工程电磁场

1S1 2 S 2 q0
1 2 1 2

E1 E2 1 ex
1

q0 ex 1 S1 2 S 2
注意
泊松方程和拉普拉斯方程推导应用了静电场基本方程； 泊松方程和拉普拉斯方程只适用于各向同性、 线性的均匀媒质；
1 0
2
2 0
2
2 2
1 1 3 3
2

1

=0
3 0
2
同一媒质中的有源区和无源区要分别列出泊松 方程和拉普拉斯方程；
1 0
D1n ΔS D2 n ΔS
侧面
D dS ΔS E E 1 1n 2 2n
ΔL 0
当
D2 n D1n
0
D1n D2 n
结论：分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当σ=0 时， D 的法向分量连续。
第 一 章
静 电 场
③ 静电场的折射定律 在不同媒质分界面处，场 量的方向会发生变化。 当交界面上 0 时，
折射定律
第 一 章
静 电 场
例
试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 解 分界面衔接条件
D2 n D1n ，E1t E2t
1 2 1＝2 ，1 2 n n 导体中 E1＝0 ，D1=0 D2 n E 2 n ， E2t 0
2 2 n
解：忽略边缘效应
图（a）

D1 D2

d1 d 2
0
E dl U 0
图1.3.5 平行板电容器 图（b）

1 E1 2 E2
E1d1 E2 d 2 U 0
E1
E2

2U 0 ex 1d 2 2 d1
1U 0 ex 1d 2 2 d1
tan 1 1 tan 2 2
折射定律有关说明：
折射定律
1
1
tan 1
1
2
tan 2
1、折射定律只适用于分界面无自由电荷分 布时的情况。 2、折射定律表示电通密度D的方向在两介 质分界面处的变化情况。 3、当D线从ε小的媒质进入ε大的媒质时， D线将偏离法线，折射角变大。
根据
E1t l1 E2 t l1
l E dl 0
l 2
E dl 0
L2 0
介质分界面
E2 t E1 t
D2 t
结论： 分界面两侧 E 的切向分量连续。
2

D1t
1
第 一 章
静 电 场
② D的衔接条件 包围点 P 作高斯面
根据
D dS
S
q
介质分界面
第 一 章
静 电 场
1.3 静电场基本方程〃分界面上的衔接条件
Basic Equation and Boundary Condition 1. 静电场基本方程 ( Basic Equation ) 积分形式 微分形式 构成方程
E dl 0 D dS q
l
S
E 0
D
E2 (20ex 10ey )V / m ，求 D2 ，D1 和 E1 。
解
D2 2 E2 0 (40ex 20ey )c / m2
D1n D2 n 20 0
E1n D1n 4V / m
E1t E2t 20V / m
D1t 1 E1t 100 0 1 E1 (20ex 4ey )V / m
第 一 章
静 电 场
④ 用电位函数 表示分界面上的衔接条件
设 P1 与 P2 位于分界面两侧，d 0
1 2 lim E dl 0 p d 0
1
P2
因此 若
电位的衔接条件
1 2 电位连续
1 2
E
则
E
第 一 章
静 电 场
a1 b1 b2
分析静电场 的依据
D E D 0 E P
静电场是无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源 微分形式描述了各点及邻域的场量情况，可以更深 刻更精确了解场的分布，更便于进行分析和计算。
第 一 章
静 电 场
例
在真空中设半径为a的球内分布着电荷体密度 为ρ(r)的电荷，已知球内场强E=(r3+Ar2)er,wenku.baidu.com ρ(r)及球外的电场强度。
导体与电介质分界面
分介面介质侧
表明
2 1 C ,
① 导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直； ② 导体表面上任一点的 D 等于该点的 。
第 一 章
静 电 场
例 设 y 0 是两种电介质的分界面，在 y 0 的区域 内 1 5 0 ，在 y 0 的区域内 1 2 0 ，在此分界 面上无自由电荷。已知在 y 0 的区域内
1
a2
2
a a b b E1t Δl U1 E2 t Δl U 2
1 2 1 2
U1 U 2 E1t E2t
1 2
等价
E1t E2t
1 2 D1n 1E1n 1 , D2 n 2 E2 n 2 n n 1 2 2 得 1 n n 表明: 一般情况下 ( 0) ,电位的导数是不连续的。
E 0
D
2
E
E E E
0
2
当 =0时
泊松方程
拉普拉斯方程
2 2 2

2
拉普拉斯算子
2 2 2 x y z
2
第 一 章
静 电 场
球内总电荷为

V
dV 4 r 2 dr 4 0 (a5 Aa 4 )
0
a
由高斯定律可得
a5 Aa 4 E er 2 r
(r a)
第 一 章
静 电 场
2.泊松方程与拉普拉斯方程
(Poisson’s Equation and Laplace’s Equation)
由 D2 n D1n ，其中
第 一 章
静 电 场
结论
D 的衔接条件 D2 n D1n D 的法向分量不连续
E 的衔接条件
E2 t E1t
E 的切向分量连续。
的衔接条件
1 2
电位连续
电位的法向导数不连续
1 2 1 2 n n
tan 1 1 tan 2 2
D1 0 (100ex 20ey )c / m2
例 如图(a) 与图(b) 所示平行板电容器,已知 d1 , d 2 , S1 , S 2 ,1 和 2 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷q0 , 试分别求其中的电场强度。
E1 E2
E1
E2
（ a） 图 平行板电容器 （ b）
1 2 D ( 0 E ) 0 2 (r Er ) 0 5r 2 4Ar r r
解 采用球坐标系，E 与r方向相同，
球外电场的分布具有球对称性，可得
2 D dS E dS 4 r E 0
2
2
2
第 一 章
静 电 场
3. 分界面上的衔接条件（Boundary Condition)
当电场中存在不同媒质时，在不同媒质分界面处，场量 的大小和方向会发生变化，有必要了解分界面上场量所应满 足的条件，这些条件称为不同媒质分界面上的衔接条件。
① E 的衔接条件
围绕点 P 作一矩形回路
D1n D2 n
1E1 cos 1 2 E2 cos 2
E1 sin 1 E2 sin 2
介质分界面
E1t E2 t
对于各向同性线性介质，在交界面上不存在 满足折射定律。
tan 1 1 tan 2 2
折射定律
E 、D 时，
第 一 章
静 电 场