概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验

设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=.

解：（1）是简单假设，其余位复合假设

设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9

(,)25

N ξμ~ 在0H 成立的条件下，

000

53(||)(||)53

521()0.05

3c

P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡

⎤=-Φ=⎢⎥⎣

⎦

55(

)0.975,1.9633

c c

Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2

(,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ，

（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；

（2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2

00(,

)n

N σξμ~，此时

00000()P c P ξαξ=≥=

10

αμ-=

，由此式解出010c αμμ-=

+

在1H 成立的条件下，2

0(,

)n

N σξμ~，此时

1010

10

()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ-

由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为

10

0.9511(0.650.51(3)

0.2

1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-

=-Φ-=Φ=

设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设：

0011101

201

:():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨

⎨⎩⎩

其他其他

试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为

1()0x c

x φ∈⎧=⎨⎩

其他（c 为检验的拒绝域）

0101011

1

1

2()2()

()2[1()]()2[1()]

()2(12())

2(14)()P x c P x c P x c P x c E x E x x dx x x dx x x dx

αβφφφφφ+=∈+∈=∈+-∈=+-=+-=+-⎰⎰⎰

要使2min αβ+=，当140x -≥时，()0x φ= 当140x -<时，()1x φ=

所以检验函数应取114

()1

04

x x x φ⎧

≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，此时，10722(14)8x dx αβ+=+-=⎰。

设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显着性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时

解 总体2(,150)N ξμ~，对假设，0:1600H μ=，采用U 检验法，在0H 为真时，检验统计量

1.2578u =

=

临界值1/20.975 1.96u u α-==

1/2||u u α-<，故接受0H 。

某电器零件的平均电阻一直保持在Ω，根方差保持在Ω，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为Ω，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显着差异去显着性水平α=。

解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量ξ，则E ξμ=未知，2(0.06)D ξ=， 假设为 0: 2.64H μ=，统计量 3.33u ξ=

=-

由于1-/20.995 2.10||u u u α==<，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显着差异。 （1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间

2(20.81.8)N ξ:，,新安眠剂的睡眠时间2()N ημσ:，，为检验假设

01:23.8:23.8

H H μμ=<

从母体η取得的容量为7的子样观察值计算得

%24.2x = *2 5.27n

s = 由于

η的方差2

σ

未知，可用t 检验。

t 0.461n x === 0.10a =取 0,10(71) 1.4398t t -=-<

所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。

（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间η的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间ξ的方差一致，即检验假设

220:(1.8)H σ=。

用2

χ-检验，

*2

2

2

2

(1)6 5.279.76(1.8)

n

n s χσ-⨯=

==。 取2

2

0.060.05=(6)=1.635(6)=12.592αχχ0.10，，

2220.060.05(6)(6)χχχ<<

所以接受0H ,不能否认ξη和方差相同。如认为η的方差2σ

u 0.18=

=

取=α0.10，0.10

0.101.27,u u u =->，所以接受0H 。