高二竞赛讲义多项式的插值与差分

高二数学竞赛班二试讲义

第3讲 多项式的插值与差分

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一、知识点金

1．拉格朗日插值公式：存在唯一的一个次数不超过1n -的多项式()f x 满足

(),1,2,,i i f x y i n ==⋅⋅⋅（()f x 的图象经过n 个不同点(,)i i x y ）；并且()f x 可表示为

2313121213121232()()()()()()

()()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=++⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-

12121111121121()()()()()()

()()()()()()()()

n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x -----------⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--++-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--

2．对于函数()f x 及固定的0h ≠，()()f x h f x +-称为()f x 的步长为h 的一阶差分，记

作1()h f x ∆。

11

()()(2)2()()h h f x h f x f x h f x h f x ∆+-∆=+-++，称为()f x 的步长为h 的二阶差

分。记作211

()()()h h h f x f x h f x ∆=∆+-∆。

一般地，()f x 的步长为h 的n 阶差分定义为11

()(())n n h h h f x f x -∆=∆∆。

3．对于函数()f x ，有0

()(1)

()n

n n i

i h

n i f x C f x ih -=∆=

-+∑

数学归纳法证明：1n =时结论显然成立。假设0

()(1)

()n

n n i

i h

n i f x C f x ih -=∆=-+∑，

则1

()(1)()(1)()n

n

n n i

i n i i

h

n

n i i f x C f x h ih C f x ih +--==∆

=-++--+∑∑

1

1

1

1

(1)

()(1)()n n n i i n i

i n

n

i i C

f x ih C f x ih +-+--===-+--+∑∑（1i -代替上式0

n

i =∑中i 的位置）

1

110

(1)()()n n i i i n n i C C f x ih +-+-==-++∑ （注意：定义10n C -=，1

0n n C +=） 1110

(1)()n n i i n i C f x ih +-++==-+∑ 因此0

()(1)

()n

n

n i

i h n i f x C f x ih -=∆=

-+∑对一切正整数n 成立。

4．设1

110()m m m m f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，当n m ≤时，()n h f x ∆是一个

m n -次多项式；而对于n m >，()n h f x ∆恒为零。

证明：由定义可知，100()()()[()][]m m

h m m f x f x h f x a x h a a x a ∆=+-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+

1m m mha x -=+低次项，这是一个1m -次多项式，首项为1m m mha x -，依此类推，

11()!m m h m f x m h a x --∆=+常数项，()!m m h m f x m h a ∆=，从而当n m >时，()0n h f x ∆=。 5．综合第3、4条，取步长1h =，可得出

（1）设()f x 是m 次多项式，首项系数为m a ，则00,,(1)()!,,n n i i

n i m m n C f x i m a m n -=<⎧-+=⎨=⎩

∑若若

（2）特别地，取()m

f x x =，并在上面等式中取0x =，得欧拉恒等式

00,

,(1)(1)!,,n

i

i m

n

n

i m n C i n m n =<⎧-⋅=⎨-=⎩∑若若

6．整值多项式：如果当x 取整数时，复系数多项式()f x 为整数，则称()f x 为整值多项式。

整系数多项式当然都是整值多项式。但组合数(1)(1)!

k

x x x x k C k -⋅⋅⋅-+=是非整系数的整值

多项式。

7．n 次复系数多项式()f x 为整值多项式的充分必要条件是，它可表示成

11

110n n n x n x x a C a C a C a --++⋅⋅⋅++，其中(0,1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅均为整数，且0n a ≠

证明：充分条件是显然的。现证明必要性。以n

x C 除()f x ，商必为常数，设为n a ，则 1()()x n n f x a C f x =+，1()f x 或者为零，或者次数小于n ；在用1n -次多项式1n x C -除1()f x ，如此进行，便得到11

110()n n n x n x x f x a C a C a C a --=++⋅⋅⋅++，这种表示显然是惟一的。

二、例题分析

例1．设n 次多项式()f x 满足1

1

()(0,1,,)k

n f k k n C +=

=⋅⋅⋅。求(1)f n +。 例1．法一：由多项式插值公式得，0

0()()n

k i k

i n

x i

f x f k k i

=≠≤≤-=

-∑∏

，对于m n >，有 10

(1)()()()(1)

(1)()()!()!n

n n k

n k k n k

m m k k k m m m n f m f k f k C C m k k n k -----==-⋅⋅⋅-=-=---∑∑

所以00,(1)(1)1n

n k

k n f n n -=⎧+=

-=⎨⎩∑若为奇数，，若为偶数

法二：因为n 次多项式()f x 的1n +阶差分为零，所以

1

110

(1)

()0n n i

i

n i C f x i ++-+=-+=∑

令0x =，并以11()(0,1,,)i n f i i n C +==⋅⋅⋅代人，得110

(1)(1)

()0n

n i i

n i f n C f i +-+=++-=∑ 所以00,(1)(1)1n

n i

i n f n n -=⎧+=-=⎨⎩∑若为奇数，，若为偶数

例2．设n 次多项式()f x 满足1

()(1,2,,1)f k k n k

==⋅⋅⋅+。求(2)f n +。 例1．法一由多项式插值公式得。略

法二：因为n 次多项式()f x 的1n +阶差分为零，所以

1110

(1)

()0n n i

i n i C f x i ++-+=-+=∑

令1x =，并以1()(0,1,,)f i i n i ==⋅⋅⋅代人，得110

1(2)(1)

01n

n i i

n i f n C i +-+=++-⋅=+∑ 111

2

00,11(2)(1)[(11)(1)1]2222

n

n i i n n n i n f n C n n n n -++++=⎧⎪+=-⋅=-+--+=⎨++⎪+⎩∑为奇数，

，为偶数