对数与常用对数
高中数学课件：2.2.1对数与对数运算
专题三 坚持科教 兴国 推进自主创
新
热点一 科教兴国 时事❶ 第三届深圳国际智能装备产业博览会
第三届深圳国际智能装备产业博览会暨第六届深圳国 际电子装备产业博览会于2017年7月27日至29日在深圳会 展中心举办。本届博览会以“智能改变未来，产业促进发 展”为主题，定位于创新型、专业性和国际化，展会将突
1．我国科技取得成就的原因有哪些？ ①我国经济实力不断增强，为科技创新提供了坚实的 物质基础。 ②我国实施科教兴国战略和人才强国战略，为科技创 新提供了强有力的政策支持。 ③我国大力弘扬创新精神，尊重劳动、尊重知识、尊 重人才、尊重创造。
④社会主义制度具有集中力量办大事的优越性。 ⑤广大科研工作者发扬了艰苦奋斗、开拓创新、团结 协作的精神等。
2．我国为什么要实施创新驱动发展战略，坚持走中国特 色自主创新道路？ ①我国正处在社会主义初级阶段，教育科学技术水平比 较落后，科技水平和民族创新能力不足。 ②创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的 不竭动力。 ③我国是一个发展中国家，要想真正地缩小与发达国家 之间的差距，关键靠创新。
④只有把科技进步的基点放在增强自主创新能力和持续创 新能力上，才能实现我国科学技术的跨越式发展，真正掌 握发展的主动权。 ⑤没有创新，就要受制于人，没有创新，就不可能赶超发 达国家。 ⑥科学技术是第一生产力，科技创新能力已越来越成为综 合国力竞争的决定性因素。 ⑦增强自主创新能力，有利于全面建成小康社会、实现中 华民族的伟大复兴。
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对数函数
解析：∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)即lg(
ax a 2 1 x ∴lg( )＝lg( )， 1 x 2 a ax ∴ ax a 2 1 x 1 x 2 a ax
∴4＋4a＋a2－a2x2＝1－x2，
2 4 4a a 1 ∴ 2 ，解得a＝－1. a 1
1.对数的概念
(1)对数的定义.
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对 数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫 做真数.
(2)几种常见对数.
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a＞0且a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logax lgx lnx
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3能取遍(0，＋∞)
上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－ 实数a的取值范围是(－∞－ ]∪[ ，＋∞).
保持例2中的函数不变， (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实 数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R值域为(－∞，－1]，求实数
①loga(1＋a)＜loga(1＋
②loga(1＋a)＞loga(1＋ ③a1＋a＜ ④a1＋a＞ A.①与③ C.②与③ ；
)；
)；
，其中成立的是 B.①与④ D.②与④
(
)
(2)已知函数f(x)＝loga(3－ax). ①当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； ②是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
2(lg
)2＋lg
· lg5＋
；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数与对数函数
2.已知 1<a<b<a2, 比较 logab, logba, loga a , logb a , 1 的大小. b b 2 a a 2 解: 由 1<a<b<a 可知: loga b <0, logb b <0, logab>1. ∴0<logba<1. ∵ 0>log a a>log a b, ∴logaa <logb a . b b b b 2> 1 log b= 1 , 又 logba= 1 log a 2 b 2 2 b 1 a ∴ logab>logba> 2 >logb b >loga a . b 3.已知 logm4>logn4, 比较 m, n 的大小. 解: 由已知 logm4>logn4, 可分情况讨论如下: ①当 m>1, 0<n<1 时, logm4>0, logn4<0, 原不等式成立. ∴m>1>n>0; ②当 m>1, n>1 时, 由 logm4>logn4>0 得: log4m<log4n. ∴n>m>1; ③当 0<m<1, 0<n<1 时, 由 0>logm4>logn4 得: log4m<log4n. ∴0<m<n<1. 综上所述: m, n 的大小是 m>1>n>0 或 n>m>1 或 0<m<n<1.
对数与对数函数
一、对数
如果 a(a>0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式. 常用对数: (lgN), 自然对数: (lnN).
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
课堂互动讲练
考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。
如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。
其中a称为底数，N称为真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。
常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。
自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。
它的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。
当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。
对数公式在数学中有广泛的应用。
例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。
还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。
在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。
总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。
4、已知a>b>c，那么a>b>c。
3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。
2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。
5、如果a>1，且a-x-logaxy。
1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
对数概念及其运算
M
n
n m
loga
M m, n
R, m
0。
用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商
的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的 n 次方的对数，等于这个正数的对数的
n 倍。 【例 3】下列各式与 lg ab 相等的是（）
c
( A) lg ab lg c Blg a lg b lg c Clg a lg b lg c Dlg ab lg c
【例 4】计算：
1lg 0.012; 3log2 3 log2 5;
2log4 42 3 4 ;
4log5
3 2
log5
5 4
log5
2
.
知识点 3 换底公式 1.换底公式
logb
N
loga N loga b
a
0, a
1,b
0, b
1,
N
0
2.换底公式的推论
1loga
b
1 logb
a
a
0,
a
1,
b
0,
b
1
2loga b logam bm a 0, a 1,b 0
3logam
bn
n m
loga
ba
0, a
1,b
0, m
0
【例 5】计算：
1log8 32;
2log25 4 log8 5;
3log4 3 log8 3log3 2 log9 2;
4log2
1 25
log3
x2 3(
3xx
x
0)
0
（A）①②③
（B）①②④
对数与对数函数
对数与对数函数1.对数的概念(1).对数的定义:如果 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba a Nb N =⇔= 如22=4 ==> lg 24=2 注意：负数与0没有对数(2).常用对数： 10log N 叫做常用对数，记作lg N 如lg2 ，自然对数：无理数 2.71828e=⋅⋅⋅为底记作ln N 。
(3).注意：①log a 1=0 ②log a a=1 ③lg10=1 ④1ne=1 如log a （x-1）=1 则x-1=a 若log a （x-1）=0 则x-1=1 2.对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N>≠>且②log Na a = (01,0)a a N >≠>且(2)换底：log aN =log log b b Na(a ，b>0且a ，b ≠1,N>0) log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d (a ，b,c>0且a ，b,c ≠1)3.对数的运算性质:如果01,0,0aa M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = . （2）log a MN= （3）log n a M = （4）log n amM = （5）log log a b b a ⋅= （6）log a b =1log b a例1．指数式34 =81的对数式是 ，对数式41log 2=－2的指数式是 。
log 55= log 39= , (3)49log 77 = , (4) log 575－log 53 = ，(5) lg10 = , (6)log 21 = lne=_________例2.计算 （1）()()222lg 2lg 2lg 5lg 2lg 21+⋅+-+ （2）()()231lg 5lg8lg1000lg 2lg lg 0.066++++(3)22271log log 12log 421482+--(4)()2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+(5)()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+ 例3．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( )A ．b a b a +++12B ．b a b a +++12C ．b a b a +-+12D ．b a ba +-+12例4．已知2 lg(x －2y)=lgx ＋lgy ，则yx 的值为 A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．4 或2课堂练习：1、已知log 5X=3，则X =（ ）A 100 B 1000 C 25 D 1252、在对数式N alog =b 中，真数N 的取值范围是（ ）A N ＞0 B N>0且N ≠1 C N ≠1 D N 取任何实数3、式子lg5+lg800－2lg2 =（ ） A 1000 B 100 C 3 D 24、如果a>0且a ≠1，则正确的是（ ）A 5log 3log 2log a a a=+ B 6log 3log 2log a a a =+C 3log 2log 3log 2log a a a a∙=+ D 6log 3log 2log a a a =∙5、ln 3e+lne 3=( ) A 2 B 3 C 4 D 66、如果a>0且a ≠1，则下列式子错误的是（ ） A log a 1= 0 B log a a =1 C log a M n= n DN a N a =log7、式子=3log 9log 28（ ） A.32B.1C.23D. 2 8、式子16log 8=（ ）A43 B4 C34 D 39、下列等式不成立的有（ ） A lne=1 B ln1=0 C ln 2e=2 D e ln2=2 10.计算(1)25log 41log 49log 752∙∙(2)2)18(lg - －125(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2(4)()643log [log log 81](5)23lg 3lg 9lg 27lg 355lg81lg 27++-- (6)()502log 33335322log 2log log 85log 89-+-+11.若234342423log log log log log log log log log 0xy z ===，求x y z ++=的值。
对数常用公式课件
商的对数公式推导
定义与已知条件
推导过程
设$a>0$, $b>0$, $N=\frac{a}{b}$, 则$\log_{c}N=\log_{c}(\frac{a}{b})$ 。
根据对数的定义，我们有 $c^{\log_{c}N}=N$，即 $c^{\log_{c}(\frac{a}{b})}=\frac{a}{ b}$。由指数运算的性质，可得 $c^{\log_{c}a \log_{c}b}=\frac{a}{b}$。
幂运算规则
换底公式
$\log_a N=\frac{\log_b N}{\log_b a}$。换底公式可将对数的底数转换为 其他数值，从而方便计算。
$n\log_a M=\log_a M^n$。这个公 式可用于将对数的幂运算转化为乘法 运算。
02
常用对数公式介绍
乘积对数公式
01
02
03
公式表述
$\log_b(MN)
一个正数的幂的对数等于这个数的对数与指数之 积。
举例说明
计算$\log_3(81)$，由于$81=3^4$，则 $\log_3(81)=4\log_3(3)=4$。
03
推导过程详解
乘积对数公式推导
定义与已知条件
设$a>0$, $b>0$, $M=a \times b$, 则$\log_{c}M=\log_{c}(a \times b)$。
结论
$\log_{c}a^{n}=n \times \log_{c}a$。
04
典型例题解析与讨论
例题一：利用乘积对数公式求解
01
题目
求解 $\log_3(27x^2)$。
02
解析
利用乘积对数公式 $\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$，将原式拆
对数与常用对数
2．对数与指数的关系 (1)指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b 中，a、b、N 三者间的关系 实质如下(a>0 且 a≠1)：
【例 2】 利用对数的定义或性质求下列各式的值： (1)log327；(2)lg 1 000；(3) log1041 (4)ln e； 解 (1)∵27＝33，∴log327＝3； (2)∵103＝1 000，∵lg 1 000＝3； (3)log1041＝0； (4)ln e＝1；
【例 3】 求下列各式中 x 的值．
对数与指数的关系1指数式a三者间的关系实质如下a0底数指数对数式log底数对数真数以a为底n的对数等于2利用对数式与指数式之间的关系可以把指数与对数进行互化
2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第 1 课时 对数概念、常用对数
执教人：陈学发
课题引入：
探究：
(1)、当分裂细胞有 128 个时,请问分裂了多少次?
练习处理：
教材 P：64 第 1、2、3、4 题
课堂小结：
（1）对数的定义与常用对数。 （2）对数与指数的关系。 （3）对数的基本性质。
作业布置：
教材 P：74 第 1、2 题
(3)
＝－3.(4)24＝16.
(5)13－3＝27.(6)( 3)6＝x. 规律方法 (1)logaN＝b 与 ab＝N(a>0 且 a≠1，N>0)是等价的， 表示 a，b，N 三者之间的同一种关系．在进行互化时，要分清
3.2.1.1对数概念及常用对数
(4) 求下列各式的值
22log2 5
2log2 3
32log9 5
312log3 4
一、问题：
1、庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？
1. ; 抽象出： 1 5 1 2 32
1 x 2
0.125
x=?
2、假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果 每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值 是2002年的2倍？
课堂练习
将下列对数式写成指数式：
(1) log2 6 2.5850 ; (2) log3 0.8 0.2031 ;
(3) lg 3 0.4771 ; (4) ln 3 1.0986 ;
探索与发现： 求下列各式的值： (1) log31= 0 (2) lg1= 0 (3) log0.51= 0 (4) ln1= 0
(3) 0.53=0.125 ; (4) 0 1 ;
两个重要对数：
①.常用对数（common logarithm）：以10 为底的对数log10N, 简记为: lgN .
②. 自然对数（natural logarithm）：以无理 数e=2.71828… 为底的对数的对数logeN ;简记 为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e为底的 对数)
3.2.1 对数及其运算
2019年10月29日
一、复习引入
小学到初中，我们对数的运算有了深入的了解， 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等运算已经 成为我们所熟知的了。我们知道：加法与减法、乘 法与除法、乘方与开方之间是互逆的运算。
自然对数与常用对数
自然对数与常用对数对数的概念:logarithms 1、常用对数:以10为底的对数称为常用对数，记作2、自然对数:以e=2.7 L为底的对数称为自然对数，记作3、常用对数与自然对数的关系:式中M称为模数，4、常用对数首数求法:若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比1、常用对数:以10为底的对数称为常用对数，记作2、自然对数:以e=2.7 L为底的对数称为自然对数，记作3、常用对数与自然对数的关系:式中M称为模数，4、常用对数首数求法:若真数大于1，则对数的首数为正数或零，其值比整数位数少1.若真数小于1，则对数的首数为负数，其绝对值等于真数首位有效数字前面0的个数(包括小数点前的那个0).对数的尾数由对数表查出.更多对数相关知识点，请看:对数的性质与运算法则如果b^n=x，则记n=log(b)(x)。
其中，b叫做"底数"，x叫做"真数"，n叫做"以b为底的x的对数"。
log(b)(x)函数中x的定义域是x 0，零和负数没有对数;b的定义域是b 0且b?1对数的历史:对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创"对数"这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家--纳皮尔(Napier，1550-1617年)男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的"太阳中心说"刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。
可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的"天文数字"，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。
在纳皮尔那个时代，"指数"这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
对数的基本换算
对数的基本换算对数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍对数的基本换算，包括对数的定义、常用换底公式、对数的性质以及对数换算的实际应用。
一、对数的定义对数是指某个数以另一个数为底的幂等于这个数本身时，这个幂就是对数。
通常用log表示对数，其中log以e为底的对数称为自然对数，以10为底的对数称为常用对数。
对数的定义可以表示为：如果a^x = b, 那么x = loga(b)。
二、常用对数和自然对数的换算常用对数和自然对数之间可以通过换底公式进行换算。
换底公式可以表示为：loga(b) = logc(b) / logc(a)。
其中，a、b、c分别为底数。
常用对数和自然对数的换算公式如下：1) 将常用对数转换为自然对数：log10(x) = ln(x) / ln(10)。
2) 将自然对数转换为常用对数：ln(x) = log10(x) / log10(e)。
三、对数的性质对数具有以下几个基本性质：1) 对数的底数必须大于0且不等于1。
2) 对数的真数必须大于0。
3) 同一个底数下，对数的值随着真数的增大而增大。
4) 对数的值随着底数的增大而增大。
5) 对数的值随着底数的减小而减小。
四、对数换算的实际应用对数的换算在实际应用中有着广泛的用途，下面介绍一些常见的应用场景。
1) 对数在数据处理和分析中的应用在数据处理和分析中，对数可以用来处理非常大或非常小的数值，使其更易于计算和比较。
例如，在地震测量中，使用里氏震级来表示地震的强度。
里氏震级是以10为底的对数，通过对数的换算可以将地震的能量转换为更易于理解和比较的数值。
2) 对数在经济学中的应用在经济学中，对数函数常被用来描述一些经济指标的增长趋势。
例如，GDP的增长率常常用对数函数来描述，这是因为对数函数可以更好地反映出经济增长的变化趋势。
3) 对数在生物学中的应用在生物学中，对数广泛应用于描述生物的生长和变化。
例如，生物的增长速度可以用对数函数来描述，这是因为生物的生长通常呈现出指数增长的趋势。
对数公式及对数函数的总结
对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数。
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>。
常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数=-3log 6log 22 =⋅31l o g12log 2222=+2lg 5lg =61000lg=+64log 128log 22 =⨯)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++3log 23log 2242 =⋅16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333=++c b a 842log log log =+++200199lg 43lg 32lg=++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 22222 解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+- 0 =-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 8⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a aMM N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈ （4）log aN a N = （5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈（6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 --3函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ]1,0()0,1( - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。
对数与对数运算
1 2
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
x a N x loga N. 当a＞0，a≠1时，
由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数 的如下结论：
负数和零没有对数：
loga 1 0, loga a 1.
例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指 数式：
lg 2 lg 2
3
3 lg 2 lg 2
=3
例4.用
loga x, loga y, loga z 表示下列各式：
(2) loga x2 y
3
xy (1)log ; a z
z
xy log a ( xy ) log a z 解： (1) log a z
loga x loga y loga z
于是 x＝－2.
巩固练习：（教材P74 练习1﹑2﹑3﹑4）
对数的运算 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
（ 1 ） loga (M N) loga M loga N M （2） loga loga M loga N N n （3） loga M n loga M(n R)
1.求下列各式的值： （1）log2 6 log2 3 （2）lg 5 lg 2
1
1
1 0 （3）log 5 3 log 5 3
（4）log3 5 log3 15 1
2.用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式： （1） lg( xyz) ＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
xy （2） lg z 3 xy （3） lg z
2
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
自然对数和常用对数的转换
自然对数和常用对数的转换自然对数和常用对数是数学中的两个重要概念，它们在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、转换等方面详细介绍自然对数和常用对数。
一、自然对数和常用对数的定义自然对数是以自然常数e为底的对数，记作lnx，其中x为正实数。
常用对数是以10为底的对数，记作log10x，其中x为正实数。
二、自然对数和常用对数的性质1.自然对数的底数是一个无理数，约等于2.71828。
2.常用对数的底数是一个有理数，即10。
3.自然对数和常用对数都是单调递增函数，即当x1<x2时，有lnx1<lnx2，log10x1<log10x2。
4.自然对数和常用对数都有唯一的反函数。
5.自然对数和常用对数都具有加法和乘法的性质。
三、自然对数和常用对数的转换在实际应用中，常常需要将自然对数和常用对数相互转换。
下面将介绍两种转换方法。
1.自然对数转换为常用对数由于常用对数的底数是10，因此需要先将自然对数的底数e转换为10。
具体方法如下：lnx=log10x/ log10e其中log10e约等于0.43429。
因此，将上式中的log10e代入，得到：lnx=0.43429log10x这个公式可以用来将自然对数转换为常用对数。
2.常用对数转换为自然对数将常用对数转换为自然对数，需要先将底数10转换为e。
具体方法如下：log10x=lnx/ln10其中ln10约等于2.30259。
因此，将上式中的ln10代入，得到： log10x=0.43429lnx这个公式可以用来将常用对数转换为自然对数。
四、自然对数和常用对数的应用自然对数和常用对数在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
1.在微积分中，自然对数常常用来表示指数函数和对数函数。
2.在物理学中，自然对数常常用来表示指数衰减和增长的过程。
3.在工程领域中，常用对数常常用来表示声音、光线等的强度。
4.在经济学中，常用对数常常用来表示货币、股票等的价格。
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1
6
（2）∵
2
1 64
，∴
x
log 1
2
1 64
6
（3）∵ log64
x
2 3
，∴ x
2
64 342Fra bibliotek1 16
（4）∵ log x 8 6 ，∴ x6 8 ，即：
1
1
1
x 86 (23 )6 22 2 （为什么只取正值？？）
（5）∵ lg100 x ，∴10x 100 102 ，即 x=2.
(3)
＝－3.(4)24＝16.
(5)13－3＝27.(6)( 3)6＝x. 规律方法 (1)logaN＝b 与 ab＝N(a>0 且 a≠1，N>0)是等价的， 表示 a，b，N 三者之间的同一种关系．在进行互化时，要分清
各字母分别在指数式和对数式中的位置．
(2)对数式与指数式的关系如下图：
2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第 1 课时 对数概念、常用对数
执教人：陈学发
课题引入：
探究：
(1)、当分裂细胞有 128 个时,请问分裂了多少次?
1
(2)、当尺子截去到 64 时,请问截取了多少次?
分析：(1)、我们知道 y 代表分裂细胞总数，即：y=128，
代入得 2x 128 。
（1） long2128 x ；
（2） long
1
1 2
64
x；
（3）
long64
x
2 3
；
（4） long x8 6 ；
（5） lg100 x ； （6） ln e2 x
[思路探索] 可利用对数的基本性质及对数与指数之间的关系
求解．
解：（1）∵ 27 128 ，∴ x log2 128 7 .
(2)、当尺子截去到
1 64
时，即：
y
1 64
，代入得
1 2
x
1 64
。
新课讲解：
1．对数的定义及相关概念． (1)如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对 数，记作 x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数． 强调：①、底数 a 的取值范围(a>0，且 a≠1)。
例题讲解：
【例 1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)3－2＝1；(3) 9
1 4
－3＝64；
(4)log216＝4；(5)
＝－3；(6)
＝6.
[思路探索] 依据 ax＝N⇔x＝logaN(a>0 且 a≠1)进行转化．
解 (1)log464＝3.(2)log319＝－2.
练习处理：
教材 P：64 第 1、2、3、4 题
课堂小结：
（1）对数的定义与常用对数。 （2）对数与指数的关系。 （3）对数的基本性质。
作业布置：
教材 P：74 第 1、2 题
项目 式 子 a b N
意义
指数式 ab＝N 底数 指数 幂
a的b次幂等于N
对数式 logaN＝ 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于
b
b
(2)利用对数式与指数式之间的关系，可以把指数与对数进行互化．
3．对数的基本性质
性质1
负数和0 没有对数
性质2 性质3
1的对数是 0，即loga1＝ 0(a>0且a≠1) 底数的对数是 1，即logaa＝ 1(a>0且a≠1)
【例 2】 利用对数的定义或性质求下列各式的值： (1)log327；(2)lg 1 000；(3) log1041 (4)ln e； 解 (1)∵27＝33，∴log327＝3； (2)∵103＝1 000，∵lg 1 000＝3； (3)log1041＝0； (4)ln e＝1；
【例 3】 求下列各式中 x 的值．
（6）∵ ln e2 x ，∴ ln e2 x, e2 ex ，即 x=-2
规律方法 对于对数的基本性质，要把握好以下三点： ①在指数式中 N>0，故零和负数没有对数． ②设 a>0，a≠1，则有 a0＝1，所以 loga1＝0.即 1 的对数等于 0. ③设 a>0，a≠1，则有 a1＝a，所以 logaa＝1，即底数的对数为 1.
②、x＝logaN 的书写格式。 (2)两种特殊的对数． ①通常将以 10 为底的对数叫 常用对数，log10N 简记为lg N . ②通常以 e 为底，(e 为无理数，e≈ 2.718 28… )的对数叫 自然对数 ，logeN 简记为 ln N .
2．对数与指数的关系 (1)指数式 ab＝N 与对数式 logaN＝b 中，a、b、N 三者间的关系 实质如下(a>0 且 a≠1)：