《导数应用举例》PPT课件
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高数课件3-6导数在经济上的应用举例
边际收益：增 加一单位产量 所增加的收益
边际利润：边 际收益减去边
际成本
边际分析在经 济决策中的应 用：通过比较 边际成本和边 际收益，确定 最优产量和价
格
弹性分析
需求弹性：衡量消费者对价格变化的敏感程度 供给弹性：衡量生产者对价格变化的敏感程度 交叉弹性：衡量两种商品之间的替代关系 收入弹性：衡量消费者收入变化对消费需求的影响
公司
导数在经济上的应 用举例
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01
导数在经济分析中的应用
02
导数在金融领域的应用
03
导数在市场分析中的应用
04
导数在生产决策中的应用
05
导数在资源分配中的应用
06
01
添加章节标题
01
导数在经济分析中的应用
边际分析
边际成本：增 加一单位产量 所增加的成本
导数在风险评估中的局限性：导数只能预测短期趋势，不能预测长期趋势，因此需要结合其他方 法进行风险评估。
风险评估的实际应用：在金融领域，风险评估被广泛应用于股票、债券、期货等投资产品的风险 评估。
投资组合优化
导数在投资组合优化中的应 用：通过计算导数，找到最 优的投资组合
投资组合：将资金分散到不 同的资产中，以降低风险
资源利用和环境保护的平衡
导数在经济学中的应用：通过导数分析资源分配的优化问题
资源利用和环境保护的关系：资源利用过度会导致环境破坏，而保护环境 需要限制资源利用 导数在资源分配中的应用：通过导数分析，找到资源利用和环境保护的平 衡点
案例分析：某地区如何通过导数分析，实现资源利用和环境保护的平衡
资源分配的效率和公平性
导数及其应用课件PPT
(2)极大值点与极大值
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做 函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点 、 极小值点 统称 为极值点， 极大值 和极小值 统称为极值.
解析答案
12345
5.已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，若函数 f(x)在 x＝1 处取得 极值－43，则 b＝________，c＝________.
解析答案
课堂小结 1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变 量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值 的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的 交点问题.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出 实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法 等价转化思想的应用 例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值， 在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
解析答案
12345
2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值 情况为( )
A.极大值为247，极小值为 0
B.极大值为 0，极小值为247
C.极大值为 0，极小值为－247
D.极大值为－247，极小值为 0
如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0，则把点b叫做 函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点 、 极小值点 统称 为极值点， 极大值 和极小值 统称为极值.
解析答案
12345
5.已知关于 x 的函数 f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，若函数 f(x)在 x＝1 处取得 极值－43，则 b＝________，c＝________.
解析答案
课堂小结 1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变 量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值 的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的 交点问题.
解析答案
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出 实数a的值；若不存在，请说明理由.
解析答案
思想方法 等价转化思想的应用 例 4 已知函数 f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1 在 x＝x1 处取得极大值， 在 x＝x2 处取得极小值，且 0＜x1＜1＜x2＜2. (1)证明：a＞0； (2)求 z＝a＋2b 的取值范围.
解析答案
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2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值 情况为( )
A.极大值为247，极小值为 0
B.极大值为 0，极小值为247
C.极大值为 0，极小值为－247
D.极大值为－247，极小值为 0
导数及其应用PPT教学课件
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
则平均变化率为
Vf 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
Vx
x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) f (x1)
x x y
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
=6Δx+(Δx)2
再求 Vf 6 Vx Vx
再求 lim Vy 6 Vx0 Vx
小结：
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由键是求出：Vf Vx 3 Vx
lim 再求出 Vf Vx0 Vx
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
瞬时速度?
• 我们用 lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”.
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
导数的应用 经典课件(最新)
8×1S50003＝1
0002×（8 S5
000－S3），令
u′＝0，解得
S＝20，当
S＜20
时，u′＞0；当
S
＞20 时，u′＜0，所以当 S＝20 时，u 取到最大值．因此甲方应向乙方要求的赔付价格 S
是 20(元/吨)时，获得的净收入最大．
高中数学课件
高频考点 2 利用导数研究恒成立问题及参数求解 【例 2.1】 设函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．若 f(x)≥ag(x)恒成立，求实数 a 的取值范围．
(1)将乙方的实际年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润 的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利 润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价 格 S 是多少？
高中数学课件
解：(1)因为赔付价格为 S 元/吨，所以乙方的实际年利润 w＝2 000 t－St，∴w′＝
【思路点拨】 令 φ(x)＝f(x)－ag(x)，只需φ(x)min≥0 即可，利用导数求出 φ(x)的最
小值，进而求出 a 的取值范围． 【解】 已知 f(x)≥ag(x)恒成立， 即 ln(1＋x)≥1a＋xx恒成立． 设 φ(x)＝ln(1＋x)－1a＋xx(x≥0)， 则 φ′(x)＝1＋1 x－（1＋a x）2＝（x＋1＋1－x）a2，
高中数学课件
(4)根据不等式恒(能)成立问题求参数的取值范围主要有三种解题思路：①不分离参 数，带着参数进行讨论函数的单调性和极值情况；② “全分离”参数，转化为函数最值 问题；③“半分离”参数，一般情况下是不等式的两边一边是具体的“超越函数”，另 一边是含参数的基本初等函数(多为过定点的直线系)，根据不等式的关系判断两个函数图 象的相对位置关系，从而达到解决问题的目的．
导数的应用教学课件ppt
乘法法则
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
对于两个函数f(x)和g(x)，其导数分别为f'(x)和g'(x)，则两函数积的导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
幂法则
对于一个函数f(x)，其导数为f'(x)，则(x^n)'=nx^(n-1)。
导数计算的常见问题与解决方案
常见问题
在导数计算中，容易出现一些错误，如符号错误、运算错误 、化简错误等。
导数可以用来求函数的极值、单调区间、凹凸区间等
导数在其他领域中的应用
导数可以用来解决物理、经济、工程等领域中的一些问题，如物体运动时的加速 度、经济学中的边际效应、工程中的曲率等等
02
导数的计算
极限与导数
极限的定义
极限是函数在某一变化过程中， 某个变量的变化趋势，通常用符 号lim表示。
导数的定义
与其他学生或老师交流讨论，及时解决学习中遇 到的问题。
THANKS
导数的深入研究
1
深入理解导数的定义和计算方法，包括高阶导 数和复合函数的导数。
2
研究导数在函数性质、曲线形状、极值等方面 的应用，以及在实际问题中的应用。
3
探讨导数在数学中的地位和作用，以及与其他 数学分支的联系。
导数在未来的应用前景
分析导数在金融、经济、工程等领域 的应用前景，例如最优化问题、供应 链管理、计算机图形学等。
导数的应用教学课件ppt
xx年xx月xx日Biblioteka contents目录
• 导数的概念及背景 • 导数的计算 • 导数在函数性质研究中的应用 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的进一步探讨与展望
01
导数应用举例
§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
导数应用ppt课件
工具
第二章 函数、导数及其应用
x
(－3，－2) －2
－2，23
2 3
23，1
f′(x)
＋0－0 Nhomakorabea＋
f(x)
极大值
极小值
工具
第二章 函数、导数及其应用
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13，在x＝ 23 处取得极小值 f32＝9257，又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9257.
令1－2sin x＝0，且x∈0，π2时，x＝π6，
当x∈0，π6时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈π6，π2时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴f(x)max＝fπ6.故选B.
答案： B
工具
第二章 函数、导数及其应用
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数， 则a的最大值是________． 解析： f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)＝0⇒a＝3. 答案： 3
由原点到切线 l 的距离为 1100，则 3|m2＋| 1＝ 1100，
工具
第二章 函数、导数及其应用
解得m＝±1. ∵切线l不过第四象限，∴m＝1. 由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4， ∴c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ . 当x变化时，f(x)和f′(x)的变化情况如下表：
因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，
即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
感谢您的观看
汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
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导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
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度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半
球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且 l≥2r.假
设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每
平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为
c(c>3)千元．设该容器的建造费用为 y 千元．
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12
(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r.
所以 y′＝8πcr－2 2(r－精选m课)件(rp2p＋t rm＋m2)．
15
①当 0＜m＜2 即 c>92时， 当 r＝m 时，y′＝0； 当 r∈(0，m)时，y′＜0； 当 r∈(m,2)时，y′>0. 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点．
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16
②当 m≥2 即 3＜c≤29时， 当 r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 综上所述，当 3＜c≤92时，建造费用最小时 r＝2；
(1)按下列要求写出函数关系式： ①设∠ABO＝θ(rad)，将 y 表示成 θ 的 函数关系式； ②设 OP＝x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式； (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的来自 置，使三条排污管道总长度最短．
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7
第14讲 │ 备用例题
[解答] (1)①设AB的中点为Q，由条件知PQ垂直平分AB， 若∠ABO＝θ(rad)，则OB＝cBoQsθ＝c1o0sθ，故OA＝c1o0sθ. 又OP＝10－10tanθ， 所以y＝OA＋OB＋OP＝c1o0sθ＋c1o0sθ＋10－10tanθ， 所求函数关系式为y＝20－co1s0θsinθ＋100<θ<π4.
确定污水处理厂的位置，使三条排污管 道总长度最短．
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6
第14二讲 │函数备建用模例题
例 2 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB＝20 km，CB＝10 km，为了处理三 家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且与 A， B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO， BO，OP，设排污管道的总长为 y km.
【点评】有关“超越型不等式”的证明，构造函数， 应用导数是常用证明方法．
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第14二讲 │函数备建用模例题
例 2 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB＝20 km，CB＝10 km，为了处理三 家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界)，且与 A， B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO， BO，OP，设排污管道的总长为 y km.
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第14讲 │ 知识梳理
(3)f(x)>m 恒成立等价于m__<_f_(x_)_m_i_n ；f(x)<m 恒成立等价于 _m_>_f_(_x_)m_a_x．
2．求解应用题的一般步骤(四步法) (1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要 关系； (2)建模：找出自变量与函数的解析式和定义域； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)评价：最后将结果应用于现实，作出解释或验证．
因此 y＝4π(c－2)r2＋16r0π，0＜r≤2.
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14
(2)由(1)得 y′＝8π(c－2)r－16r02 π ＝8πcr－2 2(r3－c－202)，0＜r＜2. 由于 c>3，所以 c－2>0.
当 r3－c－202＝0 时，r＝ 3
20 c－2.
3 令
c－202＝m，则 m＞0，
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1
知识梳理
1．在闭区间[a，b]上的连续函数 y＝f(x)，在[a，b]上必有 最大值与最小值．
(1)求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤 是：①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数 y＝f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值．
当 θ∈0，π6时，y′<0，y 是 θ 的减函数；
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10
第14讲 │ 备用例题
当θ∈π6，π4时，y′>0，y是θ的增函数， 所以当θ＝π6时，ymin＝10＋10 3. 这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边
10 3
3
km处．
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11
三 利润最高或成本最低问题
【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长
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13
【解析】(1)设容器的容积为 V，
由题意知 V＝πr2l＋34πr3，又 V＝803π，
故 l＝V－πr432πr3＝38r02－43r＝43(2r02 －r)．
由于 l≥2r，因此 0＜r≤2.
所以建造费用 y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43(2r02 －r)×3＋4πr2c，
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第14讲 │ 备用例题
②若OP＝x(km)，则OQ＝10－x， 所以OA＝OB＝ －x2＋102＝ x2－20x＋200， 所求函数关系式为y＝x＋2 x2－20x＋200(0<x<10)．
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第14讲 │ 备用例题
(2)选择函数模型①， y′＝－10cosθ·cosθ－co2s02－θ 10sinθ－sinθ ＝102csoins2θθ－1. 令 y′＝0 得 sinθ＝12，因为 0<θ<π4，所以 θ＝π6.
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一 利用导数解决不等式问题
【例 1】证明：当 x>0 时，ln(1＋x)>x＋2x2.
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【证明】 设 f(x)＝ln(x＋1)－x＋2x2(x>0)， 所以 f′(x)＝x＋1 1－x＋422＝x＋1x2x＋22. 又 x>0，所以 f′(x)>0， 所以 f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 所以 f(x)>f(0)＝0，即 ln(x＋1)>x＋2x2(x>0)．
当 c>29时，建造费用最小时 r＝ 3 c－202.
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