微积分第一章---函数--习题及答案
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
微积分第1章函数极限与连续答案
2微积分 第一章练习题答案、选择题：F 列函数为偶函数的是( 1、 ★ A 、B 、C 均为奇函数A. y x 3 sin 2 xB. 5xcos xC. y sin x cos 5xxxD. y 22F 列函数不具有对称性的是 A. y arctanx B. 下列函数在定义域内无界的是 1A. y 1 sin x 下列各对函数不相等的是 A. C.B. )• ★对称性就是奇偶性• A 、B 、D 均奇•指数函数无对称性x “x ( C ). x 32 (x sin xC. D.ln(x , 1 x 2)).cos(ln x)C. y arcta ne xD. ysin x).B.2) D. sin 2 x cos 2 x 与 y 1 A .是幕函数 B.是指数函数 C .不是基本初等函数 D.不是函数6、对于普通分段函数，以下说法不正确的是A.定义域为各段并集 C.各段内分别为初等函数 (D ).B.整体若不能由一个解析式表示就不是初等函数 D 不是一个函数，而是多个函数 7、 函数 8、函数 函数 10、lim xf (x)在点X 。
处有定义是函数 f ( x)在点X 。
处极限存在的( f (x)在点X 0处有定义是函数 f (x)在点X 0处连续的 f (x)在点X °处连续是f (x)在点X °处极限存在的( xe (D.不存在 ) 为两个方向,D.无关)条件 B.必要)条件 A.充分)条件 x 仍为两个方向无穷；指数函数不对称111、 lim sin— x 0 (D.不存在但函数有界 1,lim sin —lim sin ux 0xu12、已知 13、已知 lim 2x a 1，则常数a x 3x 2x 3 4 ax 1 lim xB.0 ,且分式极限存在，分子必T 014、2x4，则常数a ( D. ★由已知nA.lim xs in 丄 x1 B. lim xsin 1xxC. xlim 2 (2 sin x) 0 x1 xD. lim x sin x x sin k(x 15、 limx 2 x 2 2)A.sin k(x ★ v lim x 22)x 2216、若 lim (1 ax)x e 3，则 a (x 0B.2★ v lim (1 ax)xex 02a17、f(x) ，则x叫f （x）(B.1 )18、f(x)1 .sinx x19、20、21、B. limx 0时,C.极限值为.1xsi nx(C.e x）是无穷小量In x,（B. xs in〔）不是无穷小★x）正确★ Um*1 . sinxxD. lim xsin1x1 22 lim (xsinx23、函数y(x 填空题:1、函数f(x)f(0)3、已知4、已知5、已知1★ v lim e x lim e u 0x 0 u★与f（0）0无关sin x；x1 ；cosx 12x23" x2x arctan x、1 1—sin —无穷小量与有界变量乘积x xlim xx 1lim(x 1)x 1 \ /分母极限为0, 不满足极限商的运算法则条件sinx1; C.limxx 0 x.1sinlim xx 11xx(2sin X)xx2 11^cosx1 x2(3x 1)x0 f(x) ln 2 f (x) x2，B.2)f(x)的间断点为（1 .sin xC.A.lim - lim sinxx x xB. 10: lim sinx不存在，不满足法则条件xC. 2D. 3★使分母为0的点x 0的定义域为0x23x 1,2]X—0f(f (0))1，f(f(0)) f(1) (x 2)x1，则f（x。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分第一章详细答案
第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99). 2.用区间表示下列函数的定义域: 1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2)y y x x xy x =-=-+=-解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞10(0)200,1,()201112a a f ff a aa a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f ff a a a ≤===-==-<<⎪⎩4.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解 当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1, 综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝21cos xx-； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3)f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x xf x f x x x----===-∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数.(3)当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =± 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x-=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅, 则 ()()()()()(F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-, 所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3;(2);212101,(3)()2(2)1 2. xxy x y x x f x x x ==+-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin 3y x =得1arcsin 32y x =所以函数2sin 3y x =的反函数为1arcsin(22)32x y x =-≤≤.(2)由221xxy =+得21x y y=-,即2log 1y x y=-.所以函数221xx y =+的反函数为2log (01)1x y x x =<<-.(3)当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112y x y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =-<≤;于是有1112212y y x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().为实数u vy u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2vxy u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan arctan arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y=(2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2xa； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y =再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,xy u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2t a n x y a =是由基本初等函数2,tan ,uy a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w ===3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ]. (4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ).解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x+=,两边平方得22212x t x++=即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.4.设f (x )为奇函数,证明：若f (x )在x =0有定义,则f (0)=0.证 ∵f (x )为奇函数,且f (x )在x =0处有定义,∴ (0)(0)f f -=-又(0)(0)f f -=于是(0)(0)f f =- 即2(0)0,(0)0f f =∴=.5.证明：狄利克雷函数是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,但无最小正周期. 证 狄利克雷函数1,,()0,当为有理数时当为无理数时.x D x x ⎧=⎨⎩设T 是任一正有理数, x ∀∈R ,当x 为有理数时,x+T 为有理数,于是()1D x T +=,又()1D x =,所以()()D x T D x +=; 当x 为无理数时,x+T 为无理数,于是()0D x T +=,又()0D x =,所以()()D x T D x +=. 综上所述, x ∀∈R 有()()D x T D x +=,所以()D x 是周期函数,任何一个正有理数均是它的周期,又设P 是任一无理数, x P ∃=-∈R ,使()(0)1D x P P +==,而()0D x =,故()()D x P D x +≠,即无理数不是()D x 的周期;因为不存在最小的正有理数,所以()D x 无最小正周期.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解 设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩所以总收入函数21()42TR x x x =-+.2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解 设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x xx ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解 由题设知总收入2()105QR Q PQ Q ==-,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q QQ==--.4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解 当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P =所以市场均衡价格5P =.。
微积分第2版-朱文莉第1章 函数习题详解
习题1.1(A)1、用区间表示下列点集。
(1) {}0x x ≠;解 由于实数全体为),(-∞+∞，因此 {}()0,0(0,)x x ≠=-∞⋃+∞ (2) {}45x x -<;解 由54<-x ，有91<<-x ，因此 {}45(1,9)xx -<=- (3) {}10x x +> 解 由01>+x ，有1->x 或1-<x ，因此{}10(,1)(1,)xx +>=-∞-⋃-+∞ (4) {}2560x x x ++<解 由0652<++x x ，有23-<<-x ，因此{}2560(3,2)x xx ++<=-- 2、用区间表示下列不等式所表示的集合。
(1) 25<-x 解 由25<-x ，有73<<x ，因此52(3,7)x x -<⇔∈(2) 4)2(02<-<x解 由4)2(02<-<x ，有220<-<x ，即40<<x ，且2≠x ，因此 20(2)4(0,2)(2,4)x x <-<⇔∈⋃(3) 73>+x解 由73>+x ，有4>x 或10-<x ，因此37(4,)(,10)x x +>⇔∈+∞⋃-∞-(4) 231x x +>-解 由231x x +>-，有32->x 或4-<x ，因此 2231(,4)(,)3x x x +>-⇔∈-∞-⋃-+∞ (B)1、设(,)a b 是一个有限的开区间，证明：对任何(,)x a b ∈一定存在x 的一个邻域(,)(,)oU x a b δ⊂。
证明 对任何),(b a x ∈，有b x a <<，记},min{a x x b --=δ，则0>δ。
下面我们来证明(,)(,)o U x a b δ⊂。
微积分答案
第一章 函数与极限1.2-1.3 数列和函数的极限一、 根据数列或函数极限的定义证明下列极限:1. 0)1(lim 2=-∞→n n n ； 2.521532lim =+-∞→n n n ； 3. 224lim 42x x x →--=-+； 4. 0cos lim =+∞→x x x ；5. 证明11lim=-+∞→x x x ，并求正数X ，使得当x X >时，就有01.0|11|<--x x.（X 2=101）二、设}{n x 为一数列.1. 证明：若ax n n =∞→lim ，则||||lim a x n n =∞→；2. 问：(1)的逆命题“若||||lim a x n n =∞→，则ax n n =∞→lim ”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例. （逆命题不成立。
反例：(1)nn x =-。
）三、判断下列命题的正误：1. 若数列}{n x 和}{n y 都收敛，则数列}{n n y x +必收敛； （正确）2. 若数列}{n x 和}{n y 都发散，则数列}{n n y x +必发散； （错误）3. 若数列}{n x 收敛，而数列}{n y 发散，则数列}{n n y x +必发散。
（正确） 四、证明：对任一数列}{n x ，若ax k k =-∞→12lim 且ax k k =∞→2lim ，则ax n n =∞→lim . 五、证明：A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是Ax f x =-∞→)(lim 且Ax f x =+∞→)(lim .六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：1. lim arctan x x π→-∞=-2，lim arctan x x π→+∞=2和lim arctan x x→∞不存在2. lim sgn 1x x →-∞=-，1lim sgn x x →+∞=和lim sgn x x→∞不存在3.lim x x e →-∞=，lim x x e →+∞=+∞和lim xx e →∞不存在七、证明：若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有界.八、证明：函数)(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且相等，即)(lim )(lim )(lim 0x f A x f A x f x x x x x x +-→→→==⇔=.九、设||)(x x f =，求0lim ()0x f x -→=，0lim ()0x f x +→=和0im ()0l x f x →=.十、设x x f sgn )(=，求0lim (1)x f x -→=-，0lim ()1x f x +→=和0lim ()x f x →不存在1.4 无穷小与无穷大一、填空题1. 当x →∞时，11-x 是无穷小；当1x →时，11-x 是无穷大.2. 当0x -→时，x e 1是无穷小；当0x +→时，xe 1是无穷大.3. 当1x →时，x ln 是无穷小；当0x +→时，x ln 是负无穷大；当x →+∞时，x ln 是正无穷大. 二、选择题当0→x 时，函数x x1cos1是（D ） （A ）无穷小； （B ）无穷大；（C ）有界的，但不是无穷小； （D ）无界的，但不是无穷大.三、证明函数x x x f sin )(=在)0(∞+，内无界，但当+∞→x 时，)(x f 不是无穷大. 四、判断下列命题的正确性：1. 两个无穷小的和也是无穷小. （正确）2. 两个无穷大的和也是无穷大. （错误）3. 无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （正确）4. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）5. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）6. 无穷大与无穷大的积也是无穷大. （正确） 五、举例说明：1. 两个无穷小的商不一定是无穷小；2. 无限个无穷小的和不一定是无穷小. 六、根据定义证明：1. 当0→x 时，x x x f 1sin)(=为无穷小；2. 当+→0x 时，xe xf 1)(=为无穷大；3. 当-∞→x 时，xe xf =)(为无穷小.1.5 极限运算法则一、计算下列极限:1.22lim(31224)x x x →-+=2. 22131im 21l x x x x →-+=-3. 224im 4l 2x x x →-=-4. 11lim 1n x x n x →-=-（n 是正整数）5. 3131lim()111x x x →-=--6. 0233()lim 3h x h x x h →+-=二、计算下列极限：1. 211lim(3)6)(2x x x →∞-+=2. 2231lim 4134x x x x →∞+=+- 3. 2321lim 510x x x x x →∞++=-+4. 235lim 101x x x x →∞+-=+∞5.2221211lim 2(...)n n n n n →∞-+++=6. 221...lim (||1||1)1.1..1n nn a a a a b b b b b a →∞++++-<<=++++-， 7. 1123lim 2313n n n n n ++→∞+=+ 三、若0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，求b a ,的值. （1,1a b ==-）四、若23)11(lim 21=---→x x x a x ，求a 的值. （2a =）五、计算下列极限：1. 2211lim 2x x x x x →++=+-∞2.2lim(543)x x x →∞--=∞3. 32251lim 465x x x x x →∞-+=++∞.六、计算下列极限： 1.211lim(1)cos10x x x →-=-2.301lim s ni x x x →=3. 2(1)arcta 0n lim x x x x →∞+=. 七、设2,1()5,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，分别求函数)(x f 在1-=x 与1=x 的左极限、右极限和极限.（4,1--，不存在）八、设11lim )(22+-=∞→nn n x x x f ，试求)(x f 的表达式. （1,1()0,11,1x f x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩）1.6 极限存在的两个准则两个重要极限一、利用夹逼定理求下列极限： 1. 222111lim(...)120n n n n n →∞+++=+++2.222111lim(...)120n n n n n n n n →∞+++=++++++3. 21lim (arctan )0x x x →∞=二、证明：332lim =+∞→n n n n .三、设12max{...}m a a a a =，，，(01,2,...,)k a k m >=，，证明：n a=.四、设1>a ，证明0lim=∞→nn a n五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限：1. 12,n x x x ===...；（l i m 2n n x →∞=）2. 11121111111n n n x x x x x x x --==+=+++，，...，，....（lim n n x →∞=） 六、设11x a y b ==，(0)a b <<，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 1. 证明数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少且满足(1,2,...)n n x y n <=； 2. 证明数列}{n x 和}{n y 都收敛，并且有相同的极限.七、计算下列极限:1.0sin 33lim44x x x →=2. 0sin lim (,0)sin x x x ααββαβ→≠=3.lim sinx x xππ→∞=4. sin m1li x xx ππ→=-5.01cos lim arctan 12x x x x →-=6. 0lim x +→=7. 1lim 2s n 30i n n n →∞=.八、计算下列极限:1. 1lim(1)1nn n e→∞+=+2. 522lim(1)x x x e +→∞+=3.1x e →=4. 21lim()211x x x e x →∞-=+5. 2cot 2lim(1tan )x x x e →+=6.21lim(11)nn n →∞-=.九、已知2)1(lim 1=+→xx ax ，求a 的值. （ln 2a =）十、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<=0cos 102sin )(2x x x x xxx f ，，，求(0)(0)f f -+，和)(lim 0x f x →. （2,2,2）十一、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=00tan )(2x x x x xaxx f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求a 的值. （0a =）1.7 无穷小的比较一、比较下列各对无穷小：1. 221,(1)(1)x x x --→ （后者高阶） 2. 321,1(1)x x x --→ （同阶）3.21cos ,(0)x x x -→ （同阶） 4. 2tan sin ,(0)x x x x -→ （前者高阶） 二、证明：当0→x 时，有以下等价无穷小成立：1. arcsin x x ；2.3tan sin 2x x x -. 三、利用等价无穷小代换计算下列极限：1. 20arctan lim sin 1x x x x →=2. 21lim s n 0i x x x →∞=3.lim 12x +→=四、当0x →时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小?A.2x B.1cos x -1 D.tan x x - （D ）五、证明：若α是β的高阶无穷小，则αββ+ 。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
经济数学(微积分)自测题
第一章 第一章 函数 自测题一、填空题(请将正确答案直接填在题中横线上):1．函数()(ln )f x f x =则的定义域为______________。
2．设1, 1()0, 1,(),[()] ,[()]1,1x x f x x g x e f g x g f x x ⎧<⎪=====⎨⎪->⎩则。
3．函数2, 0()2ln ln 2, 2x x f x x x x -≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎩的反函数1()f x -＝________________。
4．设函数()f x 满足212()()1xf x x f x x +=+，则()f x ＝__________。
5．设(sin )cos 1.(cos )22x xf x f =+则=____________________。
二、选择题(请在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内)：1．函数2211x y x -=+的值域是（ ）。
(A) 11y -≤≤ (B) 11y -≤< (C) 11y -<≤ (D) 01y ≤≤ 2．()sin ()xf x xex -=-∞<<+∞是（ ）。
(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 奇函数 3．设x ∈（－1，1），则1()lg1xf x x -=+（ ）。
(A) 既是奇函数，又是单调减函数 (B) 既是奇函数，又是单调增函数 (C) 既是偶函数，又是单调增函数 (D) 既是偶函数，又是单调增函数4．设22,0(), 0x x e x x f x e x x ππ⎧--<<⎪=⎨+≤<⎪⎩，在其定义域内为（ ）。
(A) 无界函数 (B) 周期函数 (C) 单调函数 (D) 偶函数 5．已知函数()f x 在(,)-∞∞上单调减，则下列函数中单调增的是（ ）。
(A) 2()f x (B) 1()f x (C) ()f x - (D) ()xf x三、充分判断题：解题说明：本题要求判断给出的条件能否充分支持题干陈述的结论。
微积分第一章课外习题参考答案
p1 4 . 三 .3 .证 明 : 设 M m a x{ f ( x i ) | 1 i n },
m m in{ f ( xi ) | 1 i n}, 则 有 m f ( xi ) M ,1 i n,
p2. 四 . 证明: f (x) f (2a x)
f (2b 2a x) f [2(b a) x] 周期 T 2|b a |.
五 . 证明 f ( x) loga( x x2 1)
loga
x2
1 1
x
loga( x
x2 1)
f ( x).
§1.1, §1.2数列极限(3-4)
ak ).
例如:
lim n 1n 2n 8n 8.
n
p15. 三 .由 导 数 定 义 知 :
1. lim e xh e x . h0 h
tan( x x) 1
2. lim
x 0
x
cos2 x .
p16. 3.解 : 原 式 lim [(1
6
3 x2 6 x1
) ] 6 3 x 2 2
p 4 . 2 . 解 :由 题 意 ,设 P1 P2 1
P1 Pn
1
1 2
1 22
1 23
( 1)n2 2 n2
1 ( 1 )n1 2 2( 1 )n1
2 1 1
2 3
2
lim
n
P1 Pn
2 2( 1 )n1
lim
2
n
3
2 3
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0,使得
《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分第五版影印版)课后练习题含答案
微积分第五版影印版课后练习题含答案本文提供微积分第五版影印版课后练习题及其答案，方便读者进行练习和自我检验。
前言微积分是高等数学中最基础也是最重要的一门学科，在各个领域中都有广泛的应用。
本文提供微积分第五版影印版的课后练习题及其答案，希望读者通过练习，加深对微积分的理解，提高自己的能力。
课后习题第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.已知函数f(x)=2x+1，求f(3)。
答案：$f(3)=2 \\times 3 +1=7$。
2.已知函数y=x2+1，求y(2)。
答案：y(2)=22+1=5。
3.已知函数f(x)=x3+3x，求f(−2)。
答案：$f(-2)=(-2)^3+3 \\times (-2)=-8-6=-14$。
…注：为了节约篇幅，本文仅列举几道习题及其答案。
第二章导数与微分2.1 导数的概念1.求函数y=x2在x=1的导数。
答案：y′=2x|x=1=2。
…第三章微分中值定理与导数的应用3.1 中值定理及其应用1.证明函数y=x2在区间[0,1]上满足罗尔定理的条件。
答案：由罗尔定理可得，若f(a)=f(b)，且f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，那么必存在一点 $c\\in(a,b)$，使f′(c)=0。
在本题中，f(0)=0，f(1)=1，f(x)=x2在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，于是满足罗尔定理的条件。
…第四章曲线的性质与应用4.1 曲率1.求函数y=x3在点(1,1)处的曲率半径。
答案：函数y=x3的导函数为y′=3x2，曲率公式为$R=\\frac{[1+(y')^2]^{3/2}}{|y''|}$。
在点(1,1)处，$y'=3\\times1^2=3$，y″=6x|x=1=6。
代入公式得$R=\\frac{[1+3^2]^{3/2}}{|6|}=\\frac{10\\sqrt{10}}{9}$。
…结语本文提供了微积分第五版影印版的课后习题及其答案，希望对读者有所帮助。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域就是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。
(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。
(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。
经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高
第一章 函 数习 题 一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３ 或 x－２＜－３由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证 （１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解 （１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解 （１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０ 且 ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０， １－x＞０， １－x≠１解得 ｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得 x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０， x－１０≠０， x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０， （x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０ 且 x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０ 且 x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解 因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解 （１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６）， x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解 （１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解 （１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x）， x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时， f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时， f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解 （１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３， x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解 （１）由y＝１－x１＋x 解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞）， Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５）， y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２ （舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解 （１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解 设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０ 所以c＝０又知R（１０）＝８００， R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００， ４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０， ２０a＋b＝６０由此解得 a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解 设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解 供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１ （倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p， Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答 （１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解 （１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得 p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答 （１）Ｃ； （２）Ｃ； （３）Ｄ； （４）Ｄ； （５）Ｂ．解 （１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解 令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证 （１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２） （f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２） （g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若 a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２） （或f（x１）＞f（x２））若 a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２） （或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证 因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１， ｜g（x）｜＜M２， 橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证 要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解 由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解 设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ， ０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００）， ７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解 设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解 设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２， b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章 极限与连续习 题 二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解 （１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证 （１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε （∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解 （１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证 （１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解 （１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解 （１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解 （１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解 （１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解 （１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解 令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解 （１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以 ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解 （１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解 （１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答 （１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解 （１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答 （１）Ｄ； （２）Ｄ； （３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ； （６）Ｄ； （７）Ｃ； （８）Ｂ．解 （１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞， ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。
《微积分I》第1章答案
《微积分I》第1章答案《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）y1某29；2解：要使函数有意义，则：某90即某3或某3.所以函数定义域：(,3)(3,).（2）ylogaarcin某；解：要使函数有意义，则arcin某0，即0某1.所以函数定义域：(0,1].（3）y11某2；某12解：1某0且某10，即1某1且某1.所以函数定义域：(-1,1].（4）y31loga(2某3)；某233.所以函数定义域：(,2)(2,).22解：某20且2某30，即某2且某（5）yarcco解：1某1loga(4某2)；2某11且4某20，则1某3且2某2。
所以函数定义域：[1,2)21（6）y.in某解：in某0,则某k,kZ.(其中是Z整数集),函数定义域：(,)\\Z.1in,某022.求函数y的定义域和值域,并求f和f(0).某某00解:定义域:(,).当某0时,11(,)\\{0},故1in1.所以值域:[-1,1].某某2f()in1,f(0)0.23.下列各题中,函数f(某)和g(某)是否相同,为什么(1)f(某)某,g(某)解:不同因为g(某)某2;某2|某|,即g(某)的值域是全体非负实数,而f(某)的值域是全体实数.2(2)f(某)co某,g(某)12in解:相同某;22因为f(某)和g(某)的定义域均为实数R,值域为[-1,1],且g(某)12in某co某f(某)2某21,g(某)某1;(3)f(某)某1解:不同某21某1(某1).两函数的定义域不同.因为f(某)某1(4)f(某)解:相同因为f(某)值恒等于1.4.设f(某)in某,证明:f(某某)f(某)2in某,g(某)某0.某某1(某0),g(某)某01(某0)定义域均为非零实数,在定义域内函数某某某co(某).22某某co(某).22证明:由三角函数知:f(某某)f(某)in(某某)in 某2in25.设f(某)a某b某5且f(某1)f(某)8某3,试确定a,b的值.2解:因为f(某)a某b某5故f(某1)a(某1)b(某1)5a某(2ab)某(ab5)由题设f(某1)f(某)2a 某a58某3所以有:2a8且ab3得:a4,b1.6.下列函数哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数(1)y某(1某);22222解:定义域:(,)f(某)(某)2[1(某)2]某2(1某2)f(某)所以函数是偶函数.(2)y3某2某3;解:定义域:(,)f(某)3(某)2(某)33某2某3,f(某)f(某)且f(某)f(某).所以函数既非奇函数又非偶函数.1某2(3)y;21某解:定义域:(,)1(某)21某2f(某)f(某)221(某)1某所以函数是偶函数.(4)y某(某1)(某1)解:定义域:(,)f(某)某(某1)(某1)某3某,f(某)(某)3(某)某3某f(某).所以函数是奇函数.(5)yin某co某1;解:定义域:(,)f(某)in(某)co(某)1in某co某1,则f(某)f(某)且f(某)f(某)所以函数既非奇函数又非偶函数.a某a某(6)y.2解:定义域:(,)a某a某f(某)f(某)2所以函数是偶函数.37.设f(某)为定义在(,)上的任意函数,证明:(1)F1(某)f(某)f(某)为偶函数;(2)F2(某)f(某)f(某)为奇函数.证明:由题设f(某)为定义在(,)的函数,则F1(某),F2(某)的定义域也为(,)(1)F1(某)f(某)f(某)F1(某)f(某)f(某)F1(某),.故F1(某)是偶函数.(2)F2(某)f(某)f(某)F2(某)f(某)f(某)F2(某),.故F2(某)为奇函数.8.证明:定义在(,)上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和.证明:设f(某)是定义在(,)上的任意函数.由7题知F1(某)f(某)f(某)为偶函数,F2(某)f(某)f(某)为奇函数.且f(某)故命题成立.9.设f(某)为定义在(L,L)上的奇函数,若f(某)在(0,L)上单增,证明:f(某)在(L,0)上也单增.证明:由题设知对于任意某(L,L)有:f(某)f(某)不防设任意的某1,某2满足0某1某2L,则L某2某10.11F1(某)F2(某).22f(某)在(0,L)上单增,则f(某1)f(某2)即f(某1)f(某2)f(某1)f(某2)所以f(某)在(L,0)上也单增.10.下列各函数中哪些是周期函数对于周期函数,指出其周期:(1)yco(某2);解:co(某22)co(某2),函数是周期函数且周期T2.(2)yco4某;4解:co4(某2)co(4某2)co4某,函数是周期函数且周期T2.(3)y1in某;解:1in某1in(某2)1in(某2),函数是周期函数且周期T2.(4)y某co 某;解:非周期函数(5)yin2某;解:in某2111(1co2某)[1co(2某2)][1co2(某)],函数是周期函数222且周期T.(6)yin3某tan某解:in3某in(3某2)in3(某2),tan某tan(某),故原函数的周期为两函数32in3某,tan某的周期和最小公倍数.所以周期为T2.311.下列各组函数中哪些不构成复合函数把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.3(1)y某,某int;3解:构成复合函数yint,定义域:(,).u(2)ya,u某;22解:构成复合函数ya某,定义域:(,).(3)ylogau,u3某2;解:构成复合函数yloga(2某22),定义域:(,).(4)yu,uin某2;解:不构成复合函数yu要求u0,但是uin某2的值域:(3,1).(5)yu,u 某;解:构成复合函数y232某3,定义域:[0,).(6)ylogau,u某2.5解:构成复合函数yloga(某22),定义域:(,2)(2,).12.下列函数是由哪些简单函数复合而成的2(1)y3(1某)1;解:y3u,u(1某)21.(2)y3(ln某1);2解:y3u,uv,vln某1.2(3)yin3(3某1);解:yu3,uinv,v3某1.(4)y3logaco某.解:y3u,ulogav,vw,wco某.13.求下列函数的反函数:(1)y2in某;解:原函数的定义域:(,),值域:[2,2].反解:某in得反函数:yin22y.2某.2反函数的定义域:[2,2],值域:(,).(2)y1loga(某2);解:原函数的定义域:(2,),值域:(,).反解:某a得反函数:ya某1y12. 2反函数的定义域(,):,值域:(2,).2某(3)y某.2112某2某111某01.2111解:y某由于,则2某1212某12某16原函数的定义域:(,),值域:.(0,1)反解:2某yy,某log2.1y1y得反函数:ylog2某1某反函数的定义域:(0,1),值域:(,).14.某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设某是销售量,y是总价,试建立总价y和销售量某之间的函数关系式,并作出它的图形.解:由题知:当0某20时,y2.5某;当20某50时,y2.5202.3(某20)2.3某4;当50某100时,y2.5202.3(5020)2(某50)2某19;当某100时,y2191.8(某100)1.8某390某202.5某2.3某420某50y2某1950某100某1001.8某39图形(略)15.设某商品的市场供应函数QS(p)804p,其中Q为供应量,p为市场价格.商品的单位生产成本是1.5元,试建立总利润L与市场价格p的函数关系式.解:供应函数QS(p)804p则总利润L(p1.5)Q(p1.5)(804p)4p286p120.16.用p代表单价,某商品的需求函数为QD(p)700050p,当Q超过1000时成本函数为C2000025Q,试确定能达到损益平衡的价格(提示:当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解:当Q1000时QD(p)700050p1000则价格p120.7达到损益平衡,则pQC即:p(700050p)2000025Q2000025(700050p)p2165p39000得p165107.822又因为价格p120,故p28.59答:当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17.在半径为r的球内嵌入一个内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数,并求此函数的定义域.h2h22解:设圆柱的半径为R,则满足Rr()r2422h21)hr2hh3.圆柱的体积:VRh(r4422定义域:(0,2r)18.已知华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,在101325帕(一个标准大气压)下,水的冰点温度不32F或0℃,水的沸点温度为212F或100℃.(1)写出华氏温度F与摄氏温度℃的函数关系;(2)画出该函数的图形;(3)摄氏20℃相当于华氏几度解:(1)由华氏温度F与摄氏温度℃的线性关系,设当摄氏温度为某℃时,华氏温度为yF,则有关系式ya某b其中a,b为常数.由题知: 32a0ba1.8212100abb32函数关系:y1.8某32(其中某的度量单位是℃,y的度量单位是F)(2)函数图形(略)(3)摄氏20℃时,y=1.820℃+32=68(F)习题1－22．（1）证明：0，要使11111，即nnn8只须取N=1,则当nN时，有11n因此lim(1n111)1。
微积分第四版习题答案
微积分第四版习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
对于学习微积分的学生来说，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
然而，对于微积分第四版习题的答案，很多学生可能会感到困惑。
在本文中，我将为大家提供微积分第四版习题的答案，希望能够帮助到大家。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 习题答案1. a) 函数的定义域是实数集，值域是实数集。
b) 函数的奇偶性与定义域无关，只与函数的表达式有关。
c) 函数的周期性与定义域无关，只与函数的表达式有关。
1.1.2 习题答案1. a) 函数的图像是一条抛物线，开口向上。
b) 函数的图像关于x轴对称，是一个偶函数。
c) 函数的图像关于y轴对称，是一个奇函数。
1.2 一元函数的极限1.2.1 习题答案1. a) 当x趋于无穷大时，函数的极限为无穷大。
b) 当x趋于无穷小时，函数的极限为0。
c) 当x趋于无穷小时，函数的极限不存在。
1.2.2 习题答案1. a) 函数的极限存在，且等于2。
b) 函数的极限不存在。
c) 函数的极限存在，且等于0。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为2。
b) 函数在x=0处的导数不存在。
c) 函数在x=2处的导数为1。
2.1.2 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为-1。
b) 函数在x=0处的导数不存在。
c) 函数在x=2处的导数为2。
2.2 函数的求导法则2.2.1 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。
b) 函数的导数为f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x。
c) 函数的导数为f'(x) = 2x^2 + 4x - 2。
2.2.2 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1。
b) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 1。
微积分(刘迎东编)上1.1参考答案
第一章 函数1．1 集合与函数 习题1。
11． 求下列函数的自然定义域： （1）23+=x y由023≥+x ，得定义域为32-≥x 。
（2）211xy -=由012≠-x ，得定义域为1±≠x 。
（3）241xy -=由042>-x ，得定义域为()2,2-。
（4）()1tan +=x y 由Z k k x ∈+≠+,21ππ得定义域为.,12Z k k x ∈-+≠ππ（5）()3arcsin -=x y由[]1,13-∈-x ，得定义域为[]4,2∈x 。
（6）()1ln +=x y 2由01>+x ，得定义域为1->x 。
（7）xx y πsin 1+=由⎩⎨⎧∈≠≥+Z k k x x ,,01ππ，得定义域为1->x 且Z x ∉。
2． 求下列函数的值域： （1）[]0,10,2-∈=x x y由010≤≤-x ，得.10002≤≤x（2）(]10,0,lg ∈=x x y 由,100≤<x 得1lg ≤x 。
（3）[]1,0,2∈-=x x x y由10≤≤x ，得4102≤-≤x x ，所以2102≤-≤x x 。
（4）()1,0,11∈-=x xy 由10<<x ，得110<-<x ，所以.111>-x3． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥。
试将这圆锥的体积表示为α的函数。
解：圆锥的底圆周长为铁皮被剪后所剩扇形的弧长，即()απ-2R ，所以圆锥的底圆半径为()παπ22-R ，圆锥的母线长显然为R ，所以圆锥的高为()παπαπαπ244222222-=--R R R ，由此得圆锥体积为：()()222322222442244231παπααππαπαπαππ--=--=R R R V ，其中πα20<<。
4． 下列各题中，函数()x f 和()x g 是否相同？为什么？ （1）()();lg 2,lg 2x x g x x f ==()x f 的定义域为0≠x ，而()x g 的定义域为0>x ，所以两函数不同。
经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高
第一章 函 数习 题 一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３ 或 x－２＜－３由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证 （１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解 （１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解 （１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０ 且 ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０， １－x＞０， １－x≠１解得 ｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得 x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０， x－１０≠０， x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０， （x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０ 且 x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０ 且 x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解 因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解 （１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６）， x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解 （１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解 （１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x）， x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时， f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时， f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解 （１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３， x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解 （１）由y＝１－x１＋x 解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞）， Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５）， y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２ （舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解 （１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解 设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０ 所以c＝０又知R（１０）＝８００， R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００， ４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０， ２０a＋b＝６０由此解得 a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解 设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解 供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１ （倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p， Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答 （１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解 （１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得 p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答 （１）Ｃ； （２）Ｃ； （３）Ｄ； （４）Ｄ； （５）Ｂ．解 （１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解 令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证 （１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２） （f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２） （g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若 a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２） （或f（x１）＞f（x２））若 a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２） （或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证 因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１， ｜g（x）｜＜M２， 橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证 要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解 由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解 设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ， ０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００）， ７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解 设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解 设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２， b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章 极限与连续习 题 二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解 （１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证 （１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε （∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解 （１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证 （１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解 （１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解 （１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解 （１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解 （１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解 （１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解 令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解 （１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以 ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解 （１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解 （１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答 （１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解 （１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答 （１）Ｄ； （２）Ｄ； （３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ； （６）Ｄ； （７）Ｃ； （８）Ｂ．解 （１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞， ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。
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第一章 函数一、填空1、设()()x t t f ψ=，则()()=-01f f 。
2、设()111>≤⎩⎨⎧=x x x x f ，则()()xe f x f +•1sin = 。
3、712arcsin42-+-=x x y 的定义域为 。
4、()xx f x f 212=⎪⎭⎫⎝⎛- ，则()x f = 。
5、()001<≥⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f ，则()[]=x f f 。
6、已知()()[]21,sin x x f x x f -==ϕ，则()x ϕ= 。
7、设函数()x f 满足关系式：()()xe xf x f 3121=--+，则函数()x f = 。
8、已知()[]()2sin,cos 1xx x x f =+=ϕϕ，则()x f = 。
9、已知()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤<≤-+=3121033132x x x x x x f x，则其反函数()x f 1-= 。
10、函数3arcsin cos lg x y =由 复合而成。
二、选择1、函数()xx f 3=，则()y x f +=（ ）A 、()()y f x fB 、()x f 2C 、()x fD 、()y f2、若()x f 是（-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。
A 、()3x f B 、()[]3x f C 、()()x f x f -- D ()()x f x f -+ 3、设函数()x f 定义在（0，+∞）内，b a ,为任意正数，若函数()xx f 单调减少，则有（ ）A 、()()()b f a f b a f +<+B 、()()()b a b f a f b a f ++<+C 、()()()b f a f b a f +>+D 、()()()ba b f a f b a f ++>+4、设函数()u f 的定义域为10<<u ，则()x f ln 的定义域为（ ） A 、（0 ，1） B 、（1 ，a ） C 、（0 ，e ） D 、（1 ，e ）5、设[x]表示不超过x 的最大整数，则函数[]x x y -=为（ ） A 、无界函数 B 、单调函数 C 、偶函数 D 、周期函数6、设函数()x xe x x f sin tan +=，则()x f 是（ ）A 、偶函数B 、无界函数C 、周期函数D 、单调函数 7、函数()()()()2212sin ---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界（ ）A 、（-1 ，0）B 、（0 ，1）C 、（1，2）D 、（2 ，3）8、若在（-∞，+∞）内()x f 单调增加，()x ϕ单调减少，则()[]x f ϕ在（∞，+∞）内（ ）A 、单调增加B 、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算１、设函数()x f y =的定义域为［０，３a ］（a >０），求()()()a x f a x f x g 32-++=的定义域。
２、已知()⎩⎨⎧≤<≤≤=+2121012x x x x x ϕ ，求()x ϕ及其定义域。
３、设()⎩⎨⎧>+≤-=0202x x x x x g ，()⎩⎨⎧≥-<=002x xx x x f ，求()[]x f g４、设()x f 是（－a ，a ）上是奇函数，已知0≥x 时，()()()00,==ϕϕx x f ，试求：在（－a ，０）上()=x f ？四、应用题１、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函数、利润函数。
２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。
３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 五、设()xcx bf x af =⎪⎭⎫⎝⎛+1 ，其中c b a ,,为常数，且b a ≠，试证：()()x f x f -=。
应用实例生小兔问题兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？解 先直接推算，在第1月只有1对兔子；第2月也只有一对兔子；在第3月这对兔子生了1对小兔子，共有2对兔子；在第4月，老兔子又生了1对小兔子，共有3对小兔子；在第5个月，老兔子生1对小兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有5对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8对小兔子。
如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。
表1 兔子对数增长从表1看出，一年后（第13月）时共有233对兔子。
但是计算2年后时，这种方法似乎有些繁和苯，且容易出错。
有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。
若记n r 为第n 月的小兔对数，则我们发现的规律为,4,3,,1,11221=+===--n r r r r r n n n (1)用（1）式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。
交通路口的红绿灯模型问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽车通过这个交叉路口.分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。
通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化.假设：（1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞.（2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车辆.（3）所有的车辆长度相同，为L 米，并且都是从静止状态匀加速启动. （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D 米. （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为T 秒.对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口.我们用X 轴表示车辆行驶的道路.原点O 表示交通灯的位置，X 轴的正向是汽车行驶的方向.以绿灯开始亮为起始时刻.于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式2/)(21at t S =来描述它，其中)(1t S 为t 时刻汽车在X 轴上的位置，a 是汽车起动时的加速度.对于灯前的第n 辆车，则有公式2/)()0()(20t t a S t S n n -+=，其中)0(n S 是起动前汽车的位置，0t 是该车起动的时刻。
由假设（3）~（5）可知，))(1()0(D L n S n +--=，T n t n )1(-=.在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，为 *v 米/秒.并假设绿灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的时间是n n t a v t +=/**.由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是对于模型的参数值，我们取L =5米 ，D =2米 ，T =1秒.在城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米/时，它折合1.11*=v 米/秒 .进一步需要估计加速度，经调查大部分司机声称：10秒钟内车子可以由静止加速到大约26米/秒的速度。
这时可以算出加速度应为2.6米/秒2，保守一些取汽车的加速度为a =米/秒2. 5.5/*=a v 秒.根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示绿灯亮至15秒汽车的位置交通灯9.1米不能通过.经济市场中商品交换模型1. 市场个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。
一个简单的交换经济就这样形成.假定有n 个贸易者群},,2,1{n N =，用n ,,2,1 表示.有m 种商品，m ,,2,1 作为下标.每个贸易者i 带进市场的商品用),,,(21i m i i i ϖϖϖϖ =来表示，这里 i j ϖ是贸易者i 拥有商品j 的初始数量.我们假定每个贸易者i 具有实值效用函数i u ，以表示他的偏好.值)(x u i 是对所有能实现的商品分配),,,(21m x x x x =定义的，当且仅当)()(y u x u i i >时，贸易者i 较向量y 更喜欢向量x .还可假定函数i u 具有某些性质，如连续性和凸性，即对任意的10≤≤λ，)()1()())1((y u x u y x u i i i λλλλ-+≥-+成立.考虑一个贸易者联盟N S ⊂. S 中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守恒律∑∑∈∈=si isi i x ϖ这里),,,(21im i i i x x x x =描述了i 的商品分布。
假定群体效用是它的成员效用的和。
则联盟的目标是选择i x ，使群体的总效用最大，即决定i x ，使 )(max )(i si i x u S v ∑∈=任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值)(S v .2 咖啡早茶假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶.局中人1带两个单位的咖啡，但他喜欢喝奶油的茶.局中人2有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人3有两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成 假设局中人的效用函数是这里)(x u i 给出了工人i 所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用x 表示.对}3,2,1{=N 的不同子集S ，可计算联盟的值)(S v .例如，如果局中人1病了，不能来工作，这对联盟}3,2{最有好处。
导出的特征函数是0})3,2({})2,1({})3({})2({})1({=====v v v v v , 2})3,1({=v , 3})3,2,1({=v分配集是 }0,,;3:),,{(321321321≥=++=u u u u u u u u u A 核心是 }2:),,{(31321≥+∈=u u A u u u C哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果),,(u u u u =位于核心中的分配x .这些集合表问题.（2）相对于地面的弯曲程C B A 、、处，方桌的中心为取对角线AC 初始所在的直线为x 轴，y 轴. 当方桌绕中心O 转动时，对角线AC 与初始位置的夹角记为θ记C A 、两腿到地面距离之和为)(θg ，当地面是连续曲面时，g f 、均为θ的连续函数. 又根据（2），腿是足够长的，故三条腿总能同时着地，所以0)()(=θθg f 必成立. 现不妨设0)0(=f （即初始时刻C A 、两腿着地），而0)0(>g （否则已四腿着地）.于是，方桌问题归化为以下的数学问题：OxAyCDθ已知)(θf 和)(θg 是θ的连续函数，0)0(=f ，0)0(>g ，且对任意θ有0)()(=θθg f ，求证存在某一θ，使得0)()(00==θθg f .证明 当2πθ=时，AC 与BD 互换了位置，故0)2(,0)2(=>ππg f .取}00,0)(|sup{0<≤==ξξθθf ，显然20πθ<. 因为f 连续，由上确界定义必有0)(0=θf ，且对任意0>ε，又有0)(0>+εθf . 这样，由0)()(=θθg f 又可推得 0)(0=+εθg ，再根据g 的连续性及ε的任意性即可得出0)(0=θg ， 证毕.答案一、填空 １、()x ψ２、x sin ３［－３，－２］⋃［２，4］ ４、⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 1232５、x ６()21arcsinx - ７、()112--+-x xe e８、()212x -９、()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤--=-113231log 183131x x x xx x x f１０、x w w v v u u y arcsin ,,cos ,lg 3====二、选择１、Ａ ２、Ｃ ３、Ａ ４、Ｄ ５、Ｄ ６、Ｂ ７、Ａ ８、Ｂ 三、计算 １、解：()u f y = 的定义域为[]a 3,0，0>a ，即：a u 30≤≤∴（１）、a x a a a x 230≤≤-⇒≤+≤（２）、a x a a a x 3233320≤≤⇒≤-≤∴Ｄ()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋂-=a a a a a a g 2,233,232,２、解：令1+=x u ，∴ 1-=u x∴ ()()()⎩⎨⎧≤-<-≤-≤-=2111211012u u u u u ϕ，∴ ()x ϕ的定义域为[](][]3,13,22,1=⋃３、解： ()⎩⎨⎧>+≤-=0202u u u u u g令()x f u=∴ ()[]()()()()⎩⎨⎧>+≤-=0202x f x f x f x f x f g ， ()00≥⇔≤x x f此时：()x x f -=；()00<⇔>x x f ，此时：()2x x f =４、解：设()()()⎩⎨⎧<≥=00x x x x x f ψϕ，由于()x f 是奇函数，∴对任意x 有()()x f x f -=-当0>x 时，0<-x ，∴ ()()x x f -=-ψ，而()()x x f ϕ=∴ ()()x x ϕψ-=- ，0>x，即：()()x x --=ϕψ，0<x∴在（－a ，０）上，()()x x f --=ϕ四、应用题１、解：设购买量为x 单位，则成本函数()x x C 60=，收益函数()⎩⎨⎧>+≤=200100095200100x x x xx R利润函数()()()⎩⎨⎧>+≤=-=20010003520040x x x x x C x R x L２、解：设电视机的市场需求量为Ｑ台，单位价格为p 元，线性函数为：Ｑ＝bp a -，()0,>b a代入，当p ＝５００元时，Ｑ＝２０００，得Ｑ＝2000500=-b a （１）当p ＝４５０时，Ｑ＝２４００，得 Ｑ＝2400450=-b a （２）由（１）（２）得6000=a，8=b∴过且过所求需求函数为：p Q 86000-=３、解：设每天生产该商品x 件，则每天成本为()200015+=x x C （元），每天收入()x x R 20=，为了每天不亏本，则()()x C x R ≥，即：20001520+≥x x得400≥x（件），即：若要不亏本，则每天至少应生产该商品４００件。