平行四边形的识别及同步练习

学科：数学教学内容：平行四边形的识别学习目标1．掌握平行四边形识别的四种方法．2．能综合运用平行四边形的性质和识别的方法去解决一些实际问题．学法指导1．平行四边形的定义是识别平行四边形的最基本的方法，要把它和四种识别方法加在一起灵活地运用．2．通过定理的证明，使我们逐步学习分别从题设或结论出发，运用综合法和分析法寻找几何证明思路．3．判断一个命题是否正确，可采用反例法，即举出一个符合题设，但不符合结论的例子．基础知识讲解平行四边形的识别方法1．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3．对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．5．除以上四种识别方法外，还有一种最基本的识别方法，即两组对边分别平行的四边形为平行四边形，这种方法也叫定义法．重点难点重点：利用平行四边形的识别方法来判断一个四边形是否是平行四边形．难点：五种识别方法的选择是本章的难点，综合应用平行四边形的性质和识别方法来解决实际问题也是本章的难点．易错误区分析1．利用本节内容解题时常犯“错用识别方法”的错误．例如：已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．求证：四边形AECF是平行四边形错证：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD，OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC＝∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．正确证：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO＝∠CFO＝90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC∴E、O、F三点共线∴四边形AECF是平行四边形例如：判断命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是否正确错解：这个命题正确分析：错解的原因主要是与一组对边平行且相等的识别方法相混淆．正确解法：这个命题不正确，例如：如图12-1-20，作一个□ABCD（其中∠A是锐角）以C为圆心，以CB为半径画弧交AB的延长线于点E，连结CE，则有CD∥AE，AD＝CE，显然四边形AECD虽满足命题的条件，但它不是平形四边形．典型例题例1．已知如图12-1-21所示，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，M、N是AB、CD上的点，且BM＝DN.求证：四边形MENF是平行四边形．分析：由平行四边形的识别方法按照已知条件应从边入手，由已知及平行四边形可知△AME≌△CNF，则有ME＝NF，同理△AMF≌△CNE，则有MF＝NE证明：在□ABCD中，AB CD ∴∠1＝∠2又∴BM＝DN ∴AM=CN且AE=CF ∴△AME≌△CNF（SAS）∴ME＝FN 同理可证△AMF≌△CNE ∴MF＝NE∴四边形MENF是平行四边形例2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A 重合，再焊接上去最简单．证明：在Rt△ABC中∵AC＝BC ∴∠B=45°又∵E、D分别为AC、BC的中点∴EC＝DC ∴∠CED＝∠CDE＝45°∴∠AEF＝∠CED＝45°∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°∴F、E、D在一条直线上∵∠EAF＝∠C＝90°∴AF∥CD又∵AF＝CD＝DB ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°例3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便．分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．证明方法（一）在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．∴△ABF≌△CDE ∴AF＝CE同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∵BF＝DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形例4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行．解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行．如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形．例5．如图12-1-24，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，AB＝8cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm／秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm／秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，t为何值时四边形PQCD为平行四边形分析：要使四边形PQCD为平行四边形，因为PD∥QC，只要满足PD=QC即可解：∵AD∥BC ∴只要PD＝QC时，四边形PQCD就是平行四边形此时有24-t＝3t解得t＝6 ∴当t＝6时，四边形PQCD为平行四边形．创新思维例1．如图12-1-25，△ABC是边长为a的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB交AC，BC于点E、F，作GH∥BC交AB，AC于点G、H，作MN∥AC交AB、BC于M、N，请你猜想EF+GH+MN的值是多少？其值是否随P位置的改变而变化，并证明你的结论分析：把线段EF、MN、GH通过平行四边形或等边三角形，利用相等的线段转移到同一条边AB上．解：EF+GH+MN＝2a，EF+GH+MN的值不随P的位置改变而变化．证明：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°∵GH∥BC ∴∠AGH＝∠B＝60°，∠AHG＝∠C＝60°∵△AGH是等边三角形∴GH=AG=AM+MC……（l）同理可证：△BMN是等边三角形∴MN＝MB＝MG+GB (2)∵MN∥AC，EF∥AB∴四边形AMPE是平行四边形∴PE＝AM同理可证四边形BFPG是平行四边形∴PF＝GB∴EF＝PE+PF＝AM+GB (3)（l）+（2）+（3）得EF+GH+MN＝AM+GB+MG+GB+AM+MG＝2（AM+MG+GB）＝2AB＝2a例2．已知如图12-1-26所示，△ABC中，AB＝9，AC＝10，试求BC边上中线AD的取值范围．分析：求线段的取值范围只有把已知线段和所求线段平移到一个三角形中，由三角形的三边关系来确定线段的取值范围，由题意可知：根据已知三角形ABC求作一个平行四边形即可求得．解：如图所示延长AD至E，使AD＝DE，连结BE、CE∵AD＝DE BD＝DC∴四边形ABEC为平行四边形∴AC＝BE=10在△ABE中，AB＝9，BE＝10∴10-9＜AE＜1O+9，即1＜AE＜19∴＜AD＜9．5例3．如图12-1-27，在□ABCD中MN∥AC且交DA延长线于M，交DC延长线于N，交AB 于P，交BC于Q．（1）请指出图中平行四边形的个数．（2）图中MP与NQ能相等吗？为什么？分析：由AD∥BC可得AM∥QC同理可得PA∥NC解：（1）有3个平行四边形即□AMQC，□APNC，□ABCD（2）MP与NQ能相等因为MQ＝AC PN＝AC所以MQ＝PN因为MP＝MQ-PQ QN＝PN-PQ所以MP＝NQ中考练兵1．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CDC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC解：由平行四边形的识别方法可得A、B、D．都能判定四边形ABCD是平行四边形，因为有一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平形四边形，所以选C．2．已知四边形ABCD中AC与BD交于点0，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下4种说法，其中说法正确的是（）①如果再加上条件“BC＝AD”那么四边形ABCD一定是平行四边形．②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，则四边形ABCD一定是平行四边形．③如果再加上条件“AO＝CO”那么四边形ABCD一定是平行四边形．④如果再加上条件“∠DBA=∠CA B”，则四边形ABCD一定是平行四边形．A．①和②B．①③和④C．②和③D．②③和④分析：关于①由AB∥CD知∠ABD＝∠CDB，如果用AD＝BC及DB＝BD一般地不能得到△ABD≌△CDB或△ACB≌△CAD关于②由AB∥DC知∠ABD＝∠CDB，如果∠BAD＝∠BCD，再用BD＝DB可得△ABD≌△CDB，于是AB＝DC，进而AB DC．关于③由AB∥CD知∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，若AO＝OC 则△AOB≌△COD于是AB＝DC，即AB DC，故可得□ABCD．关于④由∠DBA=∠CAB知OA＝OB，又AB∥CD知∠DBA=∠BDC，同理也会有OC＝OD且OA不一定等于OC，如图12-1-28所示就是一个反例解：综合上述知②③正确，故选C随堂演练一、填空题1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF 是 .2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 则四边形ABEC是四边形．3．在四边形ABCD中∠A＝50°欲使四边形为平行四边形，则∠B= ，∠C＝，∠D＝ .4．在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形．5．如图12-1-29，在□ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有个平行四边形．6．在□ABCD中连结BD作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q 在线段BD上，且BP＝DQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除□ABCD外）有个，它们是 .二、选择题1．能判断四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等C ．一组对边平行，一组邻角互补D ．一组对边相等，一组邻角相等2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ） A ．已知平行四边形的两邻边 B ．已知平行四边形的两邻角 C ．已知平形四边形的两对角线 D ．已知平行四边形的两边及夹角3．平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（ ） A ．20和18 B ．40和50 C ．60和30 D ．32和504．如图12-1-30所示，已知□ABCD 的对角线的交点是O ，直线EF 过O 点且平行于BC ，直线GH 过O 且平行AB ，则图中有（ ）个平行四边形．A ．5个B ．6个C ．7个D ．10个5．能判定四边形为平行四边形的是（ ）A ．一组对角相等B ．两条对角线互相垂直C ．两条对角线互相平分D ．一对邻角互补 6．以下结论正确的是（ ）A ．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形．B ．一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形．C ．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形．D ．对角线相等的四边形是平行四边形．7．在□ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，如果点E ，F 分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF 不一定是平行四边形的是（ ）A ．AE 、CF 分别平分∠DAB 、∠BCD B ．AE ，CF 使∠BEA ＝∠CFDC ．E 、F 分别是BC 、AD 的中点D ．BE ＝53BC ，AF ＝52AD 8．□ABCD 对角线交点为O ，△OBC 的周长为59cm ，且AD ＝28cm ，两对角线之差为14cm ，则对角线长为（ ）A ．12cm 和9cmB ．24cm 和38cmC ．8．5cm 和22．5cmD ．15．5cm 和29．5cm 三、解答题1．如图12-1-31所示，在□ABCD 中，AE 平分∠BAD ，CF 平分∠BCD ，四边形AECF 是平行四边形吗？2．如图12-1-32所示，四边形ABCD 中∠B ＝∠D ，∠1＝∠2，则四边形ABCD 是平行四边形吗？为什么？3．如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB 上一点，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？4．如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°，FD⊥AD于D，求证四边形ABCD是平行四边形．5．如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MD∥AB，NE∥AC求证：BD＝DE＝CE参考答案一、填空题1．平行四边形点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2．平行四边形3．130°，50°，130°4．平行四边形点拨：由题意可得两组对边分别平行5．4个点拨：□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB6．3个□AECF，□APCQ，□AMCN二、选择题1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B三、解答题1．解：四边形AECF是平行四边形点拨：由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°，即∠AEC+∠ECF＝18O°，所以AE∥CF，故四边形AECF 是平行四边形．2．解：四边形ABCD是平行四边形由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°，所以AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．3．解：是平行四边形点拨：AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四边形．4．证明：∵BD⊥AD ∴∠BDA=90°∵∠DBC＝90°，DC＝AB，DB＝DB∴△ADB≌△CBD ∴AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形5．证明：∵NE，MD互相平分∴四边形MNDE为平行四边形∴MN DE又∵MD∥AB，NE∥AC ∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形∵MN＝BD，MN＝CE ∴BD=DE＝CE。