立体几何中点的轨迹问题

PF⊥于ABC于F，连接FG，则∠PGF是二面角V—AB—C的平面角， 由题设知VP=PF，
而sin∠PGF是一个小于1的正常数，即动点P到定点V和到 定直线AB的距离之比为一个小于1的正常数，所以P点的轨迹是 椭圆的一部分。
二、动点为空间中的动点 动点为空间的点，它的轨迹就可能是直线、平面或曲面， 在中学最大的可能是球面，例如到正方体相连三个面的距离都 相等的点的轨迹就是正方体的对角线;到空间两点距离相等的点 构成一个平面;在平面同侧且到平面距离相等的点在一个与已知 平面平行的平面上;到一条直线的距离相等的点构成一个圆柱 面;当然，到一定点距离为定值的点构成一个球面，等等。 例5．在正方体ABCD—EFGH中，棱长为2，M在DH上，N在面 ABCD上，MN=2，P点为MN的中点，求P点的轨迹与正方体的面围 成的几何体的体积。
例3．如图正方体中， 点P在面A1B上，满足P到A1D1 和P到BB1的距离相等。求点P 的轨迹。
解析:P到A1D1的距离就 是P到点A1到距离，在平面A1B 上，动点P到定点A1的距离等 于它到定直线BB1的距离，由 抛物线的定义知P点的轨迹 是抛物线的一部分。
例4．如图所示，正 三棱锥V—ABC中，点P在侧 面VAB上，且点到底面ABC 的距离等于它到顶点V的距 离，求P点轨迹。
数学教研
立体几何中点的轨迹问题
◇ 杜永明
点的轨迹问题是平面解析几何中的一个重要内容，对于大 多数学生来讲都是很难解决的，如果把问题与立体几何结合即 探求空间某点的轨迹，可以说是难上加难！在此本文仅以几个 例子说明空间点的轨迹问题的解决方法，以期能抛砖引玉，给 广大学生一些启示。
一、动点在几何体的某个面上 如果动点在几何体的某个面上，则它的轨迹就与平面解析 几何中的轨迹问题相同，就可能是直线和圆锥曲线等，不过往 往是其中的一部分而已。 例1．动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的ABB1A1面上，且 PB=PB1，则P点的轨迹是 线段BB1的垂直平分线。 例2．如图ABCD 为直角梯形，∠ ABC=90°，AD⊥面PAB， AD=4，BC=8，∠APD=∠ BPC，求P点的轨迹。
解析:作PG⊥AB于G，
解析:连结DN，则三角形MDN为直角三角形，于是 ，即点P到定点D的距离为定值1，所以P点的轨
迹是一个球，此球面与正方体围成的部分只有球的 ，所以所
求体积
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小结: 空间中点的轨迹问题的解决，需要我们对解析几何中的 轨迹问题有很牢固的基础，同时还考查了学生的观察能力和空 间想象能力，需要学生仔细寻找动点与定点或定直线之间的关 系。考试中题目一般出现在选择或填空题之中，不是很难解 决，但由于它综合了解几和立几两部分的内容，大家应该引起 注意，多多关注一下！
(作者单位:重庆市涪陵区第七中学校)
2011.NO35 71