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二、线性规划的对偶理论
1、对偶问题的形式
（1）对称型对偶问题：已知 P，写出 D。
n
原问题(P): max z c j x j j 1
s.t.

n j 1
aij xij

bi (i
1,2,
, m)
x j 0( j 1,2, , n)
m
对偶问题(D): min w bi yi i 1
对偶问题
minW 5 y1 4 y2 6 y3
4 y1 3 y2 2 y3 2
A21
X
1

A22 X 2

b2

A31
X
1

A32 X 2

b3
X1

0,
X
无约束
2
min W b1Y1 b2Y2 b3Y3
D： Y1 A11 Y2 A21 Y3 A31 C1 Y1 A12 Y2 A22 Y3 A32 C2 Y1 0,Y3 0,Y2无约束
设y1，y2，y3分别为出租三种设备每小时的收费， 所以有下式：
2 y1 4 y2
2
2 y1
5 y3 3
y1, y2 , y3 0
而常山厂出租设备的总收入，可以用下式可以表达：
12 y1 16 y2 15 y3 W
一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故取 min W 12 y1 16 y2 15 y3
型表中只保证 j 0而不保证 B1b ，0 故 b可以
是负数。
对 偶 问 题 ： minW 2 y1 3 y2 5 y3
2 y1 3 y2 y3 2
5
3 y1 y1
7
y2 4 y3 y2 6 y3
3 4
y1 , y2 , y3 0
x1 , x2 , x3 0
解：首先将原式变形
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x 3 x2 5 x3 2

3
x1 x1

x2 4 x2
7 x3 6x3
3 5
x1 , x2 , x3 0
注意：以后不强调等式右段项 b≥0，原因在对偶单纯
2 y1 3 y2 y3 2

3 y1
y2
4 y3 3
5 y1 7 y2 6 y3 4
y1 , y2 , y3 无 约 束
（3）混合型对偶问题
max Z C1 X1 C2 X 2
L：
A11 X1 A12 X 2 b1

对偶理论
(Duality Theory)
盐城师范学院商学院 常玉苗
本章主要内容
对偶问题的提出 线性规划的对偶理论 对偶问题的经济解释----影子价格
一、问题的提出
资源的合理利用问题
常山机器厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别 在A、B、C三种不同设备上加工。按工艺资料规定，生产 每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2h、4h、0h，生产每件产 品Ⅱ需占用各设备分别为2h、0h、5h，已知各设备计划期 内用于生产这两种产品的能力分别是12h、16h、15h，又 知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品 Ⅱ企业能获得3元利润，问该企业应安排生产两种产品各多 少件，使总的利润收入为最大。
例
原问题
max Z 2 x1 3 x2 5 x3 x4
4 x1 x2 3 x3 2 x4 5

3 x1 2 x2
7 x4 4
2 x1 3 x2 4 x3 x4 6
x1 0, x2 , x3 0, x4无 约 束
例 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2

3
x1

x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
解：对偶问题为
minW 2 y1 3 y2 5 y3
该问题的数学模型为：
minW 12y1 16y2 15y3
2 y1 4 y2
2
s.t.2 y1
5y3 3
y1, y2 , y3 0
模型对比：
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t.
4 x1
16 （原问题）
5x2 15
s.t.
m i1
aij yi

cj(
j
1,2,
, n)
yi 0(i 1,2, , m)
例 写出线性规划问题的对偶问题
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
Leabharlann Baidu
3
x1

x2
7 x3
3
x1 4 x2 6 x3 5
建立数学模型如下：
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t.
4 x1
16
5x2 15
x1 0, x2 0
下面从另一个角度来讨论这个问题：
假定另一四海机器厂想租借常山机器厂的设备 资源，试问该决策者应制定怎样的收费标准（合 理的）？
分析问题： 1、出租设备收回的费用不能低于自己生产时获利； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。
x1 0, x2 0
minW 12y1 16y2 15y3
2 y1 4 y2
2
s.t.2 y1
5 y3 3
y1, y2 , y3 0
（对偶问题）
每一个线性规划(LP)必然有与之相伴而生的 另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP 都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原 问题”，记为“P”，另一个称为“对偶问题”， 记为“D”。
（2）非对称型对偶问题
n
max z c j x j j 1
原问题： n
aij x j bi
j1

x
j

0
m
min w bi yi i 1
m
对偶问题：

i
1
aij
yi

cj(
j
1,2,
, n)
yi无符号限制（无约束）(i 1,2, , m)