第二章 2.2 第二课时基本不等式的应用

第二课时 基本不等式的应用

课标要求

素养要求

1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.

2.能够利用基本不等式解决实际问题.

通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.

教材知识探究

(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？

(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？

问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？

提示 这两个都是求最值问题.第一个问题是矩形周长一定，即长x 与宽y 的和一定，求xy 的最大值，xy ≤⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋y 22

＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大.第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x 与宽y 之和最小问题，x ＋y ≥2xy ＝210 000＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省.

1.基本不等式与最大(小)值 口诀：和定积最大，积定和最小

两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.

(1)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.

(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小

值

2.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具.

教材拓展补遗

[微判断]

1.对于实数a，b，若a＋b为定值，则ab有最大值.(×)

提示a，b为正实数.

2.对于实数a，b，若ab为定值，则a＋b有最小值.(×)

提示a，b为正实数.

3.若x>2，则x＋1

x的最小值为2.(×)

提示当且仅当x＝1时才能取得最小值，但x>2.

[微训练]

1.已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________. 解析a＋b≥2ab＝210，当且仅当a＝b＝10时等号成立. 答案210

2.已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是________.

解析由m2＋n2≥2mn，∴mn≤m2＋n2

2＝50.当且仅当m＝n＝±52时等号成立.

答案50

[微思考]

1.利用基本不等式求最大值或最小值时，应注意什么问题呢？提示利用基本不等式求最值时应注意：一正，二定，三相等.

2.已知x，y为正数，且1

x＋

4

y＝1，求x＋y的最小值.

下面是某同学的解题过程：

解：因为x>0，y>0，所以1＝1

x＋

4

y≥2×

2

xy

＝

4

xy

，所以xy≥4.从而x＋y≥2xy

≥2×4＝8.故x＋y的最小值为8.

请分析上面解法是否正确，并说明理由.

解 这个同学的解法是错误的.理由如下：

上述解法中连续使用两次基本不等式，但这两个不等式中的等号不能同时成立.第一个不等式当且仅当1x ＝4y ＝1

2，即x ＝2，y ＝8时，等号成立；第二个不等式当且仅当x ＝y 时，等号成立，因此x ＋y 不能等于8.

正解 ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝y x ＋4x y ＋

5≥2·

y x ·4x

y ＋5＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4

y ＝1，y x ＝4x

y ，

即x ＝3，y ＝6时，等号成立.故x ＋y

的最小值为9.

题型一 利用基本不等式求最值

注意基本不等式成立的条件，且等号能否取得 【例1】 (1)已知x >2，求x ＋

4

x －2

的最小值； (2)已知2x ＋2

y ＝1，(x >0，y >0)，求x ＋y 的最小值.

解 (1)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋

4x －2＝x －2＋4x －2

＋2≥2（x －2）·4

x －2

＋2＝6，

当且仅当x －2＝4

x －2

，即x ＝4时，等号成立. ∴x ＋

4

x －2

的最小值为6. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫

x y ＋y x ≥4＋4x y ·y

x

＝8. 当且仅当x y ＝y

x ，

即x ＝y ＝4时取等号，x ＋y 的最小值为8. 规律方法 利用基本不等式求最值的策略

【训练1】 (1)若x <0，求12

x ＋3x 的最大值； (2)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)因为x <0，所以12

x ＋3x ＝－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋（－3x ）≤－2

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12x ·（－3x ）＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时等号成立，所以12

x ＋3x 的最大值为－12. (2)法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8

， ∴x ＋y ＝x ＋

2x

x －8＝x ＋（2x －16）＋16x －8

＝(x －8)＋16

x －8＋10≥2

（x －8）×16

x －8

＋10＝18.

当且仅当x －8＝

16

x －8

，即x ＝12时，等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.

法二 由2x ＋8y ＝xy 及x >0，y >0，得8x ＋2

y ＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫

8x ＋2y

＝8y x ＋2x

y ＋10≥2

8y x ·2x

y ＋10＝18.

当且仅当8y x ＝2x

y ，即x ＝2y ＝12时等号成立. ∴x ＋y 的最小值是18.

题型二 利用基本不等式解决实际应用问题

【例2】 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园