刚体的转动
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动平面。
自由度S 3
1
3
3
6
引言2： 刚体角速度的特征
刚体角速度指的是自转角速度，与单质点的绕轴角 速度（单质点体积为零，没有自转）完全不同。
B
●
o p ●A
质点由A点运动到B点，对o轴的
角 位 移 是
，角速度
是 是
d
dt
； 对p
，角速度是
轴的角位移 d 。可见质
dt
点的绕轴角速度依赖于转轴的选
定义刚体对z轴的转动惯量：
z
ri
riz
J z ri 2mi
对质量连续分布的i刚体，Jz r 2dV
对于刚体，Jz 是常量。动力学方 程成为
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
J z
转动惯量是转动问题中系统惯性的
量度。上式可简写成：
M J
此称刚体定轴转动的转动定律。它
mi
2
2ri2
它与平动动能
Ek
m 2
2
2
mi ri2
i
v2 对应。
J 2
2
§5.2.1 几种典型刚体的转动惯量
1.均匀圆环对于中心垂直轴
选取质量元 dm
dm dl m Rd m d
R dm
2 R
2
d
dJ R2dm R2 m d
2
J 2 R2 m d mR 2
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角时的角 加速度，角速度。
解：非保守力 不作功，杆机 械能守恒。
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
J
2
J
1 3
ml
2
3g sin
l
d 3g cos
dt 2l
用守恒定理 比用转动定 律简单。
刚体动能的另一种表达式：科尼西定理
Cห้องสมุดไป่ตู้
rp R p
纯滚动条件：p点相对
速度为零。
ac
vp
vc
vc rp 0
vc R
或aC R
两者任择一。
【例】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同 的柱体，在斜面上作纯滚动，哪个滚得快？
要确定一个自由刚体的位 置，可按以下步骤进行：
1. 在 刚 体 上 任 选 一 个 点 A
（称为基点）, A点在空间
的位置由3个独立坐标强度
确定，S=3；
A●
2.过A点和刚体上任选的另一点 B, 作连线AB. 确定AB轴的空间 取向，需两个角坐标：S=2;
A●
3. 最 后 确 定 刚 体 绕 AB 轴 转 过 的 角度：S=1.
刚体在惯性系 中的动能=质 心动能+刚体 在质心系中的 动能(内动能)
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
m
l 2
2
1 2
Jc
2
Jc
1 ml2 12
质心动能 刚体对质心动能
§5.4.1 刚体的无滑动滚动 —— 纯滚动
刚体作平面平行运动时，质心作平面运动，刚体则 绕过质心的垂直轴转动。在转动刚体与其他刚体的 接触线上所有点，瞬间相对速度为零。此称纯滚动。
3
刚体杆对过质心 转轴的转动定理：
MC JC 4
MC
Nt
l 2
5
JC
1 ml 2 12
6
3g
cos
2l
1
将(5)(6)(1)代入(4), 解出
Nt
1 4
mg cos
7
刚体转轴受力
N Nnnˆ Nttˆ
5 m g sinnˆ 1 m gcostˆ
第5章 刚体的定轴转动
引言
§5.1 刚体的定轴转动定律 §5.2 刚体定轴转动定律的应用 §5.3 定轴转动刚体的角动量守恒条件 §5.4 定轴转动刚体的功能原理
引言1： 刚体运动按自由度分类
所谓自由度S，就是系统运动时独立变化坐标的数目。系统 若是单个质点，则沿指定轨道运动时，S=1; 质点被约束在 一个已知曲面上运动时，S=2; 质点不受任何约束时，S=3.
分
量
与ri的 乘 积
作用于刚体的总外力矩便是：
M z ri Fi sini
i
下一步推导刚体角动量在z轴方向的分量Lz:
z
L i
mi● ri
roi
vi
riz
●o
刚体vi 上 质元ro△i mi的（速r度iz 为 ri）
ri
刚体定轴转动中的动能定理：合外力矩对刚体所 做的功，等于刚体转动动能的增量：
W
Ek
Ek末 Ek初
J 2
22 12
力矩的功： W 2M d 1
刚体的重力势能： E p mghC (hc 是质心高度)
只有保守力做功时，Ek E p 常数
用机械能守恒原理重解上题：
Mi roi Fi roi Fi roi Fiz
上式中 Fi 是 Fi 在垂直z轴方向的分量。
Fz
z
Fi
mi● ri
Fi
roi
riz
●o
Mi roi Fi roi Fi roi Fiz
以上位移分解成两步：先取B为基点，随基点平移 rBB1到达
虚线三角形位置，再绕基点B1转过 角到达末位置。
C1
B
rBB1
rCC1
C
A
也可换一种方式分解：先随基点C平移rCC1 ，再绕基点
C1转过 角，到达末位置。显然， 。
可见，当刚体连续运动时，其运动可视为随基点的平动 +绕基轴的转动。前者因基点而异，后者与基点无关。
此刚体的位置已经唯一确定。
所以，自由刚体的自由度
S=6.
A●
●B ●B
运动 类型
平动
定轴 平面平 定点 转动 行运动 转动
自由 运动
运动 特征
质心作 基点自 转轴在惯 平 面 运 基 点 固 基 点 自 由运动, 性空间内 动,过质 定,刚体 由运动, 刚体随 固 定 , 刚 心 转 轴 绕 基 点 刚 体 绕 基点平 体绕转轴 垂 直 于 自 由 转 基 点 自 动。 自由转动。质 心 运 动。 由 转 动 。
Jc J
mc
质心
d
1 2
m
R2
R
知
1 4
m
R2
其他常用的转动惯量
圆柱体：
J对称轴
1 2
m R2
薄球壳：
J 直径
2 3
m R2
球体：
J 直径
2 5
m
R2
R R R
【例1】转轴O光滑无摩擦，初态静止，求杆下摆
到 角时的角加速度，角速度和杆转轴受的力。
初始位置
运动瞬
mg
间位置
解：1.画出作用于杆的全部外力
2、关于O轴的
N
转动定理
MO JO N n
Nt
此处
Mo
l cos
2
mg
mg
JO
1 3
m l2
解出：
3g
cos
2l
1
由求：
3g cos
2l
d
dt
d dt 因α是θ的函数，此方程需变形：
d dt d
d
0
d
0
o
o
绿色刚体作平动，角速 度为零，其质心绕o轴 作圆周运动。
绿色刚体的角速度 与其质心绕o轴的 角速度相等。
月球的转动称为自转，其随质心绕地球的转动称为 公转。
演示：刚体任意位移的分解
刚体的任意位移
=刚体随基点A的平移 r +刚体绕基点的转动
B
rBB1
B1
A
C
图中绿色三角形为刚体初位置，红色三角形为末位置 。现将
A1 ●
。但此时尚未达到次日中
o t=T1 午12点。
太阳
A● o t=0
T1=86141秒≈23小时56分
t=T2时刻，地球赤道上A 点再次出现在太阳正下
方，T2称为平均太阳日， 定义为24小时。
地球自转角速度
地球公转轨道
7.310-5 弧度 / 秒
§5.1 刚体的定轴转动定律（牛顿定律）
若刚体上各质点均绕同一轴作圆周运动，而该轴固定不动，
则称此运动方式为刚体的定轴转动。此种运动满足定轴转动
的角动量定理：
dL
M
1
dt
上式中 M 为作用于刚体的外力矩，L 为刚体的角动量 ，两者的
参考点必须是同一个惯性点或刚体质心。
取转轴为z轴，刚体只能绕z轴转动，垂直于z轴方向的角动量 分量皆为零。方程(1) 只有其z向投影有意义：
择，是一个相对量。
A
刚体的自转角指的是，刚体上
B
任意两点的连线相对于自身的
t+△t时刻 转角，如图中的 , 它不依赖
于转轴的选择，是一个绝对
量。角速度为 d 。
dt
t时刻
若刚体上任意两点的连线AB始终平行于自身 运动，则称此刚体运动方式为平动。刚体作 平动时，其上任意质点的轨迹可以是任意曲 线，且所有质点的轨迹全同。
0 2
J c m R2 相当于质量为m的质点对轴的J。
2. 均匀圆盘对于中心垂直轴
解：可视圆盘由许多小圆环组成。
CR m
dm ds 2rdr
m
R2
2
rdr
Cr r+dr
利用上题结果 dJ = r2 dm
J r 2dm m
Rr2
0
m
R2
2
rdr
1 2
2
4
tˆ
nˆ
mg
§5.3 定轴转动刚体的角动量守恒条件
1.若合外力矩的轴向分量为零：M=0， 则刚体角动 量守恒：Jω=常值 .
2.几个刚体绕同一定轴转动时，若合外力矩为零， 则刚体系总角动量守恒。
若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴，刚体角量 守恒，无论质心轴是否是惯性系。
§5.4 定轴转动刚体的功能原理
在北半球，地面有一个指向天空的自转角速度。纬度愈高，
此角速度愈大。地面观察者看到：悬空的单摆的摆动平面会
反方向旋转，角速度为z sin
.此称傅科摆。
A是赤道上某点。t=0时刻， 太阳位于A正上方，此为当 地时间中午12时。
A2● o
t=T2
t=T1时刻，地球自转角达 到2π，T1称为平均恒星日
ΔLmii对or点oi r的（oi 角动mv量i）i 为vi Li :
Li ro（i mi）vi
其z分量为 Liz ro（i mi）vi sin
ri (mi )vi ri 2(mi )
刚体总角动量的z分量为 Lz ri 2mi
i
mi●
与一维牛顿第二定律F=ma对应。
z
刚体定轴转动的动能表示式
vi roi
mi● ri
roi
vi
riz
●o
vi roi sin ri
质元 mi 的动能：
Eki
mi
2
v
3 i
mi
2
2ri2
刚体的动能：
Ek
i
Eki
i
mR 2
J 1 mR 2 2
3. 均匀细杆对质心轴及边缘轴
对质心轴 dm dx m dx
l
A 边 缘 轴
x C
m x
0
dx
L
L
2
2
质
心
轴
对边缘轴
dJ x2dm x2 dx
L
Jc dJ
m
2 x 2 dx
L 2
1 mL2 12
J A
L 0
x 2dx
0
3g
cos
2l
d
12 3g sin
2 2l
3g sin
2
l
(3) 求 刚 体 杆 上 轴受的的约束力
转 N
N'
杆质心作圆周运 动。其法向运动 方程为
Nn mg sin ma n
an
l 2
2
l 2
Nn
5 2
mg sin
1 3
mL2
可见，同一刚体对不同转轴的J不同。
§5.2.2 计算转动惯量的几条规律
1. 对同一轴可叠加： J Ji i
2. 平行轴定理： J Jc md 2
3. 对薄平板刚体有垂直轴定理：
z
Jz Jx Jy
yi
xi
ri
y
由
x
Δ mi
ri2mi xi2mi yi2mi
riz Fi ri Fi
垂直于 z轴
垂直于 z轴
平行于z轴， 是外力矩 Mi
的z向分量
Fz
z
Fi
Fi
mi i
●
ri
roi
riz
●o
于是得到外力矩的轴向分量：
Miz ri Fi
M
iz
ri Fi sin
Fi垂 直
i
于ri的
z(向天空)
B●
y(向东)
O地心
赤道面
纬度
x(向南)
-
2
地球绕南北地轴的自转 运动，可视为随地表B点 的平动+绕过B点平行于 地轴的轴的转动。
以B为原点的地表坐标系 如图所示。地球自转角 速度在地表坐标系中的z 向分量是
0 北半球
z cos sin 0 南半球
Mz
dLz dt
2
Fz
z
Fi
mi● ri
Fi
roi
riz
●o
我们来导出方程(2)左右两 边的具体表达式。先导出 外力矩的轴向投影Mz：
在刚体上任取质元Δmi ,设作用 于其上的外力为 Fi . 在转轴上
取一点O（惯性点或质心）为 力矩与角动量的参考点。 Δmi 受的外力矩为：
自由度S 3
1
3
3
6
引言2： 刚体角速度的特征
刚体角速度指的是自转角速度，与单质点的绕轴角 速度（单质点体积为零，没有自转）完全不同。
B
●
o p ●A
质点由A点运动到B点，对o轴的
角 位 移 是
，角速度
是 是
d
dt
； 对p
，角速度是
轴的角位移 d 。可见质
dt
点的绕轴角速度依赖于转轴的选
定义刚体对z轴的转动惯量：
z
ri
riz
J z ri 2mi
对质量连续分布的i刚体，Jz r 2dV
对于刚体，Jz 是常量。动力学方 程成为
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
J z
转动惯量是转动问题中系统惯性的
量度。上式可简写成：
M J
此称刚体定轴转动的转动定律。它
mi
2
2ri2
它与平动动能
Ek
m 2
2
2
mi ri2
i
v2 对应。
J 2
2
§5.2.1 几种典型刚体的转动惯量
1.均匀圆环对于中心垂直轴
选取质量元 dm
dm dl m Rd m d
R dm
2 R
2
d
dJ R2dm R2 m d
2
J 2 R2 m d mR 2
转轴光滑，初态静止，求下摆到θ角时的角 加速度，角速度。
解：非保守力 不作功，杆机 械能守恒。
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
J
2
J
1 3
ml
2
3g sin
l
d 3g cos
dt 2l
用守恒定理 比用转动定 律简单。
刚体动能的另一种表达式：科尼西定理
Cห้องสมุดไป่ตู้
rp R p
纯滚动条件：p点相对
速度为零。
ac
vp
vc
vc rp 0
vc R
或aC R
两者任择一。
【例】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同 的柱体，在斜面上作纯滚动，哪个滚得快？
要确定一个自由刚体的位 置，可按以下步骤进行：
1. 在 刚 体 上 任 选 一 个 点 A
（称为基点）, A点在空间
的位置由3个独立坐标强度
确定，S=3；
A●
2.过A点和刚体上任选的另一点 B, 作连线AB. 确定AB轴的空间 取向，需两个角坐标：S=2;
A●
3. 最 后 确 定 刚 体 绕 AB 轴 转 过 的 角度：S=1.
刚体在惯性系 中的动能=质 心动能+刚体 在质心系中的 动能(内动能)
势能零点
0
mg
l 2
sin
1 2
m
l 2
2
1 2
Jc
2
Jc
1 ml2 12
质心动能 刚体对质心动能
§5.4.1 刚体的无滑动滚动 —— 纯滚动
刚体作平面平行运动时，质心作平面运动，刚体则 绕过质心的垂直轴转动。在转动刚体与其他刚体的 接触线上所有点，瞬间相对速度为零。此称纯滚动。
3
刚体杆对过质心 转轴的转动定理：
MC JC 4
MC
Nt
l 2
5
JC
1 ml 2 12
6
3g
cos
2l
1
将(5)(6)(1)代入(4), 解出
Nt
1 4
mg cos
7
刚体转轴受力
N Nnnˆ Nttˆ
5 m g sinnˆ 1 m gcostˆ
第5章 刚体的定轴转动
引言
§5.1 刚体的定轴转动定律 §5.2 刚体定轴转动定律的应用 §5.3 定轴转动刚体的角动量守恒条件 §5.4 定轴转动刚体的功能原理
引言1： 刚体运动按自由度分类
所谓自由度S，就是系统运动时独立变化坐标的数目。系统 若是单个质点，则沿指定轨道运动时，S=1; 质点被约束在 一个已知曲面上运动时，S=2; 质点不受任何约束时，S=3.
分
量
与ri的 乘 积
作用于刚体的总外力矩便是：
M z ri Fi sini
i
下一步推导刚体角动量在z轴方向的分量Lz:
z
L i
mi● ri
roi
vi
riz
●o
刚体vi 上 质元ro△i mi的（速r度iz 为 ri）
ri
刚体定轴转动中的动能定理：合外力矩对刚体所 做的功，等于刚体转动动能的增量：
W
Ek
Ek末 Ek初
J 2
22 12
力矩的功： W 2M d 1
刚体的重力势能： E p mghC (hc 是质心高度)
只有保守力做功时，Ek E p 常数
用机械能守恒原理重解上题：
Mi roi Fi roi Fi roi Fiz
上式中 Fi 是 Fi 在垂直z轴方向的分量。
Fz
z
Fi
mi● ri
Fi
roi
riz
●o
Mi roi Fi roi Fi roi Fiz
以上位移分解成两步：先取B为基点，随基点平移 rBB1到达
虚线三角形位置，再绕基点B1转过 角到达末位置。
C1
B
rBB1
rCC1
C
A
也可换一种方式分解：先随基点C平移rCC1 ，再绕基点
C1转过 角，到达末位置。显然， 。
可见，当刚体连续运动时，其运动可视为随基点的平动 +绕基轴的转动。前者因基点而异，后者与基点无关。
此刚体的位置已经唯一确定。
所以，自由刚体的自由度
S=6.
A●
●B ●B
运动 类型
平动
定轴 平面平 定点 转动 行运动 转动
自由 运动
运动 特征
质心作 基点自 转轴在惯 平 面 运 基 点 固 基 点 自 由运动, 性空间内 动,过质 定,刚体 由运动, 刚体随 固 定 , 刚 心 转 轴 绕 基 点 刚 体 绕 基点平 体绕转轴 垂 直 于 自 由 转 基 点 自 动。 自由转动。质 心 运 动。 由 转 动 。
Jc J
mc
质心
d
1 2
m
R2
R
知
1 4
m
R2
其他常用的转动惯量
圆柱体：
J对称轴
1 2
m R2
薄球壳：
J 直径
2 3
m R2
球体：
J 直径
2 5
m
R2
R R R
【例1】转轴O光滑无摩擦，初态静止，求杆下摆
到 角时的角加速度，角速度和杆转轴受的力。
初始位置
运动瞬
mg
间位置
解：1.画出作用于杆的全部外力
2、关于O轴的
N
转动定理
MO JO N n
Nt
此处
Mo
l cos
2
mg
mg
JO
1 3
m l2
解出：
3g
cos
2l
1
由求：
3g cos
2l
d
dt
d dt 因α是θ的函数，此方程需变形：
d dt d
d
0
d
0
o
o
绿色刚体作平动，角速 度为零，其质心绕o轴 作圆周运动。
绿色刚体的角速度 与其质心绕o轴的 角速度相等。
月球的转动称为自转，其随质心绕地球的转动称为 公转。
演示：刚体任意位移的分解
刚体的任意位移
=刚体随基点A的平移 r +刚体绕基点的转动
B
rBB1
B1
A
C
图中绿色三角形为刚体初位置，红色三角形为末位置 。现将
A1 ●
。但此时尚未达到次日中
o t=T1 午12点。
太阳
A● o t=0
T1=86141秒≈23小时56分
t=T2时刻，地球赤道上A 点再次出现在太阳正下
方，T2称为平均太阳日， 定义为24小时。
地球自转角速度
地球公转轨道
7.310-5 弧度 / 秒
§5.1 刚体的定轴转动定律（牛顿定律）
若刚体上各质点均绕同一轴作圆周运动，而该轴固定不动，
则称此运动方式为刚体的定轴转动。此种运动满足定轴转动
的角动量定理：
dL
M
1
dt
上式中 M 为作用于刚体的外力矩，L 为刚体的角动量 ，两者的
参考点必须是同一个惯性点或刚体质心。
取转轴为z轴，刚体只能绕z轴转动，垂直于z轴方向的角动量 分量皆为零。方程(1) 只有其z向投影有意义：
择，是一个相对量。
A
刚体的自转角指的是，刚体上
B
任意两点的连线相对于自身的
t+△t时刻 转角，如图中的 , 它不依赖
于转轴的选择，是一个绝对
量。角速度为 d 。
dt
t时刻
若刚体上任意两点的连线AB始终平行于自身 运动，则称此刚体运动方式为平动。刚体作 平动时，其上任意质点的轨迹可以是任意曲 线，且所有质点的轨迹全同。
0 2
J c m R2 相当于质量为m的质点对轴的J。
2. 均匀圆盘对于中心垂直轴
解：可视圆盘由许多小圆环组成。
CR m
dm ds 2rdr
m
R2
2
rdr
Cr r+dr
利用上题结果 dJ = r2 dm
J r 2dm m
Rr2
0
m
R2
2
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1 2
2
4
tˆ
nˆ
mg
§5.3 定轴转动刚体的角动量守恒条件
1.若合外力矩的轴向分量为零：M=0， 则刚体角动 量守恒：Jω=常值 .
2.几个刚体绕同一定轴转动时，若合外力矩为零， 则刚体系总角动量守恒。
若对过质心轴合外力矩为零，则对该轴，刚体角量 守恒，无论质心轴是否是惯性系。
§5.4 定轴转动刚体的功能原理
在北半球，地面有一个指向天空的自转角速度。纬度愈高，
此角速度愈大。地面观察者看到：悬空的单摆的摆动平面会
反方向旋转，角速度为z sin
.此称傅科摆。
A是赤道上某点。t=0时刻， 太阳位于A正上方，此为当 地时间中午12时。
A2● o
t=T2
t=T1时刻，地球自转角达 到2π，T1称为平均恒星日
ΔLmii对or点oi r的（oi 角动mv量i）i 为vi Li :
Li ro（i mi）vi
其z分量为 Liz ro（i mi）vi sin
ri (mi )vi ri 2(mi )
刚体总角动量的z分量为 Lz ri 2mi
i
mi●
与一维牛顿第二定律F=ma对应。
z
刚体定轴转动的动能表示式
vi roi
mi● ri
roi
vi
riz
●o
vi roi sin ri
质元 mi 的动能：
Eki
mi
2
v
3 i
mi
2
2ri2
刚体的动能：
Ek
i
Eki
i
mR 2
J 1 mR 2 2
3. 均匀细杆对质心轴及边缘轴
对质心轴 dm dx m dx
l
A 边 缘 轴
x C
m x
0
dx
L
L
2
2
质
心
轴
对边缘轴
dJ x2dm x2 dx
L
Jc dJ
m
2 x 2 dx
L 2
1 mL2 12
J A
L 0
x 2dx
0
3g
cos
2l
d
12 3g sin
2 2l
3g sin
2
l
(3) 求 刚 体 杆 上 轴受的的约束力
转 N
N'
杆质心作圆周运 动。其法向运动 方程为
Nn mg sin ma n
an
l 2
2
l 2
Nn
5 2
mg sin
1 3
mL2
可见，同一刚体对不同转轴的J不同。
§5.2.2 计算转动惯量的几条规律
1. 对同一轴可叠加： J Ji i
2. 平行轴定理： J Jc md 2
3. 对薄平板刚体有垂直轴定理：
z
Jz Jx Jy
yi
xi
ri
y
由
x
Δ mi
ri2mi xi2mi yi2mi
riz Fi ri Fi
垂直于 z轴
垂直于 z轴
平行于z轴， 是外力矩 Mi
的z向分量
Fz
z
Fi
Fi
mi i
●
ri
roi
riz
●o
于是得到外力矩的轴向分量：
Miz ri Fi
M
iz
ri Fi sin
Fi垂 直
i
于ri的
z(向天空)
B●
y(向东)
O地心
赤道面
纬度
x(向南)
-
2
地球绕南北地轴的自转 运动，可视为随地表B点 的平动+绕过B点平行于 地轴的轴的转动。
以B为原点的地表坐标系 如图所示。地球自转角 速度在地表坐标系中的z 向分量是
0 北半球
z cos sin 0 南半球
Mz
dLz dt
2
Fz
z
Fi
mi● ri
Fi
roi
riz
●o
我们来导出方程(2)左右两 边的具体表达式。先导出 外力矩的轴向投影Mz：
在刚体上任取质元Δmi ,设作用 于其上的外力为 Fi . 在转轴上
取一点O（惯性点或质心）为 力矩与角动量的参考点。 Δmi 受的外力矩为：