答案为：.【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查.12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 P 1、P 3、P 4 .【分析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.【解答】解：设记为“▲”的四个点是A,B,C,D, 线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2,则符合条件的直线lP 一定经过点P2,且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条,过点P3和P2的直线有且仅有1条,过点P4和P2的直线有且仅有1条,所以符合条件的点是P1、P3、P4.故答案为：P1、P3、P4.【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题,也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝.故选：C.【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在【分析】根据极限的定义,求出an＝的值.【解答】解：数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an＝＝0.故选：B.【点评】本题考查了极限的定义与应用问题,是基础题.15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝0【分析】由x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列,可得：2x200＋k＝x100＋kx300＋k,代入化简即可得出.【解答】解：存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列,可得：2[a(200＋k)2＋b(200＋k)＋c]＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c,化为：a＝0.∴使得x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列的必要条件是a≥0.故选：A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个【分析】设出P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域,可得最大值及取得的条件,即可判断所求元素的个数.【解答】解：椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,则＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β),当α－β＝2kπ,k∈Z时,w取得最大值6,则Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w}中的元素有无穷多对.另解：令P(m,n),Q(u,v),则m2＋9n2＝36,9u2＋v2＝9,由柯西不等式(m2＋9n2)(9u2＋v2)＝324≥(3mu＋3nv)2,当且仅当mv＝nu,即O、P、Q共线时,取得最大值6,显然,满足条件的P、Q有无穷多对,D项正确.故选：D.【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用,以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域,考查集合的几何意义,属于中档题.三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.【分析】(1)三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×AA1＝,由此能求出结果.(2)连结AM,∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小.【解答】解：(1)∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积：V＝S△ABC ×AA1＝＝＝20.(2)连结AM,∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,∴AA1⊥底面ABC,AM＝＝,∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,tan∠A1MA＝＝＝,∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.【点评】本题考查三棱柱的体积的求法,考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.【分析】(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,解不等式可得所求增区间；(2)由f(A)＝0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)函数f(x)＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋,x∈(0,π),由2kπ－π≤2x≤2kπ,解得kπ－π≤x≤kπ,k∈Z,k＝1时,π≤x≤π,可得f(x)的增区间为[,π)；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,即有cos2A＋＝0,解得2A＝π,即A＝π,由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA,化为c2－5c＋6＝0,解得c＝2或3,若c＝2,则cosB＝＜0,即有B为钝角,c＝2不成立,则c＝3,△ABC的面积为S＝bcsinA＝×5×3×＝.【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】(1)计算出{an }和{bn}的前4项和的差即可得出答案；(2)令an ≥bn得出n≤42,再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论.【解答】解：(1)∵an ＝,bn＝n＋5∴a1＝5×14＋15＝20a2＝5×24＋15＝95a3＝5×34＋15＝420a4＝－10×4＋470＝430b1＝1＋5＝6b2＝2＋5＝7b3＝3＋5＝8b4＝4＋5＝9∴前4个月共投放单车为a1＋a2＋a3＋a4＝20＋95＋420＋430＝965,前4个月共损失单车为b1＋b2＋b3＋b4＝6＋7＋8＋9＝30,∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965－30＝935.(2)令an ≥bn,显然n≤3时恒成立,当n≥4时,有－10n＋470≥n＋5,解得n≤, ∴第42个月底,保有量达到最大.当n≥4,{an }为公差为－10等差数列,而{bn}为等差为1的等差数列,∴到第42个月底,单车保有量为×39＋535－×42＝×39＋535－×42＝8782.S42＝－4×16＋8800＝8736.∵8782＞8736,∴第42个月底单车保有量超过了容纳量.【点评】本题考查了数列模型的应用,等差数列的求和公式,属于中档题.20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.【分析】(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),联立,能求出P点坐标.(2)设M(x0,0),A(0,1),P(),由∠P＝90°,求出x＝；由∠M＝90°,求出x＝1或x＝；由∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.由此能求出点M的横坐标.(3)设C(2cosα,sinα),推导出Q(4cosα,2sinα－1),设P(2cosβ,sinβ),M(x,0)推导出x＝cosβ,从而4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),由此能求出直线AQ.【解答】解：(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),∵椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,P在第一象限,且|OP|＝,∴联立,解得P(,).(2)设M(x,0),A(0,1),P(),若∠P＝90°,则•,即(x－,－)•(－,)＝0,∴(－)x0＋－＝0,解得x＝.如图,若∠M＝90°,则•＝0,即(－x0,1)•(－x,)＝0,∴＝0,解得x0＝1或x＝,若∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.∴点M的横坐标为,或1,或.(3)设C(2cosα,sinα),∵,A(0,1),∴Q(4cosα,2sinα－1),又设P(2cosβ,sinβ),M(x,0),∵|MA|＝|MP|,∴x02＋1＝(2cosβ－x)2＋(sinβ)2,整理得：x＝cosβ,∵＝(4cosα－2cosβ,2sinα－sinβ－1),＝(－cosβ,－sinβ),,∴4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,∴cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),以上两式平方相加,整理得3(sinα)2＋sinα－2＝0,∴sinα＝,或sinα＝－1(舍去),此时,直线AC的斜率kAC＝－＝ (负值已舍去),如图.∴直线AQ为y＝x＋1.【点评】本题考查点的坐标的求法,考查直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方思想,是中档题.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h (x)是周期函数”的充要条件是“f (x)是常值函数”. 【分析】(1)直接由f(x 1)－f(x 2)≤0求得a 的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有f(x 0)＝f(x 0＋T k ),证明对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ),可得f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,再由…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,可得对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)分充分性及必要性证明.类似(2)证明充分性；再证必要性,然后分类证明. 【解答】(1)解：由f(x 1)≤f(x 2),得f(x 1)－f(x 2)＝a(x 13－x 23)≤0, ∵x 1＜x 2,∴x 13－x 23＜0,得a ≥0. 故a 的范围是[0,＋∞)；(2)证明：若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有 f(x 0)＝f(x 0＋T k ),由题意,对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ), ∴f(x 0)＝f(x)＝f(x 0＋T k ).又∵f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,并且…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)证明：充分性：若f(x)是常值函数,记f(x)＝c 1,设g(x)的一个周期为T g ,则 h(x)＝c 1•g(x),则对任意x 0∈R,h(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0)＝h(x 0),故h(x)是周期函数；必要性：若h(x)是周期函数,记其一个周期为T h .若存在x 1,x 2,使得f(x 1)＞0,且f(x 2)＜0,则由题意可知, x 1＞x 2,那么必然存在正整数N 1,使得x 2＋N 1T k ＞x 1, ∴f(x 2＋N 1T k )＞f(x 1)＞0,且h(x 2＋N 1T k )＝h(x 2). 又h(x 2)＝g(x 2)f(x 2)＜0,而h(x 2＋N 1T k )＝g(x 2＋N 1T k )f(x 2＋N 1T k )＞0≠h(x 2),矛盾. 综上,f(x)＞0恒成立. 由f(x)＞0恒成立,任取x 0∈A,则必存在N 2∈N,使得x 0－N 2T h ≤x 0－T g , 即[x 0－T g ,x 0]⊆[x 0－N 2T h ,x 0],∵…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴…∪[x 0－2N 2T h ,x 0－N 2T h ]∪[x 0－N 2T h ,x 0]∪[x 0,x 0＋N 2T h ]∪[x 0＋N 2T h ,x 0＋2N 2T h ]∪…＝R. h(x 0)＝g(x 0)•f(x 0)＝h(x 0－N 2T h )＝g(x 0－N 2T h )•f(x 0－N 2T h ),∵g(x 0)＝M ≥g(x 0－N 2T h )＞0,f(x 0)≥f(x 0－N 2T h )＞0.因此若h(x 0)＝h(x 0－N 2T h ),必有g(x 0)＝M ＝g(x 0－N 2T h ),且f(x 0)＝f(x 0－N 2T h )＝c. 而由(2)证明可知,对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数. 综上,必要性得证. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法,题目设置难度过大.。

2017年上海市高考数学试卷(解析版)

∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}． 2．【解答】解：∵排列数＝6×5×4，
∴由排列数公式得
，
∴m＝3．故答案为：m＝3． 3．【解答】解：由＞1 得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）． 4．【解答】解：球的体积为 36π，设球的半径为 R，可得 πR3＝36π，
18．（14 分）已知函数 f（x）＝cos2x﹣sin2x+ ，x∈（0，π）．
（1）求 f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a＝，角 B 所对边 b＝5，若 f（A）＝0，求△ABC 的面积． 19．（14 分）根据预测，某地第 n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn
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是常值函数”．
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2017 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．【解答】解：∵集合 A＝{1，2，3，4}，集合 B＝{3，4，5}，
．
4．（4 分）已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于
．
5．（4 分）已知复数 z 满足 z+ ＝0，则|z|＝
．
6．（4 分）设双曲线 ﹣ ＝1（b＞0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|
＝5，则|PF2|＝
．
7．（5 分）如图，以长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的
2017 年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）

2017-2018学年上海市春季高考数学模拟试卷一Word版含答案

2017-2018学年上海市春季高考数学模拟试卷一Word版含答案2017-2018学年上海市春季高考模拟试卷一一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、函数的定义域是．2、已知全集，集合，则= ．3、已知函数是函数的反函数，则(要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线的渐近线方程是．5、若函数与函数的最小正周期相同，则实数a= ．6、已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是数列的前n项和，则= ．7、直线，，则直线与的夹角为= ．8、已知，是方程的根，则= ．9、的二项展开式中的常数项是(用数值作答) ．10、已知是平面上两个不共线的向量，向量，．若，则实数m= ．11、已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M 与球O的表面积相等，则它们的体积之比= (用数值作答)．12、已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）13、已知，．若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．．14、已知直线，点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定15、现给出如下：①若直线与平面内无穷多条直线都垂直，则直线；②空间三点确定一个平面；③先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A和B相互独立且=；④样本数据的标准差是1．则其中正确的序号是( )A．①④B．①③C．②③④D．③④16、在关于的方程，，中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围为（）A. B. 或 C. 或 D.17、不等式的解集是（）A．B．C．D．18、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，则的最大值是（）A.、9B.16C.D.20、函数与在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（）A. B. C. D.21、设函数，则的值为（）A．0 B．1 C．10 D．不存在22、已知，则（）A．B．C．D．23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（）24、已知方程的根大于，则实数满足（）A．B．C．D．三、解答题25、（本题满分7分）在中，记(角的单位是弧度制)，的面积为S，且，．求函数的最大值、最小值．26、（本题满分7分）已知正方体的棱长为a．求点到平面的距离.27、（本题满分8分）用行列式讨论关于的二元一次方程组的解的情况，并说明各自的几何意义.28、（本题满分13分）已知函数是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数，试判断函数在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当(，a是底数)时，函数值组成的集合为，求实数的值．。

2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)

2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)2017年上海市高考数学试卷1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =2. 若排列数6654mP =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x ->的解集为4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z +=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0xx g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 10. 已知数列{}na 和{}nb ，其中2nan =，*n ∈N ，{}nb 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第nb 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = 11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线Pl ，使得不在Pl 上的“ ”的点分布在Pl 的两侧. 用1()PD l 和2()PD l 分别表示Pl 一侧和另一侧的“ ”的点到Pl 的距离之和. 若过P 的直线Pl 中有且只有一条满足12()()PPD l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A.0543B.1024C.1523D.605414. 在数列{}na 中，1()2nna=-，*n ∈N ，则lim nn a →∞（）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cossin 2f x x x =-+，(0,)x π∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和nb （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5nbn =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800nSn =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14xy Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax=+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654mP =⨯⨯，则m =【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞ 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【解析】3436393rr S πππ=⇒=⇒= 5. 已知复数z 满足30z z +=，则||z = 【解析】23||zz z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y fx -=，若31,0()(),0xx g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2fx -=的解为【解析】()31(2)918xf x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}na 和{}nb ，其中2nan =，*n ∈N ，{}nb 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}nb 的第n a 项等于{}n a 的第nb 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = 【解析】222149161491612341234lg()()2lg()nn a b n n b b b b ba b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线Pl ，使得不在Pl 上的“ ”的点分布在Pl 的两侧. 用1()PD l 和2()PD l 分别表示Pl 一侧和另一侧的“ ”的点到Pl 的距离之和. 若过P 的直线Pl 中有且只有一条满足12()()PPD l D l =，则Ω中所有这样的P 为【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A. 0543B.1024C.1523D.6054【解析】C14. 在数列{}na 中，1()2nna=-，*n ∈N ，则lim nn a →∞（）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}nx 的通项2n x an bn c=++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，使得100kx +、200kx+、300kx +成等差数列”的一个必要条件是（） A. 0a ≥ B. 0b ≤ C.c =D.20a b c -+=【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q PΩ=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅= （2）tanθ==18. 已知函数221()cossin 2f x x x =-+，(0,)x π∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积. 【解析】（1）1()cos22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和nb （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5nbn =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800nSn =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1）12341234()()96530935a aa ab b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14xy Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程. 【解析】（1）联立22:14x yΓ+=与222xy +=，可得P（2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设0(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =， ∴03(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴0133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得9x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax=+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值.函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。

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2017年上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（）A．B．C D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn }中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．2017年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B= {1，2，3，4} ．2．不等式|x﹣1|＜3的解集为（﹣2，4）．3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z= 2﹣3i ．4．若，则= ．5．若关于x、y的方程组无解，则实数a= 6 ．6．若等差数列{an }的前5项的和为25，则a1+a5= 10 ．7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为 2 ．8．已知数列{an}的通项公式为，则= ．9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为160 ．10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 ．11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为48 ．12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（ B ）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]14．设a∈R，“a＞0”是“”的（ C ）条件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ A ）A．三角形B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（ B ）A．B．C．D．解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，且，，，．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．结合选项可得的取值范围为．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，即有=0，解得a=﹣1．则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；（2）对任意x∈R成立，即为＜恒成立，等价为＜，即有2（a﹣1）＜a（2x+1），当a=0时，﹣1＜0恒成立；当a＞0时，＜2x+1，由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，当且仅当x=，tanα=时，取等号，∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；（3）若m=2，求n关于b的表达式．解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：，解得，∵，∴，∴=．（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，，，由，得（）x2﹣2knx﹣n2﹣b2=0，﹣x1+x2=，﹣x1x2=，∴x1x2==，即，即=，====，化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k2，由，得，即Q （，），代入x 2﹣=1，化简，得：，解得b 2=4或b 2=kk 0，当b 2=4时，满足n=，当b 2=kk 0时，由2b 2=k 2+k 02，得k=k 0（舍去），综上，得n=．21．（12分）已知函数f （x ）=log 2；（1）解方程f （x ）=1；（2）设x ∈（﹣1，1），a ∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f （）﹣f （x ）=﹣f （）；（3）设数列{x n }中，x 1∈（﹣1，1），x n+1=（﹣1）n+1，n ∈N *，求x 1的取值范围，使得x 3≥x n 对任意n ∈N *成立．解：（1）∵f （x ）=log 2=1，∴=2，解得；（2）令g （x ）=，ax a a x g --+-=21)(∵a ∈（1，+∞），∴g （x ）在（﹣1，1）上是增函数，又g （﹣1）=，g （1）==1，∴﹣1＜g （x ）＜1，即∈（﹣1，1）．∵f （x ）﹣f （）=log 2﹣log 2=log 2﹣log 2=log 2（）=log 2，f （）=log 2=log 2．∴f （）=f （x ）﹣f （），∴f （）﹣f （x ）=﹣f （）．（3）∵f （x ）的定义域为（﹣1，1）， f （﹣x ）=log 2=﹣log 2=﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数．∵x n+1=（﹣1）n+1，∴x n+1=．①当n 为奇数时，f （x n+1）=f （）=f （x n ）﹣f （）=f （x n ）﹣1，∴f （x n+1）=f （x n ）﹣1； ②当n 为偶数时，f （x n+1）=f （﹣）=﹣f （）=1﹣f （x n ），∴f （x n+1）=1﹣f （x n ）．∴f （x 2）=f （x 1）﹣1，f （x 3）=1﹣f （x 2）=2﹣f （x 1）， f （x 4）=f （x 3）﹣1=1﹣f （x 1），f （x 5）=1﹣f （x 4）=f （x 1）， f （x 6）=f （x 5）﹣1=f （x 1）﹣1，…∴f （x n ）=f （x n+4），n ∈N +．设12111)(---=-+=x x x x h ∴h （x ）在（﹣1，1）上是增函数， ∴f （x ）=log 2=log 2h （x ）在（﹣1，1）上是增函数．∵x 3≥x n 对任意n ∈N *成立，∴f （x 3）≥f （x n ）恒成立，∴，即，解得：f （x 1）≤1，即log 2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x 1≤．。

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