大学物理竞赛第三讲

e= A −B ) A
v0 P S v1
GM 0 m = A − C ( A − C )2
mv 2 0
mv 2 0
ρ
G γM 0 m = ( A − C )2
2
A P2
B C P1
B ρ= A
A2 − B 2 = C 2
GM 0 m = A − C ( A − C )2 mv 2 0 GγM 0 m = ( A − C )2 ρ
C = e= A
1− γ e= γ
A2 − B 2 A
v1 A P2 B C P1
例（21届，10分）一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ，半径为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为 2m，速度 GM 为 v= 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向追上卫星并 和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。 假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的 方向， （1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e （2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此 时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断 。 解： (1) 碰撞前卫星的速度
偏心率
GM v= R
a − r近 e= = 0.63 a
在近地点
a r=2R
(2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒
GM v= R
2m
GM GM −m + 2m = ( 2m + m )v ′ R 2R
2R
m M R
2 2 − 1 GM v′ = 3 2R
新星体的能量
GM ( 3m ) 1 M ( 3m ) 2 =− <0 E = ( 3m )v ′ − G 2 × 1.2 R 2 2R
2 2 2
4GMc 由② v 1 − v = b2
(a − c ) 2 2 v2 = GM 2 ab
(a − c ) 2 2 v2 = GM 2 ab
b
v1 P2 a c P1
GM L = m (a + c )v2 = mb a
1 Mm GMm 2 E = mv 2 − G =− 2 a+c 2a
dF1x = dF1 cos α
环带上A: t
R
A l r l
α α
Y
dF1
•
dF1
R x o
dθ
dF1 y = dF1 sin α
θ
dF2 x = dF2 cos α
环带上B:
dF2
m
dF2
dF2 y = dF2 sin α
B
由对称性可知：环带对m的引力分量
M 环m dF = G cos α l2 M 环＝ρdV dV = 2πR sin θ ⋅ Rdθ ⋅ t = 2πtR sin θdθ
sin θdθ cos α 2 l 变量：l、α、θ
t
R
l
R
dθ
θ
α r α
l
•
m
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一个密度均匀的球壳对球壳外一质点的引力，等效于球壳的所 有质量都集中于它的中心时的引力。
r 2 − R2 F = ∫ dF = 2 ∫r − R ( l 2 + 1)dl r M 球m πGtρmR (4πR 2 ρt )m ＝ ⋅ 4R = G =G 2 2 2 r r r
2
∑ dF
iy
=0
sin θ dθ cos α 2 l
⇒ dF = G ⋅ 2π t ρ mR 2
l、 α、 θ
dF = G ⋅ 2πtρmR 2
r − R cos θ 其中： α = cos l l 2 = r 2 + R 2 − 2 Rr cos θ 2ldl = 2 Rr sin θdθ ⇒ πGtρmR r 2 − R 2 代入得：dF = ( )( + 1)dl 2 2 r l 则整个球壳对质点m的引力：
r+R
πGtρmR
开普勒三定律
开普勒第一定律 （几何定律） 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳 处在所有椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律 （面积定律） 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等 的时间内扫过相等的面积。 开普勒第三定律 （周期定律）
a
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二 次方的比值都相等。 3
二、椭圆在 P1点的曲率半径为 三、椭圆轨道的偏心率为
a2 − c2 = b2
b2 ρ= a
a 2 − b2 a
c e= = a
例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发 生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 γ 倍，行星 随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提 示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则 2 2 解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点 先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况 对圆轨道 P 点： 对椭圆轨道 P1 点：
P2 C
v1 P1
A−C 1 = A γ
因为 γ < 1 ，因此上式不成立 。 故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。
解二：椭圆轨道的角动量
mv 1 ( A − C ) = mv 2 ( A + C )
① ②
1 Mm 1 Mm 2 2 mv 1 − G = mv 2 − G 2 A−C 2 A+C
当N个人全部跳车后，车的速度
mv r v车 = − ∑ n =1 M + nm
N
如图所示：两根长度均为l的刚性细杆，一端用质量为 m的球形铰链相连，两杆另一端分别安装质量为m和 2m的小球。开始时两杆并拢，铰链球朝上，竖直放置 在光滑桌面上，从静止释放，下面两球开始向两边滑 动，两杆始终保持在同一铅垂面内，设三球本身的大 小，轻杆的质量以及各种摩擦均可忽略。 试求：1铰链球碰桌面时的速度 2当两杆夹90度角时，质量为2m的小球速度 分析：系统水平动量守恒，当铰链 球碰地时，三球的水平速度为零（ 刚性要求）
椭圆轨道 对比
GMm E=− 2a
a = 1.2 R < 2 R
在远地点
r−a e= = 0.67 a
新星与 M 在近地点时的距离
GM v= R
2m
m M 2R R
r近＝2a − r = 0.4 R < R
可以和大新球两者可以发生碰撞
r=2R
a = 1.2 R < 2 R
a
2011年竞赛题
作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者所 作功的代数和必为零。（ ）
v1 cos 45 = ( u1 + u2 ) cos 45 v 2 cos 45 = ( u2 − u1 ) cos 45
1 3 v2 = (1 − ) gl 10 2
行星绕着恒星运动问题
例：一总质量为M密度均匀的球壳，它的厚度t远比它的
解：球壳上取一环带
半径R小，求：它对球壳r外一个质量为m的质点的引力。
A 对
答案： B
B 不对
v
F
s
l
子弹和木块的位移不等 作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者对 同一点力矩之和必为零。（ ） A 对 B 不对 答案： A
质量为m的小球系在不可伸长的细线的一端，细线 的另一端系于一根竖直的固定圆柱上端O（O点在柱 轴上）。给小球一定初速，使细线逐渐缠绕在柱上 ，如图，在缠绕过程中（ ）。
a =k 2 T
由于角动量 L 的方向不变，表明 r 和 v 所决定的平面方位 不变。行星的轨道是一个平面轨道，L 垂直于这个面。
角动量的大小为
L = mvr sin α = m
dr dt
r sin α
L
v
r
α
m
Δr
Δr r sin α = lim m Δt → 0 Δt
dS = 2m dt
开普勒第二定律:
2 v0 Mm G =m 2 (2 R) (2 R)
R
m M
GM v0 = 2R
2R
R
2m
小流星与卫星碰撞，动量守恒
m M 2R 2m R
GM GM m + 2m = ( 2m + m )V 2R R 4+ 2 V= 6
GM R 1 M (3m ) GM (3m ) 2 新星体的能量 E = (3m )V − G =− <0 2 2R 2 × 5.4 R GMm 对比 a = 5.4 R> 2 R 椭圆轨道 E=− 2a
A 小球的动能守恒 B 小球的机械能守恒 C 小球对O点的角动量的竖直分量守恒 D小球对O点的角动量的水平分量守恒
答案： B
O
m
物体系机械能守恒
1 mgl = mu 2 2 u = 2 gl
自由落体速度，说明两球对铰链球无作用力。 2 分析：设分别四个速度，如图 水平方向动量守恒 机械能守恒 约束关系：杆上下两端小球沿杆 长方向的速度分量相等
mv 1 + mu1 − 2mv 2 = 0 1 1 1 1 2 2 2 2 mv 1 + m ( u1 + u2 ) + 2mv 2 = mgl (1 − ) 2 2 2 2
1 dS = r dr sin α 2
行星绕太阳运动时，行星对太阳的矢径单位时间扫 过的面积保持不变。
引力应该是一个有心力，才有角动量守恒。 近似把行星的椭圆轨道用圆轨道代替，则向心加速度
v2 an = R mv 2 太阳的引力为 F = man = R 2π R 周期 T = 开普勒定律 v
m1 / R12 F1 / F2 = m2 / R2 2
mv 2 0
①
B2 ρ= A