相似三角形测量高度
《用相似三角形测量高度》课件
底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度。
12
BE
D
A 平面镜
P103
B
E
D
利用镜子的反射.
测量数据：身高AB、人与镜子间的距离BE、
旗杆与镜子间距离DE.
找相似：△ABE∽△CDE.
找比例： AB EF
C
CD BC
C
导学案57
A
A
BE
D
D
E
B
四、利用相似三角形测高的解题思路 1、找（构造）相似三角形： 2、写比例式：
5.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个 目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC， 然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D， 此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度
AB.（精确到0.1米）
A
D
C
B
E
解：∵∠ADB=∠EDC
A
∠ABD=∠ECD=90゜
B
∴⊿ABD∽⊿ECD
（两角分别相等的两个三角形相似），
∴
AB EC
BD CD
,
解得 AB BD EC 11850 96.7(米)
CD
61
答：河的宽度AB约为96.7米.
DC E
6.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5 米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时， 因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分 影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
用相似三角形测量高度
台北101大楼
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
讲授新课
运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
4.6利用相似三角形测高度(教案)
2.教学难点
-理解相似三角形在实际测量中的运用：学生可能难以将理论知识与实际情境联系起来，不知道在什么情况下可以使用相似三角形进行测量。
-实际测量中的数据获取与处理：在实际操作中，如何准确地获取标杆与影子长度、测量角度等数据，以及如何处理这些数据以得到正确的计算结果，是学生面临的难点。
五、教学反思
在完成本节课“利用相似三角形测高度”的教学后，我对整个教学过程进行了深刻的反思。首先，我发现学生在理解相似三角形性质方面存在一定难度，他们在将理论知识与实际应用结合起来时，往往感到困惑。这让我意识到，在以后的教学中，需要更加注重理论知识与实践操作的相结合，让学生在实际操作中感受几何知识的应用。
在学生小组讨论环节，我发现同学们对于相似三角形在实际生活中的应用有着丰富的想象力，他们能够提出很多有趣的观点和想法。但在分享成果时，部分同学的表达能力还有待提高。为了改善这一情况，我将在以后的教学中，多给学生提供表达和展示自己的机会，培养他们的语言组织和表达能力。
此外，我还注意到，部分学生在总结回顾环节提出的问题具有很高的价值，说明他们在课堂上认真思考，积极参与。为了鼓励这种学习态度，我将在今后的教学中，更加关注学生的疑问，及时解答，帮助他们巩固所学知识。
4.6利用相似三角形测高度（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第四章第6节“利用相似三角形测高度”。教学内容主要包括：1.理解相似三角形在实际测量中的应用；2.学会使用相似三角形的性质解决实际问题，特别是测量物体的高度；3.通过实例，掌握使用标杆、影子、角度等测量方法，运用相似三角形的比例关系进行计算；4.能够运用所学知识解决生活中的实际问题，如测量建筑物、树木等的高度。本节内容将结合实际案例，让学生在实际操作中掌握相似三角形在测量高度中的应用。
4.6 利用相似三角形测高 课件(共26张PPT)
自主解答：解：(1)由 CD∥AB，得△FDM∽△FBG，同理由 C1D1∥AB，得△F1D1N∽△F1BG；
(2)设 BG＝x，GM＝y，由△FDM∽△FBG 得MBGD＝MFGF，即 CDB－GCM＝MFC＋EGM，所以1x.5＝2＋2 y化简得 2x－1.5y＝3，同理 △F1D1N∽△F1BG，所以1x.5＝2＋6＋3 3＋y，化简，得 3x－1.5y＝ 16.5，解两个方程所组成的方程组，得 x＝13.5，y＝16，所以 AB ＝13.5＋1.5＝15.
Байду номын сангаас
解析：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°. 由“入射角等于反射角”，得∠APB＝∠CPD， ∴△ABP∽△CDP. ∴CADB＝DBPP， ∴CD＝DBPP×AB＝132×2＝8(米)．
2．如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分别竖立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 52 米，并且 建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条 直线上；从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上，则建筑物的高是 54米 ．
解析：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴CADB＝DGD＋GBD， EAFB＝FH＋FDHF＋BD， ∵CD＝DG＝EF＝2 米，DF＝52 米， FH＝4 米，
∴A2B＝2＋2BD， A2B＝4＋524＋BD， ∴2＋2BD＝4＋524＋BD， 解得：BD＝52(米)， ∴A2B＝2＋252， 解得 AB＝54(米)．
利用相似三角形测高
9.7 利用相似三角形测高●教学目标（一）知识与能力1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）过程与方法1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感态度与价值观在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具●教具准备投影片一:（记作§2.7 A）投影片二:（记作§2.7 B）投影片三:（记作§2.7 C）投影片四:调查数据表.（记作§2.7 D）●教学过程（一）创设问题情境，引出课题今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.（对应角相等,两三角形相似;对应边成比例,两三角形相似;有两组对应边成比例且其夹角相等,两三角形相似.）（二）新课讲解首先我们应该清楚测量原理.请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§2.7 A）图4－34从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图4－34）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BCAD AB EA =可得BC =EA AD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.乙组:利用标杆.（出示投影片§2.7 B ）图4－35如图4－35，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G ,交标杆EF 于H ,于是得△DHF ∽△DGC .因为可以量得AE 、AB ,观测者身高AD 、标杆长EF ,且DH =AE DG =AB由DGDH GC FH =得GC =DH DG FH ⋅ ∴旗杆高度BC =GC +GB =GC +AD .一题多解：过D 、F 分别作EF 、BC 的垂线交EF 于H ，交BC 于M ，因标杆与旗杆平行，容易证明△DHF ∽△FMC∴由DHM FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC =MC +MB =MC +EF .图4－36［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§2.7 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC ,测出AE 、EB与观测者身高AD ，根据BCAD EB AE =，可求得BC =AE AD EB ⋅. 教师布置小组分工：同学们清楚原理后，请按我们事先分好的小组进行活动，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上地旗杆高度.（同学们紧张有序的进行测量）展示统计结果并讨论下列问题：1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？2.今天所用的三种测量方法各有哪些优缺点？通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性.（出示投影片§2.7 D ）对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论.1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.（三）.课堂练习1.高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=CB BC '' 于是得，BC =6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.2. 如图，在距离AB 18米的地面上平放着一面镜子E ,人退后到距镜子2.1米的D 处，在镜子里恰看见树顶.若人眼距地面1.4米，求树高.（四）课时小结• 本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？• 在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?你是否想到最优的方法？ • 把自己在与同伴合作交流中, 最满意的表现说给大家听听.• 你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？（五）课后作业1.习题9.10 2，3，4题2.以组为单位完成一份实践报告.（六）活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？D BACE（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。
假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。
通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。
所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。
而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。
2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。
如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。
根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。
所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。
3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。
如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。
其中，L
为相机离物体的距离。
这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。
所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。
相似三角形应用举例
相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。
一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。
这时候，相似三角形就派上用场了。
我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。
因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。
假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。
根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。
例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。
那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。
二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。
我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。
接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。
然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。
由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。
假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。
根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。
4.6用相似三角形测量高度(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角相等，பைடு நூலகம்应边成比例。相似三角形在解决实际问题中具有重要应用，如测量物体的高度。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用相似三角形测量物体的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者和协助者，鼓励学生们提出自己的观点，并帮助他们分析问题。我发现，通过这种方式，学生们能够更主动地参与到学习中，他们的思考能力和创新意识得到了提升。
最后，我意识到在总结回顾环节，需要更加注重对知识点的梳理和巩固。学生在这一环节提出了一些疑问，我尽量用简洁明了的语言解答，帮助他们理清思路。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调相似三角形的性质和测量高度的方法这两个重点。对于难点部分，如物体与观察者不在同一水平线上的情况，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与用相似三角形测量高度相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何利用相似三角形测量物体的高度。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力，使其能够运用相似三角形的性质，观察和分析现实生活中的测量问题。
2.提升学生的问题解决能力，使其能够将实际问题抽象为数学模型，运用数学知识解决测量高度的问题。
3.增强学生的数学应用意识，使其认识到数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学习数学的兴趣。
-利用相似三角形的性质，通过测量物体在同一时刻在地面上的影子长度，计算物体的高度。
利用相似三角形测高
当堂练习
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得
教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高
度应为
( A)
A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米
2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为 0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长 为 1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 (A)
在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等
式是
(C)
A．AB EF DE BC
C．AB BC DE EF
B．AB DE EF BC
D．AB AC DE DF
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学 数学知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚 阳同学站在 C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆 顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高度是___8___米．
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴ EH AH ， EK CK
即 EH 8 1.6 6.4 . EH 5 12 1.6 10.4
解得 EH=8. 由此可知，如果观察者继续前进， 当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树 的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
A
E
C B
FD G
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则 DE EF . DC CA
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
利用相似三角形测高
02 测高原理及步骤
利用相似三角形测高原理
相似三角形性质
当两个三角形对应角相等时，这 两个三角形相似。相似三角形的 对应边成比例。
测高原理
通过构造一个与待测高度相关的 相似三角形，利用已知距离和角 度信息，可以推算出待测高度。
实际操作步骤
1. 选择合适的观测点
可以计算出建筑物的高度。
确定建筑物位置
在建筑设计中，可以利用相似三 角形原理，通过已知的两个点和 角度，确定建筑物的准确位置。
评估建筑物稳定性
相似三角形可以用于分析建筑物 的倾斜度和稳定性，通过比较建 筑物不同部位的高度差和水平距 离，可以判断建筑物是否存在倾
斜或变形等问题。
航海领域应用
01
测定海上目标距离
多源数据融合提高测量精度
利用多传感器融合技术，结合相似三角形测高算法，可以 从多个角度获取测量数据，进一步提高测量精度和稳定性 。
拓展至三维空间测量
目前相似三角形测高主要应用于二维空间的测量，未来可 以将其拓展至三维空间，实现更复杂场景下的高度测量。
对个人能力提升意义
提高了分析问题和解决问题的能力
THANKS
感谢观看
注意事项
01
确保测量工具的精度和 稳定性，以减小误差。
02
在进行测量前，对测量 工具进行校准和检查。
03
选择合适的天气和时间 进行测量，避免大气折 射等因素对测量结果的 影响。
04
在计算过程中，注意单 位统一和数值准确性。
03 实际应用举例
建筑行业应用
测量建筑物高度
利用相似三角形的性质，通过测 量建筑物底部到顶部的距离和建 筑物与观测点之间的水平距离，
相似三角形应用举例(第一课时)-测量物体高度
巩固 1.如图，小明在某一时刻测量旗杆 AB的高度，测得1m的竹竿垂直地面时 的影子长1.5m，在同一时刻测量旗杆的 影子时，因旗杆靠一教学楼的墙MN较 近，旗杆底到墙根的距离BN为21m，结 果除了留在地面21m M A 长的影子外，还留在 墙上有2m高的影子 C CN，你说小明能 N 测出旗杆的高度吗？ B
3.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小 块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地 面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距 A 离是40米.求塔高AB?
解:∵∠DEC=∠ABC=90° ∠DCE=∠ACB ∴△DEC∽△ABC
AB BC DE CE
AB 40 1 .5 2
？ 1.8 60米
3米
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用“在同一时刻物高与影长成正比 例”的原理解决。 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
2.小明测得旗杆的影长为12米，同一时刻把１ 米的标杆竖立在地上，它的影长为 1.5米。于 每个星期一上午学校内的全体师生都要参加升 旗仪式，想不想测量咱们旗杆的高度呢？ 是小明很快就算出了旗杆的高度。你知道他是 怎么计算的吗？
小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼 旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分 影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影 长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
A
？
D E B 1.4 c 1.5
1.2 物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
6.4
巩固 5、如图，同学们想测量树高，在阳光下 测得长1m的竹竿影子长0.9m，同时测得 树的影子长2.7m，但不全落在地面上， 落在墙壁上的影子长1.2m，请求树高。
第1课时利用相似三角形测量高度
25．6第1课时利用相似三角形测高度知识点1利用阳光下的影子测高度1．某一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影长是0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度是()A．1.25 m B.10 mC.20 mD.8 m2．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图25－6－1)，同时测得在A处竖立的一根高2米的标杆的影长AC为3米，则楼高为()图25－6－1A．10米B.12米C.15米D.22.5米知识点2利用标杆测高度3．如图25－6－2，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm.当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为()图25－6－2A．25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm4．如图25－6－3，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m，与旗杆相距22 m，则旗杆的高为()图25－6－3A．8.8 m B.10 m C.12 m D.14 m5．如图25－6－4，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆AB的高度．已知标杆的高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，此时，旗杆顶端A、标杆的顶端C、人眼E恰好在一条直线上．求旗杆AB的高度．图25－6－4知识点3利用镜子的反射测高度6．2019·兰州如图25－6－5，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处．测得CG＝15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为()图25－6－5A．8.5米B.9米C.9.5米D.10米7．教材“做一做”变式如图25－6－6，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，若像CD的长是5 cm，则物体AB的长是()图25－6－6A．9 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm8．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图25－6－7)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，则树高为()图25－6－7A．3.25 m B.4.25 mC.4.45 mD.4.75 m9．如图25－6－8所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m.图25－6－810．如图25－6－9，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上的点C处直立高3 m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面的高度EF＝1.5 m，量得CE＝2 m，EC1＝6 m，C1E1＝3 m.(1)△FDM ∽△______，△F 1D 1N ∽△______；(2)求电线杆AB 的高度．图25－6－911．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图25－6－10，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ．已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯CD 的高．(结果精确到0.1 m)图25－6－1012．如图25－6－11所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中的数据计算两层楼之间的高度．图25－6－111．C [解析] 设该旗杆的高度为x m ，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长成正比，即有1.6∶0.4＝x ∶5，然后解方程即可．2．A [解析] ∵标杆的高标杆的影长＝楼高楼的影长，即23＝楼高15，∴楼高＝10米．故选A. 3．D4．C [解析] 因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆的高为x m ，则3.2x ＝88＋22，∴x ＝12. 5．解：过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，交CD 于点G .∵CD ⊥FB ，AB ⊥FB ，∴CD ∥AB ，∴∠EGC ＝∠EHA ，∠ECG ＝∠EAH ，∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH ，即CD －EF AH ＝FD FD ＋BD， ∴3－1.6AH ＝22＋15，∴AH ＝11.9.∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)．答：旗杆AB的高度为13.5 m.6．A[解析] 由题意知∠AGC＝∠FGE.∵∠ACG＝∠FEG＝90°，∴△ACG∽△FEG，∴ACEF＝CGEG，即AC1.6＝153，∴AC＝8，∴AB＝AC＋BC＝8＋0.5＝8.5(米)．故选A.7．D[解析] 作OE⊥AB于点E，EO的延长线交CD于点F. ∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△COD，∴CDAB＝OFOE＝618＝13，∴AB＝3CD＝15 cm.故选D.8．C[解析] 如图，设BD是BC在地面上的影子，树高为x m．根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得CBBD＝10.8，而CB＝1.2 m，∴BD＝0.96 m，∴树落在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)，再由竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得x3.56＝10.8，∴x＝4.45，∴树高是4.45 m.9．5.5[解析] ∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠EDF＝∠CDB，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF＝CDDE.∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m，CD＝8 m，∴BC0.2＝80.4，∴BC＝4，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)．10．解：(1)FBG F1BG(2)∵C1D1∥AB，∴△F1D1N∽△F1BG，∴D1NBG＝F1NF1G.∵CD∥AB，∴△FDM∽△FBG，∴DM BG ＝FM FG. 又∵D 1N ＝DM ，∴F 1N F 1G ＝FM FG， 即3GM ＋11＝2GM ＋2，解得GM ＝16 m. ∵D 1N BG ＝F 1N F 1G ，∴1.5BG ＝327， 解得BG ＝13.5 m.∴AB ＝BG ＋GA ＝15 m.答：电线杆AB 的高度为15 m.11． 解：∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，∴MA ∥CD ，BN ∥CD ， ∴△EAM ∽△ECD ，△ABN ∽△ACD .由△EAM ∽△ECD ，得EA EC ＝AM CD. ∵EA ＝AM ，∴EC ＝CD .设CD ＝x m ，由△ABN ∽△ACD ，得BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75， 解得x ＝6.125≈6.1.∴路灯CD 的高约为6.1 m.12．解：如图，作DE ∥BC 交FC 于点E ，∴△ABC ∽△CED ，∴AB EC ＝BC DE. 设AB ＝x m ．由题意，得DE ＝10－4＝6(m)，EC ＝(x －2.2)m ， ∴x x －2.2＝106，解得x＝5.5，即两层楼之间的高约为5.5 m.。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。
这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。
当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。
通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。
然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。
这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。
然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。
根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。
最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。
这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。
然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。
根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。
最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。
在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。
此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。
因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。
利用相似三角形测高(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.【要点梳理】测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.特别说明：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、利用相似三角形测高1．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【变式1】李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C 点（如图所示），人在F 点正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在C '处，人在F '处正好看到树尖A ．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m ，量得CC '为12m ，CF 为1.8m ，C F ''为3.84m ，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，所以可得∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．解：根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，∠∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，设AB ＝x ，BC ＝y ∠ 1.7 1.8=1.7 3.8412x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得1018017x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ∠这棵古树的高为10m ．【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式2】如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．【答案】路灯OP 的高度为7m【分析】先根据AB ∠OF ，CD ∠OP 可知△EAB ∠∠EPO ，同理可得△FCD ∠∠FPO ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP 的值．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ，90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∠在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∠EAB ∆∠EPO ∆ ∠AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∠263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∠FCD ∆∠FPO ∆， ∠CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∠2205OB OP +=，∠263OB OP +=，2205OB OP +=，∠7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式3】 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2米，它的影子BC =1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM =1.2米，MN =0.8米，求木杆PQ 的长度．【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可解：如图，过点N 作ND ∠PQ 于D ，则DN =PM ，∠∠ABC ∠∠QDN ，AB QD BC DN∴=． ∠AB =2米，BC =1.6米，PM =1.2米，NM =0.8米， 2 1.21.6AB DN QD BC ⨯===1.5（米）， ∠PQ =QD +DP =QD +NM =1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ 的长度为2.3米．【点拨】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.【变式4】 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝ 米，FQ ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见分析 【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解． (1)解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴，EF QF CD QD∴=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+， 解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABPEFP ∴， EF PF AB BP∴= 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+， 解得3PF =；故答案为：3；2；(2)小明站在离B 点245米处的位置，理由如下： 由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==， 4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==， 解得125x =， 2425BF x ∴==，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、利用相似三角形测距离2．综合与实践某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离20EB=米，镜子中心与测量者的距离2ED=米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是米．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你再备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件．【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见分析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答；（2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∠∠ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；（3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．解：任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米，故答案为：1.5；任务二：由已知，∠DEC=∠BEA，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∠∠ABE，CD DEAB BE∴=，1.5220AB∴=，∴AB=15，所以，学校旗杆的高度是15米；任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．【变式1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：∠镜子；∠皮尺；∠长为2m的标杆；∠高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写）(2)在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，α，β等字母表示）【答案】(1)∠∠(2)见分析(3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm(4)ac b【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：CE DCEA AB=；即AB=acb．(1)解：∠∠；(2)解：测量方案示意图；(3)解：EA（镜子离树的距离）＝amEC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm；(4)解：根据相似三角形的性质；可得：CE DC EA AB=；即AB=acb．【点拨】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．【变式2】枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．【答案】26.2米【分析】过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∠AB，则△DFM∠∠DBN，DM MFDN BN=解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．解：过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，∠四边形CDME、ACDN是矩形，∠AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∠MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），∠依题意知，EF∠AB，∠∠DFM∠∠DBN，∠DM MF DN BN=，即：0.60.5 30BN=，∠BN＝25（m），∠AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．答：楼高为26.2m．【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【答案】(1) 5.1 (2) 4.2米【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高； （2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．(1)解：根据题意得：10.8 4.08=x 解得： 5.1x =（米），故答案为：5.1．(2)解：假设AB 是乙树，∠ 2.4BC =（米） 1.2CD =（米） ∠10.8=CD CE ， ∠1.210.8=CE ， ∠0.96CE =（米）， ∠10.8 2.40.96=+AB ， ∠ 4.2AB =（米），答：乙树的高度为4.2米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．。
用相似三角形测量高度
环境误差
由于环境因素（如风、温 度等）导致的误差。
误差的传播与控制
误差传播
在测量过程中，误差会随着测量量的增加而累积，导致最终 测量结果偏离真实值。
误差控制
通过采取有效措施，如使用高精度仪器、培训测量人员、多 次测量取平均值等，来减小误差。
实例二：用相似三角形测量山的高度
选择一个已知高度的物体作为参照， 如树木或建筑物。
在山脚下，用卷尺或激光测距仪测量 参照物和山顶之间的水平距离。
确定两个物体在同一垂直线上的两点 ，可以借助望远镜或瞄准器。
利用相似三角形的性质，计算山的高 度。
实例三：用相似三角形测量电线杆的高度
选择一个已知高度的物体作为参照，如电线杆或树木。
提高测量精度的措施
01
02
03
04
使用高精度仪器
选择精度较高的测量仪器，如 高精度的测距仪、望远镜等。
多次测量取平均值
对同一目标进行多次测量，并 取平均值作为最终结果，可以 有效减小随机误差的影响。
消除环境因素
在测量过程中尽量消除环境因 素的影响，如选择无风、温度 稳定的时间和地点进行测量。
培训测量人员
精细化：对于一些需要高精度测量的应用场景，可以研究更加精细的测量方法和技巧，以提 高测量精度。
未来发展方向与挑战
• 多维化：可以尝试将相似三角形测量方法扩展到多维空间 ，如同时测量高度和距离等参数。
未来发展方向与挑战
挑战
技术更新：随着科技的发展，需要不断更新和完善相似三角形测量方法 的理论和技术，以适应新的应用需求。
对测量人员进行专业培训，提 高他们的操作技能和读数准确
4.5利用相似三角形测高
6 利用相似三角形测高
(2)测量数据：AB(人眼距地面的高度)，CD(标杆高)，
BD(人距标杆的距离)，DF(标杆距旗杆的距离)；待测数据：
EF(旗杆高度)．
(3)计算理由：
因为CD∥EF(均与水平面垂直)，所以∠AGC＝
∠AHE，∠ACG＝∠AEH.所以△AGC∽△AHE，所以
AG AH
＝
CG EH
6 利用相似三角形测高
6 利用相似三角形测高
解：如图4－6－7所示，作AH⊥EF，垂足为H，交CD 于点G，由题意得AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
故四边形ABFH、四边形DGHF都是矩形， 所以AB＝GD＝HF，BF＝AH，BD＝AG，CD∥EF， 所以∠AGC＝∠AHE＝90°. 又因为∠CAG＝∠EAH，所以△ACG∽△AEH， 所以AAGH＝CEHG，即19＝2－EH1.5， 所以EH＝4.5，EH＋HF＝4.5＋1.5＝6(m)． 所以大树EF的高为6 m.
解：由题意可知∠BEF＝∠DEF，∠AEF＝∠CEF， 所以∠BEA＝∠DEC.
ACBD⊥⊥AACC⇒∠BAE＝∠DCE＝90°⇒
∠BEA＝∠DEC
△BAE∽△DCE⇒AAEB＝DCCE
⇒AB＝13.44(米)．
AE＝21，CE＝2.5，DC＝1.6
所以教学大楼的高度AB是13.44米．
24.3相似三角形应用——利用相似三角形测量物体高度
3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的
A
高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边
长为 x 毫米。
PE N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE AD
PN = BC
B Q DM C
因此 80–x = x ，得 x=48（毫米）.
80
120
∴
=
EF DF
∴
OB=
EF·OA =200
DF
因此金字塔的高为200m.
影子形成
2. 要测量我校的旗杆高度，现有皮尺一把、标杆一根、镜 子一面，请你和你的同伴选择其中两种工具，设计一套测量旗 杆的方案，并画出示意图.
△ABO∽△AEF
OB
OABiblioteka =EFAF
OB = OA ·EF AF
旗杆测量
还可以有其他方法测量吗？
当堂练习
1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长 为3米,则树高为______米. 2.如图，小亮晚上走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两 盏灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时， 他自己的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高 1.8米，两盏灯的高度相同，且两盏灯之间的距离为12米，求路 灯的高。
24.3 相似三角形的应用 ——利用相似三角形测量物体的高度
华华东东师师大大·●七九年年级级下上册册
如图，如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m，测OA长为 300m，求金字塔的高度BO.
4.6 利用相似三角形测高
D
1
2
CE
A
一 测高方法三：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利 用镜子的反射测量高度”的原理解决.
一 我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．
例1：如下图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.
一 测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同 一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
一例2：如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一
好久 不见
认识你很 开心
欢迎
你好
HELLO
Welcome
4.6 利用相似三角形测高
世界上最高的树 —— 红杉
乐山大佛
台北101大楼
怎样测量这些非常 高大物体的高度？
一 运用相似三角形解决高度(长度)测量问题
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古 代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相 似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金 字塔的原理吗？
根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距
27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知
小明的眼高1.6m，求树的高度. C
E
A
N
BF
D
解析：人、树、标杆是相互平行ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
一 测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以 用“利用标杆测量高度”的原理解决.
一例3：为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、
皮尺）设计了如下测量方案：如图， ①在距离树AB底部15m的E处放下镜子； ②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m； ③观察镜面，恰好看到树的顶端. 你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
利用相似三角形测高(课件)九年级数学上册(北师大版)
代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．
探究新知
归纳总结 利用阳光下的影子测量高度
类型
原理
利用阳光下的 同一时刻物高 影子测高(如测 与影长成比例 量旗杆的高度)
操作图
操作说明
相关算式
(1)需测参照物(
AB DF
=
BC EF
,
人)的高度及参 则AB= DF BC
随堂练习
1.小明在测量楼高时,测出楼房落在地面上的影长BA为15 米,同时在A处竖立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC 为3米,则楼高为( A ) A.10米 B.12米 C.15米 D.22.5米
随堂练习
2.如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度， 当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影 子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高 度是( C ) A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米
解析：画出示意图如图,
由题意得 AB = BC ,则B’C’=
A'B' B'C '
A' B ' BC AB
12 2
=3
=8(m).
即该建筑物的高度为8 m.
探究新知
例2:如图,直立在点B处的标杆AB高2.5 m,站立在点F处的 观察者从点E处看到标杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线 上.已知BD=18 m,FB=3 m,EF=1.6 m,求旗杆的高CD.
EF
照物(人)的影长
;(2)测量被测物
体(旗杆)的影长
探究新知
方法二：利用标杆测量旗杆高度
如图4-27，每个小组选一名同学作 为观测者，在观测者与旗杆之间的地面 上直立一根高度适当的标杆。观测者适 当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、 标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直 线上，这时其他同学立即测出观测者的 脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚 到标杆底端的距离，然后测出标杆的高。
《用相似三角形测量高度》图形的相似PPT课件2教学课件
解一元一次方程，得出方程 的根．
(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.
解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，72 x2＝－2.
1 2
(2)2y－3＝±4，于是y1＝ ，y2＝－ .
知2－讲
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
解形如(mx+n)²=p(p≥0，m≠0)的方程时，先 将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一 次方程，再求解.
用相似三角形测量高度
思 考 一 下
• 请同学们回忆判定两三角形相似的条件有 哪些？
想 一 想
同学们,怎样利用相似三 角形的有关知识测量旗杆 (或路灯,或树,或烟囱)的高 度?
方法1:利用阳光下的影子
C
A
EB
D
∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB .
∴∠AEB＝∠CBD .
C
∵人与旗杆是垂直于地面的，
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，
该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过 程.请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯 的身高.
第二章 一元二次方程
用配方法求解一元二次方程
第1课时
1 课堂讲解 形如x²=p(p≥0)型方程的解法
形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
2 课时流程
逐点 导讲练
A．2x＋3＝0
C.
2 x＋1
＝1
B．x2－1＝0 D．x2＋x＋1＝0
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
探究 对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解
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3、分别测出她的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距
C
离，学生眼睛到地面的高度，即可求出旗杆的高度；
怎么办？
E
A 31 M
B
F
2
N
DH
利用标杆
测量：AB EF AM AN
构造相似： △AME∽△ANC.
A
找比例： AM：AN=EM：CN
B
E M
C N
F
D
方法3、利用镜子的反射
操作方法：1、选一名学生作为观C测者，在她与旗杆之间的
F
知识要点1
1、测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用 “在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。
由相似三角形性质得: 树高 竿高
树影长 竿影长
1
5.4
0.9
方法2:利用标杆
操作方法：1、在观测者和旗杆之间的地面上直立一根高
度已知的标杆；2、观测者前后调整自己的位置，当旗
杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时；
地面上平放一面镜子，固定镜子的位置；2、观测者看着镜子来回
调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端， C 3、测出此A时她的脚与镜子的距离、旗杆底部
与镜子的距离就能求出旗杆的高度。
12
怎B么办？E
A
D 平面镜
B
E
D
利用镜子的反射.
测量数据：身高DE、人与镜子间的距离AE、 旗杆与镜子间距离AC.
E
A M
∴ AB ∥EF ∥CD ∴∠EMA=∠CNA ∵ ∠EAM=∠CAN ∴△AEM∽△CAN
∴ EM AM
CN AN
N ∵AB=1.6m,EF=2m,BD=27m,FD=24m
∴ 2 1.6 3 CN 27
B
F
D ∴ CN=3.6m,CD=3.6+1.6=5.2m 即树高为5.2m
AC BC DF EF
DF AC EF BC
因为同学的身高AC和她的影长 BC及同一时刻旗杆的影长EF均 可测量得出，所以代入测量数据 即可求出旗杆DF的高度
利用阳光下的影子.
测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.
找相似：△ABC∽△DEF.
D
找比例：DF:AC=EF:BC
AB CEAFra bibliotekDE0.64米
C
B
例 小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根
高为2m的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置，当他与树相
距27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上，已
知小明身高1.6m,求树的高度。
解：过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M
∵人、标杆、树都垂直于地面
C
∴∠ABF=∠EFD =∠CDF=90º
C'
B'
C
B
AE
D
即
AC
9
1
1 .5
∴AC=6 AE=AC+CE=6+2=8 即旗杆高8米
A'
1
C'
1.5
?
C
E B'
B
9
2
D
提示：过点D作DC∥BA交AE于C
因太阳的光线是平行的，旗杆和墙也是平行的
∴四边形ACDB为平行四边形
∴旗杆的上半部分AC与墙上的影子BD的长度是相同的
地上的影子ED是旗杆的一部分CE在地上的影子
找相似：△ADE∽△ABC.
B
找比例：AE：AC=DE：BC
D
E
A
C
乘胜追击
如图，在距离AB 18米的地面上平放着一面镜 子E,人退后到距镜子2.1米的D处，在镜子里
恰看见树顶，若人眼距地面1.4米，求树高。 A
分析：设树高Ｘ米
∵△ＡＢＥ∽△ＣＤＥ
∴
ＡC ＢD＝
BE ＤＥ
C 1.4米
∴
1Ｘ.4＝
18 2.1
D2.1米 E
Ｘ
18米 B
X=12
即 树高为12米
聪明才智
• 如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳 子测量A、B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位 同学帮她想了一个主意,先在地上取一个可以直接到达 A、B点的点C,找到AC、BC的中点D、E,并且DE的 长为5m,则A、B两点的距离是多少？
易知△ A'B' C' ∽△CDE
∴ AC CB
CE ED
从而可求出CE的长
A
C A'
1
C' 1.5 B' E
B
2
9D
实践探索：
一油桶高0.8m，桶内有油，一根 木棒长1米，从桶盖小口斜插入桶内一 端到桶底，另一端到小口，抽出木棒， 量得棒上浸油部分长为0.8m，则桶内 油面的高度为多少米？
楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地
面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度。
解： ∵ AB ∥A'B'
∴∠ABC=∠ A'B' C'
BC ∥ B'C'
A A'
又AC⊥CB
A' C'⊥B' C'
∴ ∠ACB =∠ C' =90º
∴△ ABC ∽△ A'B' C'
∴ AC CB AC CB
解：∵△ＣＤＥ∽△ＣＡＢ
5米
∴
５ ＡＢ
＝ＣＣＡＤ
?
∴
Ｂ５Ｅ＝
１ ２
∴ＢＥ＝１０
答：Ａ．Ｂ两点间的距离是１０米
创新 构造
一、
利用两根等长的小棒， 一把刻度尺，一个橡 皮筋，你能测量出广 口瓶的内部直径吗？
B
A
说说你们的想法
O
C
D
拓展训练
某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直
时的影长为1.5m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢
•利用太阳光下的影长 •利用标杆 •利用镜子
方法1:利用阳光下的影子 D
D
怎么办？
A
A
B CE
F
B CE
F
D
A
B CE
DF
A
B CE
F
∵太阳的光线是平行的
∴ AB∥DE
又B、C、 E、F在一条直线 上
∴ ∠ABC= ∠DEF
∵人与旗杆是垂直于地面的 ∴∠ACB= ∠DFE ∴△ABC∽△DEF