第1章 集合、映射与关系
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
《点集拓扑讲义》第一章集合论初步学习笔记
《点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基木知识.从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识.至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待到要用到时再阐述.旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑，可以去研读有关公理集合论的专著.即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了解有关正整数，整数，有理数，实数的基木知识，以及其中的四则运算，大小的比较（＜和W）,和实数理论中关于实数的完备性的论断（任何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是陌生的.此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早己熟悉的方式去使用，而不另作逻辑上的处理.§1.1集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体.例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”，“所有整数的集合”等等.集合也常称为集，族，类.集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素也常称为元，点，或成员.集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合，既大于1 又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称之为空集，记作0・此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集.集合的表示法：（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样）, 是定义集合的一个重要方式.（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号匕|关于x的一个命题P｝表示使花括号中竖线后而的那个命题P成立的所有元素x构成的集合.例如，集合｛* X为实数，并且0<Xl｝即通常所谓开区间（0, 1）.在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合｛戏以是实数｝便是集合｛刃丿=/,其中％是实数｝的简略表示,不难明口这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“丨”也可用冒号“：”或分号”来代替.（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如表示由元素 TJ构成的集合.如果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略.例如，有时我们可以用｛1, 2, 3,・・・｝表示全体正整数构成的集合，用｛1, 3, 5,…｝表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法，因为后而的规律不是很清楚，容易产生误解.我们再三提请读者注意：不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的.在本书中，我们用：乙表示全体正整数构成的集合，称为正整数集；Z表示全体整数构成的集合，称为整数集；Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集；R表示全体实数构成的集合，称为实数集；并且假定读者熟知这些集合.以下是一些常用的记号：e：表示元素与集合的关系，如：xex , xe｛x｝等G表示集合与集合的关系，如：AUB （等价于（这个记号即是通常数学课木中的匚）二：表示与上述相反的含义.表示两个集合相等，女口：A二B （等价于以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1设A, B, C都是集合，贝!J(1)A=A；(2)^A=B,则B=A；(3)^A=B, B=C,则A=C.定理1. 1.2设A, B, C都是集合，则(1)A"；(2)若AuB, BUA,则A=B；(3)若AUB, BUC,则A".证明(1)显然.(2)AUB 意即:若xWA,贝iJxGB；BS意即：若xGB,则xWA.这两者合起来正好就是A=B的意思.(3)xGA.由于AUB,故xGB；又由于B UC,从而x^C.综上所述，如果xeA就有xec.此意即AUC.因为空集0不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论：空集是惟一的.设A, B是两个集合.如果AUB,我们则称A为B的子集;如果A是B的子集，但A又不等于B,即AUB, AHB,也就是说A 的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是A的元素，这时，我们称A为B的真子集.我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特点，这类集合常称为集族.例如,缶{⑴，{1,2}, {1,2,3}}是一个集族. 它的三个元素分别为:{1}, {1,2}, {1,2, 3}及d设X是一个集合，我们常用尸（X）表示X的所有子集构成的集族, 称为集合X的幕集.例如，集合{1, 2}的幕集是P{⑴，{1, 2},⑵，0}.木章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论.在这种集合论中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的.正因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合己是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎，以免导致逻辑矛盾•例如，我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素.即：若A是集合则AWA不成立.这一点是容易理解的.例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生.因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了.也因此，我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集4}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别.作业:掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“G”与“U”的意义§1.2集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联.定义1.2. 1设A与B是两个集合.集合｛x|xeA或xWB｝称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB, 读为A并B.集合｛x|x eA且xWB｝称为集合A与集合B的交集或交，记作AAB, 读为A交B.若AQB二0,则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若AQBH0,则称集合A与集合B有（非空的）交.集合｛x|xeA且x吃B｝称为集合A与集合B的差集，记作A\B或A -B,读为A差B,或A减B.关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律.定理1.2.1设A, B, C都是集合.则以下等式成立：（1）幕等律AUA=AADA=A（2）交换律AUB=BUA AnB=BnA(3)结合律(AUB) UC=AU (BUC)(AAB) nc=An (BAC)(4)分配律(APB) UC=(AUC) Cl (BUC)(AUB) nc=(Anc)u (Bnc)(5)DeMongan 律A-(BUC)= ( (A-B) A (A-C)A-((BnC) = (A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联.定理1.2.2设A, B是两个集合.下列三个条件等价：(1)A UB；(2)AnB=A；(3)AUB=B・定义1.2.2设X是一个基础集.对于X的任何一个子集A,我们称X-A 为A (相对于基础集X而言)的补集或余集记作占.我们应当提醒读者，补集占的定义与基础集的选取有关.所以在研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变.定理1.2.3设X是一个基础集.若A, B为X的子集，则Au0=A,Ar^0 = 0,AuX = X,Ar^X =AAuA = X,Ar\A r = 0}{AuBy =A r\B，XAr\B')' = A以上证明均只须用到集合的各种定义，此处不证,略去. 作业：熟记这两节的各种公式.掌握证明两个集合A二B与AUB的基本方法KugO冷亡虫,=疋B(/ = E o 且 u R A B u 力)§1.3关系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系.为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念.定义1.3. 1设X和Y是两个集合.集合{ (x, y) |xex, yey}称为X与Y的笛卡儿积，记作XXY,读为X叉乘Y.其中(x, y)是一个有序偶，x称为(x, y)的第一个坐标，y称为(x, y)的第二个坐标.X称为XXY的第一个坐标集，Y称为XXY的第二个坐标集•集合X与自身的笛卡儿积XXX称为X的2重(笛卡儿)积,通常简单记作胪.有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆.因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解.给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生.以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法.我们应当注意，一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积XXY完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积YXX.定义1. 3. 3设X,Y是两个集合•如果R是X与Y的笛卡儿积XXY 的一个子集，即RUXXY,则称R是从X到Y的一个关系.定义1. 3.4设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RCXXY.如果(x, y) WR,则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy・如果AUX, 则Y的子集{yWY|存在xeA使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R (A) , R (X)称为关系R的值域.关系的概念是十分广泛的.读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数(映射)，等价，序，运算等等概念都是关系的特例.这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是XXY 本身，另一个是空集(1).请读者自己对它们进行简单的考查.定义1. 3.5设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RCXXY.这时笛卡儿积YXX的子集{ (y, x) eYXX|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作尺一】.如果BUY, X的子集氏"(B)是集合B的氏一】象，我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象.特别，关系氏" 的值域氏"(Y)也称为关系R的定义域.定义1. 3.6设R是从某个X到集合Y的一个关系，即RuXX Y, S 是从集合y到集合Z的一个关系，即SuYX乙集合{ (x, z) exXY 存在yGY使得xRy并且ySz}是笛卡儿积XXZ的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作SoR.定理1.3.1设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y 到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系.贝!J：(1)(L)J 二R证明(略)定理1.3.2设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y 到集合Z的一个关系.则对于X的任意两个子集A和B,我们有：(1)R (AUB) =R (A) UR (B)；(2)R (AAB) UR (A) AR (B)；(3)(SoR) (A) =S(R(A)).证明(略)在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广.定义1. 3. 7 设瓦耳必是n>l个集合.集合I x i e X、® € X2e X x")称为舟‘兀*•••** 的笛卡儿积,并且记作或者［］益其中(心心…石为有次序的n元素组，勺(i=l, 2, —n)称为n 元素组(忑旳…心)的第i个坐标，X i (i = l, 2,…, n)称为笛卡儿积乂\莫2”••召的第i个坐标集.n>l个集合X的笛卡儿积XXXX-XX常简单地记作炉n个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生，在线性代数中n维欧氏空间作为集合而言就是n个直线(作为集合而言)的笛卡儿积.需要提醒读者的是，如果你在给定的n个集合中交换了集合的次序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合.至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”，此事将来再以某种方式补充・(参见§9.1) 作业：理解“关系”的概念，掌握“关系”与“映射”的异同，“映射” 与“函数”的异同.(映射要求象惟一，关系没要求.函数要求定义域与值域是数域，而映射不一定)掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式§1.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念.在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间.定义1. 4. 1设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系｛(x, x) |xex｝称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△ (X)或△・定义1.4.2设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果厶(X) CR,即对于任何xex,有xRx；关系R称为对称的，如果恥L , 即对于任何x, yex,如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果RnR-1 =0,即对于任何x, yex, xRy和yRx不能同时成立；关系R 称为传递的，如果RoRUR,即对丁-任何x, y, zGX,如果xRy, yRz, 则有xRz.集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系.容易验证集合X中的恒同关系△ (X)是自反、对称、传递的，因此是X中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“相等关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{ (A, B) |A, B"(X), A=B}从定理1.1.1中可见，它是自反、对称、传递的，因此是尸(X) 中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“包含关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{ (A, B) |A, B" (X), AuB}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是尸(X)中的一个等价关系.集合X的幕集尸(X)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“真子集关系”可以理解为集合尸(X) X尸(X)的子集{(A, B) |A, BW尸(X), A U B,AHB}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的, 因而不是尸(X)中的一个等价关系.实数集合R中有一个通常的小于关系＜,即RXR的子集{ (x, y) |x, yGR, x＜y}容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的.设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系三p如下：=?-{ (x, y) WZXZ］存在nGZ 使得x —y 二np}关系J常称为模P等价关系，容易验证模P等价关系J是自反的, 对称的，传递的，因此是z中的一个等价关系.定义1. 4.3设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个点x, y,如果满足条件：xRy,则称x与y是R等价的，或简称为等价的; 对于每一个xeX,集合X的子集：｛yWXlxRy｝称为x的R等价类或等价类，常记作【心或[x],并且任何一个yG【心都称为R等价类【心的一个代表元素；集族｛t^l xeX｝称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X/R.我们考虑整数集合Z中的模2等价关系勺，易见，1巳3和2巳8.因此1与3是勺等价的，2和8也是三2等价的.整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素.此外易见，商集Z/三2有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合.下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理1.4.1设R是非空集合X中的一个等价关系.贝!(1)如果xex,则xW【心，因而【刃宀；(2)对于任意x, yGX,或者MlwAL,或者证明(1)设xex,由于R是自反的，所以xRx,因此*丘闪匚・・・【刃上工0・（3）对于任意x, yWX,如果，设zW[x]C[y].此时有zRx,且zRy.由于R是对称的，所以xRz・又由于R是传递的，所以xRy・对于任何一个t e【刃丘，有t Rx,由上述xRy和R的传递性可见tRy, 即tel-xh.这证明MbuAL同理可证【刃上ukk.因此【刃2【词上（注意：要证或者…或者…，应从以下入手：否定掉一个，去证另一个）在初等数论中我们早就知道整数模（素数）P的等价关系J将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作[刘去，称为整数X的模P同余类.让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系〜，使得两个固定向量x和y 〜相关（即x〜y）当且仅当x能通过平而（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合.容易验证这个关系〜是X中的一个等价关系.每一个~等价类便称为一个自由向量.作业：熟练掌握等价关系，等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§1.5映射数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念.定义1. 5. 1设F是从集合X到集合Y的一个关系.如果对于每一个x WX存在惟一的一个y丘Y使得xFy,则称F是从X到Y的一个映射, 并且记作F： X-Y.换言之，F是一个映射，如果对于每一个xex：（1）存在yWY,使得xFy；（2）如果对于H必GY有^^和入绥，则HT2.定义1. 5.2设X和Y是两个集合，F： X-Y（读做F是从X到Y的一个映射）.对于每一个xex,使得xFy的唯一的那个yGY称为x的象或值，记作F （x）；对于每一个yGY,如果xex使得xFy （即y是x的象），则称x是y的一个原象（注意：yeY可以没有原象，也可以有不止一个原象）.由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：（1）对于任何AUX,象F （A）有定义，并且F（A） = {F（x） xeA}（2）对于任何BUY,原象F- （B）有定义，并且厂】（B） ={xex F（x）eB} （y±意：厂匕）与严（g）的异同，前者不一定有意义，而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合）（3）如果Z也是一个集合并且G： Y-Z,则关系的复合GoF作为一个从X到Z的关系有定义；（4）尺一】作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来应"不是一个从Y到X的映射（这要看F是否是一一映射）；（5） F的定义域有定义，并且它就是X；（意味着X中的每个元素都必须有象）（6） F的值域有定义，并且它就是F （X）・（F（X）不一定充满Y）定理1.5.1设X, Y和Z都是集合.如果F： X-Y和G： Y-乙则SF： X-Z；并且对于任何xGX,有GoF（X）=G（F（x））（这实际上是映射的积的本质）证明（略）（但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x上,后者是F先作用在x上，然后G 再作用在F （x）±）.今后我们常用小写字母f, g, h,……表示映射.定理1. 5.2设X和Y是两个集合，f:X~Y・如果A, BUY 则(1)r1(AUB)=广" (A)U厂(B)；(2)(AAB)=广" (A)nr1(B)；(3)(A-B)=厂(A)-了' (B)・简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算.证明（略）・定义1. 5.3设X和Y是两个集合，X-Y.如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y,亦即f （X）二Y）,则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何如果心工乃，则有八1"了（心），则称f 是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射.如果f （X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当f（X）二｛y｝时，我们也说f是一个取常值y的映射.易见，集合X中的恒同关系△ （X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号“或i： X-X来表示它.根据定义易见，对于任何xex,有i （x）=x.概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射.由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射.定理1. 5.3设X和Y是两个集合.又设f:X-Y.如果f是一个一一映射，则厂便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写广:Y-X）,并且是既单且满的.此外我们还有：广'n和"厂=妆证明（略）定理1. 5.4设X, Y和Z都是集合，f:XfY, g： Y-Z.如果f 和g都是单射，则gof:X~Z也是单射；如果f和g都是满射，则g。
高一数学必修1第一章知识点总结
高一数学必修1第一章知识点总结高一数学必修1第一章主要包括三个部分：集合论、函数与映射、数列与数列的极限。
下面将对这三个部分进行总结。
一、集合论1. 集合的概念：集合是由一些确定的事物（称为元素）构成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。
3. 集合的运算：并集、交集、补集、差集、元素的判断和包含关系。
4. 集合的性质：幂集、集合的基数和集合的运算律。
二、函数与映射1. 函数的定义与表示：函数是一个对应关系，每个输入都有唯一的输出。
2. 映射的定义与表示：映射是一个集合到另一个集合的对应关系。
3. 函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、判定性质等。
4. 反函数与复合函数：反函数是一个函数的逆过程，复合函数是两个函数的结合。
三、数列与数列的极限1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一组数。
2. 等差数列与等比数列：等差数列是指每一项与前一项之差都相等的数列，等比数列是指每一项与前一项之比都相等的数列。
3. 数列的通项公式与递推公式：通项公式是通过数列项的位置计算项的值，递推公式是通过前一项计算后一项的值。
4. 数列的极限：数列极限是数列中项的无限逼近某个数的过程，包括数列的有界性、极限存在与不存在以及数列极限的计算。
综上所述，高一数学必修1第一章主要是基础的数学知识点。
通过学习集合论、函数与映射以及数列与数列的极限，可以奠定后续数学学习的基础。
这些知识点在高中数学中会贯穿始终，为后续的学习打下坚实的基础。
因此，学生应该重视这些知识点的学习，理解其概念、运算法则，尽量多做相关习题，从而提高数学的综合素养和解题能力。
同时，也应注重数学的实际运用，将所学的数学知识应用到现实生活中，培养数学思维和解决问题的能力。
高等工程数学课件--第1章 集合与映射
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则
lim An Ak .
n k 1
如果 An n 1是单调递减集合序列，则
lim An Ak .
n k 1
1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
第4讲 逆映射和复合映射
• 关于复合映射还有两个方面的问题需要讨 论:
• (I)复合映射与逆映射的关系
•
IA:
A
x
A
x
• IB?
x
x
IA
A
A
• Theorem 1-9 f : A B双射
f f 1 I A, f 1 f IB.
A B A • 理解:
af
1
f 1 a
b
2
b
c
hgfhgfhgf????????xfghxgfhxhgf?????xfghxfhgxhgf?????小结与作业逆映射的定义逆映射存在的条件复合映射的定义复合映射与单射满射和双射的关系习题12456781213作业anyquestions
离散数学
第4讲 逆映射和 复合映射
第1章 集合、映射与运算
1.2 映射的有关概念
•
显然, 当
x
0,
3π 2
时, 无反函数?
本讲内容
3
逆映射
4
复合映射
• 4 复合映射(composition function) • Theorem1-8 设f: A B, g: B C:
x A, h(x) g( f (x)).
• 则h: A C.
h
f
x
g
y=f(x)
z=g(y)= g(f(x))
Any Questions
?
3
c
f 1
f
1
a
2
b
3
c
1 2 3
B AB
• (II)复合映射与单射、满射和双 射的关系
• Theorem 1-10 f : A B, g : B C.
一数高中数学笔记
一数高中数学笔记
以下是一份高中数学笔记的示例，供您参考：
高中数学笔记
第一章：集合与逻辑
1. 集合的定义与表示
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。
表示方法：列举法、描述法。
2. 集合的基本关系
子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集。
真子集：如果A是B的子集，并且A不等于B，则称A为B的真子集。
3. 逻辑基础
命题：可以判断真假的陈述句。
条件命题：如果p是真命题，q是真命题，则“如果p则q”是一个真命题。
逆命题、否命题、逆否命题。
第二章：函数与映射
1. 函数的定义
函数是定义在数集上的特殊关系，由一个数集中的每一个数唯一确定另一个数集中的一个数。
2. 函数的表示法
解析法：用数学表达式表示函数。
表格法：列出函数的输入和输出值。
图象法：用图形表示函数。
3. 函数的性质
有界性：函数值域在一定范围内。
单调性：函数在某区间内单调增加或单调减少。
奇偶性：函数关于原点对称或关于y轴对称。
4. 映射的概念
映射是从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
第三章：三角函数与解三角形
1. 角度与弧度制
度数制：以度为单位测量角度的制度。
弧度制：以弧长与半径之比为单位测量角度的制度。
2. 三角函数定义
正弦函数、余弦函数、正切函数。
必修一数学第一章知识点【映射】
映射 · 数学定义设A 、B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每个元素a ，按法则f ，在B 中有唯一确定的元素b 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作f ：A→B。
其中，其中，b b 称为元素a 在映射f 下的象，记作：，记作：y=f(a); a y=f(a); a称为称为b 关于映射f 的原象。
集合A 中多有元素的像的集合记作f(A)f(A)。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。
如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合（不限于数）（不限于数），我们可以得到映射的概念：映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。
按照映射的定义，下面的对应都是映射。
⑴设A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}，，B={3,5,7,9}B={3,5,7,9}，集合，集合A 中的元素x 按照对应关系“乘2加1”和集合B 中的元素2x-1对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。
⑵设A=N*A=N*，，B={0,1}B={0,1}，集合，集合A 中的元素按照对应关系“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。
⑶设A={x|x 是三角形是三角形}}，B={y|y>0}B={y|y>0}，，集合A 中的元素x 按照对应关系“计算面积”和集合B 中的元素对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。
⑷设A=R ，B={B={直线上的点直线上的点直线上的点}}，按照建立数轴的方法，是A 中的数x 与B 中的点P 对应，这个对应是集合A 到集合B 的映射。
01 集合与映射
一般的，任取一个正整数 m ，都能将 Z 分解成 m 个两两不相交的非空子集的并， ，使得每个子集恰好是由除以 m 余数相同 的整数组成的。特别地，取 m 2, Z 则被 分解成偶数子集和奇数子集的并。
设 M 2 ( R)
(a ) a
ij
ij
R; i , j 1, 2
是 R 上一切二阶矩阵组成的集合，令 A0 (aij ) 秩(aij ) 0 A1 (aij ) 秩(aij ) 1
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课,三个学 生 的某种选课法的集合表示可以： A {a, b, c}, B {1 2} ，
用A B的子集表示R {(a,1), (b,1), (b, 2)}
属于子集R表明：第一个分量与第二个分量有关系 不属于R表明：第一个分量与第二个分量无关系
二元关系
有序对集合中元素的个数
二元关系
定义 设A，B是两个集合， A B的子集R称为A，B 间的一个二元关系．当(a，b)∈R时，称a与b具有关 系R，记作aRb；当(a，b) R时，称a与b不具有关 系Ｒ，记作aＲ’b．
二元关系
例 A集合表示三个学生，B集合表示两门课。三个 A 学生选课的所有选法的数学表示可以： B
通过以上2个例子，可概括集合分类的定义.
设 A 为任一个集合，而 是 A 的一些 子集组成的集合， {Ai A i I }
定义
其中 I 是指标集，如果 iI （1） Ai （2） Ai A j i, j I且i j
历史上（困扰人们很久）的著名问题：
⑴二倍立方体问题：作一个立方体使其体积 为一已知立方体体积的两倍。 ⑵三等分任意角问题：给定一个任意角，将 其三等分。 ⑶圆化方问题：给定一个圆（已知半径为 r ），作一个正方形使其面积等于已知圆的面 积。 ⑷n等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到完 全的解决。
研究生抽象代数课件
抽象代数第一章 集合与映射1.1逻辑命题：能判断正误的一句话。
逻辑：研究命题之间的关系。
1.2 集合集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。
集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的。
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的。
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序。
集合的表述方法：列举法，描述法。
元素与集合的关系（1）属于： 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作 要注意“∈”的方向，不能把a∈A 颠倒过来写。
集合与集合的关系：包含与不包含。
包含：如果集合B 的元素都是A 的元素,就称B 为A 的子集,或A 包含B,记为B ⊂A 。
例如，偶数全体包含于自然数全体。
集族：以集合为元素的集合。
以I 为指标集的一个集族，可以记作：{}是集合，i iA AI i ∈∀。
例如：},,,{321 A A A 是以自然数集为指标集的集族。
直积或笛卡尔积：设A 、B 是非空集合，定义A 、B 的直积或笛卡尔积},|),{(B b A a b a B A ∈∀∈∀=⨯。
问题：如何定义无限的集族的笛卡尔积？1.3 映射一、映射的相关定义映射：设A 、B 是非空集合，:f A B → 的对应关系。
如果B y A x ∈∃∈∀1, 使得 ()f x y =,则称f 是从集合A 到集合B 的映射。
判断映射的数学法则：原像相同则像也相同，即A x x ∈∀21,，如果 21x x =，那么 )()(21x f x f =。
单射：若映射满足原像不同则像也不同，即A x x ∈∀21,，如果 21x x ≠，那么)()(21x f x f ≠。
等价判断：如果)()(21x f x f =，那么21x x =。
满射：设:f A B → 的映射，如果对于B 中任意的元素都存在原像，那么称f 为满射；即A B y ∈∃∈∀x ，使得y )(=x f 。
近世代数第一章分析
1.1 集合 1.2 映射与变换 1.3 代数运算 1.4 运算律 1.5 同态与同构 1.6等价关系与集合的分类
运城学院
应用数学系
1.1 集合 1.2 映射与变换
教义和性质
映射，单射，满射，双射，逆
映射的定义及例子
变换，置换等的定义及例子
φ是单射 φ是满射 φ 是双
射
7.映射是函数概念的推广，是对应法则，A 是定义域，B包含值域，根据B是否与值域 相等，可将映射区分为是否是满射。A中不 同元素的像可能相同，也可能不同，据此 可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中 每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一 个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也 不同，则称是从A到B的一个单射。如果既 是满射又是单射，则称是从A到B的一个双 射，或一一映射。
并称 στ
为 σ 与 τ 的合成或乘积。
x →σ（τ(x)）
12.集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换， 类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变 换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒 等变换，φ ：A → Bφ 它是一个一 一变换。 x → x，
例：P9例9-10 定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。
A B表示A是B的真子集，即B中有不存 在A的元素
A B表示A不是B的子集
A B表示A不是B的真子集 A=B A B且B A 3.如果集合A含有无穷多个元素，则记为 |A|= ∞ ,如果A含有n个元素，则记为 =n 。（A的阶），有|A∪B|+ |B∪A| = |A| + |B|
4.称集合A-B={a| a A, a B}为集合A
10.设б与 τ 都是A到B的映射，如果 x A,都有б（x）=τ (x),则称б与τ 相
第1章 集合、映射与运算
B上A: 例1-5
B ={ f | f : A → B}.
A
A
x1 x2 x3
f : A→B
B
y1 y2
BA = { fi | i =1,2,...,8}.
| A|= m,| B |= n ⇒ BA |= nm. | Theorem 1-6 1注意B 注意B上A的记号与该结论的关系. 的记号与该结论的关系.
A× B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2)}
B × A = {(1, a), (2, a), (1, b), (2, b)}
B×C = {(1, ∅), (2, ∅)}
A×B ×C = {(a, 1, ∅), (b, 1, ∅), (a, 2, ∅), (b, 2, ∅)}. {(a (b (a (b
4.n元组 Def 1-4 将n个元素(?)x1, x2,…, xn按一定顺 1元素(?)x 序排列就得到一个n 有序) 序排列就得到一个n元(有序)组(n-tuple).
(x1, x2 ,..., xn ), < x1, x2 ,..., xn > .
在数据结构中就是一个线性表. 在数据结构中就是一个线性表.
64n 48 47 4 n A = A× A×...× A = {( x1, x2 ,..., xn ) | xi ∈ A, i =1,2,.., n}.
例1-4(P4) 设A = {a, b}, B = {1, 2}, C = {a {∅}, 求A×B, B×A, B×C, A×B×C. Solution
∀x ∈ A ⇒ x = (x1, x2 ,..., xn ) ∈ A × A2 ×...× An , 1
高一数学第一章知识点大全
高一数学第一章知识点大全一、集合与映射集合的定义集合的表示方法集合的运算：交、并、差、补集合的关系：包含关系、相等关系、互斥关系集合的表示方法集合的基本性质：幂集、空集、全集、子集集合的运算法则映射与函数的定义映射的表示方法映射的分类：单射、满射、一一对应函数的概念与性质函数的表示方法映射与函数的关系逆映射与复合映射函数的基本性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性二、直线与圆直线的定义与性质：直线的分类、直线的方程平行线与垂直线直线的倾斜角与斜率圆的定义与性质：圆的元素、圆的方程、圆的切线圆与直线的位置关系直线与圆的交点与位置关系切线与切点的性质三、平面向量向量的定义与表示方法向量的运算：加法、减法、数量乘法向量的数量乘法与线性运算向量的线性相关与线性无关向量的数量积：点乘与夹角向量的向量积：叉乘与面积平面向量的应用四、解析几何平面直角坐标系的建立点、直线、圆在平面直角坐标系中的表示与性质点、直线与圆的位置关系直线与直线的位置关系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系三角形的重心、外心、内心、垂心的性质五、数列与等差数列数列的定义与表示方法数列的通项公式与递推公式数列的性质：有界性、单调性、极限等差数列的定义与表示方法等差数列的性质：通项公式、前n项和、项数公式等差中项的性质与应用六、指数与对数指数运算的定义与性质指数函数与对数函数的定义与性质对数运算的定义与性质指数方程与对数方程的解法指数函数与对数函数的图像与性质常见指数函数与对数函数的应用七、三角函数弧度制与角度制的转换三角函数的定义与性质三角函数的基本关系式与标准公式三角函数的图像与性质三角函数的复合与反函数三角函数在实际问题中的应用八、数学归纳法与排列组合数学归纳法的基本原理与应用排列与组合的概念与性质排列与组合的计数原理：基本计数原理、分部计数原理、乘法原理、加法原理排列与组合的应用：概率、排列组合等实际问题的解决方法九、集合的概率随机事件与样本空间概率的定义与性质概率的计算方法：古典概型、几何概型、统计概型独立事件与互斥事件条件概率与事件间的关系贝叶斯定理的应用十、直线与平面的位置关系平面的定义与性质直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的交点坐标平面与平面的交角与夹角空间几何的应用以上是高一数学第一章知识点的全面总结。
现代应用数学基础第1章
反对称性 若 x y 且 y x ，则 x y ,
为序
则称“ ”为X上的一个半序(偏序)，称 ( X , ) 若半序“ ”还满足序公理
空间，称赋予了半序的集合X为半序集(偏序集)．
(4) 全序性 x, y X , x y 与 y x 必居其一, ”为全序，称 ( X , ) 为全序空间，称赋予 则称“ 了全序的集合X为全序集．半序集和全序集统称有
定义1.2.2 设映射 f : X Y．
1. 若 x1 , x2 X , x1 x2 ，有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则
称f 为单射；
2. 若y Y , x X 满射； ，使 f ( x) y ，则称f 为
3. 若f 既是单射又是满射，则称f 为双射（一对一 映射）．此时 y Y ，都存在唯一确定的 x X ， 使 y f ( x) ，称这一映射为f 的逆映射，记为 f 1 ． 如： 恒等映射（单位映射） I : x X , I ( x) x
iI
c
Ai
iI
A
c i
iI
c
Ai
iI
Aic
1.1.3 集合序列的极限
单调的集合序列
Xn
递增的 A1 A2 递减的 A 1 A 2
An
An
如：对于任意给定的一个集合序列 {An } n 1 ，令
Ak
k n
Yn
Ak
k n
于集合B的势，记为 | A || B |． 定理1.4.1(Bernstein) 设A和B是两个集合，若存在 单射 f : A B 和单射 g : B A ，则存在双射 h : A B .
集合关系、映射的观点和方法与中学数学
文本解读新课程NEW CURRICULUM在例3中，虽然和例2一样是属于A、ω出现一个负数的情况，但由于出现负数的是ω，因此，在解不等式的过程中涉及改变不等号的问题，因此，对学生的基础知识的掌握程度提出了更高的要求，对学生的逻辑思维能力是一个全新的挑战。
四、根据认知结构的迁移理论，通过把三角函数y=A sin（ωx+φ）+b图象的单调性研究过程迁移到对三角函数y=A cos（ωx+φ）+ b和y=A tan（ωx+φ）+b的图象的单调性研究与学习中去，让学生发现规律，提高自主探究的能力通过引导，让学生对比三角函数y=A sin（ωx+φ）+b图象的单调性的探究学习过程去自主探究三角函数y=A cos（ωx+φ）+b和y=A tan（ωx+φ）+b的图象的单调性，学生很好的总结归纳出：1.函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调性与函数y=A sin（ωx+φ）+b的图象的单调性结论完全一致。
（1）当Aω>0时，若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调增区间，则必须在y=cos x中取其增区间；若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调减区间，则必须在y=cos x中取其减区间。
简称“问什么，取什么”。
（2）当Aω<0时，若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调增区间，则必须在y=cos x中取其减区间；若要求函数y=A cos（ωx+φ）+b的图象的单调减区间，则必须在y=cos x中取其增区间。
简称“问增取减，问减取增”。
2.函数y=A tan（ωx+φ）+b的图象的单调性。
由于函数y=tan x的图象中只存在增区间，不存在减区间，因此：（1）当Aω>0时，题目中要求的一定是函数y=A tan（ωx+φ）+b 的图象的单调增区间。
（2）当Aω<0时，题目中要求的一定是函数y=A tan（ωx+φ）+b 的图象的单调减区间。
数学学习的认知过程分为“学”和“习”两个方面以及“学、思、习、行”四个阶段。
清华大学高等代数讲义-1
f : Mn(R) −→ R A −→ detA
f : GLn(R) −→ GLn(R) A −→ A−1
Example 11 设 [a, b] 上全体可微函数的集合为 A，[a, b] 上全体函数的集合 为 B, 令
D : A −→ B
f −→ f
即 ∀f ∈ A, 有 D(f ) = f .
Lesson 1
A=
10 01
,B =
10 00
,C =
00 00
则 SM2(R)/ ∼= = {[A], [B], [C]}
Lesson 1
4
若按相似关系 (∼) 进行分类，其代表元记作：
D=
λ1 0 0 λ2
, λ1 ≥ λ2, λ1, λ2 ∈ R
则 SM2(R)/ ∼ = {[D]}
拓扑学(周振荣,宋冰玉编著)PPT模板
09
Part One
第9章
映射空间
第9章 映射空间
9.1 一致拓扑 9.2 连续映射和有界映射 9.3 等度连续 9.4 点开拓扑和紧致收敛拓扑 9.5 Ascoli定理
10
Part One
第10章
基本群
第10章 基 本群
06
10.6 圆周 的基本群
01
10.1 映射 同伦
05
10.5 球面 的基本群
仿紧空间
第7章 仿紧空间
7.1 局部有限性 7.2 仿紧空间 7.3 单位分解定理 7.4 流形的嵌入定理
08
Part One
第8章
度量空间
第8章 度量空间
8.1 度量化 8.2 Urysohn度量化定理 8.3 Nagata-Smirnov度量化 8.4 Smirnov度量化 8.5 度量空间的完备性
拓扑学(周振荣，宋冰玉编 著)
演讲人
202X-11-11
01
Part One
第1章
集合论
第1章 集合论
1.1 集合与映射 1.2 关系 1.3 选择公理 1.4 良序集、超限归 纳原理 1.5 基数与序数
第1章 集合论
1.1 集合与映射
1.1.1 集合
1.1.2 映射
第1章 集合论
1.2 关系
4.2.1 路连通空间 4.2.2 局部路连通空间 4.2.3 路连通分支
05
Part One
第5章
分离公理
第5章 分离公理
5.1 用邻域分离 5.2 用连续函数分离 5.3 Tietze扩张定理 5.4 Appert空间
06
Part One
第6章
紧致性
数学分析 第一章 集合与映射
引例3.
向 y 轴投影
(点集) (点集)
定义1.2.1 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
则 f , 使得
有唯一确定的
与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y x y f (x)
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）. 集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
有理数集
Q
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q p
q Z, p N, p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
正实数集 R x x R, 且 x 0
特殊集合 x x R 且 x2 1 0
开区间 闭区间 半开区间 无限区间
点的 邻域
数学分析中常用 的实数集
a
(
a
a
)
去心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
pN+, qN+,q≤p, q，p互质。我们按以下方式排列这
些有理数。见P8.
作业：p10 2(2),5
5 .笛卡尔( Descartes )乘积集合
设A与B是两个集合，在集合A中任取一个元素x， 在集合B中任取一个元素y，组成一个有序对 (x,y)。
把这样的有序对 (x,y)作为新的元素，它们全体组成
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
≜
{������ ∶ ������, ������ ∈ ������}称为������形成的关于������的等价类或以������为代
例 ： 设 ������ = {������, ������, ������, ������, ������} ， ������ 上 的 一 个 等 价 关 系 ������ =
• 补集运算（余集运算）
基本集合：限制在一定范围内的研究对象的全体形成 的集合称为基本集合（全集）. 补集（余集）：给定基本集合������及其子集������ (⊂ ������), 称 差集������\������为集������的补集（余集）, 记������������ = ������\������.
第1章 集合、映射与关系
1.1 集合
1、集合的概念
• 若干个 (有限或无限) 确定的事物的全体叫做一个集合, 通常用大写字母������, ������, ������, ⋯ 表示集合. • 组成一个集合的事物叫做这个集合的元素, 用小写字 母 ������, ������, ������, ⋯表示集合的元素.
① 元������与元������有关系������即(������, ������) ∈ ������时, 简记为������������������.
② 若������, ������ 之间的二元关系������ 具有性质∀������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������ , 使得������������������, 则关系������决定了������到������的一个映射. 因此， 二元关系是映射概念的推广.
• 多个集合的直积（笛卡尔积） ������1 × ������2 × · · ·× ������������ = { ������1 , ������2 , ⋯ , ������������ ∶ ������������ ∈ ������������ , ������ = 1, 2, ⋯ , ������}
例：考察下图中的对应关系是否为映射、单射、满射、
双射？如果不是双射，应如何改变对应关系，使其成为
双射？
������ ������ ������
例：一个������ × ������实矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可以看作������维实空
间ℝ������ 到������维实空间ℝ������ 的映射（按矩阵乘法）如下
������ ∶ ℝ������ ⟶ ℝ������
������ ∶ ������ ⟼ ��������，它分别为满射？单射？ 1-1映射？
2、复合映射
3、可逆映射
若满足式(1.2.1)的映射������存在，则它是唯一的。论证：假设
这样，映射������是双射等价于满足式(1.2.1)的映射������唯一存在.
差集 ������ \ ������ = { ������ ∶ ������ ∈ ������ 且 ������ ∉ ������ }
直积 ������ × ������ = { (������, ������) ∶ ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ }
• 集合的并和交都满足结合律与交换律, 且并与交之间 还符合分配律, 即对任意三个集合 ������, ������, ������ 有 ������ ∪ (������ ∩ ������) = (������ ∪ ������) ∩ (������ ∪ ������) ������ ∩ (������ ∪ ������) = (������ ∩ ������) ∪ (������ ∩ ������)
4、映射分解
A
������ = ℎ ∘ ������ ������ C ℎ
B
1.3 代数运算
1、代数运算的定义
设������是非空集合, 它的������次直积������ ������ = ������ × ������ × ⋯ × ������到������ 自身的映射������: ������ ������ → ������称为集������上的一个������元代数运算.
① 映射������的定义域是整个集合������； ② 集������中的每个元素在映射������下的象总是存在唯一的（一 意性）, 并且所有的映象都在������中； ③ 当������ = ������（即������是由������到其自身的映射）时, 可称映射������ 是集������上的变换.
常用符号∼表示等价关系； 符号≤表示偏序关系.
注：部分文献将满足反对称、传递的二元关系称为偏序关系.
例：设������ = {������, ������, ������, ������, ������}，������上的一个二元关系 ������ = { ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ , ������, ������ }. 试判断������是否为等价关系.
③ 同一集合上可定义几种不同的代数运算.
例：考查三维实向量空间ℝ3 ，问其上定义的叉积与点积 是否为ℝ3 上的代数运算？
2、代数系统
把具有若干种代数运算的非空集合叫做一个代数系统 (代数系、泛代数). 一般代数的主要研究对象就是一些重要的代数系统.
1.4 代数关系
1、关系的定义
平 凡 关 系 ： 任何直积 ������1 × ������2 × ⋯ × ������������ 都有两个平凡子 集, 即空集和该直积自身, 分别称之为空关系和全域关系.
将映射������写为方程的形式，有： ������(������) = ������ 其中，������ ∈ ������, ������ ∈ ������。考查上述方程的解，有如下结论：������为 满射, 是指方程在������上总有解; ������为单射, 是指若方程在������上有 解则必唯一; ������为双射, 就指方程在������上存在唯一解.
① 将������映到自身的映射������: ������ → ������可以看成一个一元运算, 如： 复数集ℂ上数的开方就是一个一元运算.
② 常见的是二元运算������: ������ × ������ → ������, 这里∀������, ������ ∈ ������, ∃! ������ ∈ ������, 使得������(������, ������) = ������ , 为了简明起见, 可将该对应关系写为 “运算”形式������ ∗ ������ = ������. 如：正实数集ℝ+ 上两个数的除 法就是二元运算.
③ ������元代数运算, 给出了一个集合中的������个元到该集合
的另一个元之间的联系, 所以������元运算是一种特殊的 ������ + 1元关系.
例：两个有限集合间的二元关系可用矩阵表示，称为关 系矩阵。
例：
重要的二元关系：
例：同班同学构成的集合上的同学关系是等价关系； 任意一群人构成的集合上的朋友关系是相容关系 （没有传递性）； 实数集ℝ上的小于等于关系是偏序关系.
������
• 恒等映射
一个集合������上的恒等(同)映射������������ 定义为
������������ ∶ ������ ↦ ������, ∀������ ∈ ������.
即恒等映射对每个元来说其象均与原象相同. • 映射相等 由������至������的两个映射������, ������被称为相等的，是指对������中任 一元素������，其对应的象均相等，即： ������ = ������ ⟺ ������ ������ = ������(������), ∀������ ∈ ������.
例：设������ = {������, ������}， 问：������上的二元关系������ = { ������, ������ , ������, ������ }是否是������上的 一个等价关系？
1.5 等价类
1、等价类的概念 设������为集合������上的等价关系，任取������ ∈ ������，集合 ������ 表的等价类，有时简记为[������]，等价类也用������表示.
4、集合的运算 • 常见运算（对两个集合） 并集 ������ ∪ ������ = { ������ ∶ ������ ∈ ������ 或 ������ ∈ ������ }
交集 ������ ∩ ������ = { ������ ∶ ������ ∈ ������ 且 ������ ∈ ������ }
式中, (������1 , ������2 , ⋯ , ������������ )是������元有序组.
例：设������ = 1, 2 , ������ = {∆,∗}, 求 ������ × ������.
1.2 映射
1、映射的定义
• 定义1.2.1 对于两个集合������和������, 如果能够建立某种规 则������, 使得对任给������ ∈ ������, 存在唯一的元������ ∈ ������与之对应, 记为������: ������ ⟼ ������或������(������) = ������, 那么就称������是由集������到集������的 一个映射, 记作������: ������ → ������或������ → ������, 其中������和������分别叫做 映射������的原象与象.
3、子集、幂集、相等
• 若集合������的每一个元素都属于集合������, 就说������是������的子集, 用符号������ ⊂ ������或������ ⊃ ������表示; 否则就说������不是������的子集, 用符号������ ⊄ ������或������ ⊅ ������表示. • 任一集合������总可以空集∅和其自身������作为该集合的子集, 这两个子集称为集合������的平凡子集. • 由一个集合������的所有子集作为元素而构成的集合, 称为 集������的幂集. 如果集������是有限集, 并具有������个元素, 则������ 的幂集将有2������ 个元素, 记为2������ . • 若集合������和集合������所包含的元素完全相同, 那么称������与������ 相等, 记为������ = ������. 显然有 ������ = ������ ⟺ ������ ⊂ ������, ������ ⊃ ������.