5.2专升本不定积分的计算
专升本积分公式
专升本积分公式专升本是指通过参加高职院校的专升本考试，获得本科学历的一种途径。
而专升本积分是评定考生是否能够被录取的重要指标之一，它是根据考生的学历、工作经验、职称等方面的情况进行综合评定的。
下面，我将为大家介绍一下专升本积分的计算公式及其具体内容。
我们来看一下专升本积分的计算公式，它包括以下几个方面：1. 学历积分：根据考生的最高学历进行评定，一般本科学历为100分，大专学历为80分，中专及以下学历为60分。
2. 工作经验积分：根据考生的工作经验进行评定，工作满一年为5分，最高不超过15分。
3. 职称积分：根据考生的职称情况进行评定，高级职称为10分，中级职称为8分，初级职称为5分。
4. 奖惩积分：根据考生的奖惩情况进行评定，奖励为加分，惩罚为减分，具体分值根据情况而定。
5. 文化水平积分：根据考生的英语水平进行评定，英语四级为5分，英语六级为10分，其他语种的水平也可以进行评定。
通过以上几个方面的综合评定，最终得出的总分就是考生的专升本积分。
根据专业的不同，不同学校对于录取分数线也有所不同，一般来说，积分越高，被录取的机会就越大。
除了上面提到的几个方面，还有一些特殊情况也会影响到考生的积分情况。
比如，对于退役军人、贫困地区考生、少数民族考生等特殊群体，会有相应的政策倾斜，给予额外的积分或加分。
还有一些学校会根据考生的报考志愿进行加分，比如报考人文社科类专业的考生会得到额外的加分。
值得一提的是，虽然专升本积分是评定考生录取的重要指标之一，但并不是唯一的标准。
学校还会综合考虑考生的面试成绩、综合素质等方面的情况，综合评定考生是否能够被录取。
专升本积分是评定考生是否能够被录取的重要指标之一。
它是根据考生的学历、工作经验、职称等方面的情况进行综合评定的。
通过学历积分、工作经验积分、职称积分、奖惩积分、文化水平积分等方面的计算，得出的总分就是考生的专升本积分。
通过提高积分，考生可以增加被录取的机会。
但需要注意的是，积分只是评定录取的一部分，学校还会综合考虑其他方面的情况，最终综合评定考生是否能够被录取。
专接本 数学不定积分基本公式(很有用)
不定积分基本公式设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。
记作∫f(x)dx。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。
也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.由不定积分定义，若F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C不定积分几何意义F(x)+C为无穷多条曲线，通常称为f(x)的积分曲线族。
由[F(x)+C]'=F'(x)=f(x)可知，在点x处，积分曲线族中每条曲线有相同的导数，按导数的几何意义，由相同的切线斜率，即切线平行，于是有：∫f(x)dx表示一族曲线，族中每条曲线在点x处有平行的切线.常见不定积分公式1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1. ∫adx = ax+C (a 为常数)2. ∫sin(x)dx = -cos(x)+C3. ∫cos(x)dx = sin(x)+C4. ∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 49. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 411.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C13.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)15.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C20.∫e x dx = e x +C21.∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x。
江苏专转本高等数学_不定积分(让你熟练掌握不定积分)
第三章 不定积分本章主要知识点：● 不定积分的意义，基本公式● 不定积分的三种基本方法● 杂例一、不定积分的意义、基本公式不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于：基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。
1．性质()()()f x dx f x '=⎰()()()d f x dx f x dx =⎰⎰+=C x F x dF )()(()()f x dx f x C '=+⎰()(1)()n n f dx f x C -=+⎰2．基本公式（1）11(1)1nn x dx x c n n +=+≠-+⎰，c x dx x +=⎰||ln 1 （2）c a a dx a x x +=⎰ln ，c e dx e x x +=⎰ （3）⎰+-=c x xdx cos sin ，⎰+=c x xdx sin cos ， c x xdx +=⎰tan sec 2，c x xdx +-=⎰cot csc 2第三章 不定积分（4）c ax dx x a +=-⎰arcsin 122， （5）c x a x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122121111f dx f d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ⎰⎰=x d x f dx x xf tan )(tan )(tan sec 2tan sec (sec )(sec )sec x xf x dx f x d x =⎰⎰ 等等。
例3.1．22007(21)x x dx +⎰解：原式=2200722200811(21)(21)(21)48032x d x x c ++=++⎰ 例3.2．3sin 13sin 13sin 111cos (3sin 1)33x x x xe dx e d x e c ---=-=+⎰⎰ 例3.3．23sin(57)x x dx -⎰解：原式=331sin(57)3x dx -⎰331sin(57)(57)15x d x =--⎰ 31cos(57)15x C =--+ 例3.4．⎰+dx x x x 1ln 2ln 1 解：原式⎰+=x d x x ln 1ln 2ln ⎰+-+=du u u x u 1211221ln =⎰+-du u )1211(21=11ln 2124u u C -++=C x x +++1ln 2ln 41ln 21 例3.5．44x dx x +⎰解：原式=⎰+2222)(2121dx x C x +=2arctan 412 例3.6．221cos (2tan 1)dx x x +⎰解：原式222sec 1tan 12tan 12tan x dx d x x x ==++⎰⎰tan )x C =+例3.7．解：原式2112sin (1cos 2)sin(2)24u du u u C =-=-+⎰⎰14C + 例3.8．⎰+dx e x e x解：原式x x xe x e x e e e dx e de e C =⋅==+⎰⎰第三章 不定积分例3.9．⎰+++dx x x x 2233 解：利用综合除法知12127222323+-+-=+++x x x x x x 原式C x x x x dx x x x ++-+-=+-+-=⎰2ln 12731)21272(232例 例例=x C =+例3.13．sin sin cos x dx x x +⎰解：原式=1(sin cos sin cos )2sin cos x x x x dx x x ++-⋅+⎰=11(cos sin )22sin cos d x x dx x x--++⎰⎰ =11ln sin cos 22x x x c +++ 例3.14．cos 2sin 3cos x dx x x+⎰ 解：令()2sin 3cos f x x x =+，则()2cos 3sin ,f x x x '=-32cos ()()1313x f x f x '=+ 原式＝32()()321313ln |2sin 3cos |()1313f x f x dx x x x C f x '+=+++⎰ 例3.15．2212sin cos dx x x +⎰解：原式＝222sec 1tan )2tan 12tan 1x dx d x x C x x ==+++⎰⎰ 例3.16．xdx ⎰4tan解：原式=dx x x x ]1)1(tan tan [tan 224++-+⎰=⎰⎰⎰+-+dx xdx dx x x 222sec )tan 1(tan =2tan tan tan xd x x x c -++⎰=31tan tan 3x x x c -++ 例3.17．dx x x x ⎰+-+22322 解：原式=dx x x ⎰+-+-1)1(5)1(22=222(1)15(1)1(1)1d x dx x x -+-+-+⎰⎰ =c x x x +-++-)1arctan(5)22ln(2例3.18．⎰解：原式==21(1)2x +-第三章不定积分1arcsin2xc-+例3.19．⎰+21x edx解：原式=dxeexxx⎰-+2221=222xxdex-⎰=cexx++-)1ln(22例例例例例2．直接交换法a）题型dxbaxf)(⎰+方法：令baxt+=，abtx)(2-=，2()f dx tf t dt a =⎰⎰ 例3.25．dx x ⎰+11 解：令2,t x x t ==， 原式=tdt t 211⎰+=⎰⎰+-122t dt dt =c t t ++-1ln 22=c x x ++-)1ln(22例3.26．⎰ 解：令1,12+=-=t x x t原式=22222211112(1)24(1)3(1)3(1)3t t dt dt d t dt t t t t t +-==+-++++++++⎰⎰⎰⎰=2ln(24)ln(3)t t C x C +++=++ 例3.27．dx xx ⎰+31 解：原式65236x tt t dt t t =+⎰=dt t t ⎰+163=⎰+-+-dt tt t )111(62 =c t t t t ++-+-)1ln(63223 =c x x x x ++-+-)1ln(632663 例3.28．dx e x ⎰+11解：原式2ln(1)t x t =-dt t t t ⎰-⋅1212 =⎰-dt t 1122=c t t ++-11ln =c e e x x +++-+)1111ln( b) 题型dx b ax f )(2⎰+f dx ⎰变换t a x sin =f dx ⎰ 变换t a x tan =第三章 不定积分f dx ⎰ 变换t a x sec =例3.29．dx xx ⎰-29 解：令3sin x t =，2例 例例原式231sec cos sin sec tdt tdt t c c t ===++⎰⎰ 例3.33．解：令1tan x t +=， 原式＝221sin cos sin cos sin cos t t dt dt t t t t -=+-⎰⎰＝22cos sin 12cos 12sin d t d t t t -+--⎰⎰＝||||C +（还原略）。
专升本辅导-第5讲不定积分
不定积分的计算方法
介绍了不定积分的计算方法，包括直接积分法、换元积分法和分部 积分法等。
不定积分的性质
介绍了不定积分的性质，如线性性质、可加性、可乘性等。
需要注意的问题
理解不定积分的概念
01
不定积分是微积分中的一个重要概念，需要深入理解其定义和
念和性质的理解。
练习不定积分的计算
02 通过大量的练习题，熟练掌握不定积分的计算方法和
技巧。
学习定积分的相关内容
03
在掌握了不定积分的基础之上，进一步学习定积分的
相关内容，如定积分的概念、性质和计算方法等。
谢谢
THANKS
03 不定积分的应用
CHAPTER
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它揭示了不定积分和微分之间的互逆关系。
详细描述
微积分基本定理指出，对于任意可导函数f(x)，其不定积分可以通过不定积分表进行求 解，即∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是积分常数。
专升本辅导-第5讲不定积分
目录
CONTENTS
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的应用 • 习题及解析 • 总结与回顾
01 不定积分的概念
CHAPTER
不定积分的定义
01
不定积分是微分的逆运算，即 求一个函数的原函数或不定积 分。
02
不定积分的基本形式是 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中∫表示不 定积分，f(x)是要求积分的函数， F(x)是f(x)的一个原函数，C是常 数。
不定积分知识点归纳专升本
不定积分知识点归纳专升本不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础之一。
在专升本考试中，不定积分的知识点是必考内容。
以下是对不定积分知识点的归纳总结：不定积分的定义：不定积分是求导数的逆运算，如果一个函数\( f(x) \)的导数是\( F'(x) \)，那么\( F(x) \)被称为\( f(x) \)的一个原函数。
数学上表示为：\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]其中，\( C \)是积分常数。
基本积分公式：掌握基本的积分公式是解决不定积分问题的关键。
例如：- \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）- \( \int e^x \, dx = e^x + C \)- \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)（\( a > 0, a\neq 1 \)）- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)- \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)- \( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)换元积分法：换元积分法是一种常用的积分技巧，适用于那些直接积分较难的函数。
它包括两种形式：第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（代换法）。
- 第一类换元法适用于积分函数中含有根式或可以转化为根式的函数。
- 第二类换元法适用于积分函数中含有复合函数的情况。
分部积分法：分部积分法是另一种解决复杂积分问题的方法，适用于两个函数的乘积形式。
其公式为：\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]有理函数的积分：有理函数是指分子和分母都是多项式的函数。
专转本中不定积分的解题思路和方法
关键词 ： 高等数学
不定积分
专转本
分凑 出来 那就需要应试者找出合理的整体 ． 能够将整体的导数插入到原来的不定积分 中 ． 把整体 的微分凑 出来 ． 然后所有的问题 就可以 轻松解答 了 在近 ４年的专转本考试里 ． 每一 年均对第二类换元积分进行了考查 ． 所 以应试
类换元积分法 和分部积分法为例进行分析 “ 专转本 ” 作为构建 人才成长立 交桥 的重 要组成部分 ．为高职高 专学生转入 本科学 习 深造架起 了通道 ． 这对 提高高职教 育的地位 、 调动学生 的学习积极性 有极大 的益处 目前 高等数学是 每个理 工科 学生专转本必 考的科 目． 也是容易拉分的科 目 而专转本 ｅ ｅ 一元 函 数微积分 的比重 较大 ． 占６ ０ ％左右 ． 不定积分 又是一 元 函数微积 分 中比重最 大 的部分 ． 也
是容 易失分的部分 根据 多年 的教学经验 ． 笔
１ ． 第 二类换元积分法 专转本高 等数学常考 的是第二类 换元积 分法 ．第二类换 元积分法 又分为有理 分式代 换 和三角代换 两种 如２ ０ ０ ９年第 ｌ ５ 题： ｆ ｓ ｉ ｎ
、 ／ 丽
， ２ ０ １ ０ 年第１ ６ 题： ｉ— 兰 ｄ ｘ ，
。ｌ ＋ 、 ／ ＋ １
者认 为 只要 掌握 了专转本 高等数学考 试对不 定 积分考点 的要求 ． 掌握 其 中的规律 ． 提高考 试 成绩也并 非难事 下 面笔者就近 ４年的专 转本高等数 学试 卷 中一元 函数不定积 分部分 来具体 谈谈 如何掌握 考试 技巧
一
１ ６ 题 Ｉ——Ｌ
而解 了
葛亚平 ， 杨 琦， 张燕艳． 应 用数学【 Ｍ】 ． 南
京 大学 出版社 ． ２ ０ １ ０ ． 作者简介 ：
专升本高数不定积分的求解技巧
专升本高数不定积分的求解技巧高等数学中的不定积分是一个非常重要的概念，它是求解函数的原函数的方法之一。
由于不定积分的求解过程相对于定积分更加灵活，所以在专升本高数考试中，不定积分的求解技巧也是非常重要的。
下面我将为你介绍一些常用的不定积分求解技巧。
技巧一：常数项的处理在求解不定积分的时候，往往会出现一个常数项。
此时，我们可以将常数项视为一个新的常数，直接对函数进行积分即可。
例如对于f(x) = x^2 + 2x + 1来说，我们可以将其不定积分表示为F(x) = x^3/3 + x^2 + x + C，其中C是常数项。
技巧二：换元法换元法是不定积分中最常用的一种求解方法。
所谓换元法，就是通过变量的代换，将原函数转化为一个新的函数，使得新的函数更容易求解。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行换元法求解积分：1.将被积函数中的某个变量用一个新的变量来代替，使得被积函数中的求导和化简更加容易。
2.求出新变量关于原变量的导数，并将原变量用新变量表达式表示出来。
3.将被积函数中的原变量全部用新变量表示出来，并求出新变量对应的极限。
4.将积分上下限转化为新变量的上下限，并对新变量进行积分。
技巧三：分部积分法分部积分法又称为“乘法法则的逆运算”，它可以将一个复杂的不定积分转化为两个简单的不定积分。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行分部积分法求解积分：1.根据乘法法则将被积函数中的两个函数进行拆分，并选择其中一个函数进行求导。
2.将求导后的函数与未求导的函数相乘，得到新的积分表达式。
3.将新的积分表达式进行化简，并对其进行求解。
4.根据分部积分法的公式，将原来的积分表达式拆分，并分别进行求解。
技巧四：有理函数的部分分式分解有理函数的部分分式分解是将一个有理函数分解为一系列分式的和的过程，从而可以更方便地对原函数进行求解。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行有理函数的部分分式分解：1.将有理函数进行因式分解。
2.对于每个不可约的因子，确定其分解式的形式。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式在数学中，不定积分是一种求解函数的原函数的操作。
也就是说，当对一个函数进行不定积分后，得到的是一个包含任意常数的函数集合。
不定积分的四则运算公式是指对不定积分进行加减乘除的操作规则。
一、加法公式：对于两个函数的和的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx二、减法公式：对于两个函数的差的不定积分，有以下公式：∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx三、乘法公式：对于两个函数的乘积的不定积分，有以下公式：∫f(x)g(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du(x)其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过积分部分法得到的。
四、除法公式：对于两个函数的商的不定积分，有以下公式：∫f(x)/g(x)dx = ∫[u(x) + v(x)]/g(x)dx = ∫u(x)/g(x)dx +∫v(x)/g(x)dx其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过将除法转化为乘法再应用乘法公式得到的。
需要注意的是，在进行乘法和除法的不定积分时，对被积函数进行合适的变换或引入中间变量来简化计算。
五、分配律公式：在不定积分的四则运算中，也可以应用分配律。
对于表达式的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))h(x)dx = ∫f(x)h(x)dx + ∫g(x)h(x)dx这个公式可以用于将一个积分问题拆分为多个较简单的积分问题，以简化计算过程。
六、合并同类项公式：在计算积分过程中，有时会遇到求解多个相同形式的不定积分。
可以使用合并同类项的公式进行简化。
如下所示：∫(a f(x) + b f(x))dx = (a + b) ∫f(x)dx这个公式将多个相同形式的函数合并成一个函数，并在常数项上进行求和运算。
以上是不定积分的四则运算公式，这些公式是对不定积分进行运算时常用的规则。
不定积分的求解技巧专升本
不定积分的求解技巧专升本不定积分是高等数学中重要的概念之一，有广泛的应用。
在考试中，不定积分的求解是常见的题型之一。
掌握不定积分的求解技巧，可以帮助我们快速解答问题，提高解题效率。
下面将介绍一些常见的不定积分的求解技巧。
一、基本求导法基本求导法就是对于已知的函数，通过求导来得到它的不定积分。
常见的基本求导公式有：1、幂函数：(x^n)' = nx^(n-1) ，其中n是任意常数。
2、指数函数：(a^x)' = a^xln(a) ，其中a是常数。
3、对数函数：(ln(x))' = 1/x 。
4、三角函数：(sinx)' = cosx 、(cosx)' = -sinx 、(tanx)' = sec^2x 。
5、反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2) 、(arccosx)' = -1/√(1-x^2) 、(arctanx)' = 1/(1+x^2) 。
二、换元法换元法是指通过代换变量的方法，将原函数转化为一个新的函数，从而方便求解不定积分。
常见的换元法有以下几种：1、代数换元法：根据题目的要求，选择一个自变量的代数式来代替原函数中的自变量。
例如，设u = g(x)，则dx = du/g'(x)，从而不定积分可以转化为∫f(g(x))dx = ∫f(u)du 。
2、三角换元法：当被积函数中有三角函数的乘积时，可以尝试将其中一个三角函数用另外一个三角函数来表示。
例如，设 u = sinx，则可以用 cos^2x = 1 - sin^2x 来替换其中的三角函数。
3、指数换元法：当被积函数中有指数函数的乘积或幂函数的指数为指数函数时，可以尝试使用指数换元法。
例如，设 u = ax+b ，则 dx = du/a ，从而不定积分可以转化为∫f(ax+b)dx = (1/a)∫f(u)du 。
三、分部积分法分部积分法是求不定积分的一种常用的方法，它是从求导数的乘积的角度出发，将一个函数的导函数与它的一个因子连乘积的形式相联系，然后对这个因子进行不定积分，由此可以用对数、三角函数等等来表示这一积分。
专升本不定积分的求解技巧
专升本不定积分的求解技巧不定积分是微积分的重要概念之一，也是微积分中的基础知识。
专升本考试中，通常也会涉及到不定积分的求解问题。
下面将介绍一些不定积分的求解技巧。
1.基本积分公式：掌握基本的求导和积分公式是不定积分的基础。
比如常见的多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分公式都是必须掌握的。
2.代换法：对于一些复杂的不定积分问题，可以通过合适的代换将其转化为简单的形式。
最常见的代换法是用一个变量替换整个被积函数。
3.部分分式分解法：当被积函数为有理函数时，可以通过部分分式分解将其拆解成若干个简单的分式，再进行不定积分。
4.分部积分法：对于一些具有乘积形式的函数，可以利用分部积分法将其转化为积分形式更简单的函数。
5.换元积分法：当被积函数中含有复杂的函数表达式时，可以通过换元积分法将其转化为一个形式更简单的函数再进行求解。
6.凑微分法：当被积函数中含有较高次数的函数或多项式时，可以通过凑微分法将其转化为更易求解的形式。
7.递推法：递推法主要用于一些具有递推关系式的函数，通过推导出递推关系，可以得到一般项的计算公式，并进行不定积分。
8. Euler换元法：Euler换元法主要用于一些含有平方根的函数，通过合理的换元将其转化为一个形式更简单的函数再进行求解。
除了上述的求解技巧，还需要熟练掌握基本的计算技巧，比如如何计算常数项、如何处理无理函数的积分、如何处理带有绝对值符号的函数等。
在考试中，如果遇到不定积分的求解问题，可以先根据题目给出的函数类型选择合适的求解技巧，然后按照相应的方法进行计算。
在计算过程中，要注意一步一步进行，避免出错。
最后，要检查计算结果的合理性，以确保计算无误。
在专升本考试中，不定积分的求解是一个重点和难点，需要投入一定的时间和精力进行学习和练习。
通过反复的积累和练习，掌握不定积分的求解技巧，提高自己的计算能力和解题能力，才能在考试中取得好成绩。
(专升本)数学不定积分专题
1专题---不定积分§1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。
1连续函数一定有原函数；2若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数；事实上，())()()(''x f x F C x F ==+3)(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。
事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。
定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。
显然Cx F dx x f +=⎰)()(例1、求下列函数的不定积分①⎰+=Ckx kdx ②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x 2、基本积分表（共24个基本积分公式）3、不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()(②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf 例2、求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x xdx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--Cx C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-Cx x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=Cx x dx x dx x cot 1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、第一类换元法（凑微分法）1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即例1、求不定积分①()Cx udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin ②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f n dx x x f ==--⎰⎰11,1即例2、求不定积分①()()()()Cx C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122④⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos 3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin ln sin sin sin cos cot C x C x x xd dx x x xdx ⑤()⎰⎰+==C x xdx x x ln ln ln ln ln 1⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx x x x x x 1ln 111⑨()⎰⎰+=+=+Ce e de dx e e x xx xx arctan 1122⑩()Ce x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122)22)(21(ln 21C ax ax a +-=④()Cx x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 21212122cos 1sin 2⑤()⎰⎰+--=+=Cx x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin ⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot ⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、第二类换元法1、三角代换例1、dxx a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdta dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C a x a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42C x a x a x a +-+=22221arcsin 21例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin1222解：令ta x sin =原式=⎰⎰+=+==C a xC t dt t a tdt a arcsin cos cos 例3、⎰+22x a dx 解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdta dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==Ca x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22Ca x x +++=例4、⎰+42x x dx 解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdtdx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22a x dx 解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdtt a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22Ca x x +-+=例6、⎰-dx xx 92解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==-原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322C xx C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos393arccos 39322小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x ta x t a x sec tan sin 2、无理代换例7、⎰++311x dx 解：令dtt dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222()()C x x x +++++-+=333211ln 313123例8、()⎰+31xx dx解：令dtt dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235()Cx x +-=66arctan 6例9、⎰+dxxx x 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222C xx xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xe dx1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1t dtdx t t x x t x -=+=+=则原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()VU UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdUUV UdV （前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdxx cos ⎰⎰++=-==Cx x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dxxe x ⎰⎰+-=-==Ce xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=Cx x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln 或解：令te x t x ==,ln 原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdxarcsin ()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=Cx x x x x d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin 或解：令tx t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdxe x sin ()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde x x x x x xx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin 故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos Cx x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dxx x 21ln ()()()Cx x x x dxxx x x x dx x x x xx xx x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln §4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。
不定积分基本公式及运算法则
不定积分基本公式及运算法则
不定积分的基本公式包括幂函数、一次二项式、二次二项式、三角函数等类型的积分公式。
例如，不定积分的幂函数公式包括∫
x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，以及∫1/xdx=ln|x|+C。
对于含有一次二项式的积分，有∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C，以及∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C等公式。
此外，不定积分的运算法则包括常数倍法则、代换法则、分部积分法则和恒等变形法则等。
这些法则可以帮助我们更好地进行不定积分计算，需要根据情况选择合适的方法，结合基本积分公式进行计算。
最后，在进行不定积分计算时，需要注意一些常见的陷阱和错误，例如忽视函数的定义域、混淆不定积分和定积分的概念、忽视原函数的唯一性等。
因此，在计算不定积分时需要认真审题、明确概念、掌握基本公式和运算法则，并注意检查答案的正确性和合理性。
福建2024专升本理工一高数考纲
福建2024专升本理工一高数考纲一、基本概念及定义1. 集合与映射1.1 集合的概念1.2 集合的运算1.3 映射的定义1.4 映射的性质2. 数理基础2.1 数列的概念2.2 数列的极限2.3 函数的概念2.4 函数的性质3. 极限与连续3.1 极限的定义3.2 极限的运算法则3.3 连续的定义3.4 连续函数的性质4. 导数与微分4.1 导数的定义4.2 导数的计算4.3 微分的概念4.4 微分的应用5. 积分与应用5.1 定积分的定义5.2 定积分的计算5.3 不定积分的定义5.4 不定积分的计算二、题型及解题技巧1.1 针对基本概念和定义的选择题1.2 针对数理基础的选择题1.3 针对极限与连续的选择题1.4 针对导数与微分的选择题1.5 针对积分与应用的选择题2.1 对于集合与映射的计算题2.2 对于数列与函数的计算题2.3 对于极限与连续的计算题2.4 对于导数与微分的计算题2.5 对于积分与应用的计算题3.1 针对基本概念和定义的证明题3.2 针对数理基础的证明题3.3 针对极限与连续的证明题3.4 针对导数与微分的证明题3.5 针对积分与应用的证明题三、备考重点及注意事项1. 熟练掌握基本概念与定义，确保概念清晰2. 独立完成各类题型，熟悉解题技巧3. 多做练习，加强对知识点的理解和应用能力4. 注重对证明题的训练，提高逻辑推理能力5. 注意复习各章节知识，全面提升数学水平以上即是福建2024专升本理工一高数考纲的相关内容，希望考生能够认真复习，努力备考，取得优异成绩。
祝愿大家成功！。
2024重庆专升本高数考纲
2024重庆专升本高数考纲考试科目：高等数学考试时间：3小时考试形式：闭卷考试考试范围：根据2024年重庆专升本高数考纲的要求，考试范围涵盖以下内容：第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质2. 三角函数与反三角函数3. 极限的概念与性质4. 极限计算5. 极限存在准则第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质2. 基本导数公式3. 已知函数及其导数求其他函数导数4. 高阶导数5. 微分的概念与性质第三章：积分与不定积分1. 定积分与不定积分的概念与性质2. 不定积分的计算3. 定积分的计算4. 牛顿—莱布尼茨公式5. 曲线的面积与弧长第四章：微分方程1. 微分方程的基本概念与解法2. 一阶线性微分方程3. 可分离变量的微分方程4. 高阶线性微分方程第五章：级数1. 级数的概念与性质2. 正项级数的审敛法3. 收敛级数的性质4. 幂级数的收敛域与展开式5. 泰勒展开与函数的应用考试要求：1. 考生需熟练掌握每个章节的基本概念、定理和公式，具备基本的计算能力和问题解决能力。
2. 考生需要理解数学概念的几何意义和实际应用，并能够将数学知识应用到实际问题中。
3. 考试重点关注对基本概念的理解与应用能力，能够熟练计算各种题型，并正确使用公式和定理解决问题。
4. 考试中会出现应用题，要求考生能够将数学知识与实际情况结合，并能清晰表达解题思路和方法。
5. 考试要求考生在规定时间内完成试卷，要求答案准确、清晰、简洁。
答案中需要有必要的计算过程和推理过程。
考试评分：1. 考试总分为150分，按照难易程度和题型的权重划分分值。
2. 题型包括选择题、计算题和应用题，每种题型的分值占比根据考试题目而定。
3. 考试评分以答案的准确性、清晰度和完整度为主要评判标准。
考生在答题时应严格按照要求书写答案，注意排版整洁美观，并标明计算过程和推理过程。
希望广大考生能够充分准备，理解并掌握2024年重庆专升本高数考纲的要求，提前复习并解决潜在的问题，以取得优异的成绩。
(专升本)第四章不定积分
第四章不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理．2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin)cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()kf x dx k f x dx =⎰⎰．5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰或()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰．（2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x dx F x C'=+⎰或()()dF x F x C=+⎰．二、基本积分公式1．kdx kx C=+⎰（k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰（1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x Cx =++⎰5．arcsin dx x C=+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰7．sin cos xdx x C=-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x Cx ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x Cx ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C=+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰*14．tan ln cos xdx x C =-+⎰*15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰*17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a=++⎰*19．2211ln 2x adx Cx a a x a -=+-+⎰*20．arcsinx dx C a=+⎰*21．ln(x C =++⎰*22．ln dx x C=+⎰说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dxd x b d ax b a=+=+（a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa x dx d xb a +=++（a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d =（3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+（4）()()xx x edx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xx x adx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+（7）cos (sin )(sin )xdxd x d x b ==+（8）2sec (tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++（12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x Cϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1sin x a t =；（2，可令tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu=-⎰⎰．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）．（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分．1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dxx x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x Cx ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解：2sec (sec tan )sec sec tan x x x dx xdx x xdx-=-⎰⎰⎰tan sec x x C =-+．7．2sin xdx ⎰．解：21cos 211sin cos 2222x xdx dx dx xdx-==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+．8．2cos xdx ⎰．解：21cos 211cos cos 2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++．9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰．10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C=-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰．12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dxx x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰．解：原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++．14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos 2(cos cos5)sin sin 52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分．1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x xxe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰．3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令lnx t =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222tttt t te t e dt te dt td e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰2222221111ln ln 242424t t x x te e C x x x C x C =-+=⋅-+=-．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰22222111arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x Cx =-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1xxdx x x xd x x x dx x=-=-+⎰⎰⎰2221(1)1arctan arctan ln(1)212d x x x x x x C x +=-=-+++⎰．7．cos x e xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xx e xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x =-⋅⎰⎰sin(ln )x x =-1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C=-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt=⋅==-⎰⎰⎰sin cos ()sin cos (sin )t t t t t e t td e e t e t e t dt=-=-+-⎰⎰，故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--，其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143(4ln 33ln 25632x dx dx x x Cx x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++，则22(1)()(21)x A x x Bx C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C +=++++++，有20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解得2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dxx x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-++++++⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-+++．3．1x dx x⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是21x u =+，2dx udu =，故222211222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C=-+=+．4．⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+．【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰．解：对等式()arcsin xf x dx x C=+⎰两边对x求导，可得()xf x =则()f x =，故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是()f x 的一个原函数，所以2sin cos sin ()()x x x xf x x x -'==且sin ()xf x dx C x=+⎰，故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（）（A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（B ）()()df x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰（C ）()()F x dx f x '=⎰（D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）．2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（）（A ）2x C +（B ）ln x C +（C）C +（DC +解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x'=变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==⎰，即()f x C =+．选（C ）．3．（2006年，2分）若11()xxf x edx eC --=+⎰，则()f x =（）（A ）1x（B ）1x -（C ）21x（D ）21x-解：等式11()xxf x edx eC--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x--=⋅，故21()f x x=．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（）（A ）tanln sin x x x c -+（B ）tanln sin x x x c++（C ）tan ln sin cos dx x x x-⎰（D ）tan ln sin cos dxx x x+⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan ln sin tan tan ln sin sin xx x xdx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰．三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x --=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x xdx C C x x x x x--=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分⎰．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰⎰x x C =-=-⎰．3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C=+⎰两边对x 求导，可得()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C-=-=-=-+⎰⎰⎰．4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰⎰tan 2x C C ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎝⎭．四、应用题或综合题1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx Cx x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下．因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C Cx x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。
专升本-不定积分
x)
1
1
1
x
C1
2(1
x)2
C2
1
1
x
2(1
1
x)2
C
.
例5 求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
x a
1 arctan a
x a
C.
例6
求
x
2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
cos
3
x
cos
2 xdx
1 2
(cos
x
cos
5
x)dx
1 sin x 1 sin 5x C.
2
10
例13 求 csc xdx.
解（一）
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
求
(1
1 x2
)e
x
1 x
dx.
解
x
1 x
1
1 x2
,
(1
1 x2
)e
高数专升本知识点目录总结
高数专升本知识点目录总结第一章：集合与函数1.1 集合的基本概念1.2 集合的运算1.3 函数的概念1.4 函数的性质1.5 反函数和复合函数第二章：极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷大与无穷小2.5 连续的概念2.6 连续函数的运算法则第三章：导数与微分3.1 导数的定义3.2 导数的计算3.3 隐函数和参数方程的导数3.4 高阶导数和导数的应用3.5 微分的概念3.6 微分的近似计算第四章：不定积分4.1 不定积分的性质4.2 不定积分的基本公式4.3 特殊函数的不定积分4.4 不定积分的计算方法4.5 定积分的性质第五章：定积分5.1 定积分的定义5.2 定积分的计算5.3 特殊函数的定积分5.4 定积分的应用第六章：微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 微分方程的解的存在唯一性6.3 一阶微分方程的解法6.4 高阶微分方程的解法6.5 微分方程的应用第七章：多元函数微分学7.1 多元函数的极限7.2 偏导数7.3 全微分7.4 多元函数的极值7.5 条件极值第八章：重积分8.1 二重积分的概念8.2 二重积分的计算8.3 三重积分的概念8.4 三重积分的计算8.5 重积分的应用第九章：曲线曲面积分9.1 曲线积分的概念9.2 第一型曲线积分9.3 第二型曲线积分9.4 曲面积分的概念9.5 曲面积分的计算第十章：无穷级数10.1 级数的概念10.2 收敛级数的性质10.3 收敛级数的判别法10.4 幂级数的收敛半径10.5 函数展开为幂级数第十一章：向量代数11.1 向量的基本概念11.2 向量的线性运算11.3 空间直角坐标系中的向量11.4 点、线、面的向量方程11.5 向量的数量积和向量积第十二章：空间解析几何12.1 空间直角坐标系中的点、直线、平面12.2 空间中的曲线和曲面12.3 空间中的曲线积分12.4 空间中的曲面积分12.5 空间中的曲率和法线方程以上的知识点目录总结包括了高数专升本课程的所有重要知识点，涵盖了集合与函数、极限与连续、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微分学、重积分、曲线曲面积分、无穷级数、向量代数以及空间解析几何等内容。
专转本中不定积分的解题思路和方法
专转本中不定积分的解题思路和方法专转本中不定积分的解题思路和方法“专转本”作为构建人才成长立交桥的重要组成部分，为高职高专学生转入本科学习深造架起了通道，这对提高高职教育的地位、调动学生的学习积极性有极大的益处。
目前高等数学是每个理工科学生专转本必考的科目，也是容易拉分的科目。
而专转本中一元函数微积分的比重较大，占60%左右，不定积分又是一元函数微积分中比重最大的部分，也是容易失分的部分。
根据多年的教学经验，笔者认为只要掌握了专转本高等数学考试对不定积分考点的要求，掌握其中的规律，提高考试成绩也并非难事。
下面笔者就近4年的专转本高等数学试卷中一元函数不定积分部分来具体谈谈如何掌握考试技巧。
一、不定积分定义的考查专转本高等数学首先对不定积分考查的是不定积分的定义。
实际上f（x）的不定积分就是求f（x）的所有原函数，一般用F（x）+c 表示，其中c为常数，F′（x）=f（x）。
如2009第5题：设F （x）=ln（3x+1）是函数f（x）的一个原函数，求？蘩f′（2x+1）dx。
我们解答这道题目的要点就是不定积分的定本文由收集整理义，？蘩f′（2x+1）dx=■？蘩f′（2x+1）d（2x+1）=■f（2x+1）+c，f（x）=Ｆ′（x）=■，∴？蘩f′（2x+1）dx＝■+c 论文网再如2011年第15题：设f（x）的一个原函数为x2sinx，求不定积分？蘩■dx。
根据不定积分的定义易知f（x）=（x2sinx）′=2xsin x+x2cosx。
所以？蘩■dx=？蘩（2sin x+xcos x）dx=-2cos x+？蘩xd（sin x）=-2cos x+xsin x-cosx+c二、不定积分的常用求解方法的考查不定积分的常用求解方法有第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法。