高三数学 复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义 知识精讲
高考复数概念知识点
高考复数概念知识点复数是数学中的一个重要概念，也是高中数学考试中常见的题型之一。
掌握好复数的概念和相关知识点，对于考试取得好成绩是至关重要的。
本文将介绍高考复数相关的概念和知识点，希望能够帮助大家更好地理解和运用。
一、复数的定义与表示1. 复数的基本定义：在实数范围内，无法满足平方后为负的数，例如-1，所以引入了虚数单位i（i^2 = -1）。
复数定义为实数与虚数的和，形如a+bi的数就是复数，其中a为实部，b为虚部，i满足i^2 = -1。
2. 复数的表示：复数可以用代数方法表示，也可以用几何方法表示。
代数方法表示时，将a和b视作实数，将虚数单位i视作一个数。
几何方法表示时，将复数a+bi看作是平面直角坐标系中的一个点P(x, y)，其中x=a，y=b，可以通过平面向量的方法进行表示。
二、复数的运算1. 复数的加法与减法：复数的加法与减法可以按照实部与虚部分别进行运算，即(a+bi) +(c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 复数的乘法与除法：复数的乘法可以按照公式展开进行计算，即(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
复数的除法可以利用共轭复数的性质进行计算，即(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / [(c+di) * (c-di)]，化简后可得实部和虚部的表达式。
3. 复数的乘方与开方：复数的乘方利用了极坐标的概念，可以通过转化为极坐标形式，进行指数运算，然后再转化回代数形式。
复数的开方可以根据欧拉公式进行计算，即通过将复数表示为指数形式来进行开方运算。
三、复数在方程和函数中的应用1. 复数方程的解：复数方程是指方程中含有复数的方程，例如x^2 + 1 = 0。
对于复数方程，可以根据求根公式进行求解，其中虚数单位i非常重要。
2. 复数函数的性质：复数函数是指函数的自变量与函数值都可以是复数的函数。
高数学复数的向量表示及复数的三角形式
复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示：2、复数的三角形式及运算：（1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：||||OZ Z =，即Z 点到原点O 的距离，一般地||21Z Z -即1Z 点到4、复数的指数形式：把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数θθsin cos i +用记号θi e 表示，即θθθsin cos i e i +=，由此任何一个复数)sin (cos θθi r Z +=就可以表示为θi re Z =形式，我们把这一表达式叫做复数的指数形式． 三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程． 如圆：r Z Z =-||0；线段中垂线：||||21Z Z Z Z -=-；椭圆：|)|2(2||||2121Z Z a a Z Z Z Z ->=-+- ； 双曲线：|)|2(2||||||2121Z Z a a Z Z Z Z -<=--- ．典型例题解析： 方法一： ∵11||1||=+≤-ZZ Z Z ．||Z 、R Z ∈||1．∴1||1||1≤-≤-Z Z ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+01||||01||||22Z Z Z Z ，∴215215+≤≤-r ．ZZ Z Z 1||1|+=-， ∴当i Z 215-±=时，215min -=r ；而当i Z 215+±=时，max =r 方法二：设)sin (cos θθi r Z +=．215+≤≤r ，且当i Z215-±=时，215min -=r ； 当i Z 215+±=时，max =r 高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．基础练习一、选择题 1、复数)()1(2224Z n i i Z n ∈--=+ 的辐角主值是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个A ．iB ．1-C ．0D ．1A ．1B ．2C ．5D ．7（ ）A ．8、1Z 、2Z 是两个非零复数，且分别对应点1Z 、2Z ，则21OZ OZ ⊥的充要条件是（ ）A ．i Z Z 21±=9、复数Z 满足条件：|||12|i Z Z -=+，则||Z 的最大值是（ ）A 10、设yi x Z +=（x 、R y ∈），且x Z =-|2|，则复数Z 的对应点Z 的轨迹是（ ） A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线 二、综合题值范围．数Z ．（1）求Z 点的轨迹方程，并指明轨迹类型； （2）求||Z 的最小值．13、已知复数1Z 、2Z 、3Z 的辐角主值分别是α、β、γ，又1||1=Z ，k Z =||2，k Z -=2||3，且0321=++Z Z Z ，问k 取何值时，)cos(γβ-分别取得最大值和最小值？并求出)cos(γβ-的最大值和最小值？。
高三数学复数知识点总结大全
高三数学复数知识点总结大全复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的，可以用来解决实数范围内无法解决的问题。
在高三数学学习中，复数也是一个重要的知识点。
下面将对高三数学中的复数知识点进行总结和归纳，以供参考。
一、复数的定义和表示方法复数由实部和虚部组成，可以用(a+bi)的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，i^2=-1。
复数可以用复平面上的点表示，实部和虚部分别对应坐标轴上的横坐标和纵坐标。
二、复数的四则运算法则1.加法和减法：实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2.乘法：使用分配率进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i-bd。
3.除法：将除数与被除数乘以共轭复数，然后利用分子分母有理化的方法进行计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
三、复数的模、辐角和共轭复数1.模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
2.辐角：复数z=a+bi的辐角定义为arg(z)=arctan(b/a)，表示复数与实轴正向之间的夹角。
3.共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数定义为z的实部不变，虚部变号，即z的共轭复数为a-bi。
四、复数的指数形式和三角形式1.指数形式：复数z=a+bi可以表示为z=r·exp(iθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。
2.三角形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|为模，θ=arg(z)为辐角。
五、复数的乘方和根式表示1.复数的乘方：(a+bi)^n可以使用二项式定理进行展开，然后进行化简。
2.复数的根式表示：复数的根式表示可以通过化简复数的乘方得到。
例如，对于z^2=a+bi，可以先求出z^2=(x+yi)^2，再解一元二次方程求得x和y。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
复数的三角形式及几何意义
复数的三角形式及几何意义本节介绍复数的几何形式与三角形式，它们展示了复数的复平面的几何意义.通过复数的三角形式及运算，我们可以看到复数相乘（除）所对应的便是几何旋转.同时，复数的三角形式还可以有效地链接三角恒等变换，解决一些三角恒等式的计算，因此，本节内容也是强基或联赛中重点考察的对象.一．基础理论1.三角形式.复数bi a z +=（R b a ∈,）与复平面上的点),(b a Z 是一一对应的，点),(b a Z 和向量→OZ 于是一一对应的.向量→OZ 的模长称为复数bi a z +=的模||z ，即满足：22||b a z +=.进一步，复数yi x z +=在复平面内对应的点为),(y x Z .我们把向量OZ 与x 轴正方向形成的角叫做复数yi x z +=的辐角，记为Argz .取值在)2,0[π的辐角称为辐角主值，用z arg 来表示.对于非零复数，它的辐角主值是唯一的（复数0的辐角是任意的）.显然，若z arg =θ，则22sin yx y +=θ，22cos yx x +=θ，于是就可进一步得到复数的三角形式：设||OZ r =，θ为辐角，那么点P 点的坐标就可以记为)sin ,cos (θθr r ，)sin (cos θθi r z +=.2.幅角的性质.显然，若记22y x r +=则复数yi x z +=的主幅角可以表示为反三角函数的形式：xy r x r y z arctan arccos arcsinarg ====θ3.指数形式.由欧拉公式：θθθsin cos i ei +=可得到复数的指数形式：θθθi re i r z =+=)sin (cos .4.三角形式的基本运算.对于复数代数形式的加减乘除运算，属于高考数学的内容之一，这部分相对简单，此处就不再列举.我们这里重点需要强调的是复数的三角形式及运算.)sin (cos 1111θθi r z +=)sin (cos 2222θθi r z +=（1）乘法)]sin()[cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθθθθθ+++=++=i r r i i r r z z .进一步可得：||||||2121z z z z ⋅=，2121arg arg arg z z z z +=或π2arg arg arg 2121-+=z z z z .几何意义：模翻倍，角度逆时针旋转.（可以看到，复数乘法从几何意义上讲便是旋转，这是复数的一个重要价值.）进一步，可得乘方的运算公式：设)sin (cos θθi r z +=，则)sin (cos θθn i n r z nn+=（棣莫弗定理）（2）除法)]sin()[cos(21212121θθθθ-+-=i r r z z .几何意义：模折倍，角度顺时针旋转（实则为夹角，可正可负），即||||||2121z z z z =，2121arg arg arg z z z z -=或π2arg arg arg 2121+-=z z z z.（3）开方设)sin (cos θθi r z +=，则2sin 2(cosnk i n k r z n n πθπθ+++=（1,,2,1,0-=n k ）.例如，222sin 222cos 2sin 2cos ππππππk i k i i +++=+=.可以看到，复数的n 次方根是n 个复数，它们的模都等于这个复数的模的n 次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与π2的1,,1,0-⋅⋅⋅n 倍的和的n 分之一.5.复数的几何曲线（1）满足||||21z z z z -=-的复数z 所对应的点的轨迹为线段21Z Z 的中垂线；（2）满足r z z =-||1的复数z 所对应的点的轨迹为以1Z 为圆心，半径为r 的圆；（3）满足)2|(|,2||||2121a Z Z a z z z z <=-+-的复数z 所对应的点的轨迹为以21,Z Z 为椭圆，长轴长为a 2的椭圆.二．典例分析例1.计算下列各式的值.（1）312⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）312⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.解析：利用复数的三角形式可得：（1）33122cos sin cos2sin212233i i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）33144cos sin cos4sin41233i ππππ⎛⎫⎛⎫-=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点评：上述两个值是三次方程的两个单位根，其有重要的应用.例2．已知复数z 满足2240z z ++=，且arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则z 的三角形式为__________．解析：由2240z z ++=可得，()213z +=-，所以11z z +=⇒=-，又arg ,2z ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1z =-．因为2z ==，所以122z ⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故答案为：222cos sin 33i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．例3.设11z i =+，22z i =+，33z i =+，则123arg()z z z -等于A．6πB．3πC．23πD．56π解析：由于()()()12312310z z z ii i i =+++=，∴()123arg z z z -()5arg 106i π=-=.选D.例4.（2020清华强基计划）求=++)31arcsin 103arccos1sin(arctan __________.解析：令i z i z i z +=+=+=2,3,1321，由于)arg(arg arg arg 321321z z z z z z =++，且根据复数的定义：=++31arcsin 103arccos1arctan 321arg arg arg z z z ++.另一方面：i z z z 10321=，故2)arg(321π=z z z ，则2)arg(arg arg arg 321321π==++z z z z z z ，综上，131arcsin 103arccos1sin(arctan =++.练习1．化简12arcsin 23-=______.解析：令11z =，22i z =，则有()2121211arg arg arg22z z z z +=()()1arg 42i 2⎡⎤=-+⎣⎦()13πarg 18i 24=-=.从而，12πarcsin234-=.下面我们再看复数的几何意义相关问题.例5.（2019上海竞赛）设复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.解析：显然，复数yi x z +=所对应的点的轨迹为方程为13422=+y x ，故求||i z +的最大值等价于求22)1(++y x 的最大值.利用椭圆的参数方程可求最大值为334.例6.（2020清华强基）设复数z 满足3|73|=-i z ，则iz z z +-+-1222的（）A.最大值为38 B.最大值为37 C.最小值为34 D.最小值为32解析：由3|73|=-i z 可得：1|37|=-i z ,则z 是以)37,0(i 为圆心，1为半径的圆.另一方面，|1|1222i z iz z z --=+-+-，根据几何意义可知：]38,32[|1|∈--i z .练习2.（2019中科大自主招生）若复数z 满足11+-z z 是纯虚数，则|3|2++z z 的最小值为__.答案：333.练习3.若复数z 满足1||=z ，则|))((|i z i z +-的最大值为______.答案：2练习4.若复数z 满足4|3||3|=++-z z ，则||i z +的最大值为______.答案：334练习5．（2020高联A 卷）设z 为复数．若2z z i--为实数（i 为虚数单位），则|3|z +的最小值为______．解析：设(,)z a bi a b =+∈R ，由条件知22222(2)i (2)(1)22Im Im 0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ⎛⎫--+---++-⎛⎫==== ⎪ -+-+-+-⎝⎭⎝⎭，故22a b +=．从而|3||(3)2|5z a b +=≥++=，即|3|z +≥．当2,2a b =-=时，|3|z +练习6.（2016山东预赛）=+++651arcsin 501arcsin 261arcsin 101arcsin_______.答案：4π.。
复数的几何意义与三角形式
复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。
复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。
例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。
使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。
复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。
这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。
在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。
这种形式方便了复数的乘法和幂运算。
例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。
复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。
首先，复数可以用来表示平面上的向量。
向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。
复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。
其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。
《复数的三角形式》课件
调制与解调
在通信系统中，复数的三角形式 用于信号的调制和解调过程。通 过将基带信号转换为高频载波信 号，可以实现远距离传输和高效
的频谱利用。
在量子力学中的应用
波函数的复数表示
在量子力学中，波函数通常用复 数表示。复数的三角形式为描述 粒子的状态和行为提供了方便的
数学工具。
量子态的演化
利用复数的三角形式，可以方便地 描述量子态随时间的演化过程，有 助于理解和计算量子系统的行为。
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《复数的三角形式》 ppt课件
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目 录
• 复数三角形式的定义 • 复数三角形式的运算 • 复数三角形式的应用 • 复数三角形式的扩展 • 复数三角形式的习题与解答
PART 01
复数三角形式的定义
复数三角形式的定义与表示
复数三角形式的性质
01
02
03
模长的性质
模长是非负实数，表示复 数的绝对值。
幅角的性质
幅角可以是任意实数，表 示复数在复平面上的旋转 角度。
共轭复数的性质
若$z = r(costheta + isintheta)$，则其共轭复 数为$z^* = r(cos(theta) + isin(-theta))$。
习题一：计算复数的三角形式
总结词
理解并掌握复数三角形式的计算方法
详细描述
这道题目主要考察了学生对复数三角形式的理解和计算能力。通过这道题目， 学生需要掌握如何将任意复数表示为三角形式，并能够根据给定的模和幅角计 算出对应的复数。
习题二：利用复数的三角形式进行运算
总结词
掌握复数三角形式的运算规则
高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式
高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式复数是数学中的一个重要概念，在高中数学中也是一个必学的知识点。
复数的指数形式和三角形式是复数的两种表示形式。
本文将对复数的指数形式和三角形式进行详细的总结与说明。
一、复数的指数形式复数的指数形式是指将复数表示为e的幂形式，即z = a + bi可以表示为z = re^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。
1. 模长的计算模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。
2. 辐角的计算辐角θ表示复数与实轴的夹角，可以通过使用反三角函数计算得出。
具体计算方式如下：θ = atan(b/a) (a > 0)θ = atan(b/a) + π (a < 0)θ = π/2 (a = 0, b > 0)θ = -π/2 (a = 0, b < 0)其中，atan为反三角函数，表示反正切函数。
3. 复数的指数形式表示将模长和辐角代入复数的指数形式z = re^(iθ)中，即可得到复数的指数形式表示。
二、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为三角函数的形式，即z = a + bi可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
1. 模长的计算与指数形式相同，模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。
2. 辐角的计算与指数形式相同，辐角θ表示复数与实轴的夹角，具体计算方式如上所述。
3. 复数的三角形式表示将模长和辐角代入复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)中，即可得到复数的三角形式表示。
三、指数形式与三角形式的相互转换复数的指数形式和三角形式可以相互转换，转换方式如下：1. 从指数形式转换为三角形式给定复数的指数形式z = re^(iθ)，可以得到其三角形式表示为z =r(cosθ + isinθ)。
2. 从三角形式转换为指数形式给定复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)，可以得到其指数形式表示为z = re^(iθ)。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
1复数的概念及其几何意义ppt课件
复数的共轭与逆
复数的共轭
复数 $z = a + bi$ 的共轭定义为 $a - bi$，记作 $overline{z}$。 共轭复数是实部相等、虚部互为 相反数的两个复数。
复数的逆
对于非零复数 $z = a + bi$，其 逆定义为 $frac{1}{z} = frac{a bi}{a^2 + b^2}$。逆复数是满足 $z times frac{1}{z} = 1$ 的复数 。
表示变换
通过复变函数可以实现平面上的 变换，例如共形映射可以实现将
一个区域映射到另一个区域。
2023
PART 05
复数在物理和工程中的应 用
REPORTING
复数在电路分析中的应用
描述交流电路中的电压和电流
在交流电路中，电压和电流通常表示为复数形式，其中实部表示幅度，虚部表示相位。通过使用复数，可以方便地描 述交流信号的幅度、频率和相位等特性。
除法规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c+di}{a+bi} = frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} = frac{ac+bd}{a^2+b^2} + frac{bcad}{a^2+b^2}i$。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
02
复数集包含了实数集和虚数集， 是实数集的扩展。
复数的表示方法
代数形式
指数形式
复数可以用代数形式表示为a+bi，其 中a为实部，b为虚部。
高三数学复数知识点总结图
高三数学复数知识点总结图复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
一、复数的定义和性质1. 复数定义：复数可以表示为实部和虚部的和，例如z = a + bi。
2. 实部和虚部：实部为a，虚部为bi。
3. 复数相等：两个复数相等当且仅当它们的实部相等且虚部相等。
4. 复数的加法和减法：复数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。
5. 复数的乘法：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
二、复数的表示形式1. 代数形式：复数可以用a + bi的形式表示，其中a为实部，b为虚部。
2. 规范形式：复数的规范形式为a + bi，其中a和b为实数，且a和b满足一定条件。
三、复数的运算法则1. 加法和减法：复数的加法和减法可以通过将实部和虚部分别相加或相减得到结果。
2. 乘法：复数的乘法可以通过分配律展开，并利用i的性质进行化简。
3. 除法：复数的除法可以通过将分子和分母同时乘以共轭复数来进行化简。
四、复数的模和幅角1. 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，可以用|z|表示。
复数z的模为|z| = √(a² + b²)。
2. 复数的幅角：复数的幅角表示复数与实轴正方向的夹角，可以用arg(z)表示。
复数z的幅角为arg(z) = arctan(b/a)。
五、复数的共轭和相反数1. 共轭复数：复数z的共轭复数记为z*，即z* = a - bi。
共轭复数与原复数的实部相同，虚部的符号相反。
2. 相反数：复数的相反数记为-z，即-z = -a - bi。
相反数与原复数的实部和虚部都取相反数。
六、复数的乘方和根1. 复数的乘方：复数的乘方可以通过将复数展开成三角形式，利用Euler公式进行计算。
2. 复数的n次方根：复数的n次方根可以通过求解关于复数的方程来计算，其中n为正整数。
七、复数在几何中的应用1. 复平面：复平面是将复数与Cartesian坐标系相对应的平面。
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
高三数学 复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义 知识精讲
高三数学复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义 知识精讲一. 复数的概念1. 复数、实数、虚数、纯虚数的概念2. 两复数相等的充要条件a bi c di a cb d a bcd R +=+⇔==∈且（）,,, 3. 复数是实数、虚数或纯虚数的充要条件 设z a bi a b R =+∈（），则, z R b z z z b z a b z z z ∈⇔=⇔=-⇔≠⇔=≠⇔+-=≠000000；为虚数；为纯虚数且（）.4. 共轭复数的概念和性质 z z z z z z ==⋅-==-；；22 z a bi a b R z z a z z bi =+∈⇒+-=--=(,),.22z z z z z z z z z z z z z z zz z 121212121212121220+=-+--=---=-⋅-=≠（可推广到有限个）；；（可推广到有限个）。
（）().5. 复数的辐角和模的性质，向量长度 复数辐角的概念及辐角主值X 围； 复数模的性质：a bi a b +=+22 （1）z z =-||；（2）z z z z z z 121212-≤+≤+； （3）z z z z 1212⋅=⋅； （4）z z z z z 121220=≠().二. 复数的三角形式1. 复数三角形式的特点；2. 复数的代数形式与三角形式的互化；3. 复数的模和辐角（主值）复数的辐角或辐角主值及其X 围的确定有以下三种常用的方法： （1）将一个复数表示为三角形式后再确定； （2）利用复数乘除法的几何意义；（3）利用复数与复平面上的点或向量的对应关系及数形结合，转化为几何问题。
4. 注意以下两点：（1）复数z r i =+(cos sin )θθ是一个三角形式所必须满足的三条件： （a ）r b z r r ≥0；（）的实部是，虚部是；cos sin θθ（c ）它们分别是同一个角的余弦和正弦。
（2）复数辐角主值的X 围是02≤<arg z π在解题时，必须注意这一点。
复数知识点总结
复数知识点总结一、复数的定义复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 均为实数，＄i$ 为虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
例如：＄3 ＋ 2i$ ，其中 3 是实部，2 是虚部。
二、复数的表示形式1、代数形式就是我们常见的＄a ＋ bi$ 。
2、几何形式在平面直角坐标系中，以＄x$ 轴为实轴，＄y$ 轴为虚轴，复数＄a ＋ bi$ 可以用点＄（a, b)＄来表示。
3、三角形式复数＄z ＝ a ＋ bi$ 可以表示为＄z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＄，其中＄r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄称为复数的模，＄＼theta$ 称为复数的辐角。
4、指数形式根据欧拉公式＄e^｛i\theta} ＝＼cos\theta ＋ i\sin\theta$ ，复数可以表示为＄z ＝ re^｛i\theta}＄。
三、复数的运算1、加法＄（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$例如：＄（3 ＋ 2i) ＋（1 4i) ＝ 4 2i$2、减法＄（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i$例如：＄（5 ＋ 3i) （2 i) ＝ 3 ＋ 4i$3、乘法＄（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i$例如：＄（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i) ＝－4 ＋ 7i$4、除法＄＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋d^2}i$例如：＄＼frac{1 ＋ 2i}｛1 i} ＝＼frac{3}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i$四、复数的模复数＄z ＝ a ＋ bi$ 的模为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式
高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式复数是高中数学中重要的概念之一，它在解决实际问题中有很大的作用。
本文将从复数的定义开始，详细介绍复数的三角形式和指数形式以及它们的运算规则。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常用字母z表示。
复数可以表示为z = a + bi，其中a和b分别是实部和虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
实部和虚部都是实数。
二、复数的三角形式复数的三角形式（也称极坐标形式）可以将复数表示为模和幅角的形式。
设z = a + bi是一个复数，它可以用模r和幅角θ表示，即z =r(cosθ + isinθ)。
其中，r为复数的模，θ为复数的幅角。
三、复数的指数形式复数的指数形式可以将复数表示为以e为底的指数函数的形式，即z = re^(iθ)。
其中，r是复数的模，θ是复数的幅角，e是自然对数的底。
复数的指数形式与三角形式是等价的，可以相互转换。
四、复数的运算规则1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可，得到的结果仍为复数。
2. 复数的乘法：将复数的模相乘，幅角相加。
3. 复数的除法：将复数的模相除，幅角相减。
4. 复数的乘方：将复数的模的乘方，幅角乘以指数。
五、复数的应用复数在工程学和物理学等领域有广泛的应用。
在交流电路中，复数可以描述电压和电流的相位关系；在振动学中，复数可以描述振动的频率和幅度。
六、小结通过本文的介绍，我们了解了复数的定义、三角形式和指数形式以及它们的运算规则。
复数作为高中数学的基础知识，具有重要的理论意义和实际应用价值。
掌握复数相关的知识，有助于我们更好地理解和应用数学。
ending:这篇文章详细介绍了高中数学知识点中的复数及其运算规则，包括复数的三角形式和指数形式。
通过学习和掌握复数的知识，我们能够更好地理解和应用数学。
希望本文对读者在高中数学学习中有所帮助。
复数的三角形式及运算通用课件
加法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$的 和为 $z_1+z_2=7(cos(frac{pi}{3}+frac{pi}{4})+ isin(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}))$。
幅角的取值范围
幅角的取值范围是[0, 2π)，并且对于 任意非实数z，其幅角是唯一的。
共轭复数的性质
共轭复数的定义
如果复数z=a+bi，那么它的共轭复数是z*=a-bi。
共轭复数的性质
共轭复数的模相等，即|z|=|z*|=sqrt(a^2+b^2)。
04
复数三角形式的实际应用
在电路分析中的应用
theta_1} + r_2^n e^{i n theta_2}$
应用
03
幂运算性质在解决复数幂运算问题中非常有用，如求解复数方
程、计算复数幂级数等。
THANKS
感谢观看
复数三角形式的加法和减法运算
加法运算规则
根据复数三角形式的定义，两个复数 $z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1)$和 $z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2)$的和 为 $z_1+z_2=r_1(costheta_1+isintheta_1)+ r_2(costheta_2+isintheta_2)$。
VS
除法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$ 和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$ 的商为$frac{z_1}{z_2}=frac{3}{4}(cos(frac{7pi}{12})+isin(-frac{7pi}{12}))$。
复数复数的三角表示pptx
在交流电路中，通过使用复数三角 表示，可以更容易地计算出负载和 源之间的阻抗匹配，从而提高电路 的性能。
在信号处理中的应用
信号调制
在信号处理中，可以使用复数三角表示来调制信号，例如使用正 弦和余弦波来调制信号，以实现更高效的信号传输。
滤波器设计
通过使用复数三角表示，可以设计出更精确的滤波器，从而更好 地过滤噪声和干扰。
对复数三角表示的总结
复数三角表示的背景
复数是一种扩展实数系统的数，它包括实数和虚数。三角表示是一种将复数表示为三角函数的形式。
复数三角表示的优点
三角表示具有一些优点，例如它可以方便地表示复数的领域中的应用价值。
复数三角表示的公式和定理
复数三角表示主要包括正弦、余弦和正切等三角函数。这些函数可以用欧拉公式和复数的乘法、加法运算进行表示。此外 ，还有一些关于复数三角表示的基本定理和公式，例如棣美弗定理和欧拉公式。
02
03
纠缠态描述
在量子力学中，纠缠态是一种重要的 概念。通过使用复数三角表示，可以 更容易地描述纠缠态的性质和演化。
04
复数三角表示的进一步讨 论
复数的指数表示
定义
复数z的指数表示形式为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r为z的模，θ为z 的辐角。
性质
指数表示形式具有旋转不变性，即若z=r(cosθ+i sinθ)，则z的旋 转不变量为arg(z)。
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是一个重要的技术。通过使用复数三角表 示，可以将信号转换为频域表示，从而更容易地分析信号的频率成 分。
在量子力学中的应用
量子态描述
在量子力学中，可以使用复数三角表示来描述量子态， 例如使用波函数来描述粒子的状态。
高中复数的知识点
高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。
＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。
二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。
复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。
复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。
2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。
3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。
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高三数学 复数的概念、复数的三角形式、复数的几何意义 知识精讲一. 复数的概念1. 复数、实数、虚数、纯虚数的概念2. 两复数相等的充要条件a bi c di a cb d a bcd R +=+⇔==∈且（）,,, 3. 复数是实数、虚数或纯虚数的充要条件 设z a bi a b R =+∈（），则,z R b z z z b z a b z z z ∈⇔=⇔=-⇔≠⇔=≠⇔+-=≠000000；为虚数；为纯虚数且（）.4. 共轭复数的概念和性质z z z z z z ==⋅-==-；；22 z a bi a b R z z a z z bi =+∈⇒+-=--=(,),.22z z z z z z z z z z z z z z zz z 121212121212121220+=-+--=---=-⋅-=≠（可推广到有限个）；；（可推广到有限个）。
（）().5. 复数的辐角和模的性质，向量长度复数辐角的概念及辐角主值范围； 复数模的性质：a bi a b +=+22 （1）z z =-||；（2）z z z z z z 121212-≤+≤+； （3）z z z z 1212⋅=⋅； （4）z z z z z 121220=≠().二. 复数的三角形式1. 复数三角形式的特点；2. 复数的代数形式与三角形式的互化；3. 复数的模和辐角（主值）复数的辐角或辐角主值及其范围的确定有以下三种常用的方法： （1）将一个复数表示为三角形式后再确定； （2）利用复数乘除法的几何意义；（3）利用复数与复平面上的点或向量的对应关系及数形结合，转化为几何问题。
4. 注意以下两点：（1）复数z r i =+(cos sin )θθ是一个三角形式所必须满足的三条件： （a ）r b z r r ≥0；（）的实部是，虚部是；cos sin θθ（c ）它们分别是同一个角的余弦和正弦。
（2）复数辐角主值的范围是02≤<arg z π在解题时，必须注意这一点。
（三）复数的几何意义 1. 主要内容（1）掌握复数在平面上的几何表示；（2）熟悉复平面内常见的轨迹的复数方程，加深对复数的模及辐角概念的直观理解。
2. 重点难点（1）复平面上的图形和轨迹问题，即如何根据复数z 所满足的条件来确定其对应点集的图形和轨迹。
（2）探求复平面内点集的形状或轨迹一般有以下两条途径：①设z x yi x y R x y =+∈(,),根据条件求得关于方程（即轨迹的普通方程）；②结合复平面上的基本轨迹方程，运用整体思想，寻求复数z 所具有的特征或满足的方程。
1. （上海高考题）已知复数z z z z z z i z z 1212121211232,满足且，求，值。
==+=+ ［解析］由题意可设z i z i 12=+=+cos sin ,cos sin .ααββz z i 12221232121322121212312221242222325+=+∴+=+=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪+-=-+=-+-=+-=,c o s c o s ,s i n s i n .c o s (),c o s c o s s i n s i n c o s c o s ,s i n c o s ,αβαβαβαβαβαβαβαβαβ（）（）由（）（）得即，（）由（）得（）由（）得（）（）（）得，所以即，（）（）（）得，或将代入（）得又则将代入（）得。
而代入（）得不合，舍去。
当同理可得，542312126362000023201111211320123212÷+=+=--=--=∴======±= =-=-=-==-+=tancos(),cos cos sin sin sin sin sin sin .sin sin sin ,cos cos cos cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαααβαββz i z 1,说明：本题主要考查了复数的模，三角形式以及有关三角恒等变换的知识，考查学生的综合思维和运算能力，对考生的数学素质要求较高。
［范题2］（1995·全国）求复数z z 2+的模和辐角。
［解析］z z i i 22+=+++(cos sin )cos sin θθθθ=+++=+++=+=+=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥+-+∈∴∈∴->+--cos sin cos sin (cos cos )(sin sin )cos cos (sin cos )cos (cos sin )cos cos()sin()(,),(,),cos ,cos 22222322232222323222323222222022212θθθθθθθθθθθθθθθθπθπθθππθππθθi i i i i i z z k 所以复数的模为，辐角为（）πθ+∈32()k Z本题主要考查模与辐角的概念和求法，及基本运算能力。
［范题2］（1992·全国）已知复数z 的模为2，则z i -的最大值为（）A. 1B. 2C. 5D. 3［解析］解法1： z z i z i =∴-≤+=23，. 故选D 。
解法2：设ωω=-+=z i i z 则,∴-+==ωi z 2而ω--表示以点（，）为圆心，以为半径的圆，由图知，圆上到原点的距离以0122OP 为最大，最大值是3，故选D 。
χ图1χ图2说明：求模的最值要注意模的几何意义的应用。
数形结合的思想方法在这里得到了完美的体现，考生应具备这方面的素养与意识。
3. （96全国4）复数（）（）等于221342++i iA. 13+iB. -+13iC. 13-iD. --13i解析：方法一：222244+=+i i （）cos sinππ故()(cos sin )22246+=+=i i ππ -⋅-2136i =233(cossin )ππ-i 故()cos sin132535355-=+i i ππ于是-+-=-+()()(cos sin )22132535324565i i i ππ=--=-+2123213()i i B 故选。
方法二：原式=+--+=--+16121232122123245522（）i i i i ()()() =--=-+=--=-+∴21232413413413i i i iB ()应选。
方法三：22+i 的辐角主值是45 ，则（）的辐角是，22180134+-i i 的一个辐角是-60 。
则()()133********--+-5i i i 的辐角是，所以（）的一个辐角是480 ，它在第二象限从而排除A 、C 、D 选B 。
说明：本题主要考查了复数的基本概念和运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示，考查了学生观察问题、思考问题、分析问题的能力。
例 1. 设复数z m m m m i =--+++lg()()222232，试求实数m 取何值时，（1）z 是纯虚数；（2）z 是实数；（3）z 对应的点位于复平面的第二象限。
解：（1）由得lg()m m m m m 222203203--=++≠⎧⎨⎪⎩⎪= （2）由得或m m m m 232012++==-=- （3）由lg()m m m m 22220320--<++>⎧⎨⎪⎩⎪得-<<-+<<113133m m 或说明：对复数的分类条件要注意其充要性对复数相等，共轭复数的概念的运用也是这样。
例2. 设z 是虚数，ω=+z z1是实数，但-<<12ω （1）求z z 的值及的实部的取值范围。
（2）设，求证：为纯虚数u zzu =-+11 （3）求的最小值ω-u 2 分析：此题考查复数的概念，复数、不等式的综合运用，考查学生解综合题的能力。
（1）解：设z a bi a b R b =+∈≠(,,)0则i b a bb b a a a bi a bi a )()(12222+-+++++++=ω因为ω是实数， b a b z a a a ≠+===-<=<-<<011212212122，所以，即，于是，||,ωω,所以z 的实部的取值范围是（）-121, （2）证明：u z z a bi a bi a b bia b=-+=--++=---++11111212222() =-+∈-≠b a i a b u 11210因为，，，所以为纯虚数。
() （3）解：ω-=++=+-+u a b a a a a 2222221211()()=--+=-++=+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥-211212121113a a a a a a a () 因为a a ∈-+>()12110，，所以故ω-≥⋅+⋅+-=-=u a a 2221113431() 当即时取得最小值a a a u +=+=-111012ω 说明：本题表面上是考查复数的有关概念，但实质上是借复数的知识考查学生的化归能力、考查均值不等式的应用，综合考查学生运用所学知识解决问题的能力是高考改革的方向。
例3. 已知∆ABC A B C 的三内角、、满足s i n(c o s c o s )s i n s i n A B C B C ⋅+=+ 设复数求的值。
z i z B i B z C i C z z z 1231230222=+<<≠=+=⋅+⋅cos sin (),().(cos sin ),(cos sin )arg()θθθπθπ解：由sin (cos cos )sin sin A B C B C ⋅+=+得222222s i n c o s c o s s i n c o sA B C B C B C B C+-=+- 又s i n s i n c o s c o s s i n A A A B C A=+=22222s i n c o s c o s c o s B C A B C B C+=-+≠2222∴==-=-+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥0<<⋅-=+<<⋅-=-s i n c o s ()s i n ()arg()arg()21231231232122222223222A A z z z i z z z z z z ，即从而当时，当时πθπθπθπθππθπθπ说明：复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青睐，本题的突破口在于对sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+的处理，一般要用和差化积或积化和差公式。
例4. 已知复数z z 12,的辐角分别为θθ12,，且z z i 125+=，z z 1214⋅=,求cos()θθ12-的最值以及取得最小值的复数z z 12,。