二重积分的极坐标计算方法

转换x , y
D {(r, ) , g ( ) r g ( )}
1
2
2 1
-2
-1
-1
-2 2
1
D
-2
-1
-1
-2
4. 平面区域的极坐标表示法实例
圆盘 D { (x, y) x2 y 2 4 }
将平面区域视为分布在某个角度内的
1
2
无穷条射线（段）束的组合
D { (r, ) 0 2 , 0 r 2 }
1
D { (x, y) (x 2)2 y2 4 }
0.5
D
D { (r, ) ，0 r f ( ) }
0.5
1
1.5
2
2
2
-0.5
(x 2)2 y2 4 (r cos 2)2 r2 sin 2 4
-1
r 2 4r cos 0 r 4 cos f ( )
D
D
g1 ( )
6. 用极坐标计算二重积分操作步骤与实例
i) 画出区域的草图； ii) 写出二重积分区域 D 在极坐标下 的表示形式 ( 这是关键）;
D { ( r, ) , g1( ) r g2 ( ) }
iii) 把二重积分化为极坐标下的累次积分（先积 r 后积 的内外两个 定积分）;
1 0
r dr 1 r2
1 2
ln(1
r
2
)
1 0
ln 2
2
;
2
I2
D
xy
区域关于 x 轴对称
d
1 x2 y2
被积函数对于 y 是奇函数
0
；
I
D
1
1 x2
xy
y
2
d
I1 I2
2
ln 2
.
求 [ x2 y2 y] d , 其中 D 是由圆 x2 y2 4
D
和 (x 1)2 y2 1 所围成的平面区域 (2004 年考研试题）
§8. 二重积分在极坐标系下的计算方法 1. 极坐标的意义和极坐标与直角坐标的转换公式
x P(x, y) x r cos ,
r
y
y r sin ;
d
d r dr
d 1 (r dr)2 d 1 r 2 d r drd 1 (dr)2 d r drd
2
2
2
2. 二重积分在极坐标系下的形式
ydxdy ydxdy ydxdy
D
D D1
D1
0
2
2 sin
dx ydy d r sin rdr
2 0
0
0
2dx
2
sin
r3 3
2 sin 0
2
4
8 3
sin
4
d
4
8 12
(1
2
2cos 2
1
cos 4
2
)d
2
2
4
2 (
3
sin
2
2
sin 4 )
8
2
4
2
.
和直线 y = - x 围成的区域。（2000年考研数学试题）
解:易见，D { (r, ) 0 , 0 r 2asin }
4
I
D
x2 y2
0
2 a sin
d d
4a2 x2 y 2
0
r
rdr
4a2 r 2
2 a sin 0
r 2 asin t
0
0
4
d
dr 2 a costdt
计算二重积分
I
D
1 1 x2
xy
y
2
d
,
其中 D { (x, y) x2 y2 1 , x 0 } (2006 年考研试题）
解：I
D
1
1 x2
xy
y
2
d
D
1 1 x2
y2 d
D
xy 1 x2
y2 d
I1 I2
,
I1
D
1 1 x2
y2 d
2
d
1 0
r dr 1 r2
D { (r, ) ，0 r 4cos }
2
2
0.5
0.4
0.3 0.2
D
0.1
直径为 1，圆心在点 ( 1 ，0) 2
处的右偏心圆上半部
0.2
0.4
0.6
0.8
1
D { (x, y) (x 1)2 y2 1 且 y 0}
2
4
{ (r, ) 0 ，0 r f ( ) }
2
x y 4 r cos r sin 4 r
4
f ( )
sin cos
D { (r,) 0 , 0 r
4
}
2
sin cos
5. 二重积分在极坐标系下的累次积分公式
g2 ( )
f (x, y) d f (r cos,r sin )r dr d d f (r cos ,r sin )r dr
{ (r, ) 0 , 0 r
1
}
2
sin cos
x
1
y
2
sin cos
sin
e xy d d e rdr sin cos
D
0
0
1
2
sin
e sin cos
(
1
)2 d
sin
1 e sin cos
20
sin cos
2
2 0
e 1 2
.
8. 利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐 标计算二重积分的实例 （1）利用被积函数可加性问题
D { (r, ) 0 ，0 r f ( ) }
D 2
x2 (y 2)2 4 r2 cos (r sin 2)2 4
1
r2 4r sin 0 r 4sin f ()
-2 -1
1
2
D { (r, ) 0 ，0 r 4sin }
直径为 1 ，圆心在点 (0 ，1) 处的上偏心圆右半部
例 计算二重积分 ydxdy，其中 D 是由曲线 x 2y y2
D
和直线 x = -2 , x 轴， y = 2 围成的区域。（1999年考研数学试题）
2
D D1 1
-2
解：区域 D 如图所示.
记 D1 { (r, )
2
, 0 r 2sin }
易见，D D1 { (x, y) 2 x 0 , 0 y 2 }
下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分 e( x2 y2 ) sin( x2 y 2 )dxdy ,
D
其中 D { (x, y) x2 y2 } (2003年考研试题）
2
解： e(x2y2 ) sin( x2 y2 )dxdy d e(r2 ) sin( r 2 ) rdr
4
x 1 r cos 1 r 1 f ( ) cos
D { (r, ) 0 , 0 r 1 }
4
cos
D 由直线 y x , y 4 , 及 x 0 围成的平面区域。
4
D
yx
4
D D { (x, y) 0 x 4, x y 4 } x
D { (r, ) , 0 r f ( ) }
2
1
D { (x, y) x2 ( y 1)2 1 且 x 0 }
24
0.8
{ (r, ) 0 ，0 r f ( ) }
2
x2 ( y 1)2 1 r 2 cos (r sin 1)2 1
0.6
D
0.4
24
24
r2 r sin 0 r sin f ()
D
0
0
tr2
e(t ) sin tdt
0
tr2
e et sin tdt e I ,
0
I
et
sin tdt
(et ) sin t
0
(et ) costdt
0
0
e t
costdt
(et ) cost
0
(et ) ( sin t)dt
0
0
e 1 et sin tdt e 1 I ,
解出r
r g( )
例如: 直线 y 3x 2
转换 x, y
r sin 3r cos 2
r
2
sin 3cos
即此直线的极坐标方程为 r g( )
2
.
例如: 曲线(圆) x2 y2 1
sin cos
转换 x, y
r2 cos2 r2 sin 2 1 r 1
即此曲线(圆)的极坐标方程为 r g( ) 1 .
2
3
16
3
2
8cos3
3
d
2
16
3
8 (sin
3
sin 3
) 3
3 2 2
16 32 ;
39
而 yd 0 , ( 因为积分区域关于 x 轴为对称,
D
被积函数为关于 y 的奇函数 ）
[ x2 y2 y]d x2 y2 d yd
D
D
D
16 (3 2) .
9
（2）利用区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算问题
0
I 1 (e 1) 原式 e I (1 e ) .
2
2
y
例 计算二重积分 I e xy d ，其中 D 由直线 x = 0 , y = 0 与
x + y = 1 所围成。 D
解：区域 D 如图所示.
y
D
易见，D { (x, y) 0 x 1 , 0 y 1 x }
例如: 抛物线 y x2
r sin r2 cos2 r g( ) tan sec
平面区域的极坐标表示形式：
D { ( r, ) , g ( ) r g ( ) }
1
2
直角坐标区域表示形式转换为极坐标区域表示形式：
D D {(x, y) a x b,h(x) y g(x)} x
0
4a2 sin 2 t 2a costdt 4a2 (1 sin 2 t)
a
4
0
d 2a2 (1 cos 2t)dt
0
-a
4
2a2
0
(
1 2
sin
2
)d
a2 ( 2 1).
16 2
4
设 D { (x, y) x2 y2 x }, 求 xdxdy.
D
1/2
1
（1998年考研数学试题） 解：区域 D 如图所示.
f (x, y)d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r g( ) , 其中 g 为已知函数。
直角坐标曲线方程转换为极坐标曲线方程：
转换x , y
y f (x) r sin f (r cos )
扇形 D { 半径为 1 ，夹角为 ，起始角度为 }
6
6
1
2
D { (r, ) , 0 r 1 }
6
3
半环形 D { 大小半径分为 1 ，2 ，起始角度为 0 }
2
1.5
D
D { (r,) 0 , 1 r 2 }
1
0.5
-2
-1
1
2
半径为 2，圆心在点 (2，0) 处的右偏心圆
g2 ( )
f (x, y)d d f (r cos , r sin ) r dr
D
g1 ( )
iv) 视 为参数，先对 r 计算内层定积分; 再对 计算外层定积分。
例 计算二重积分：
x2 y2
d
D 4a2 x2 y2
，其中 D 是由曲线
y a a2 x2 (a 0)
解 : [ x2 y2 y] d
D
x2 y2 d y d ,
D
D
其中 x2 y2 d
D
x2 y2 d x2 y2 d
D大圆
D小圆
3
3
2 2
d r rdr
Hale Waihona Puke Baidu
2 2cos( )
d r rdr
8 2 d
2
2 c os
d r 2dr
00
0
03
0
2
2
(x 1)2 y2 1 (r cos 1)2 r 2 sin 2 1
2
4
2
4
r2 r cos 0 r cos f ()
D { (r, ) 0 ，0 r cos }
2
半径为 2 ，圆心在点 ( 0 ，2 ) 处的上偏心圆
4
3
D { (x, y) x2 ( y 2)2 4 }
0.2
D { (r, ) 0 ，0 r sin }
2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
D 由 y 0 , y 1 , x y 和 x 1 所围 ；
D D { (x, y) 0 x 1, 0 y x } x
1
yx
D
1
D { (r, ) 0 , 0 r f ( ) }
易见，D { (r, ) , 0 r cos }
2
2
2
cos
I xd d r cos rdr
D
0
2
2
2
cos
2
r
5 2
5
d cos
0
2 5
2
cos3
d
2
2 5
2
(1
sin
2 )d (sin )
8. 15
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标
9. 极坐标系下累次积分与直角坐标系下累次积分的互 换问题
b
g(x)
dx f (x, y)dy f (x, y)d
a
h(x)
D
( )
f (r cos,r sin ) rdrd d f (r cos,r sin ) r dr
4
2
y 4 r sin 4 r 4 f ( ) s in
D { (r, ) , 0 r 4 }
4
2
s in
D 是由 x y 4 , y 0 和 x 0 所围区域 ；
D Dx { (x, y) 0 x 4, 0 y 4 x }
4
x+y 4
D
4
D { (r, ) 0 , 0 r f ( ) }