三角形的重心性质

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三角形重心的3个结论

三角形重心的3个结论
三角形重心是三角形的重要点之一，它位于三角形三个顶点所在的中线交点处。

下面是三角形重心的三个结论：
1. 重心将中线分为2:1
从任意一个顶点开始，连接该顶点所对的边中点和另外两个顶点，这样就可以得到三条中线。

这些中线在重心处相交，且重心将每条中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。

这个结论可以用向量法或者平面几何法来证明。

2. 重心到各顶点距离平均
连接重心和每个顶点，可以得到三条线段。

这些线段的长度恰好等于从重心到各个顶点的距离。

因此，我们可以得出结论：三角形重心到各个顶点距离的平均值等于任意两个顶点之间距离的一半。

3. 重心是质心和垂心连线上的一点
质心是连接三角形所有顶点与其对边中点所形成垂直平分线交汇处。

垂心则是连接每条边与其对边垂直相交所形成高度交汇处。

如果我们将质心和垂心连起来，则这条线段上的任意一点都是三角形重心。

这个结论可以用向量法或者平面几何法来证明。

证明三角形重心判定性质整理

证明三角形重心判定性质整理重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

下面我给大家带来证明三角形重心判定性质，盼望能关心到大家!证明三角形重心判定定理例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。

EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG证明：过E作EH△BF交AC于H。

△AE=BE，EH//BF△AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又△ AF=CF△HF=1/2CF△HF:CF=1/2△EH△BF△EG:CG=HF:CF=1/2△EG=1/2CG（方法）二连接EF利用三角形相像求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC证明三角形重心判定性质证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA、BOB、COC分别为a、b、c边上的中线。

依据重心性质知：OA=1/3AAOB=1/3BBOC=1/3CC过O，A分别作a边上高OH，AH可知OH=1/3AH则，S△BOC=1/2×OHa=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF 依据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,依据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b则1-x= y/2，x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD即BO：OF=CO：OD=2。

三角形的重心与外心

三角形的重心与外心三角形是几何学中最基本的多边形之一，在三角形的研究中，重心和外心是两个重要的概念。

本文将详细介绍重心和外心的定义、性质以及计算方法。

一、重心重心是指三角形内部所有三条中线所交的一点，通常表示为G。

在任意三角形ABC中，以A、B、C三个顶点为起点，分别向对边中点引垂线，这三条垂线交于一点G，即为三角形的重心。

重心的坐标可以通过以下公式计算得出：G(x,y) = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]二、重心的性质1. 重心将三角形划分为六个三角形，其中三个小三角形的质心与重心重合。

2. 重心到三角形三个顶点的距离比例为2:1，即AG：BG：CG=2:1。

3. 重心是三角形内部离三条边最近的点。

4. 如果三角形的三边长度相等，则重心与内心、外心重合。

5. 重心是三角形垂心、内心和外心的连线的交点之一。

三、外心外心是指三角形外接圆的圆心，通常表示为O。

在任意三角形ABC 中，取三个角的外角平分线，这三条外角平分线的交点即为三角形的外心。

计算三角形外心的坐标比较复杂，可以利用外接圆的性质来简化计算。

由于外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此可以通过求解三角形两边的垂直平分线的交点来确定外心的坐标。

四、外心的性质1. 外心是三角形外接圆的圆心，外接圆的半径等于三角形的外接圆半径。

2. 外心与三个顶点的连线相等，即OA=OB=OC。

3. 外心是三角形三条高的交点之一。

4. 如果三角形是等边三角形，则外心与重心、内心重合。

五、计算方法1. 重心的计算方法已在前文中提及，即取三个顶点的坐标的平均值。

2. 外心的计算方法可以通过以下步骤进行：（1）计算三边的中垂线斜率，分别记作k1，k2，k3；（2）计算三边中点的坐标，分别记作M1，M2，M3；（3）计算三条中垂线的方程，分别为L1：y = k1x + b1，L2：y = k2x + b2，L3：y = k3x + b3；（4）求解方程组 L1与L2，L2与L3的交点，即为外心的坐标。

初中数学竞赛专题-第十四章三角形重心的性质及应用

第十四章三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心,三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心,连AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,()22221124AD AB AC BC =+-,且21AG GD =∶∶．性质2设G 为ABC △的重心,过G 作DE BC ∥交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF AC ∥交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作KH AB ∥交AC 于K ,交BC 于H ,则（1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心,P 为ABC △内任一点,则（1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点,则对APG △和DPG △分别应用余弦定理,有2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-,2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠, 而2AG DG =,cos cos AGP DGP ∠=-∠,于是,有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ,DG 分别是BPC △的BC 边,BGC △的BC 边上的中线,有2222122PD PB PC BC +-=,2222122DG BG CG BC =+-,从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1,有()2222911424AG AB AC BC =+-,()2222911424BC AB BC AC =+-, ()2222911424CG BC AC AB =+-,此三式相加,整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++．注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++．性质4设G 为ABC △内一点,G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一：（1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ,CA ,AB 上的射影分别为D ,E ,F 时,GD GE GF ⋅⋅值最大；（3）当AG ,BG ,CG 的延长线交三边于D ,E ,F 时,AFG BDG CEG S G S ==△△△；（4）过G 的直线交AB 于P ,交AC 于Q 时,3AB ACAP AQ+=；（5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ,则D 为BC 中点,有BDA CDA S S =△△,BDG CDG S S =△△,故AGB AGC S S =△△．同理,AGB BGC S S =△△,故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1,令G 为ABC △内一点,连AG 并延长交BC 于D ,连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△,BC a =,CA b =,AB c =,1BDG S S =△,2CDG S S =△,BD x =,DG y =．由11sin 2S xy BDG =⋅∠, ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠,故211S a S x =-．即2211111S S S a S x S S S +=+==,亦即1S S a =,()2SS a x a=-．又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理,得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠,于是,由上述两式,有2x a x a x a x +=--,于是2ax =,即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理,可证BE 为ABC △边AC 上的中线．故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比．（2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ．记GD x =,GE y =,GF z =,由 12GBC S ax =△,12GAC S by =△,12GAB S cz =△,知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式,有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤,即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时,即GBC GAC GAB S S S ==△△△时等号取得,即G 为ABC △的重心时,结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2,设1APF BPD CPE S S S ===△△△,APE S x =△,BPF S y =△,CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==,111BP z y PE x ++==,111CP x z PFy ++==,有 1yz z x +=+,①1zx x y +=+,②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-,即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+,⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==,再代入①得1x =,故1x y z ===．若x y ≠,则y x ≠,z x ≠,由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=,⑦而x ,y ,z 为正数,则11x +>,11y +>,11z +>,等式⑦无正数解, 故只有正数解1x y z ===,即证．（4）必要性：如图14-3,设M 为ABC △的边BC 上任一点,直线PQ 分别交AB ,AM ,AC 于P ,N ,Q ,连PM ,QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△．当N 为ABC △的重心时,M 为BC 中点,有BM MC =,且32AM AN =∶∶,由此即证得结论3AB ACAP AQ+=．充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ,2P 两点,在另一边AC 上有1Q ,2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=,则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心．事实上,如图14-4,连AG 并延长交BC 于M ,过B ,C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ,22P Q 分别于1X ,1Y ,2X ,2Y ,于是,图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+,即11BX CY AG +=．同理,22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+,即1221BX BX CY CY -=-．亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥,从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =,即AM 为ABC △的BC 边上的中线,亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=,故2AG GM =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线,G 为ABC △的重心时,由中线长公式（即性质1）,有()()222222AD AB CA BC =+-,从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理,()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+．充分性：注意到结论,给定ABC △后,若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数,则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线,并且这条直线过ABC △的重心．事实上,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立坐标系,设(),G x y ,则222AG x y =+,()222BG x c y =-+,其中AB c =．因此,由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-,得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+⎪⎝⎭,即证得前一断言,后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度,可求得AC 上的线段AQ的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-,故3AB AC AP AQ +=,即证．性质5设P 是锐角ABC △内一点,射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5,设PEF α∠=,CPE β∠=,CPD γ∠=,EBC α'∠=,并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDABC在DEF △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--．设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x x f x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ,B x -,B x βγπ---+,A B x βγ-π+++-,C x β-+,0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,易知()f x 递增,于是由()()f f αα'=可得αα'=,所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥,DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =,AF DC FB BD =,DC ECBD AE=．所以AF FB =,BD DC =,EC AE =．故P 为ABC △的重心．必要性：显然（略）．故命题获证,性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离,等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一．事实上,若设三顶点A ,B ,C ,重心G ,BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ,B d ,C d ,G d ,M d ,则()23G A M G d d d d =+-,()12M B C d d d =+．两式相加,即有 ()13G A B C d d d d =++．注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零,则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切．性质7设G 为ABC △的重心,若222AG BG CG +=,则两中线AD 和BE 垂直；反之,若两中线AD ,BE 垂直,则222AG BG CG +=．【典型例题与基本方法】例1如图14-6,在ABC △中,G 为重心,P 为形内一点,直线PG 交直线BC ,CA ,AB 于A ',B ',C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ,GC ,PB ,PC ,分别过G ,P 作GG BC '⊥于G ',作PP BC '⊥于P ',则PP GG ''∥,PP A PGG A G''=''．又PBC GBC S PP S GG '='△△,有PBC GBC S A P S A G '='△△．同理PCA GCA S B P S B G '='△△,PAB GAB S C PS C G'='△△．因G 为重心,有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△．例2如图147-,设ABC △的重心为G ,AG ,BG ,CG 分别交对边于D ,E ,F ,交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =,CA b =,AB c =,这三边上的中线分别记为a m ,b m ,c m ,应用相交弦定理,有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===．同理224b B E b EB m '=,224c C F C FC m '=．则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式,可求出2a ,2b ,2c ,即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边,即证得结论成立．3A D B E C FDA EB FC'''．例3如图14-8,过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分,试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8AB CEFG证明把三角形的每条边三等分,过每一分点作平行于其他两边的直线,这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分,观察这两部分面积之差,显然不超过BEF △的面积,即ABC △面积的19．例4如图14-9,已知P 为ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M ,N 分别为PB ,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证：（1）P ,Q ,O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ,设PO 与AN ,DM 分别交于点Q ',Q ''．在PAC △中,AO OC =,PN NC =,则Q '为其重心,且2PQ OQ ''=．在PDB △中,DO BO =,BM M P =,则Q ''为其重心,且2PQ OQ ''''=．这样,Q Q '''≡,并且Q ',Q ''就是AN ,DM 的交点Q ．故P ,Q ,O 在一条直线上,且2PQ OQ =．例5如图14-10,已知CA AB BD ==,AB 为O 的直径,CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠．证明连PO 并延长交O 于E ,则PE PC ⊥．连EC ,ED ,并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中,CO 为PE 边上的中线,且2CA AO =,即知A 为CPE △的重心,则PF 为CE 边上的中线,从而CF PF =,FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分,则CPDE 为平行四边形,即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠．例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆,从相对顶点作切线,得到的六个切点共圆．证明如图14-11,设ABC △的三边分别为a ,b ,c ,O 是以BC a =为直径的圆,AT 切O 于T 点．连AO ,在AO 上取点G 使2AG GO =,则G 为ABC △的重心．连OT ,GT ,图14-11AB由AO ,2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=,12OT a =,13OG OA =,有()2222118TG a b c =++为定值．同理,其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++,由此即证．例7如图14-12,AD ,BE ,CF 是ABC △的三条中线,P 是任意一点．证明：在PAD △,PBE △,PCF △中,其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心,直线PG 与AB ,BC 相交,从A ,C ,D ,E ,F 分别作该直线的垂线,垂足为A ',C ',D ',E ',F ',易证2AA DD ''=,2CC FF ''=,2EE AA CC '''+=,从而EE DD FF '''=+,故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =,CA b =,AB c =,DEF △是ABC △的任意内接三角形,试以a ,b ,c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先,证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点,G 到三边BC ,CA ,AB 的距离分别为x ,y ,z ,则当x y z a b c =∶∶∶∶时,222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△．事实上,由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥,当且仅当x y z a b c =∶∶∶∶时取等号,由此即证．如图14-13,设G 为DEF △的重心,则由中线长公式或重心性质3（2）,图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦．三式相加,得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ,AC ,AB 引垂线,垂足分别为0D ,0E ,0F , 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥．下证等号能够取到,设G 为ABC △内一点,G 到BC ,CA ,AB 的距离依次为x ,y ,z ,且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线,垂足为0D ,0E ,0F ,由0D ,C ,0E ,G 共圆,知00180D GE C ∠+∠=︒,于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△．同理,00GE F ABCS yz S bc =△△,00GF D ABC S zxS ca=△△．因x y z a b c =∶∶∶∶,则xy yz zxab bc ca==,故000000GD E GE F GF D S S S ==△△△,由重心性质4（1）,知G 为000D E F △的重心．由此可见,对ABC △的内接000D E F △而言,222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△．因此,所求最小值为222212ABCS a b c ++△．例9如图14-14,设G 为ABC △的重心,AG ,BG ,CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''；（2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥；（3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤．证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ,则D 为BC 的中点．由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△,13ABC GAB S BG GB S '='△△,13ABC GAC SCG GC S '='△△,及AGB BGA ''△∽△, AGC CGA ''△∽△,有22GAB GBA S AG S BG ''=△△,22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△,从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC'△∽△,得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△,所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△, 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△．中线长公式或重心性质3（2）,有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心,由莱布尼兹公式,则()2222219OG R a b c =-++（其中R ,a ,b ,c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）．注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++, 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC ++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++．（2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2）,知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥,由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤,或由（1）也可推得结论成立． 2．证明线共点的一条途径例10如图14-15,设O 是ABC △的内切圆,BC ,CA ,AB 上的切点各是D ,E ,F ．射线DO 交EF 于A ',同样可得B ',C '．试证：直线AA ',BB ',CC '共点．图14-15证明连A B ',A C '．易知B ,D ,O ,F 及C ,D ,O ,E 分别共圆,得A OF B '∠=∠,A OE C '∠=∠．在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理,有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠, 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅．又AFE AEF ∠=∠,故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边,即AA '必过ABC △的重心,同样可证BB ',CC ',也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性,知AA ',BB ',CC '三直线共点于ABC △的重心．【模拟实战】习题A 1．如图14-16,点O 在锐角ABC △内,过O 作EF BC ∥,PQ CA ∥,HG AB ∥,若EF PQ HGBC CA AB==试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17,M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心,AB AC =,D 是AB 的中点,G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心,且3AM =,4BM =,5CM =,求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点,点E ,F 分别是ABD △和ACD △的重心,连接EF 交AD 于点G ,则DGGA 的值是多少？（1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △,作这样的直线与三角形相交,使得由A 点到直线的距离等于由B ,C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似,其逆亦真． 2．在ABC △中,G 为重心,I 为内心,试证：AGI △,BGI △,CGI △中,最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中,O ,G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥,求证：tan A ,tan B ,tan C 成等差数列, 4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．第十四章三角形重心的性质及应用习题A1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=,则2EF PQ HGBC CA AB===,故O 为ABC △的重心． 2．先证BD AE CF ==,再由△BMP ∽△BCF ,得MP BM CF BC ==,同理PN BD =,MN AE =,则MP PN MN ==．3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ,则BC 边上的高为3r ,再利用面积法证明．4．证明△ODG 与ABC △的重心重合．5．由3AM =,4BM =,5CM =,有222AM BM CM +=,知两中线AD ,BE 垂直．于是3182ABC S AM BM =⋅⋅=△．6．连BE ,CF ,并延长相交于M ,则M 为AD 的中点．由E ,F 分别是ABD △和△ACD 的重心,则13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥,EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==,23DG BE DM BM ==,13MG DM =,23DG DM =,1433AG AM MG DM DM DM =+=+=,故241233DG GA DM DM ==∶∶∶．7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质,推知所有这些直线都经过ABC △的重心,即共点于重心．习题B1．设G 为ABC △的重心,连DE 并延长到H 使EH DE =,连HC ,HF ,则以三条中线AD ,BE ,CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =,22CA b =,22AB c =成等差数列时,若ABC △为正三角形,易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥,有2221222CF a b c =+-2221222BE c a b =+-2221222AD b c a =+-2222a c b +=分别代入以上三式,得3CF =,3BE =,3AD =,从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶,故有ABC △∽△HCF ．反之,若有ABC △∽△HCF ,当ABC △中a b c ≥≥时,△HCF 中CF BE AD ≥≥,且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯34”,有2234CF a =∶∶,即222223422a CF a b c ==+-,故22a c += 22b ．2．分两种情况讨论．①若G ,I 两点重合,易断ABC △为正三角形,此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△,结论显然成立．②若G ,I 两点互异,过G ,I 作直线l ．若l 通过ABC △的一个顶点,易推知ABC △为等腰三角形,此时AGI S △,BGI S △,CGI S △中一个为零,其余两个相等,结论亦成立；若l 与ABC △的两边相交,不妨设l 与AB ,AC 相交．延长AG 交BC 于E ,E 必为BC 的中点,连EI ．过B ,E ,C 分别作到直线l 的距离BB ',EE ',CC ',易证2BB CC EE '''+=,从而2BGI CGI EGI S S S +=△△△．又由重心性质知2AG GE =,从而2AGI EGI S S =△△,故AGI BGI CGI S S S =+△△△．3．要证tan A ,tan B ,tan C 成等差数列,只需证2tan tan tan B A C =+,又在ABC △中,由tan B = tan tan 1tan tan A C A C+--⋅,有tan tan tan tan tan tan A C B A B C +=-+⋅⋅．故只需证2tan tan tan tan tan B B A B C =-+⋅⋅,亦即tan tan 3A B ⋅=．因O 为外心,有2AOC B =∠∠,221sin sin cos 2AOC S R AOC R B B =⋅=⋅⋅△∠．又由G 是重心,有2112sin sin sin 33AGC ABC S S R A B C ==⋅⋅⋅△△．注意到OG AC ∥,有AOC AGC S S =△△,故2sin cos R B B ⋅⋅=22sin sin sin 3R A B C ⋅⋅⋅,从而3cos 2sin sin B A C =⋅,即由cos cos cos sin sin B A C A C =-+⋅,有sin A ⋅ sin 3cos cos C A C =⋅,由此即证．4．ABC △中,重心G 到三边距离之和为123GG GG GG ++,ABC △内切圆半径为r ,内心I 到三边距离之和为1233II II II r ++=．记BC a =,CA b =,AB c =,射线AG 交BC 于D ,连GB ,GC ．则由 13GCA GAB ABCS S S ==△△△知,1123132ABCABC S S GG a a ==△△．同理,223ABC S GG b =△,323ABC S GG C =△．于是1232ABC GG GG GG S ++=⋅⋅△211111111()3333333r a b c r a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅++++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥,即证．。

三角形重心概念

三角形重心概念三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，重心是一个重要的概念，它被定义为连接三角形的三条中线的交点。

在本文中，我们将探讨三角形重心的性质、计算方法及其在实际生活和数学中的应用。

让我们来了解一下三角形重心的定义。

在一个三角形ABC中，中线是连接边AB、BC和CA的中点的线段。

当这三条中线交于一点G时，我们将这个点称为三角形的重心。

可以用符号表示为：G。

接下来，我们将探讨三角形重心的一些基本性质。

1.三角形重心是三条中线的交点。

中线是连接三角形的顶点到相对边中点的线段。

对于任何一个三角形，三条中线都会相交于同一个点，即重心。

2.重心将每条中线划分为2:1的比例。

也就是说，从重心到三角形的顶点的长度是从重心到中点的长度的两倍。

这个性质对任何三角形都成立。

3.重心将三角形的面积划分为1:3的比例。

也就是说，从三角形的每个顶点到重心的距离与从重心到相对边的距离的比例为1:3。

这意味着，从重心到三角形的顶点的距离比从重心到相对边的距离更远。

4.如果一个三角形的三边长度相等（等边三角形），那么它的重心将位于三角形的内部，并与每个顶点的距离相等。

以上是三角形重心的一些基本性质。

接下来，我们将看一下如何计算三角形的重心坐标。

对于一个三角形ABC，我们可以使用以下公式来计算重心的坐标（x，y）：x = (xA + xB + xC) / 3y = (yA + yB + yC) / 3其中(xA, yA)，(xB, yB)和(xC, yC)是三角形顶点A、B和C的坐标。

现在，让我们来看一些实际生活和数学中的应用。

在实际生活中，三角形的重心有一些实用的应用。

例如，在建筑和工程中，我们需要计算物体的质心，以确定物体的平衡和稳定性。

三角形也经常用于测量和制图。

重心可以用来确定三角形的中心位置，并用于计算其他属性，如面积和周长。

在数学中，三角形的重心是研究三角形性质的重要概念之一。

它在许多几何问题中发挥着重要的作用，并成为解决计算问题的关键。

三角形重心

三角形重心三角形的重心是指三角形三个顶点的平均值所确定的那个点，它是三角形内部的一个特殊点。

今天我们将探讨三角形重心的性质和推导重心的公式。

三角形有各种各样的性质和特点，而重心就是其中之一。

要理解重心的概念，我们首先需要了解三角形的顶点和边。

一个三角形有三个顶点和三条边，每个顶点由一个坐标对表示，例如：顶点A是(x₁, y₁)。

我们将通过计算顶点的坐标来确定重心。

要计算一个三角形的重心，我们需要找到三个顶点的坐标。

假设三角形的顶点分别是A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)和C(x₃, y₃)。

那么重心的坐标可以通过以下公式计算：xg = (x₁ + x₂ + x₃) / 3yg = (y₁ + y₂ + y₃) / 3其中，xg和yg分别代表重心的x坐标和y坐标。

这个公式是通过将三个顶点的x坐标和y坐标相加，并除以3得出的。

这意味着重心的横坐标和纵坐标是三个顶点坐标的平均值。

有了这个公式，我们就可以计算任意三角形的重心了。

下面让我们通过一个例子来具体说明。

假设我们有一个三角形ABC，其中A的坐标是(1, 1)，B的坐标是(4, 2)，C的坐标是(2, 5)。

现在我们要计算三角形ABC的重心。

根据上述公式，我们可以得到：xg = (1 + 4 + 2) / 3 = 2.333yg = (1 + 2 + 5) / 3 = 2.667因此，三角形ABC的重心坐标是(2.333, 2.667)。

三角形的重心有一些有趣的性质。

例如，重心到三个顶点的距离之比是2:1。

这意味着重心到每个顶点的距离是相等的，而且重心到顶点的距离始终是重心到边的中点的距离的二分之一。

另外一个有趣的性质是，重心将三角形划分为三个相等的小三角形。

这意味着，重心到每条边的距离相等，并且通过重心的三条线段将三角形分割成相似的三部分。

除此之外，重心还有其他一些实际应用。

对于一个物体，如果我们将其悬挂在重心处，它就可以平衡。

在建筑设计和结构工程中，重心的计算对于保持建筑物的稳定和平衡非常重要。

三角形的重心外心与内心

三角形的重心外心与内心三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一，它由连结三个非共线点而成。

三角形具有许多重要的性质和特点，其中包括重心、外心和内心。

本文将从重心、外心和内心的定义、性质、计算方法以及应用等方面进行探讨和讲解。

一、重心重心是一个三角形内部一个特殊点，它由三个三角形的垂直平分线的交点所确定。

垂直平分线是由三角形的顶点连结对边中点而成。

重心的性质如下：1. 重心所在的垂直平分线，将三角形分成两等面积的三角形。

（垂直平分线将底边分成相等的两部分，因此上下两个三角形面积相等）2. 重心到三角形的各顶点的距离，分别相等且比重心到任意其他点的距离短。

（重心是三角形内到各顶点距离之和最短的点）3. 三角形的重心是三角形内所有到各顶点距离之和最小的点。

计算重心的方法：设三角形的顶点分别为A、B、C，重心为G，则重心的坐标为：x = (x1 + x2 + x3) / 3y = (y1 + y2 + y3) / 3其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。

二、外心外心是一个三角形外接圆的圆心。

三角形的外接圆是经过三个顶点的圆。

外心的性质如下：1. 三角形的三条边都是外接圆的直径。

2. 外心到三个顶点的距离都相等，且外心到任意一边的距离等于该边的半径。

计算外心的方法：设三角形的顶点分别为A、B、C，外心为O，半径为r，则外心的坐标为：x = ((x1^2 + y1^2)(y3 - y2) + (x2^2 + y2^2)(y1 - y3) + (x3^2 +y3^2)(y2 - y1)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))y = ((x1^2 + y1^2)(x2 - x3) + (x2^2 + y2^2)(x3 - x1) + (x3^2 +y3^2)(x1 - x2)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质三角形是几何学中的基础概念之一，具有丰富的性质和特点。

其中，重心、外心、垂心和内心是三角形重要的特殊点，它们在三角形的研究和计算中起着重要的作用。

本文将介绍三角形重心、外心、垂心和内心的向量表示及其性质。

一、三角形重心的向量表示及性质重心是三角形三条中线的交点，记为G。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形重心G的向量表示为：G = (a + b + c)/3重心G的性质如下：1. 重心到三角形各顶点的向量和为0向量，即AG + BG + CG = 0。

2. 重心将中线分成2:1的比例，即AG : GM = 2:1，BG : GN = 2:1，CG : GP = 2:1，其中M、N、P分别为中线BC、AC、AB的中点。

3. 重心是三角形内切圆和外接圆的同一个圆心。

二、三角形外心的向量表示及性质外心是三角形三条垂直平分线的交点，记为O。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形外心O的向量表示为：O = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的垂直平分线的向量。

外心O的性质如下：1. 外心到三角形各顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

2. 外心是三角形外接圆的圆心，且外接圆的半径为OA、OB、OC中的一个。

三、三角形垂心的向量表示及性质垂心是三角形三条高线的交点，记为H。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，对应的向量为a、b、c。

则三角形垂心H的向量表示为：H = (a⊥ + b⊥ + c⊥)/3其中，a⊥、b⊥、c⊥分别表示向量a、b、c的高线的向量。

垂心H的性质如下：1. 垂心到三角形各顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

2. 垂心是三角形内接圆的圆心，且内接圆的半径为HA、HB、HC中的一个。

四、三角形内心的向量表示及性质内心是三角形三条角平分线的交点，记为I。

三角形的重心、垂心、内心、外心

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形重心有什么性质

三角形重心有什么性质
重心的几条性质：
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG²=(AP²+BP²+CP²) -1/3(AB²+BC²+CA²)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则A B/AP+AC/AQ=3
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。

9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点，则PA²+PB ²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。

扩展资料：
重心确定方法
1，组合法
工程中有些形体虽然比较复杂，但往往是由一些简单形体的组合，这些形体的重心通常是已知的或易求的。

2，负面积法
如果在规则形体上切去一部分，例如钻一个孔等，则在求这类形体的重心时，可以认为原形体是完整的，只是把切去的部分视为负值（负体积或负面积）。

3，实验法（平衡法）
如物体的形状不是由基本形体组成，过于复杂或质量分布不均匀，其重心常用实验方法来确定。

主要包括悬挂法和称重法。

证明三角形重心判定性质

证明三角形重心判定性质三角形重心是三角形内部所有中线的交点，是三角形的一个重要点。

在三角形的研究中，三角形重心有着重要的作用，包括判定三角形的形状、判断三角形的大小和计算三角形的面积等。

在本文中，我们将探讨证明三角形重心判定性质的方法。

三角形重心判定定理是三角形研究中一条非常重要的定理，也是几何学中的一道经典问题。

这个定理可以用来判断三角形的性质，以及计算三角形的重心坐标。

三角形重心的坐标可以用以下公式计算：$G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$其中，$G$表示三角形重心的坐标，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。

证明三角形重心判定定理需要以下两个步骤：第一步，证明三角形重心是三条中线的交点。

首先，我们需要知道中线是什么。

中线是连结三角形两个顶点及其对边中点的线段。

因此，三角形有三条中线。

中线可以通过以下公式计算出来：$AB: \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}$$BC: \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}$$AC: \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}$其中，$AB$、$BC$、$AC$表示三角形的三条边，$x_1$、$x_2$、$x_3$、$y_1$、$y_2$和$y_3$分别表示三角形三个顶点的坐标。

我们需要证明三条中线的交点是三角形的重心。

假设$G$为三角形的重心，且$G$在$AB$和$BC$上，那么$G$必定在$AC$上。

这是因为$AC$是由两点$(x_1, y_1)$和$(x_3, y_3)$组成，而重心$G$又满足以下条件：$\frac{AG}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{CG}{AC}$由此可得：$\frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}$$\frac{BG}{BC} = \frac{2}{3}$$\frac{CG}{AC} = \frac{2}{3}$因为$AG$和$BG$都是中线，所以它们分别等于$AB$和$BC$的一半。

重心定理

重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，因而得名重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ,求证：CF⊥AB 证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形的重心、垂心、内心、外心

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

（三条中垂线的交点）外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

(即三条角平分线的交点) 内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。

该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

三角形重心知识点总结

三角形重心知识点总结三角形是初中数学中重点学习的内容之一，其中三角形的重心也是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将对三角形重心的相关知识进行总结。

一、什么是三角形重心三角形是由三条边和三个角组成的图形，它是几何学中最基本的概念之一。

而三角形的重心则是三角形内部的一个点，它被三条中线所交叉的点。

三角形的中线分别是连接每个角的对边中点的线段，它们交于三角形的一个点，这个点就是三角形的重心。

重心通常用字母G 表示。

二、三角形重心的特点1. 重心是三条中线交点三角形的重心是三条中线的交点，即三个中点所构成的点。

2. 重心到顶点的距离比相等三角形三个顶点到重心所连的线段长度相等。

也就是说，重心到每个顶点的距离是相等的。

3. 重心所在直线是中位线连接重心和中点的线段就是三角形的中位线。

4. 重心将中线按比例分割以重心为顶点的三角形，与原三角形的各个边成比例。

三、三角形重心的性质1. 重心位于三角形重心所在直线上三角形三条中线的交点即为三角形的重心。

这个交点所在的直线被称为三角形重心所在直线。

2. 重心到三角形各顶点距离之和最小重心到三角形各顶点的距离之和最小，且一定小于任何一个三角形内部的点到三角形各顶点距离之和。

3. 重心分离定理在三角形内，以重心为圆心、以重心到任一顶点长度为半径所画的圆，与三角形外接圆相内切。

4. 重心定理重心所在直线把三角形面积分为 $2:1$。

5. 等腰三角形的重心落在中线交点处在等腰三角形中，重心与垂足重合，也就是重心位于中线交点处。

四、三角形重心相关例题1. 如图，在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接AF交DE于K，连接BE交CD于L，连接AC交DE 于M，求KLM三角形的重心。

解：首先我们需要确定三角形ABC的重心G，它是三条中线的交点。

然后根据重心的性质，我们可以得知重心到三角形各顶点的距离一定相等。

因此，在三角形ABC中，AG=BG=CG。

我们知道，三角形的中线将对边分成两段相等的部分，因此AE=EC，BE=BD，CF=FA。

初中数学什么是三角形的重心

初中数学什么是三角形的重心在初中数学中，三角形的重心是指一个三角形内的一个点，它是三角形三条中线的交点。

重心具有一些重要的性质和应用，下面将详细介绍重心的定义、性质和应用。

1. 重心的定义：重心是指一个三角形内的一个点，它是三角形三条中线的交点。

三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

2. 重心的存在性：对于任意一个三角形，重心都是存在的。

这是因为三角形的三条中线必定会相交于一个点，这个点就是重心。

3. 重心与中线的关系：重心是三角形三条中线的交点。

也就是说，如果你将一个三角形的三条中线画出来，那么它们将会相交于一个点，这个点就是重心。

4. 重心的性质与应用：-重心将三角形的每条中线分成两段：重心将三角形的每条中线分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。

这意味着，从重心到三角形的一个顶点的距离是从重心到对边中点的距离的两倍。

-重心是三角形内心、外心和垂心的一个特例：重心是三角形内心、外心和垂心的一个特例。

内心是三角形内接圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心，而垂心是三角形垂直平分线的交点。

重心同时具有这三个特点，因此可以看作是它们的一个特例。

-重心对于三角形的性质和应用具有重要作用：重心在三角形的性质和应用中具有重要作用。

例如，通过利用重心的性质，我们可以证明三角形的重心、内心和垂心的连线共线，判断三角形是否为等腰三角形，解决与重心相关的几何问题等等。

总结起来，重心是指一个三角形内的一个点，它是三角形三条中线的交点。

重心将三角形的每条中线分成两段，是三角形内心、外心和垂心的一个特例。

重心在三角形的性质和应用中具有重要作用。

三角形的重心性质

三角形重心的3个结论

证明三角形重心判定性质整理

三角形的重心与外心

初中数学竞赛专题-第十四章三角形重心的性质及应用

三角形重心概念

三角形重心

三角形的重心外心与内心

三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

三角形的重心、垂心、内心、外心

三角形重心有什么性质

证明三角形重心判定性质

重心定理

三角形的重心、垂心、内心、外心

三角形重心知识点总结

初中数学 什么是三角形的重心

初中数学什么是三角形的重心