概率论及数理统计答案中国纺织大学出版社(东华大学出版社)Word版

第三章 连续型随机变量及其分布

习题3.1（p.86）

1、 设随机变量ξ的分布律如下表所示，

试求ξ的分布函数，并利用分布函数求{}20≤≤ξP 。

解：()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥

<≤<≤<≤<=27127385

3

124111031

00

x x x x x x F

{}{}{}()()()()24

11

02411000220020=

-=-+-=≤<+==≤≤-

F F F F P P P ξξξ 2、 函数x sin 在下列范围内取值

⑴ []2/π,0；⑵ []π,0；⑶ []2/π3,0； 它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？

解：作为连续型随机变量的密度函数，()x f 在定义范围内满足

①()0≥x f ； ②

()1d =⎰+∞

∞

-x x f

⑴ 1d sin 2

π

=⎰

x x 且当[]2/π,0∈x 时，0sin ≥x ，

故可作为连续型随机变量的密度函数； ⑵ 12cos d sin π

0π

0≠=-=⎰

x x x ，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；

⑶1cos d sin 23π0

2

3π

=-=⎰

x

x x ，但当[]2/π3,π∈x 时，0sin

随机变量的密度函数。

3、 要使下列函数成为密度函数，问式中的参数c b a ,,应满足什么条件（21,l l 是已知数）？

⑴ ()()

⎩⎨

⎧>=-其它

e c

x a x f c x b ； 解：()()

()

()b

a b a b

a x a x x f c

b c

c x b c

c x b c

-=

⋅===

-∞+∞+-+∞

-+∞

⎰⎰

e e 1

d e

d 1 c b

a

b ,1,0=-<∴任意。 ⑵ ()⎩

⎨

⎧≤≤-=其它

2

1l x l b x a x g

解：()⎰⎰-==

+∞

∞

-2

1

d d 1l l x b x a x x g

①1l b <，()()2

1

21

2

d 12

l l l l b x a x b x a -⋅

=-=⎰， ()()

[

]22

12

2=---∴b l b l a

②21l b l <≤，()()()()⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡-+

--

⋅=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡-+-=⎰⎰2

1

212

2d d 122l b

b

l l b b l b x x b a x b x x x b a ()()

[

]22

12

2=-+-∴b l b l a

③2l b ≥，()()()

2

1

2

1

12

d 12

l l l l x b a x x b a --⋅

=-=⎰

， ()()

[

]22

22

1=---∴l b l b a

4、 设连续型随机变量ξ的分布函数为

()1

100,1,

,03

≥<≤<⎪⎩

⎪⎨⎧=x x x Ax x F ⑴求常数A ； ⑵求ξ的密度函数； ⑶求{

}5.0>ξP ，{}13.0≤≤ξP ，{}43>ξP 。

解：⑴ ()x F 连续，()()111

===+

-

F F A ，1=∴A

⑵ ()()⎩⎨

⎧<≤='=其它

1032

x x x F x f

⑶ {}875.0d 35.015

.031

0.5

2

==>⎰

x

x x P ＝ξ {}973.0d 313.01

3

.02==≤≤⎰x x P ξ

{}

{

}{}64

37d 34343431

4

3

2

==-<+>=>⎰

x x P P P ξξξ 5、 设随机变量ξ的密度函数为

()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-

,e 0

,042x Kx x x f x ⑴求未知常数K ； ⑵求{}11≤≤-ξP 。

解：⑴ ()K K x K x Kx x x f x x x 2e 24d e

2d e

d 10

4

2

4

4

2

22=⋅-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--===

+∞

-

∞

+-

∞

+-

∞

+∞

-⎰⎰⎰

2

1=

∴K ⑵ {}4

11

4

4

1

e

1e

d e

21122

-

-

-

-=-==≤≤-⎰x x x x

P ξ

6、设随机变量ξ的密度函数为

⑴()⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤-=其它,02

π2π,cos 21

x x x f ⑵()⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤<≤--+=其它1001,0,1,1x x x x x f 求ξ的分布函数()x F ，并画出()x f 和()x F 的图形。 解：()()⎰∞

-=

x

t t f x F d

⑴ 2π

-

-x

t x F

2

π

2π<≤-x ，()()1sin 21sin 21d cos 212

π2

π+===

-

-

⎰x t t t x F x

x

2

π

≥x ，()1sin 21d cos 212π

2

π2

π

2

π===

--

⎰t t t x F