山大数学分析试题
山东大学《高等数学》期末复习参考题 (11)
2
k
1− r 2
(7 分)
= 4πabc ∫ r 1 − r 2 d r
0
k
4πabc 2 = 1 − 1 − k 3
(
)
3 2
(10 分)
2、解： n = ±{5,−1,−1} ,cos α = ±
5 1 1 ,cos β = ∓ ,cos γ = ∓ 27 27 27
x2 y2 5、函数 f ( x , y ) = x 4 + y 4 0
(A)连续但不可微； (C)可导但不可微； 1、 设Ω是由 分 I=
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
在点(0,0)处(
)
(B)可微； (D)既不连续又不可导。 ≤1 及 所确定的闭区域，(a,b,c>0;0<k≤1),试求积
《数学分析 III》期末试卷 11 答案与评分标准
一、填空题（共 10 小题，40 分）
1、π 2、 3、 − ( x + y ) ≤ z ≤ x + y ，且 x + y ≠ 0
2 2 2 2 2 2
4、
μ(x,y)dσ(或
μ(x,y)dxdy).
5、I=24 6、 2 2 π 2 7、 3x + 2 y − z = 11 8、 x + 2 y + z + 2 = 0 9、
三、计算题（共 3 小题，30 分）
.
2
2、求函数 u = x ln( y + 3z ) 在点（1，2，2）处沿平面 5x − y − z = 1 法线方向的方向 导数。 3、求函数 u = z ⋅ y 在点（1,2,1）处沿 a = {3,3,−2} 方向的方向导数。
山东大学数学分析考研真题2000-2019
2001年山东大学数学分析真题一、填空题1．220cos 21lim sin x x x x→-=+______。
2．2!lim n n n n n→-∞=______。
3．设u ＝xln （xy ），则22u x∂=∂______。
4．积分220x x =⎰______。
5．交换积分次序2120d (,)d x x x f x y y -=⎰⎰______。
6．积分(3,4)(0,1)d d x x y y -+=⎰______。
7．幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为______。
8．设f （x ）＝arctanx ，则f （2n ＋1）（0）______。
二、1．叙述函数f （x ）在[a ，b] 上一致连续和不一致连续的ε－δ型语言。
2．计算定积分20d x e x +∞-⎰。
3．叙述并证明连续函数的中间值定理。
三、本题任选两题1．设f （x ，y ）处处具有连续的一阶偏导数，且f （1，0）＝f （－1，0），试证在单位圆上存在两点（x 1，y 1）和（x 2，y 2），满足下列两式：x i f y ′（x i ，y i ）－y i f x ′（x i ，y i ）＝0，i ＝1，22．设f （x ）在[0，＋∞] 上连续且f ≥0，如果f （x ）f （y ）f （z ）≤x 2yf （z ）＋y 2zf （x ）＋z 2xf （y ） 求证：520()d 2a f x x a ≤⎰3．设f （x ）在（0，＋∞）上连续可微，且()lim 0x f x x →+∞= 求证：存在序列{x n }使得x n →＋∞且f′（x n ）→0。
2005年山东大学数学分析真题10．f （x ）对一切b 在[0，b]上可积，且lim ()2x f x →+∞=证明 00lim ()d 2t tx t t e f x x -→=⎰11．证明：2101d 16x x x π=-⎰2015年山东大学数学分析真题2016年山东大学数学分析真题2017年山东大学数学分析真题2018年山东大学数学分析真题2019年山东大学数学分析真题。
山东师大数学分析试题6
第六章 微分中值定理及其应用§1拉格朗日中值定理和函数的单调性例 1 设函数),()(b a x f 在内可导，在[a,b]上连续，且导函数)(x f '严格递增，若)()(b f a f =证明，对一切),(b a x ∈均有)()()(b f a f x f =〈证人 用反证法，若)()()(),(00b f a f x f b a x =≥∈∃在区间],[],,[00b x x a 上分别应用拉格朗日中值定理，b x x a 〈〈〈〈∃200121,,,ξξξξ使得0)()()(,0)()()(002001≤--='≥--='x b x f b f f a x a f x f f ξξ这与)(x f '为严格递增相矛盾。
例 2 设函数)(x f 在],[+∞a 内可导，并且0)(〈a f ，试证：若当),(+∞∈a x 时，有0)(〉〉'c x f 则存在唯一的),(+∞∈a ξ使得0)(=ξf ，又若把条件c x f 〉')(减弱为)(0)(〈+∞〈〉'x a x f ，所述结论是否成立？分析 因为0)(〈a f ，若可以找到某点a x 〉，使得0)(〉x f 则由)(x f 的严格递增性，并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的ξ，使得0)(=ξf证 a x 〉∀在],[x a 上应用拉格朗日中值定理，x a 〈〈∃ξξ,，使得))(()()(a x f a f x f -'=-ξ于是)()())(()()(a x c a f a x f a f x f -+〉-'+=ξ由于0〉c ，因此当x 充分大时总可使得不妨设0)(,11〉〉〉c x f a x ，所以],[)(+∞a x f 在上严格递增；在],[1x a 上应用连续函数的)()()(〉-+〉a x c a f x f介值定理，则1,x a 〈〈∃ξξ,且ξ是唯一的。
数学分析(一)智慧树知到答案章节测试2023年山东大学(威海)
绪论单元测试1.无穷小量就是非常小的数。
（）A:对B:错答案:B第一章测试1.已知为的反函数，则为（）。
A:B:C:D:答案:D2.函数与它的反函数在同一坐标系中的图像是（）。
A:不完全相同B:关于直线对称C:部分相同，部分不同D:完全相同答案:D3.如果,，则为（）。
A:B:C:D:答案:C4.下列定义在上的函数，哪一个是与之间的一一对应，但在的任一子区间上都不单调的函数（）。
A:B:C:D:答案:A5.设函数定义在上，则下列说法正确的为（）。
A:为偶函数B:为奇函数C:为奇函数D:为偶函数答案:AC6.下列说法正确的为（）。
A:B:实心领域不是区间C:有理数集为可列集D:一元函数的图像所组成的点集和其定义域与值域的Descartes集合一一对应答案:CD7.下列选项中，不是同一函数的有（）。
A:B:C:D:答案:BCD8.并且。
（）A:错B:对答案:A9.与是两个相同的函数。
（）A:对B:错答案:B10.是周期函数。
（）A:对B:错答案:A第二章测试1.的值为（）。
A:B:C:D:1答案:B2.给定数列，若对某个给定的整数，在含有的无穷多项，则（）。
A:数列必有极限且一定是B:数列必有极限，但不一定是C:数列不一定有极限D:数列一定没有极限答案:C3.下列说法正确的是（）。
A:若有界数列不收敛，则无收敛子列B:若数列无界，但非无穷大量，则任何子列都不收敛C:若数列无界，但非无穷大量，则任何子列都非无穷大量D:若有界数列不收敛，则必存在两个收敛于不同极限的子列答案:D4.设是一列开区间，满足条件：（1），（2），则下列说法正确的是（）。
A:其余选项说法都不对B:存在唯一的实数属于所有的开区间C:存在无数个的实数属于所有的开区间D:不存在实数属于所有的开区间答案:B5.给定数列，若对某个给定的整数，在含有的无穷多项，则（）。
A:数列必有极限，但不一定是B:数列必有极限且一定是C:数列一定没有极限D:数列不一定有极限答案:D6.下列四个命题正确的是（）。
山东师大 数学分析试题精选.docx
(1 + \[xj = 1 + 5x^ +10% + 10Q + 5x 2+ ,因此有f(l + Vxpx = x + —+5x 2+4/ +-X 3+-x ?+C v 73 3 7解法二利用换元积分法，令\ + 4x =t ,则x = （，-l ）2, dx = 2（t - l ）dt,于是有f(l + 0 dx = 2 (f _ 1)出=2 W6 -t> A= ；（f 伺+C说明 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求 J （l + V7）'°°dx）,处理起来不会增加任何困难；但若仍用解法一去计算，那将是十分繁琐的; 更何况当不定积分变为J （1+五）"dx, a 为任意实数时，只能用解法二来计算。
注意 第（2）题的两种解法所得结果在形式上虽不相同，但它们之间至多相差一个常 数，可被容纳在积分常数C 之内。
例2用第一换元积分法求下列不定积分： （1） \—e xdx ；第八章不定积分1基本积分公式与换元积分法例1求下列不定积分: X 4 + X 2 +1 Jax ； ⑴ 1 x 4+x 2解(1)由于x 4+ x 2+1 x 4+x 2+/ 1 =l +±-^-X 2+ 1) X 2 X 2 +1因此得到 4X + X x 4 +x 22+1 j c - r dx c dx dx = J dx + J —-— J ----------------- --X X +1 =x ------arctan x + Cx(2) 解法一山于(2) J sin nx cos mxdx ；(令-2)解(1) x = asint,\t\^ — ,dx = a cos tdt, ez >- 0 ,于是 1 123 . ?7, f a sin cos t , Q s 小 \,dx = J --------- dt = — J(1 - cos 2t )dt= J―SeC—dt = \ esc tdt xy/x 2+1 tanfsecfa 2 t — — sin 2/)+ C*(3) arctan Vx . —— - !—— dx ； (4) J(2)Jsin nxcos mxdx = ? j[sin(n + m)x + sin(n 一 m)x\dx-----cos(n + m)x n + m ---- cos(n 一 m)x + C n — m(4)-3 /故=J —7 丁-2 3.x 3-2A -3 - 2 +2A'3-2?.Y 3-2用。
山大数学分析试题.doc
2000年试题一、填空。
1 1- r,2 2?(〃T)\ 91. Iim[—- H—- H --- 1 ---- —] = ?2.i im£^L±^ = ?•E X■ 23 .设x = 3cosr, y = 2sin r(0<r < 2勿),则= ?dx~4. / 心+iy?5 .设r = Jr + ),2,则JJ [ r \dxdy = ? x1 2+y2<162 26•设「表小椭圆—+ — = 1 正向，贝U f (x-y)dx + (x+ y)dy = ?4 9 廿7.级数也(1 +打的收敛范围为?〃=i n8.设/(x) = (l + x)ln(l + x),则严(0) = ?1 .设f(x)在［Q,0］上可积，令F(x)= ［/(rMr,证明：F(x)在［Q,。
］上连续。
2.求［e~x cos(2ax)dx(a为实数)。
3.试求级数£〃与〃的和函数。
〃=1三、任选两题。
f fMdx f ——dx > (h-a)2.* * i 3)1 .设f(x)在［a,b］上连续旦/(x)>0,证明:(3.-4) or xdx + ydy = ?2 .求 fcos"xsin/udx (n > 1 为正整数) 3.设 f(Q,g(x) 在 [0, +00) 上可微 H 满足■ ,(1) lim /(x) = A(0 < A < +oo), (2 Q^g(x) g(x).求证： 存 在数列XTSXTSJV —> 00{qj (c 、〃 T +00，" T 8)使得 f(c n )gf(c n ) < -g(C 〃)j'(Cn).2001年试题1 cos 2x -1 o 一、1. hm —=?jr+sirrx 2" n I 2.1im^ = ?3.设y),则紧=? 4 § x 2Vl - cos 2xdx = ? .5. 交换积分顺序f 公「'，(2知=?6.7.£〃(〃 + 1)尤"的和函数为?«=18.设 /(x) = arctan x,则 f ⑵中)(0) = ?二、1 .叙述函数fM)在［。
(完整)山东大学《高等数学》期末复习参考题(4)
山东大学《数学分析III 》期末复习参考题一、填空题（共 5 小题，20 分）1、设f (x ,y )为连续函数，则二次积分()⎰⎰xdy y x f dx 01,交换积分次序后为_____________.2、函数z x y =+ln()2在点（1，3）沿{}ϖa =-11,方向的方向导数是_____________. 3、设u x y z xyzxy xz yz =++----arctan1，则∂∂u x(,,)000= _____________.4、函数f x y x y x y (,)=+-+22在点（3，4）沿{}ϖa =-43,方向的方向导数是_____ _____________.5、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ 。
二、选择题（共 10 小题，40 分）1、设u xyy x =>>arccos(),0，则∂∂u y =( ) (A)y x y x2-;(B)xy y x2-;(C)--xy y x2; (D) --y x y x 22、设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为( )(A) ()⎰⎰-110,dx y x f dy x； (B)()⎰⎰-xdx y x f dy 1010,； (C)()⎰⎰101,dx y x f dy ； (D)()⎰⎰-ydx y x f dy 101,；3、设由方程z xz y 320-+=确定函数z z x y =(,)，且z (,)111=，利用z x y (,)在(,)11点处的二阶泰勒多项式计算 z (.,.)099102的近似值，应取( )（A ）12099102809910099102310223+⋅--⋅+⋅⋅-⋅...... （B ）12102099810210102099309923+⋅--⋅+⋅⋅-⋅......（C ）32)102.1(3)102.1)(199.0(10)199.0(8)102.1()199.0(21----+-----+ （D ）32)199.0(3)199.0)(102.1(10)102.1(8)199.0()102.1(21----+-----+ 4、设是某二元函数的全微分，则m =( ) (A).0; (B).1; (C).2; (D).3.5、设向量场A =x e yz i +y e zx j +z e xy k ,则A 在点M (1，－1，0)处的旋度rot A ｜M 是( ) (A). {1,1,1}. (B). {0,－1,1}. (C). {1,－1,0}. (D). {1,0,－1}.6、设u y x =arctan ，则∂∂∂∂2222u x uy+＝( )(A)4222xyx y ()+ (B)-+4222xyx y ()(C) 0 (D)2222xyx y ()+ 7、在整个空间内，向量场A 为有势场的充要条件是( ) (A) A 为无源场。
山东大学2004数学分析
2004年试题1. 叙述数列{}n a 发散的定义，并证明数列{cos }n 发散。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,],x a b ∈定义()inf ().a t xm x f t ≤≤=证明：设()m x 在[,]a b 上连续。
3. 设()f x 在(,)c -∞内可导，且li m ()li m ().x x c fx f x A →-∞→-==求证：存在一点(,)..()0.c s t f ξξ'∈-∞=4. 设()f x 在(0,1]上连续，可导，并且320lim ().x x f x →+'∃求证： ()f x 在(0,1]上一致连续。
5. 设0,1,2,3,na n >= 且有1lim (1)0,n n n a n c a →∞+-=>求证：11(1)n nn a ∞+=-∑收敛。
6. 求级数2112n n n ∞=++∑的和。
7. 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且有[0,1]1(0)(1)0,m in ().2x f f f x ∈===-证明：(0,1),..() 4.s t f ξξ''∃∈≥8. 证明：对于任意2()0,sin x etdx αα+∞-+>⎰关于(0,)t ∈+∞一致收敛。
9. 设()f x 在[,][,]a b c d ⨯上连续，函数列()n x ϕ在[,]a b 上一致收敛，且(),n a x b ϕ≤≤函数列()n x ψ在[,]a b 上一致收敛，且(),n c x d ψ≤≤求证：函数列((),())nn n F f x x ϕψ=在[,]a b 上一致收敛。
10.设()f x 在[0,1]上可积，且在1x =处连续，证明：10lim ()(1).nn x f x dx f →∞=⎰11.设33()ijA a⨯=是实对称正定矩阵， Ω是椭球体：3,11,ij i j i j a x x =≤∑求Ω的体积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山大数学分析试题2000年试题一、 填空。
1. 22233312(1)lim[]?n n n n n →∞-+++=L 2.10(1)lim ?xx e x x→-+= 3.设3cos ,2sin (02),x t y t t π==<<则22?d ydx =4.2121[ln(1)]?1x x x dx x -++=+⎰ 5.设22,r x y =+则2216[]?x y r dxdy +≤=⎰⎰6.设Γ表示椭圆22149x y +=正向，则()()?x y dx x y dy Γ-++=⎰Ñ 7.级数13(2)(1)n nn n x n ∞=+-+∑的收敛范围为？ 8.设()(1)ln(1),f x x x =++则()(0)?n f = 二、1.设()f x 在[,]a b 上可积，令()(),xa F x f t dt =⎰证明：()F x 在[,]ab 上连续。
2.求20cos(2)(x e x dx αα∞-⎰为实数）。
3.试求级数21n n n x ∞=∑的和函数。
三、任选两题。
1.设()f x 在[,]a b 上连续且()0,f x >证明：21()().()bba af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰2.求20cos sin n x nxdx π⎰(1n ≥为正整数） 3.设(),()f xg x 在[0,)+∞上可微且满足lim(1)lim ()(0),(2)lim ()().x x f x A A g x g x x →∞→∞=<<+∞≠→∞求证：存在数列{}(,)n n c c n →+∞→∞使得()()()().n n n n f c g c g c f c ''<-2001年试题一、1．220cos 21lim?sin x x x x→-=+2.2!lim?n nn n n →∞= 3.设ln(),u x xy =则22?ux∂=∂401cos 2?x xdx π-=⎰. 5.交换积分顺序2120(,)?x x dx f x y dy -=⎰⎰6.(3,4)(0,1)?xdx ydy -+=⎰7.1(1)n n n n x ∞=+∑的和函数为？8.设()arctan ,f x x =则(21)(0)?n f += 二、1.叙述函数()f x 在[,]a b 上一致连续和不一致连续的εδ-型语言。
2.计算定积分2.x e dx +∞-⎰3.叙述并证明连续函数的中间值定理。
三、本题任选两题。
1.设(,)f x y 处处具有连续的一阶偏导数且(1,0)(1,0).f f =-试证在单位圆上存在两点11(,)x y 和22(,)x y 满足下列两式：(,)(,)0,1,2.i y i i i x i i x f x y y f x y i ''-==2.设()f x 在[0,)+∞上连续且0,f ≥如果222()()()()()(),f x f y f z x yf z y zf x z xf y ≤++求证：5202().2af x dx a ≤⎰3.设()f x 在(0,)+∞上连续可微，且()lim0.x f x x→+∞=求证：存在序列{}n x 使得n x →+∞且()0.n f x '→2002年试题一、1. 357?n nn n n ++= 2. 2100sin lim ()?x x x x→+= 3.设21(1)()(1),(1)0,x f x ex f --=≠=求(1)?f '=4.设33cos ,sin ,x a t y a t ==求22?d y dx=5.设()arctan ,f x x =求(21)(0)?n f +=6.3()(),Cx y dx x y dy -++⎰Ñ其中22:4C x y +=（正向）。
7．7(cos )?x x x e e x dx ππ-+=⎰ 8.求3(1)Vdxdydzx y z +++⎰⎰⎰的值，其中V 是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围成的四面体。
二、1.(0)ax bxe e dx b a x--+∞->>⎰。
2.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导且()0,f x ''≥证明：对任何12,[,],x x a b ∈有1212()()().22x x f x f x f ++≤3.设有界函数()f x 在[,]a b 上的不连续点为1{}n n x ∞=，且lim n n x →∞存在，证明：()f x 在[,]a b 上可积。
三、1.设0,b a ≥≥试证：sin 3.baxdx x≤⎰ 2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且()0,f x >证明：21()().()bba af x dx dx b a f x ≥-⎰⎰ 3. .设()f x 在[,]a b 上可导，且()().f a f b ''<证明：对任何((),()),r f a f b ''∈存在0(,),x a b ∈使得0().f x r '=2003年试题1. 设()f x 在(,)a b 上可微，()f x '在(,)a b 上单调，求证：()f x '在(,)a b 上连续。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，1[,],(())nn x a b f x ∞=∀∈∑收敛，求证：1(())n n f x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛。
3. 设()f x 在圆盘221x y +≤上有连续的偏导数，且()f x 在其边界上为0，求证：221(0,0)lim,2x y S f x f y f dxdy x y εεπ→+=-+⎰⎰其中222{(,):1}.S x y x y εε=≤+≤4. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微，且()()(),n f x x n =→∞o 证明：当1k n ≥+时，(),..lim ()0.k x x s t f x →+∞∃= 5. 设0()sin ,n f x tdt π=⎰求证：当n 为奇数时，()f x 是以2π为周期的周期函数；当n 为偶数时，()f x 是一线性函数与一以2π为周期的周期函数之和。
6. 设()f x 在(,)-∞+∞上无穷次可微；(0)(0)0,lim ()0.n x f f f x →+∞'≥=证明：()11{},,0,..()0.n n n n n n x n x x s t fx ∞=+∃∀≤≤=7. 设()f x 在(,)a +∞上连续，且lim sin(()) 1.x f x →+∞=求证：lim ().x f x →∞∃2004年试题1. 叙述数列{}n a 发散的定义，并证明数列{cos }n 发散。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，对[,],x a b ∈定义()inf ().a t xm x f t ≤≤=证明：设()m x 在[,]a b 上连续。
3. 设()f x 在(,)c -∞内可导，且lim ()lim ().x x c f x f x A →-∞→-==求证：存在一点(,)..()0.c s t f ξξ'∈-∞=4. 设()f x 在(0,1]上连续，可导，并且320lim ().x x f x →+'∃求证： ()f x 在(0,1]上一致连续。
5. 设0,1,2,3,n a n >=L 且有1lim (1)0,nn n a n c a →∞+-=>求证：11(1)n n n a ∞+=-∑收敛。
6.求级数2112n n n ∞=++∑的和。
7. 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且有[0,1]1(0)(1)0,min ().2x f f f x ∈===-证明：(0,1),..() 4.s t f ξξ''∃∈≥8. 证明：对于任意2()00,sin x e tdx αα+∞-+>⎰关于(0,)t ∈+∞一致收敛。
9. 设()f x 在[,][,]a b c d ⨯上连续，函数列()n x ϕ在[,]a b 上一致收敛，且(),n a x b ϕ≤≤函数列()n x ψ在[,]a b 上一致收敛，且(),n c x d ψ≤≤求证：函数列((),())n n n F f x x ϕψ=在[,]a b 上一致收敛。
10. 设()f x 在[0,1]上可积，且在1x =处连续，证明：1lim ()(1).n n x f x dx f →∞=⎰ 11. 设33()ij A a ⨯=是实对称正定矩阵， Ω是椭球体：3,11,ij i j i j a x x =≤∑求Ω的体积。
12. 设()ij a 是n 阶实对称方阵，定义nR 上的齐二次函数,1().nij i j i j h x a x x ==∑证明：函数()h x 在条件211ni x =∑下的最小值是A 的最小特征值。
13. 计算积分：222222()()(),I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰其中Γ为平面32x y z ++=和立方体0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的交线，站在第一象限32x y z ++>处看Γ为逆时针方向。
2005年试题一、1.求极限1222limnn a a na n→∞++L ，其中lim .n n a a →∞= 2.求极限21lim (1).x x x e x-→+∞+ 3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。
4.计算积分：21,Ddxdy y x+⎰⎰其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。
5.计算：2222,:21Cydx xdyI C x y x y-+=+=+⎰方向为逆时针。
6.设0,0,a b >>证明：11()().1b b a ab b++≥+ 二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明: ()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。
四、设22242220(,)0,0x y f x y x y x y ⎧+>⎪=+⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。
五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：2()(,),..()2()()().24a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+=六、()f x 在R上二次可导，,()0,x f x ''∀∈>R 又00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞→+∞''∃∈<=<=>R 证明：()f x 在R 上恰有两个零点。