《导数应用举例》PPT课件

【点评】有关“超越型不等式”的证明，构造函数， 应用导数是常用证明方法．
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第14二讲 │函数备建用模例题
例 2 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB＝20 km，CB＝10 km，为了处理三 家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且与 A， B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO， BO，OP，设排污管道的总长为 y km.
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【解析】(1)设容器的容积为 V，
由题意知 V＝πr2l＋34πr3，又 V＝803π，
故 l＝V－πr432πr3＝38r02－43r＝43(2r02 －r)．
由于 l≥2r，因此 0＜r≤2.
所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(2r02 －r)×3＋4πr2c，
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第14讲 │ 知识梳理
(3)f(x)>m 恒成立等价于m__<_f_(x_)_m_i_n ；f(x)<m 恒成立等价于 _m_>_f_(_x_)m_a_x．
2．求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要 关系； (2)建模：找出自变量与函数的解析式和定义域； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：最后将结果应用于现实，作出解释或验证．
(1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠ABO＝θ(rad)，将 y 表示成 θ 的 函数关系式； ②设 OP＝x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式； (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位 置，使三条排污管道总长度最短．
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第14讲 │ 备用例题
[解答] (1)①设AB的中点为Q，由条件知PQ垂直平分AB， 若∠ABO＝θ(rad)，则OB＝cBoQsθ＝c1o0sθ，故OA＝c1o0sθ. 又OP＝10－10tanθ， 所以y＝OA＋OB＋OP＝c1o0sθ＋c1o0sθ＋10－10tanθ， 所求函数关系式为y＝20－co1s0θsinθ＋100<θ<π4.
度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半
球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且 l≥2r.假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每
平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为
c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
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(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
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一 利用导数解决不等式问题
【例 1】证明：当 x>0 时，ln(1＋x)>x＋2x2.
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【证明】 设 f(x)＝ln(x＋1)－x＋2x2(x>0)， 所以 f′(x)＝x＋1 1－x＋422＝x＋1x2x＋22. 又 x>0，所以 f′(x)>0， 所以 f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 所以 f(x)>f(0)＝0，即 ln(x＋1)>x＋2x2(x>0)．
当 θ∈0，π6时，y′<0，y 是 θ 的减函数；
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第14讲 │ 备用例题
当θ∈π6，π4时，y′>0，y是θ的增函数， 所以当θ＝π6时，ymin＝10＋10 3. 这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边
10 3
3
km处．
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三 利润最高或成本最低问题
【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长
因此 y＝4π(c－2)r2＋16r0π，0＜r≤2.
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(2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－16r02 π ＝8πcr－2 2(r3－c－202)，0＜r＜2. 由于 c>3，所以 c－2>0.
当 r3－c－202＝0 时，r＝ 3
20 c－2.
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c－202＝m，则 m＞0，
当 c>29时，建造费用最小时 r＝ 3 c－202.
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知识梳理
1．在闭区间[a，b]上的连续函数 y＝f(x)，在[a，b]上必有 最大值与最小值．
(1)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤 是：①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数 y＝f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值．
确定污水处理厂的位置，使三条排污管 道总长度最短．
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第14二讲 │函数备建用模例题
例 2 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB＝20 km，CB＝10 km，为了处理三 家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且与 A， B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO， BO，OP，设排污管道的总长为 y km.
所以 y′＝8πcr－2 2(r－精选m课)件(rp2p＋t rm＋m2)．
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①当 0＜m＜2 即 c>92时， 当 r＝m 时，y′＝0； 当 r∈(0，m)时，y′＜0； 当 r∈(m,2)时，y′>0. 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
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②当 m≥2 即 3＜c≤29时， 当 r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 综上所述，当 3＜c≤92时，建造费用最小时 r＝2；
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第14讲 │ 备用例题
②若OP＝x(km)，则OQ＝10－x， 所以OA＝OB＝ －x2＋102＝ x2－20x＋200， 所求函数关系式为y＝x＋2 x2－20x＋200(0<x<10)．
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第14讲 │ 备用例题
(2)选择函数模型①， y′＝－10cosθ·cosθ－co2s02－θ 10sinθ－sinθ ＝102csoins2θθ－1. 令 y′＝0 得 sinθ＝12，因为 0<θ<π4，所以 θ＝π6.