第1讲线性科学到非线性科学的转变

公选课《非线性分析选讲》

欧柳曼

副教授

第一讲：线性科学概要

主要内容

1、线性关系的基本概念，线性关系的表达，线性关系的判断

2、处理线性问题的方法

3、线性化处理

4、线性观的局限性

引言

●认识规律：简单到复杂

例如：物理学家首先考察没有摩擦的理想摆（图1-1）、理想斜面实验（图1—2）、没有黏滞的理想流体（图1—3），温度梯度很小的热流等；

图1—1 理想摆实验

在墙上挂一个以锁为摆锤的摆（悬挂点离开墙尽可能远一点），使摆锤从某一偏角的位置释放，观察摆锤达到的高度。然后用一根细木棍或毛线针垂直于墙壁顶在悬挂点正下方的一定位置上，释放摆锤，使摆线扫过平衡位置时受到木棍或毛线针的阻挡而改变原来的运动路径，如图1—1，观察摆锤达到的高度。通过重复实验表明，当阻力很小的时候，

图1—2 理想斜面实验

找一张较长的硬纸板和一本硬封面的练习本，按图1－2所示的方法利用几本书将硬封面的练习本垫成固定的斜面，再使硬纸板与斜面的下端对接，分别使硬纸板处于图中A、B、C、D的状态。实验时将一节5号干电池从固定斜面的同一高度E处释放，观察干电池的运动情况。由实验你能得到什么结论吗？

假想:如果设想没有摩擦，让小球从斜面滚下，观

察它在对接斜面上的运动情况.

推理:

a. 小球将会达到滚下前的高度.

b. 如果对接斜面倾角越小，小球在斜面上保持运动的距离越远.

c. 如果对接斜角倾角为零，成为水平面，小球将以恒定速度永远运动下去，如演示：

伽利略理想斜面实验

伽利略理想斜面实验1

图1—3 粘滞流实验

库仑用液体内悬吊圆盘摆动实验证实流体存在内摩擦

说明：①黏性产生的原因是由于分子间的引力

②理想流体不表现出黏性

③静止流体不表现出黏性

④如果没有摩擦，那么曲线呈现的是周期性图像。

●近代自然科学的产生和发展也是从研究线性系统这种简单对象开始的。

1、线性关系是指量与量之间的正比关系。在数学表达上就是线性函数：

y ax b =+(,a b 为常量)

在直角坐标系里，这是用一根直线表征的线性关系，如图

这是最简单的一维线性关系，二维

或二维以上的线性关系可以用线性组

合，线性不等式，线性方程等来表达，

判断的依据就是表达式中项的最高次幂

为1。

一、线性关系的基本概念

z ax by =+()a b 和为常量112233u a x a x a x =++123()

a a a 其中,和为常量等等。

在数学上，主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。如果算子Y 满足：

⎩⎨⎧=+=+)

()()()()(u Y u Y v Y u Y v u Y αα其中，α为常数，u、v为任意函数，则称算子为线性算子。否则称为非线性算子。线性系统中部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解。线性理论是研究线性系统的理论，主要包括：牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论和量子力学理论等，它有成熟的数学工具，如线性方程、曲线，以及微积分等数学方

二、处理线性问题的方法

叠加原理是处理线性问题的依据，线性代数中所讲的线性组合就是其一，而我们常说的“线性运算具有对加法和数乘运算的封闭性”就是对叠加原理的通俗表达。所以选修这门课程最好是具备线性代数的基础知识。

叠加原理(或叠加性质或可加性)

在数学物理中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果，等于这些不同原因单独产生效果的累加。例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛，数学上线性方程，线性问题的研究，经常使用叠加原理。

“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成

反应是由每个刺激单独产生的反应之和。”

即：如果输入A 产生反应X，输入B 产生Y，则输入A+B 产生反应(X+Y)。

用数学的话讲，对所有线性系统F(x)=y，其中x 是某种程度上的刺激（输入）而y 是某种反应（输出），刺激的叠加（即“和”）得出分别反应的叠加。

在数学中，这个性质更常被叫做可加性。在绝大多数实际情形中，F 的可加性表明它是一个线性映射，也叫做一个线性函数或线性算子。

叠加原理适用于任何线性系统，包括代数方程、线性微分方程、以及这些形式的方程组。输入与反应可以是数、函数、向量、向量场、随时间变化的信号、或任何满足一定公理的其它对象。注意当涉及到向量与向量场时，叠加理解为向量和。

三、线性化处理方法

线性化处理的方法很多，如在微积分中有种常用的技巧，对于幂函数和指数函数常常用取对数的方法是使之简化，因为对数运算可以把幂指运算转化为加法和乘法运算，这就转换成了我们更熟悉、更擅长的问题。还可以运用微分中值定理（泰勒公式的特殊情形）可以将非线性函数线性化（一类近似处理），曲线（线性）拟合方法，线性回归分析等等。

例1、（取对数法）对b

y ax =等号两边取自然对数，得ln ln ln y a b x

=+ln ,ln Y y X x ==ln Y a bX

=+令得这是一个线性函数，这样我们就完成了线性化处理。

例2、在做曲线拟合时，常用的是最小二乘法（method of least squares）。线性拟合很简单，非线性模型的拟合就难多了。为了降低拟合难度，很多时候我们可以把模型转换为线性的形式。利用matlab软件来做拟合（目前其它软件也有提供曲线拟合的工具）对于函数b y ax =x ，y 为需要拟合的数据，用数组方式输入；

n 表示多项式的最高阶数，特别地，当n=1时可以省略；输出参数p 为拟合多项式的系数。调用格式为p= polyfit(x,y,n)，其中：

也可以用非线性拟合函数polyfit 来拟合，