第五章 微扰理论

第五章微扰理论

经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。微扰论方法也就是抓主要矛盾。

如何分？假设

本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，

是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微

代入方程

同次幂相等

（

（1）

(2)

(3)

①求能量的一级修正

(2)式左乘并对整个空间积分

能量的一级修正等于在态中的平均值。

②求对波函数一级修正

将

仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含

将上时代入式 (2)

以左乘上式，对整个空间积分

令

上式化简为：

③求能量二级修正

把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分

左边为零

讨论：（1）微扰论成立的条件：

(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求

(b) <<1

（2）可以证明

例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。

【解】

是的偶函数

利用递推公式

波函数的一级修正

利用能级移动可以直接准确求出

令：

§5.2 简并情况下的微扰理论

假设是简并的

k 度简并

已正交归一化

代入上式

以左乘上式两边，对整个空间积分

左边

右边

不全为零解的条件是

由久期方程可得到能量一级修正的k个根

由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。

要确定，需求出，将代入上式，可求出。

§5.3 氢原子的一级斯塔克效应

斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。

( 是均匀的，沿z轴)

下面研究n=2时的能级分裂现象：

n=2,有4个简并度

求

只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零

和不为零

为实的厄密算符

带入久期方程

没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除

①当时

②当时

③当时，和为不同时为零的常数。

§5.4 变分法

应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。

对任意一个归一波函数

能量平均值

即

用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态

波函数时，的平均值才等于。

变分法求基态能量的步骤：

（1）.选取含有参量的尝试波函数。

根据具体问题的特点，选数学形式上较简单，物理上也较合理的试探波函数。

（2）.算出平均能量，然后由，求出的最小值，所得结果就是近

似值。

例：设氢原子的基态试探解取为，N 为归一化常数，为变分参数，求基态能量并与精确解比较。

【解】由归一化条件

由

得：

严格解为

§5.5 氦原子基态

氦原子：原子核带正电2e，核外两个电子

核固定

将z看作参量

实验微扰论变分法

§5.6 与时间有关的微扰论

一般形式的薛定谔方程与时间有关

如有分离的能量本征值

通过分离变量

对任意一态

设在t=0时刻，体系处于能量的某个本征态

即即

如果t>0时，（不含时间）

则体系一直保持

如t>0时，哈密顿量加上一微扰，（通常是含时间的）状态将发生变化，这时

将不再是能量本征态。

能量本征态为出现的几率，也就是原来状态跃迁到的跃迁几率。考

虑后，如何求？

将代入方程

利用

上式简化为

以左乘上式，对整个空间积分

上式是薛定谔方程在能量表象中的形式

零阶:

一阶:

考虑到一级修正

几率：

讨论：（1）利用的厄密性,

在一级近似下,

（2）对简并情况下，不能由此得出从能级的跃迁几率等于从能级的

几率。计算的跃迁几率。

如有简并

如初态有简并

即对末态求和，初态求平均。

§5.7 跃迁几率

一．常微扰

t=0, 状态为，，与时间无关。

利用

性质:

x=0

令：

再利用

跃迁速率

讨论：（1）对常微扰，当作用时间相当长情况下，跃迁几率与时间无关。

（2）只在末态能量的范围中才有显著跃迁几率，可看出只有当连续变化时才有

意义。用表示体系末态的态密度，则表示范围的末态数目。

因此从初态到末态跃迁几率是各种可能跃迁几率之和

（黄金规则）

末态是自由粒子动量的本征函数时的态密度：

箱归一化

每一组的值确定一个态

动量在范围内态的数目

不变，不变

为能量为（或动量为）单位立体角的态密度。

二．周期性微扰

在光的照射下，原子可能吸收光子而从低能级跃迁到较高能级或从较高能级跃迁到较低能级而放出光子。这种现象分别称为光的吸收与受激辐射。

光为电磁场，场强是周期变化的，原子在光的照射下，实际上是受到一周期性微扰。

体系在t=0时,受

与时间无关

本征函数: