不等式证明(一)

S 2m
S 2n
t2
t1
2S mn
t2
S(m n) , 2mn
t1
t2
2S mn
S(m n) 2mn
S
4mn (m n)2 2(m n)mn
S(m n)2 2mn(m n)
其中S，m，n都是正数，且m≠n, 于是t1-t2<0
即 t1 t2 从而可知甲比乙首先到达指定地点。
源自文库 (a5 a3b2 ) (b5 a2b3 )
a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 )
(a2 b2 )(a3 b3 ) (a b)(a b)2 (a2 ab b2 )
(a
b)( a
b)2
(a
1 2
b)2
3 4
b
2
∵ a, b 都是正数，
a
b
0,
(a
1 2
b)2
3 4
6.3 不等式的证明（1）
一、复习比较两个实数大小的主要方法：
作差比较法：作差——变形——与0比较大小
a b ab 0 a b ab 0 ab ab0
二、比较法证明不等式：
例1.求证： x2 3 3x
证：∵ (x2 3) 3x
x2 3x (3)2 (3)2 3
22
x
3 2
2
• P14 1~5
练习
作业
• P17 习题6.3 1（2），2
3 4
≥
3 4
0
x2 3 3x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
例2 已知a<b<0,求证:
a2 a2
b2 b2
ab ab
证:
a2 a2
b2 b2
a a
b b
(a2
b2) (a a2 b2
b)2
a2
m n n行走。如果
，问甲、乙两
人谁先到达指定地点。
分析：
甲: A t1 m 2
路程： S
C
t1 n B 2
时间： t1
路程： S
乙:
AS
D
S
B 时间： t2
2m
2n
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙 两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题 意有
t1 m t1 n S, 22
b2
0
又∵ a b, (a b)2 0 (a b)(a b)2 (a2 ab b2 ) 0
即：a5 b5 a2b3 a3b2 本题变形的方法— 因式分解法
例4 甲、乙两人同时同地沿一线路走
到同一地点。甲有一半时间以速度m
行走，另一半时间以n行走；乙有一
半路程以速度m行走，另一半路程以
a
2ab b2
b0
(a
2ab b)(a
b)
ab 0, a b 0, a b 0
2ab 0 (a b)(a b)
a2 b2 a b a2 b2 a b
例3. 已知 a, b都是正数，并且 a b，求证：a5 b5 a2b3 a3b2
证明：(a5 b5 ) (a2b3 a3b2 )