在职研究生数值分析复习资料及答案

在职研究生数值分析复习资料

考试时间：120分钟

、单项选择题(每小题4分，共20分)

1. 用3.1415作为n的近似值时具有(B )位有效数字。

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D)

2. 下列条件中，不是分段线性插值函数

(A) P(x)在各节点处可导

(C) P(x)在各子区间上是线性函数

6 P(x)必须满足的条件为(A )。

(B) P(x)在[a，b]上连续

(D) P(X k)=y k,(k=0,1, …，n)

f [ X-! , x2, x n ] f [ x0 ,x1, x n 1]

3. n阶差商递推定义为：f[x°,X1, X n] -- - -- 一一，设

X n x-

差商表如下：

那么差商 f ［1，3，4］= ( A )。

A. (15 —0)/(4 —1) = 5

B. (13 —1)/(4 —

3)=12

C. 4

D. —5/4

2x 4和x ln(4 x)/ln2的形式，对

两者相应迭代公式求所给方程在［1,2］内的实根，下列描述正确的是：(B )

(A)前者收敛，后者发散(B)前者发散，后者收敛

(C) 两者均收敛发散(D)两者均发散

5.区间［a，b］上的三次样条插值函数是(A )。

x

4.分别改写方程2 x 4 0为x

A. 在［a，b］上2阶可导，节点的函数值已知，子区间上为3次的多项式

B. 在区间［a，b］上连续的函数

C. 在区间［a，b］上每点可微的函数

D. 在每个子区间上可微的多项式

二、填空题(每空2分，共20分)

1. 当 x=1 , -1, 2 时，对应的函数值分别为 f(-1)=0, f(0)=2, f(4)=10，则 f(x) 的拉格朗日插值多项式是

F 2(x)

—x 2 2 (题目有问题，或许应该是：x= -1，0, 4时…)

55

55

2. 求解非线性方程xe x 1

0的牛顿迭代公式是

3. 对任意初始向量X (0)和常数项N ，有迭代公式x (k 1) 序列X (k)收敛的充分必要条件是limX (k) X *。

k

3 2

2 4 .设A

,X

2 1

3，

II A II x = _5_

, II A II 仁

5 , I X 3

5. 已知a=3.201, b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值， 则a b 有 ____ 2— 位 有效数字，a+b 有 ____ 1 ____ 位有效数字。

6. 若 f(x)=x 7-x 3 + 1,则 f[20,2II ,22,23,24,25,26,27]= _____ 1 ______ 。

三、 利用100, 121, 144的平方根，试用二次拉格朗日插值多项式求

.115的近

似值。要求保留4位有效数字，并写出其拉格朗日插值多项式。

四、

已知：已知有数据表如下，用n=8的复合梯形公式

h

n 1

1

(T n

h

[f(a) 2 f(xQ f (b)])，计算积分 I 0e

x

dx ，并估计误差

2 k 1

(R n (f)

b a h 2

f"( ), (a,b))。

12

x

0 0.125 0.25

0.375

0.5

0.625

0.75

0.875

1

x

e

1 1.133148

1.284025

1.454991

1.648721

1.868246

2.117000

2.398875

2.718282

II 3

5

X k

x

k

X k

X k 1

,(k 0,1,2...)

Mx (k) N 产生的向量 1

7.求积公式°f(x)dx

3瞪)寸磴)3呻具有—3_次代数精度

a 2 1 为

1 五、已知方程组

2 a 2 X 2

2 1 2 a x 3

1

（1） 写出解此方程组的雅可比法迭代公式; （2） 证明当a 4时，雅可比迭代法收敛;

⑶取

a 5

，

X （0）

（总却，求出

X

"

六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题 至0.5处的y 值，保留小数点后四位）。

, 2x y' y

(0 y y(0) 1

2x ! x 2 x 3 11

八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解，计算结果保留

4位小数

10x 1 2x 2 x 3 3 2x 1 10x 2 x 3

15 人 2x 2 5x 3

10

2

（1）计算o f （x ）dx ，（2）估计截断误差的大小

1 III IV V VI

十、设有线性方程组 Ax b ，其中 A 3 10 15 , b

5 15 30

（1 ）求A LU 分解；（2）求方程组的解 （3）判断矩阵A 的正定性

I ^一、用牛顿迭代法求方程 x e x 0的根。（迭代三步即可）

七.用列主元高斯消元法解线性方程组。 （计算时小数点后保留5

位）

X !

X

2

X 3 4 5x 1 4X 2 3X 3 12 （取步长为0.1,只要求给出x=0.1

X 1)

九、设 f(0) 1, f(0.5)

5, f(1) 6, f(1.5) 3, f(2)

2，

(k)

M (k 2,3,4)，