SU(2)群表示的张量语言
SU(2)群表示的张量语言
对比上页结果，可得
24
再来看W+的系数
25
对比W+的系数可得
即
26
SU(2)群表示的张量语言
张宏浩
SU(2)群的基础表示及其复共轭表示
2
SU(2)群基础表示的生成元可选取为
T1和T2还可以组合为
3
注意：SU(2)群基础表示的生成元不是唯一的。
若保持T3=(1/2)σ3不变伴随表示W^a， W^a可以与SU(2)群的生成元T_a组合成T_a W^a
15
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 16
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004
17
用张量语言来写相互作用项
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 18
下面来说明这些张量语言的字典是怎么得来的 考虑SU(2)群 的7重态Φ
其中c_i为实数
并将Φ的厄米共轭约定为
19
由Φ和它的厄米共轭，可构造SU(2)群的不变量
对比第一行和第三行 可得
20
选取SU(2)群的7维表示的生成元为
21
7维表示的生成元T_a与伴随表示的W^a可组合为
22
结合Φ^dag, Φ, T_aW^a可得到一个SU(2)群的不变量
23
将二阶张量Wij约定为
构造如下的SU(2)群不变量，先来看它里面W3的系数
角动量理论
角动量理论角动量是一个十分重要的物理量，因为在许多情况下，它是守恒量，从而可以作为态的标志之一。
通过它的数值和变化，可以研究微观体系的一些性质和变化规律。
在原子、分子、原子核理论中都会碰到这类问题。
角动量概念最早是从经典力学中提出来的，它的定义是L r p =⨯式中 L 为角动量， r为矢径（它们都是对某定点o 来说的），p 为质点运动的动量。
在量子力学中，我们可以用相同的关系来定义角动量，只是式中各量都以相应的算符来代替，可以用这样一种对易关系来作为角动量的一般定义，即：凡是满足对易关系ˆˆˆQQ i Q ⨯= 的算符 ˆQ都叫做动量算符。
课本第五章讲到轨道角动量。
轨道角动量的引入分为俩种途径：其一是同经典角动量进行类比而引入轨道角动量;其二是在讨论空间转动对称性时引入轨道角动量。
而自旋角动量的引入则是靠假定它与轨道角动量有相同的对易关系以及2z S =±的事实。
对于空间转动，远较平移和反演复杂，课本中则是研究有限转动算符的具体表示、空间转动群及其表示，以及与角动量算符的关系。
在三维位形空间中，取三个单位矢量 123,,e e e ,则矢量r 可写成31i i i r e r ==∑转动后成为31i i i r e r =''=∑现在对r实行转动Q,Q 只作用于矢量,所以由(22.3)式得()i ii i iir Qr Qe r e r ''===∑∑ 先看基矢的转动,利用三维位形空间的完全性关系: 1i iiee =∑有()i i j j i j ji jje Qe e e Qe e Q '===∑∑ij Q 是在基矢 123,,e e e 下的转动矩阵 ()Q =111213212223313233Q Q Q Q Q Q QQ Q ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭再看在同一基矢下新老两个矢量的分量i r '与i r 之间的关系,有：i i j ji i j jiijjr e r e Q r e r '''===∑∑∑ j ji i ir Q r '=∑这是坐标轴不动时矢量在转动变换Q 作用下其分量的改变。
群论复习思考题
群论复习思考题2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
5.2SU(2)群及其表示
f
1 2 1 − 2
(ξ ,η ) = ξ ，由于 SU (2) 群的群元也是 2 × 2 矩阵，因此 D 2 与
1
u
之间可以通过相似变换联系，即设 M 为相似变换矩阵，则
D = MuM ，
1 2
−1
即
D M = Mu ，
1 2
⎛i 0 ⎞ 可取 M = ⎜ ⎜0 − i⎟ ⎟ ，因此可以适当选择基函数使得群元本身就是二维表示。 ⎝ ⎠
j −m
( x + y)
j +m
n
=∑
n! x r y n −γ ， γ =0 γ ! ( n − γ ) !
n
和 ( b * ξ + aη )
j −m
展开有
n
( −bη + a * ξ )
( b * ξ + aη )
将它们代入得
Pu f
j
= ∑ ( −1)
n=0
j −m
( j − m )! a * ξ j − m−n bη n ， ( ) ( ) n !( j − m − n ) !
令
r ⎛ ξ ⎞ ur ⎛ ξ ' ⎞ v =⎜ ⎟, v' = ⎜ ⎟, ⎝η ⎠ ⎝η ' ⎠
则有
fαn ' (ξ ,η ) = Pu fαn (ξ ,η )
或写成
r r r r n fαn ' ( v ) = Pu fαn ( v ) = fαn ( u −1v ) = ∑ f βn ( v ) Dβα (u ) ，
1 ⎛ a − b⎞ D 2 (a, b ) = ⎜ ⎜b * a *⎟ ⎟， ⎝ ⎠
(11 → m' = m = 1/ 2,12 → m' = 1/ 2m = −1/ 2 ， 21 → m' = −1/ 2m = 1/ 2,22 → m' = m = −1/ 2 ）
抽象代数群的定义课件
群的量子表示
量子表示的定义
将群中的元素映射到量子态，形 成一个量子群。量子表示是群表 示的一种形式，可以用于研究群 的量子性质和结构。
量子表示的优点
19世纪中叶，数学家开始系统地研究群论，并发现了群的许多重要性质和定理。
20世纪初，群论得到了进一步的发展和应用，特别是在物理、化学和计算机科学等 领域。
现代群论已经发展成为一个非常广泛的数学领域，包括了许多分支和应用，如有限 群、无限群、李群、拓扑群等。
群论的现代研究
现代群论的研究涉及到许多领域，如 几何学、代数学、物理学和计算机科 学等。
运算结果仍属于这个集合。
群的基本性 质
群是一个封闭的代数结构，即其二元 运算满足封闭性。
群中存在一个特殊的元素，通常记为 $e$或$I$，称为单位元，满足对于任 意群元素$a$，有$e cdot a = a cdot e = a$。
群中的运算满足结合律，即对于任意 三个群元素$a, b, c$，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
量子表示可以描述更复杂的量子 现象和量子系统，能够更好地揭 示群的本质和内在规律。此外， 量子表示还可以通过计算机编程 实现，方便进行大规模的计算和 研究。
量子表示的应用
量子表示在量子计算、量子信息、 量子物理等领域都有广泛的应用。 例如，在量子计算中，各种量子 算法可以用量子态来表示，而在 量子通信中，各种量子态也可以 用量子态来表示。
现代群论的研究还涉及到许多实际应 用，如密码学、计算机图形学和量子 计算等。
群论 第五章
∑ ∑ ——
张量，即两个矢量分量之乘积
T
' ij
=
airbjsurvs =
airb Tjs rs 。注意张量是直积矢量空间的
rs
rs
一个元素。
上式是该 nm 维矢量空间一切可能线性变换群的一个子群，通常称为直积群或张量积群（表
示），或简写为Trs = er f s （不可换序）。
VN 的 K 次直积为VN ⊗K = VN ⊗ VN ⊗ ⋯ ⊗ VN ，共有 N K 个基矢
=
{ iα }
BA
⋯ k1i1
BA kk ik
ei′1 ⊗⋯ ⊗ ei′k
( ) = BA)⊗K ei1 ⊗⋯ ⊗ eik
（注意 eik 表示有 K 套 ei , i = 1, 2⋯ N ）
这里给出的是基矢间变换（函数表示关系由上章给出）。这样，直积空间VN ⊗K 中的任意元素
可由这 N K 个基矢表示
206Βιβλιοθήκη 是线性群 G 的 K 个 N 维矢量的直积，通常是可约的。
各种线性群的一切可能表示都可以从其张量表示约化而得到。
§2 群代数
2-1 群代数及其约化
G = {gi }为 g 阶群，以群元为基矢，可得到一个 g 维线性空间 A(G) ，若 A(G) 中的矢量按群 乘法是封闭的，则称 A(G) 为 G 的群代数。若满足结合律，则称为可结合代数。
个表示将给出 G 的一个表示。由于同构关系，若 D(gi ) 可约，D(x) 也可约；若 D(x) 不可约，D(gi )
也不可约。
正则表示：用任意群元 gi ∈ G ，左乘 x ∈ A(G)，
∑ gi x = x j gi g j ∈ A(G)
j
三维空间转动变换 李群的基本概念
P’ P x1 x’1Biblioteka x1x1x’1
x'2 x1 sin x2 cos
x'3 x3
将系数写成矩阵
cos
R(e3, ) sin
0
sin cos
0
x'1
x1
0 0
x'2 x'3
R(e3, ) x 2 x3
1
●利用物理中常用的泡利矩阵，可将转动矩阵写成矩阵指 数函数的形式
3
r' ea x'a
则 x1' R11 R12 R13 x1
a 1 3
x2 ' R 21
x3 ' R31
R 22 R 32
R 23 x2 R33 x3
xa '
b1
R abx b
♣坐标的齐次变换保证原点位置不变
♣距离不变要求矩阵R是实正交矩阵 （距离与x2联系，两个列矩阵相乘xT x）
n0
1 (i n!
2
)
n
n0
1 n n!
(i2
泡利矩阵： 0 1 0 i 1 0
1 1 0, 2 i
0
,3
0
1
三个矩阵之间的关系：
3
ab ab1 i abcc c1
1 abc 1
0
abc : 123,231,312 abc : 321,213,132
others
a2 1, 12 i3, Tra 0, Tr(ab ) 2ab, etc.
♣O(3)群：三维实正交矩阵群 SO(3)+空间反演变换σ群
四、特殊的转动
1. 绕x3(z)转动ω角的变换矩阵 R(e3, )
群论复习思考题1
群论2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
（2）绕z 轴的定轴转动()()2SO R ∈θ,其算符表示可以由OXY 平面线性变换求得。
张量定义及算法
1
可乘张量
设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量 a , b 是已知的，则由等式
i T ik a i b k , Tik ai bk , T.k a i bk , Tki ak b i
确定的都是二阶张量，称为可乘张量. 2
克罗内克尔符号
克罗内克尔符号 ij 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是
[张量的商律] 任一指标 jk， j k' 使
' ' 1 m
k Tlm ail a jmT ijk , Tlmp ail a jm akpT ijk
i1 il il i i i 设 Tji11 jm 和 Tj ' j ' 各为一组 x 和 x 的函数，如果对任意逆变矢量 与 及
因为从
x i x i ij i j x x
可得
ij
x i x i x i x j i j x i x j x i x j
[二阶对称张量与反对称张量]
若张量满足等式
Tik Tki , T ik T ki , Tki Ti k
则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式
i
x j1 x jl x i1 x im j1 jl j j T i1im x 1 x l x i1 x im
N
j1 jl i1 im
jl 是 x i 的函数， 则量 Ti1j1 im (共有 n 个分量)称为 l 阶逆变(或抗变)m
r1 rl s1 s k r1 rl s1 s k Tp p t t T p p Tt t
1 m 1 h 1 m 1 h
四元数——精选推荐
四元数四元数四元数四元数是最简单的超复数。
复数是由实数加上元素 i 组成，其中i^2 = -1 \,。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，⽽且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \, 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数⼀般可表⽰为a + bi + cj + dk \,。
⽬录四元数(Quaternions)是由威廉·卢云·哈密顿(William Rowan Hamilton, 1805-1865)在1843年爱尔兰发现的数学概念。
四元数的乘法不符合交换律(commutative law)，故威廉·卢云·哈密顿它似乎破坏了科学知识中⼀个最基本的原则。
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。
如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表著⼀个四维空间，相对於复数为⼆维空间。
四元数是除法环的⼀个例⼦。
除了没有乘法的交换律外，除法环与场是相类的。
特别地，乘法的结合律仍旧存在、⾮零元素仍有唯⼀的逆元素。
四元数形成⼀个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。
四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致⼀些令⼈意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多於 n 个不同的根。
四元数就是形如ai+bj+ck+d 的数a、b、c、d是实数i^2=j^2=k^2=-1ij=k ji=-k jk=i kj=-i ki=j ik=-j(a^2+b^2+c^2+d^2)的平⽅根称为四元数的模.例⼦假设：x = 3 + i \,y = 5i + j - 2k \,那么：x + y = 3 + 6i + j - 2k \,xy = \left( {3 + i} \right)\left( {5i + j - 2k} \right) = 15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik= 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j = - 5 + 15i + 5j - 5k \, 群旋转象在四元数和空间转动条⽬中详细解释的那样，⾮零四元数的乘法群在R3的取实部为零的拷贝上以共轭作⽤可以实现转动。
SU2群的不等价不可约表示
x 3 x3
R R(e3, )R(e2 ,)R(e3, )
x3
R 1
R (e3 ,
)
1
R
(e2
,
)1
R
(e3
,
)
1
轴： x3’’
x2’
x2
xα3 β γ
x1 x1
x 2 x2
x1 x1
8
设R把坐标系由K位置转到K’位置
K系：R (, ,
)e3
nˆ (, )
x3’’在x1Ox2平面投影为x1’
(-1)n
l!
c
os
l
n
2
n!(l
s in n)!
2
n
2
19
练习
分别计算j=0，1/2，1时，SO(3)群的表示Djνμ(α,β,γ) (欧拉角的函数)
如：j=1/2时，表示下标ν,μ的取值：j，j-1，...，-j
D1/ 2
(,,
)
e d i 1/ 2
()ei
d1/ 2 1/ 2,1/ 2
x3’’极角是β 方位角是α
K’系R：1 (, ,
)e3
nˆ (,
)
x3在x1’’’Ox2’’’面投影为 x1’’x反3极方角向是β 方位角是π-γ
K’系的x3’轴在K系中 极角β，方位角α
K系的x3轴在K系中 极角β，方位角π-γ
x 3 x3 x3
x1 x1 x1 x1
x2
x 2 x2
9
计算转动变换R的欧拉角，有两种方法
2
2
sin cos
m(m 1) a m2x 2 2!
m(m 1) (m
n 1)
群论复习思考题
群论复习思考题2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
SU(2)群和SU(3)群及其在物理中的应用
[X
µ
, X υ ] = ai ∑ f µυ X k
k
f µυ = c µυk / 2i c µυ k 为群的结构
将 X i 化为李代数的产生元
则有
1 0 0 1 H1 = 0 −1 0 6 0 0 0 0 1 0 1 E1 = 0 0 0 3 0 0 0
3
0 − i σy = i 0
1 0 σz = 0 − 1
这便从 SU(2)群的角度揭示了电子自旋的 Pauli
这就是 Pauli 提出的 Pauli 矩阵 矩阵的生成
σ y 和 σz 之间又对易关系
[σ , σ ] = −2iσ
1 2
[σ , σ ] = −2iσ
即
分别对应本征值 ±
1 α = χ1 / 2 (s z ) = 0
0 β = χ−1 / 2 (s z ) = 1
即 χ(s z ) = aα + bβ 则 α 和 β 电子自
则一般的电子自旋可以用 α 和 β 来展开 旋空间中的两个基
在电子自旋空间中基的变换形成一个 SU(2)群
0 1 σ1 = 1 0
3
0 i σ2 = − i 0
1 0 σ3 = 0 − 1
SU(3)的无穷小产生子为
ＳＵ（３）群的无穷小产生子 和 SU(2)群的无穷产生子的产生方式相同
0 1 0 X1 = − 1 0 0 0 0 0 i 0 0 X4 = 0 0 0 0 0 − i 0 0 0 X7 = 0 i 0 0 0 −i
a12 | det( a ) = 1 , a ∈ U ( 2 ), a ∈ C ij a22 a12 a22 a32 a13 a 23 | det( a ) = 1, a ∈ U (3), a ij ∈ C a 33
用su(2)李代数的
用SU(2)李代数引言李代数是数学中一个重要的概念，它描述了一个Lie群（连续对称性的群）的切空间上的代数结构。
SU(2)李代数是描述特殊酉群（Special Unitary Group）SU(2)的李代数。
在物理学中，SU(2)李代数常常用于描述自旋1/2粒子的对称性。
本文将详细介绍SU(2)李代数的定义、性质和应用。
SU(2)群在介绍SU(2)李代数之前，我们先来了解一下SU(2)群。
SU(2)群是所有行列式为1的复二阶酉矩阵构成的集合，即：SU(2) = { U ∈ C^(2x2) | U†U = I, det(U) = 1 }其中C^(2x2)表示复二阶矩阵，U†表示U的共轭转置，I表示单位矩阵。
SU(2)群具有以下性质： - 封闭性：任意两个属于SU(2)群的元素进行乘法运算后仍然属于SU(2)群。
- 单位元：单位矩阵I属于SU(2)群。
- 逆元：SU(2)群中的每个元素都存在逆元，即对于任意U ∈ SU(2)，存在U⁻¹ ∈ SU(2)，使得UU⁻¹ =U⁻¹U = I。
- 结合律：SU(2)群中的乘法运算满足结合律。
李代数李代数是一个向量空间上带有一个二元运算（称为李括号）的代数结构。
李代数的定义如下：定义1：设V是一个实或复向量空间，[ , ]是V上的一个二元运算。
如果对于任意x, y, z ∈ V，满足以下条件： 1. 双线性性：[x + y, z] = [x, z] + [y, z]，[z, x + y] = [z, x] + [z, y] 2. 雅可比恒等式：[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0则称(V,[ , ])为一个李代数。
SU(2)李代数SU(2)李代数描述了SU(2)群在单位元附近的切空间上的代数结构。
SU(2)李代数可以通过引入三个无穷小生成元来定义，记作{J₁,J₂,J₃}。
群论-3 群的表示理论
群表示的编程实现
Python实现
利用Python编程语言实现群表示 的算法，可以使用NumPy等库进 行矩阵运算和线性代数计算。
Java实现
利用Java编程语言实现群表示的 算法，可以使用Java的矩阵库和 线性代数库进行计算。
C实现
利用C编程语言实现群表示的算法， 可以使用STL等库进行矩阵运算和 线性代数计算。
在粒子物理学中，对称性是理解基本 粒子行为的关键。群论用于描述这些 对称性，例如SU(3)群用于描述强相 互作用中的同位旋对称性。
03
相对论
在广义相对论中，群表示用于描述时 空的对称性，如洛伦兹群用于描述狭 义相对论中的时空变换。
化学系统中的群表示
01
分子的对称性
在化学中，分子具有特定的对称性，这些对称性可以用群论来描述。例
数据压缩
在数据压缩中，信息可以用群来表示和编码。例如，文本文件可以用字符集的群来表示和 压缩。
图像处理
图像可以看作是二维像素阵列，这些像素阵列具有平移、旋转和缩放等对称性。群论用于 描述这些对称性，并用于图像处理和识别。
密码学
在密码学中，信息可以用群来表示和加密。例如，RSA算法使用模数n的乘法群来加密和 解密信息。
无限群表示的应用
无限群表示在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，如 调和分析、量子场论和偏微分方程等。
群表示的性质
群表示的同态与同构
同态和同构是群表示的重要性质，它们描述了不同群表示之间的 关系和等价性。
群表示的分解
通过分解群表示，可以将复杂的问题简化为简单的问题，有助于 深入了解群的结构和性质。
Part
05
群表示的算法与实现
SU(n)群张量方法
• 非标准的杨表在作对称化或反对称化之后， 要么为零，要么等价于某个标准杨表。
• 对于给定的一种杨图（杨表形状）， 其对应张量的独立分量数目 = 标准杨表的数目
基本定理：
一个杨图对应的张量处于SU(n)群的一个不可约表示； 若我们列举出不超过n-1行的所有可能的杨图，其对应的张量 就构成了SU(n)群有限维不可约表示的完备集，并且所有不可约 表示只计数了一次。
SU(n)群的张量方法
张宏浩
处于定义表示（即基础表示）的n维复矢量psi_i在SU(n)群下的变换是 它的复共轭的变换是
引入上下标为 则基础表示及其复共轭表示的变换可写为
利用幺正性条件 可以得到
同理，利用 可以得到
也可写为
定义标量内积： 容易验证它是一个SU(n)不变量
例如：
例如： 因此，不妨把所有带上标的张量定义为Levi-Civita张量与带下标张量的收缩
若一个n阶张量与Levi-Civita张量收缩完全部指标， 则它是一个SU(n)不变量
SU(n)不变量 SU(n)不变量
因此 由此可见：指标置换与群变换是对易的
定义
则 由于 则它们在SU(n)变换下不会混合：
由于S^{ij}和A^{ij}不能再进一步分解，它们构成了SU(n)群不可约表示的基 例如：
SU(n)群不可约表示的维数
高等量子力学
1） 表象理论：Schrodinger表象，Heisenberg表象，相互作用表象。
2） 形式微扰理论，相互作用表象中时间演化算符的一般性质，形式解以及和散射矩阵的关系。
3） 形式散射理论，散射矩阵的微扰展开，散射截面，光学定理。
4） 中心力场中粒子的散射截面，分波法。
(5) Time reversal symmetry: Invariance of a specific Hamiltonian under time reversal transformation; The properties of anti-unitary operators; The role played by the internal degrees of freedom of quantum systems under time reversal transformation; The Kramer theorem and its applications.
(3) Theory of angular momentum: the SU(2) and SO(3) groups and their linear representations; Solutions of the rotating rigid-body systems; The definition of irreducible tensor of operators; Wigner-Eckart theorem and its applications.
高等量子力学课程详细信息
课程号
00410340
学分
4
英文名称
Advanced Quantum Mechanics
1979年诺贝尔物理学奖——弱电统一理论
1979年诺贝尔物理学奖——弱电统一理论1979年诺贝尔物理学奖授予美国马萨诸塞州坎伯利基哈佛大学莱曼实验室的格拉肖（Sheldon ，1932—）、英国伦敦帝国科技学院的巴基斯坦物理学家萨拉姆（Abdus Salam，1926—1996）和美国马萨诸塞州坎伯利基哈佛大学的温伯格（Steven Weinberg，1933—），以表彰他们在发展基本粒子之间的弱电相互作用理论的贡献，特别是预言了弱中性流①。
有人说，相对论和量子力学是20世纪物理学最重要的成果，而把电磁力和弱力统一在一起的弱电相互作用理论则是20世纪的最高点，这无疑是恰当的评价。
格拉肖1932年12月5日出生于美国纽约。
父亲为了躲避沙俄对犹太人的迫害，年轻时从俄国移居到美国，当了一名管钳工。
格拉肖有两个哥哥，比他大十几岁。
父母和哥哥都很喜欢他，给他创造了较好的条件，让他学习科学。
他在家里的地下室有自己的化学实验室，从小就对科学有强烈的兴趣。
1947年格拉肖进纽约的布朗克斯理科中学，温伯格是他的同窗好友。
从这时起就开始了他们之间的共同追求。
格拉肖酷爱读书，并组织了一个科学幻想俱乐部，出版了中学科学幻想杂志。
1950年格拉肖和温伯格一起进入康奈尔大学。
格拉肖对这里的本科教学不大满意，因为有名的教授都去给研究生开课，于是就在三四年级时选修了经典电磁理论、量子场论之类的研究生课程。
他还经常参加学术报告会。
和中学时期一样，他喜欢和同学们讨论问题。
1954年大学毕业，格拉肖来到哈佛大学，选择了著名物理学家施温格当自己的导师。
在施温格的指导下，格拉肖选取了“基本粒子衰变中的矢量介子”作为自己的博士论文题目。
1958年获博士学位。
后得到一笔美国科学基金会资助来到丹麦的理论物理研究所。
在这里做了两年的研究工作，就在这段时期，他发现了关于弱电统一理论的SU（2）×U（1）模型。
这项重要工作实际上在做博士论文时就已有准备，他在论文附录中就提到了弱电统一的思想，而这一思想正是他的导师施温格首先倡导的。
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C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004 16
C.F.Cai, Z.M.Huang, Z.F.Kang, Z.H.Yu, H.H.Zhang*, Phys.Rev.D92(2015),115004
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• SU(2)群三维不可约表示的生成元有两种常见约定 约定一：
约定二：
• (1,1)型张量Wij也有两种不同约定 约定A： 约定B：
13
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在这篇文章中，为了构造标量7重态、费米子5重态、费米子3重态 之间的相互作用，我们用到了张量语言。
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其中
特别地，当T_a为基础表示的生成元 时，T_a W^a的矩阵形式为
5
考虑SU(2)群的不变量
不妨定义Wij为
显式地有
6
若令
即 则有
即
7
同理，
即
8
容易证明
Proof:
9
注意：另一种常用约定是
即
10
考虑一个三重态
其中的待定参数 c_i不妨取为实数
同时约定
现在令
对比
可得
11
再令
其中T_a为三重态Φ所在表示的生成元， Wij为前面所求得的(1,1)型张量， 就可以求得c_i，最多只差一个整体的负号。
SU(2)群表示的张量语言
张宏浩
SU(2)群的基础表示及其复共轭表示
2
SU(2)群基础表示的生成元可选取为
T1和T2还可以组合为
3
注意：SU(2)群基础表示的生成元不是唯一的。
若保持T3=(1/2)σ3不变，令
即
则根据
可得
4
考虑SU(2)群的伴随表示W^a， W^a可以与SU(2)群的生成元T_a组合成T_a W^a
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用张量语言来写相互作用项
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下面来说明这些张量语言的字典是怎么得来的 考虑SU(2)群 的7重态Φ
其中c_i为实数
并将Φ的厄米共轭约定为
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由Φ和它的厄米共轭，可构造SU(2)群的不变量
对比第一行和第三行 可得
20
选取SU(2)群的7维表示的生成元为
21
7维表示的生成元T_a与伴随表示的W^a可组合为
22
结合Φ^dag, Φ, T_aW^a可得到一个SU(2)群的不变量
23
将二阶张量Wij约定为
构造如下的SU(2)群不变量，先来看它里面W3的系数
对比上页结果，可得
24
再来看W+的系数
25
对比W+的系数可得
即
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ