从身边实例探究概率的起源与发展

从身边实例探究概率的起源与发展

——感悟数学之美，体验智慧飞扬

摘要：从生活中常见的“有奖抽签”入手，引出对概率问题的探索。将概率的发展历程分为四个阶段，分别介绍各个阶段的主要成就及代表人物。最后结合探究概率起源与发展的经历，简要概括个人对数学之美的感悟。

关键词：抽签；概率；起源；发展

生活中我们经常看到这样的情景：街头有人席地设摊，招牌上醒目地写着：“有奖抽签销售”，任何人都可以免费从摊主小布口袋中的20个小球（其中有10个红球，10个蓝球）中摸出10个，除摸得5红5蓝这种情况外，其他各种情况均可马上获得奖金（或实物）。奖金设置如下：摸得10红或10蓝者奖50元；摸得9红1蓝或9蓝1红者奖25元；摸得8红2蓝或8蓝2红者奖5元；摸得7红3蓝或7蓝3红者奖1.5元；摸得6红4蓝或6蓝4红奖0.5元。但摸得5红5蓝者必须用6元钱向摊主购买两双袜子。①

很多路人都会被这“优厚的待遇”所冲昏头脑，心想这种抽签不是明摆着给顾客送钱吗？于是一时窃喜，连忙参加这一看上去稳赚不赔的抽签活动。可是冷静下来想一想，这种免费抽签究竟谁获利呢？摊主究竟是真傻呢还是大智若愚呢？要研究这个问题，就会利用到概率知识。那么什么是概率呢？概率是怎样发展起来的呢？根据笔者所搜集的资料，本文主要从这两方面来探究概率的起源与发展。

概率论是一门从数量侧面研究随机现象规律的数学分支。其理论严谨，应用广泛，发展迅速。从历史发展的角度，概率的发展史大致可分为四个阶段，即方法积累阶段、理论概括阶段、系统整理阶段和公理体系阶段。以下我将分别介绍这四个阶段概率论的发展概况，代表人物，主要成就以及四个阶段之间的理论继承与创新关系。

第一阶段：概率论的萌芽——方法积累阶段

说到概率论的起源，就不得不提到历史上著名的“赌徒的难题”。公元1651年，赌徒德·梅尔向数学家帕斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。问题是这样的：一次德·梅尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·梅尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·梅尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·梅尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？

赌友说，德·梅尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·梅尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·梅尔得三分之二。德·梅尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一②。

德·梅尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当时号称数坛“怪杰”的费尔马，两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被荷兰科学家惠更斯获悉，他独立地进行了研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中

①引自《谁获利？》，论文网，2000年

②引自《概率发展简史》

的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期虽然没有明确概率的定义，但已给出了概率、数学期望等基本概念的雏形。不过当时研究的主要是古典概率，这一时期被称为组合概率时期。

第二阶段：概率论的确立——理论概括阶段

继帕斯卡、费尔马和惠更斯之后，瑞士数学家族——贝努力家族的几位成员为概率论这一新兴学科做出了重大贡献，推动概率论进入一个崭新阶段。使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人就是瑞士数学家雅各布第一·伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数律；该定理断言:设事件a的概率p(a)=p(0

式中ε为任一正实数。这一结果发表于他死后8年(1713)出版的遗著《推测术》中。这

里所说的事件的概率,应理解为事件发生的机会的一个测度,即公理化概率测度。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也地参与了概率问题的研究。他提出并解决了赌博游戏中遇到的很多问题。

1716年前后,法国数学家棣莫弗对p =1/2情形,用他导出的关于n!的渐近公式

(，即所谓斯特林公式)进一步证明了渐近地服从正态分布。棣莫弗的这一结果后来被法国数学家p.-s.拉普拉斯推广到一般的p(0

第三阶段：概率论的飞跃——系统整理阶段

19世纪初，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。拉普拉斯对概率论的发展贡献很大。他在系统总结前人工作的基础上，写出了《分析概率论》。这本书被称为古典概率论系统理论的经典之作。在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数等，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，把棣莫弗的结论推广到一般场合，建立了观测误差理论和最小二乘法。

另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定律及中心极限定理。除了拉普拉斯和泊松，数学家高斯也为这一时期概率论的发展做出了不可磨灭的贡献。总之，19世纪是概率论发展的一个黄金时期，概率论中很多重要的定理都是这一时期确立的。这一时期概率论在统计物理学中的应用及概率论的自身发展已突破了概率的古典定义，但关于概率的一般定义则始终未能明确化和严格化。

第四阶段：概率论的升华——公理体系阶段

由于科学技术发展的迫切需要，概率论在20世纪再度迅速地发展起来。1906年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1917年，伯恩斯坦构造了概率论的第一个公理化体系。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。然而这些理论都没有真正触及到概率论公理化体系的实质内容。

20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书

③参考《拉普拉斯早期概率思想的发展》，王幼军