SU(2)群表示的张量语言
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SU(2)群表示的张量语言
张宏浩
SU(2)群的基础表示及其复共轭表示
2
SU(2)群基础表示的生成元可选取为
T1和T2还可以组合为
3
注意：SU(2)群基础表示的生成元不是唯一的。
若保持T3=(1/2)σ3不变，令
即
则根据
可得
4
考虑SU(2)群的伴随表示W^a， W^a可以与SU(2)群的生成元T_a组合成T_a W^a
17
用张量语言来写相互作用项
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 18
下面来说明这些张量语言的字典是怎么得来的 考虑SU(2)群 的7重态Φ
其中c_i为实数
并将Φ的厄米共轭约定为
19
其中
特别地，当T_a为基础表示的生成元 时，T_a W^a的矩阵形式为
5
考虑SU(2)群的不变量
不妨定义Wij为
显式地有
6
若令
即 则有
即
7
同理，
即
8
容易证明
Proof:
9
注意：另一种常用约定是
即
10
考虑一个三重态
其中的待定参数 c_i不妨取为实数
同时约定
现在令
对比
可得
11
再令
其中T_a为三重态Φ所在表示的生成元， Wij为前面所求得的(1,1)型张量， 就可以求得c_i，最多只差一个整体的负号。
对比上页结果，可得
24
再来看W+的系数
Baidu Nhomakorabea
25
对比W+的系数可得
即
26
12
• SU(2)群三维不可约表示的生成元有两种常见约定 约定一：
约定二：
• (1,1)型张量Wij也有两种不同约定 约定A： 约定B：
13
14
在这篇文章中，为了构造标量7重态、费米子5重态、费米子3重态 之间的相互作用，我们用到了张量语言。
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004
15
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 16
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004
由Φ和它的厄米共轭，可构造SU(2)群的不变量
对比第一行和第三行 可得
20
选取SU(2)群的7维表示的生成元为
21
7维表示的生成元T_a与伴随表示的W^a可组合为
22
结合Φ^dag, Φ, T_aW^a可得到一个SU(2)群的不变量
23
将二阶张量Wij约定为
构造如下的SU(2)群不变量，先来看它里面W3的系数
张宏浩
SU(2)群的基础表示及其复共轭表示
2
SU(2)群基础表示的生成元可选取为
T1和T2还可以组合为
3
注意：SU(2)群基础表示的生成元不是唯一的。
若保持T3=(1/2)σ3不变，令
即
则根据
可得
4
考虑SU(2)群的伴随表示W^a， W^a可以与SU(2)群的生成元T_a组合成T_a W^a
17
用张量语言来写相互作用项
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 18
下面来说明这些张量语言的字典是怎么得来的 考虑SU(2)群 的7重态Φ
其中c_i为实数
并将Φ的厄米共轭约定为
19
其中
特别地，当T_a为基础表示的生成元 时，T_a W^a的矩阵形式为
5
考虑SU(2)群的不变量
不妨定义Wij为
显式地有
6
若令
即 则有
即
7
同理，
即
8
容易证明
Proof:
9
注意：另一种常用约定是
即
10
考虑一个三重态
其中的待定参数 c_i不妨取为实数
同时约定
现在令
对比
可得
11
再令
其中T_a为三重态Φ所在表示的生成元， Wij为前面所求得的(1,1)型张量， 就可以求得c_i，最多只差一个整体的负号。
对比上页结果，可得
24
再来看W+的系数
Baidu Nhomakorabea
25
对比W+的系数可得
即
26
12
• SU(2)群三维不可约表示的生成元有两种常见约定 约定一：
约定二：
• (1,1)型张量Wij也有两种不同约定 约定A： 约定B：
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14
在这篇文章中，为了构造标量7重态、费米子5重态、费米子3重态 之间的相互作用，我们用到了张量语言。
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004
15
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 16
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004
由Φ和它的厄米共轭，可构造SU(2)群的不变量
对比第一行和第三行 可得
20
选取SU(2)群的7维表示的生成元为
21
7维表示的生成元T_a与伴随表示的W^a可组合为
22
结合Φ^dag, Φ, T_aW^a可得到一个SU(2)群的不变量
23
将二阶张量Wij约定为
构造如下的SU(2)群不变量，先来看它里面W3的系数