应用多元统计分析课后答案

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第五章 聚类分析

5.1 判别分析和聚类分析有何区别？

答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。

5.2 试述系统聚类的基本思想。

答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。

5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？

答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为

（一）闵可夫斯基距离：1/1()()p

q

q

ij ik jk k d q X X ==-∑

q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =）

1

(1)p

ij ik jk k d X X ==-∑

（2）欧氏距离（2q =）

21/2

1

(2)()

p

ij ik jk k d X X ==-∑

（3）切比雪夫距离（q =∞）

1()max ij ik jk

k p

d X X ≤≤∞=-

（二）马氏距离

（三）兰氏距离

21()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk

ij k ik jk X X d L p X X =-=

+∑

对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用

（一）夹角余弦

（二）相关系数

5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？

答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法

,min

i k j r

kr ij X G X G D d ∈∈=

min{,}kp kq D D =

（2）最长距离法

,max

i p j q

pq ij X G X G D d ∈∈=

,max

i k j r

kr ij X G X G D d ∈∈=

max{,}kp kq D D =

（3）中间距离法

其中

（4）重心法

12

211cos ()()

p

ik jk

k ij p p

ik jk k k X X X X θ====∑

∑∑

12211()()()()p

ik i jk j k ij p p

ik i jk j k k X X X X r X X X X ===--=--∑∑∑

ij G X G X ij d D j

j i i ∈∈=

,min

2

2222

121pq kq kp kr D D D D β++=

2()()

pq p q p q

D X X X X

'

=--)

(

1

q

q

p

p

r

r

X

n

X

n

n

X+

=

2222

2

p q p q

kr kp kq pq

r r r

n n n n

D D D D

n n n

=+-

（5）类平均法

22

1

i p j j

pq ij

X G X G

p q

D d

n n∈∈

=∑∑22

1

i k j r

kr ij

X G X G

k r

D d

n n∈∈

=∑∑22

p q

kp kq

r r

n n

D D

n n

=+

（6）可变类平均法

其中β是可变的且β <1

（7）可变法

2222

1

()

2

kr kp kq pq

D D D D

β

β

-

=++其中β是可变的且β <1

（8）离差平方和法

1

()()

t

n

t it t it t

t

S X X X X

=

'

=--

∑

2222

k p k q k

kr kp kq pq

r k r k r k

n n n n n

D D D D

n n n n n n

++

=+-

+++

通常选择距离公式应注意遵循以下的基本原则：

（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。

（2）要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。

（3）要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题，我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以2222

(1)()

p q

kr kp kq pq

r r

n n

D D D D

n n

ββ

=-++