湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1 积的算术平方根的性质 教案
湘教版八年级数学 5.1 二次根式(学习、上课课件)
)
A． x ＜ 1
B． x ＞ 1
C． x ≤ 1
D． x ≥ 1
感悟新知
知2－练
1
2-2.要使代数式
有意义，则 x 应满足的条件
x－2 024
x＞2 024 ．
是___________
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质
知3－讲
1. 二次根式的性质
(1)双重非负性：二次根式 a表示非负数 a的算术平方
2 ≤ 0,
∴
－
(x+1)
∵ －x2－2x－3=－ ( x+1) 2－2<0，
∴ － (x+1)2－2＜ 0
∴ 不论 x 为何实数， －x2－2x－3都小于 0，
∴ 不论 x 为何实数， －x 2－2x－3都无意义 .
感悟新知
知2－练
2-1.若式子 x－1在实数范围内有意义，则 x的取值范
围是( D
(3) x － 2 － 5 － x ； (4)
(6) －x 2－2x－3.
1
；
3x+7
x+4
； (5) x 2+2x+2；
x－2
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣“求含有字母的式子有意义的字
母取值范围的方法”求解 .
感悟新知
(1) － 2x － 6+( x+5)
解：由题意得 ቊ
(2)
0
知2－练
－ 2x － 6≥ 0，
∴x≥－4且x≠2.
x － 2 ≠ 0，
知2－练
感悟新知
(5) x 2+2x+2
知2－练
解：∵ x 2+2x+2=(x+1) 2+1>0，
湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.2二次根式的乘法 教案 .docx
学情分析：
学生在已经学习了二次根式的基础之上学习二次根式的乘法，使学生在学习中获得愉快的数学体验。
教学目标：
1．知识与技能：掌握二次根式的乘法运算法则。
2．过程与方法：经历探究二次根式的乘法运算法则的过程，增强学生的合作交流意识和探究精神，培养分析问题，解决问题的能力。
3．情感态度及价值观：在问题解决过程中让学生体验成功的快乐，激发学习数学的兴趣。
二次根式的乘法法则：
最后结果一定要化成最简二次根式。
【活动3】 例题讲解，课堂检测
例1计算：
1
2
3
4
5
提示：最后结果一定要化成最简二次根式。
例2已知一张长方形图片的长和宽分别是 求这张长方形图片的面积.
课堂练习1.已知三角形的一条边为 cm，这条边上的高为 cm，求该三角形的面积.
【活动4】 课堂小结，作业布置
③家庭作业：《学法大视野》相关练习。
这节课你有什么收获？
（1）自主小结：①对自己——谈本节课有哪些收获？②对同伴——谈在学习本节内容时应注意什么？③对老师——谈本节课学习中还有哪些疑惑？
（2）教师总结点评。
（让学生自己小结，自己对本节课知识进行整合，培养学生养成一种对所学知识进行归纳总结的习惯。）
课堂作业：①必做题：教材练习第1题；
②选做题：教材练习第2题；
教学重难点：
运用二次根式的乘法运算法则解决问题。
教学过程：
【活动1】 复习引入
1、最简二次根式满足：
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母.
【活动2】探究新知
一、积的算术平方根的性质是什么？
我们把这个公式从右至左看，可以得到：
湘教版(2012)初中数学八年级上册3.1平方根 教案 (1)
一、问题驱动，引入新知1、算一算=-=-=-=-====22222222)6.0()23()2()1(6.0)23(212、说一说：（1）圆周率π你能说出小数点后多少位？ （2）它是有理数吗？它是谁？二、探究新知活动一：探究平方根的概念 1、想一想（1）一个正方形的边长为6,则它的面积是多少 ? （2）反过来，如果已知一个正方形的面积为36,你能算出它的边长是多少吗? 怎样求?2、变一变面积为4、9、16、25的正方形的边长分别是多少吗？面积为2时，边长为多少呢？ 3、议一议上述两个问题的实质是什么？ 4、找一找通过上面的例子，我们看到，在实际问题中，我们会经常遇到这样的问题：“找一个数，使它的平方等于给定的数”，如：已知r 2=2，你能找出r 这个数吗？若用a 代替2，已知r 2=a ，你能找出r 这个数吗？5、学一学平方根的概念：如果有一个数r ，使得r 2=a ，那么我们把 r 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根.这就是说 若 r 2= a ，则r 是a 的一个平方根. 6、填一填若 r 2= a ，则 r 是 a 的一个平方根活动三：开平方运算1、平方根的符号表示正数a正的平方根记作a，读作“根号a”，正数a负的平方根记作a-，读作“负根号a”，即正数a的平方根记作a±，读作“正负a”.其中a叫做被开方数.2、填一填49的平方根记作49±；0.36的平方根记作36.0±；2的平方根记作2±.3、练一练：例1 ：分别求下列各数的平方根：36，925，1.21归纳：①先通过平方数找到正的平方根. ②然后取相反数得到负的平方根.4、平方与开平方关系开平方概念：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根，也可以相互验证.结论：平方和开平方两种运算方式，指出它们是“互为逆运算”关系，形式上，一个从左到右，一个从右到左.活动四：算术平方根的概念及表示1、学一学正数a正的平方根叫作a的算术平方根.记作a，读作“根号a”.0的平方根也是0的算术平方根，00=2、算一算通过教师讲解平方根的符号表示，学生读写记忆平方根的符号表示，让学生感受数学符号的简洁美，提升数感和符号感.通过具体的例子理解平方根的符号表示，体会由一般到特殊的数学思想.先由学生讲解其中一个数的解题思路，再由教师规范书写格式，其余的数由学生自己求解，再拍照展示学生练习进行点评；通过求整数、分数和小数的平方根，巩固对平方根的概念的理解和符号表示方法.介绍开平方概念，让学生体会平方与开平方运算的互逆性，知道平方根之源，感受知识之间的相互区别与联系.先提问学生其中一个数的解题思路，再演示规范作答，剩余两数由学生求解，拍照展示并点评；巩固算术平方根的求法,并归纳出求平方根和算术平方49.0,16100，。
【教学设计】《平方根》(湘教版)
《平方根》教学设计◆教材分析本节课是湘教版数学八年级上册第三章实数第一节课，本节要求了解平方根的概念，会用根号表示平方根。
了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。
因此本节课重点是了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根．所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。
◆教学目标【知识与能力目标】1、了解平方根的概念，会用根号表示平方根；2、了解开方与乘方互逆运算，会用求某些非负数的平方根。
【过程与方法目标】通过尺平方根的运算，让学生体会无理数是因实际生活的需要而产生的，理解数的扩充。
【情感态度价值观目标】让学生在自主参与、合作交流的活动中体验成功的喜悦，树立自信，激发学习，发展学生的符号语言。
【教学重点】了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根。
【教学难点】 了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根。
多媒体课件。
一、导入新课某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m 2，刚好用去正方形的地垫30块。
你能算出每块地垫的边长是多少吗？二、新课学习问题一：认真观察下面的式子，积极思考，互相讨论：请你举例与上面的式子类同的式子；你得到什么结论？（分小组讨论，老师适当参与给予帮助。
）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做的a 平方根(square root ),也称为二次方◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点.25.0)5.0(,25.05.0,91)31(,91)31(,4)2(,42222222=-==-==-=根。
如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根。
设计说明：所选的题目都具有代表性，学生通过做题后思考讨论交流，能够较好接受平方根的概念。
问题二：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能够，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流。
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数。
一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
湘教版八年级数学上册第五章《二次根式》教案
第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.4.经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.5.经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.()25x --x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 【分析】1231x x +++在实数范围内有意义，23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（118（220（372【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.2.化简216x(x>0)6.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法⨯=(a≥0,b≥0).1.使学生掌握二次根式乘法法则a b ab2.使学生掌握2a=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.3.通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.4.培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm22=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？a b a b=a≥0,b≥0)··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⋅⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab应引导学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因a b在实数范围内却没有意义，乘为当a<0，b<0时，虽然ab有意义，而，法法则显然不能成立．3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.4.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.3.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42m,下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.4.经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.5.通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.31 / 31。
【精品推荐】2020年秋八年级数学上册第5章二次根式5.1二次根式第2课时积的算术平方根课件新版湘教版
最简二次根式必须满足下面两个条件：(1)被开方数中不含 开得尽方 的因数或因式；(2)被开方数不含 分母 . 自我诊断 3. 下列根式中是最简二次根式的是( B )
2 A. 3
B. 3
C. 9
D. 12
1．化简 9a的结果是( C ) A．3a
B.±3a
C．3 a
D.±3 a
2．下列等式正确的是( C )
解：
n＋n＋1 2＝(n＋1)
1 n＋2.
谢谢观看，敬请指导
天平两臂平衡，表示两边的物体质量相等；两臂不平衡，表示两边物体的质量不相等。让学生在天平平衡的直观情境中体会等式，符合学生的认知特点。例1在天平图下方呈现“=”，让学生用等式表达天平两边物体质量的相等关系，从中体会等式的含义。教材使用了“质量”这个词，是因为天平与其他的秤不同。习惯上秤计量物体有多重，天平计量物体的质量是多少。教学时不要把质量说成重量，但不必作过多的解释。 例2继续教学等式，教材的安排有三个特点： 第一，有些天平的两臂平衡，有些天平两臂不平衡。根据各个天平的状态，有时写出的是等式，有时写出的不是等式。学生在相等与不等的比较与感受中，能进一步体会等式的含义。第二，写出的四个式子里都含有未知数，有两个是含有未知数的等式。这便于学生初步感知方程，为教学方程的意义积累了具体的素材。第三，写四个式子时，对学生的要求由扶到放。圆圈里的关系符号都要学生填写，学生在选择“=”“＞”或“＜”时，能深刻体会符号两边相等与不相等的关系；符号两边的式子与数则逐渐放手让学生填写，这是因为他们以前没有写过含有未知数的等式与不等式。
A. －3×－5＝ －3× －5
B. －3×－5＝－ 3× 5
C. 3×5＝ 3× 5
D. －3×－5＝－ 3× －5
平方根(1)——平方根与算术平方根教学设计湘教版数学八年级上册
学习内容及导学流程
方法指导或
行为提示
一、目标导学
1. 问题：某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8平方米，刚好用去正方形的地垫30块．你能算出每块地垫的边长是多少吗？
每块地垫的面积是：. 即：边长×边长＝
由于，2＝，因此，m2m.
2．上面的问题实际上是：已知幂及乘方的指数求底数，这是什么运算？
A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④
3.分别求下列各数的平方根：36，0，32，(－3)2， .
4.分别求下列各数的算术平方根：100，0.49.
5.若 的算术平方根是3，则a ＝________．
6.已知：一个正数的两个平方根分别是2a-2和a+8，则a的值是________.
7.求下列各数的值：
例2： 求下列各数的算术平方根（1）100 ；（2） ；（3 ；（4）
解：（示例）
（1）由于 ，因此81的算术平方根是， 即 .
6.开平方的定义
根据平方，来求一个非负数的平方根，如
（1）求一个a的的运算，叫做开平方。
（2）开平方与平方的运算互为运算.根据这种关系，可以求一个数的平方根.
（二）合作共研
2. 算术平方根的定义 ：
我们把正数a的正平方根叫作a的。
练习1：分别说说下列各数的平方根：36,16，9.
3.平方根的性质：
（1）4的平方根除±2 以外，还有其他的数吗？
（2Байду номын сангаас0的平方根是多少？
（3）-4，-16，-25有平方根吗？
归纳：
（1）如果r是正数a的一个平方根，那么正数a的平方根有且只有两个：与，且它们互为.
问题导入
二、新知探究
湘教版初二上册数学《平方根》教案
湘教版初二上册数学3教学目标一、教学知识点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用那个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.二、能力训练要求1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓舞学生进行探究和交流，培养他们的创新意识和合作精神.三、情感与价值观要求1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.教学重点了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点了解算术平方根的概念、性质.教学过程一、新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，把握了无理数的概念，明白有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x 叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究那个问题.二、讲授新课［师］在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.［生］勾股定理确实是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.［师］下面请大伙儿依照勾股定量，结合图形完成填空.依照下图填空x2=_________y2=_________z2=_________w2=_________［师］请大伙儿摸索后回答.［生］x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.［师］请大伙儿再分析一下，x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？［生］x ，y ，w 是无理数，z 是有理数.［师］什么缘故呢？［生］因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，因此x ，y ，z 不是有理数，而22=4，因此z=2.［师］这位同学分析得专门正确，那么大伙儿能不能把上图中的x ，y ，z ，w 表示出来呢？请大伙儿认真看书后回答.［生］x=2,y=3,z=4,w=5.［师］若一个正数x 的平方等于a ，即x2=a ，则那个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这确实是算术平方根的定义.专门地规定0的算术平方根是0，即0=0.［师］下面我们依照算术平方根的定义求一些数的算术平方根. ［例1］求下列各数的算术平方根：（1）900；（2）1；（3）6449；（4）14. 解：（1）因为302=900，因此900的算术平方根是30，即900=30；（2）因为12=1，因此1的算术平方根是1，即1=1；（3）因为,6449)87(2=因此6449的算术平方根是87，即876449=； （4）14的算术平方根是14. 通过上面的例题，大伙儿摸索一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？［生］是通过平方来求的.［师］对.由此我们能够看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大伙儿明白算术平方根的概念，以及从运算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中能够简化.［例2］自由下落的物体的高度h(米)与下落时刻t(秒)的关系为h=4.9t 2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时刻？解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4,因此t=4=2（秒）即铁球到达地面需要2秒.［师］下面大伙儿再观看一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.［生甲］算术平方根是整数或分数，即为有理数.［生乙］不对，那14是不是有理数？若是则是，分数依旧整数？［生丙］因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，因此14不是有理数，而是无理数.［师］大伙儿的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑.［生甲］噢，算术平方根是正数，如14,2，2.,3,5［生乙］不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.［师］专门正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(－2)2=4.则4 =－2对吗？或者4 =－2对吗？［生甲］不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a，那个正数x就叫做a的算术平方根，因此算术平方根不可能是负数.［师］由此看来，定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为a(a≥0)为非负数，这是算术平方根的性质.三、课时小结本节课学习了算术平方根的概念，明白得了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.。
湘教版八年级数学平方根教案1
平方根
★目标预设
一、知识与能力
了解一个数的算术平方根的意义
二、过程与方法
会用根号表示和求一个数的算术平方根
三、情感、态度、价值观
注意学生的学习积极性、主动性的调 动，增强学生学习数学的自信心。
★ 教学重难点
算术平方根的概念和求法
★ 教学准备
计算器
★ 预习导学
★ 教学过程
创设情景、谈话导入
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴。
他想截出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长就应取多少？
二、精讲点拨、质疑问难
⒉一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
⒊非负数a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。
⒋规定，0的算术平方根是0。
⒌对于a 来说，a ≥0，即被开方数a 是非负数，算术平方根a 也是非负数，即a ≥0
三、课堂活动、强化训练
求下列各数的算术平方根：
⑴100 ⑵
64
49
⑶0.0001 ⑷16 ⑸172－152 ⑹（－6）2
计算： ⑴10000 ⑵12125
⑶22817- ⑷2)41.0(-
四、延伸拓展、巩固内化
X 为何值时，下列各式有意义。
⑴x 32- ⑵352+x ⑶631
-x ⑷2)1(1x - ⑸x ·x -5 如果3+a +12-b =0，求a 、b 的值。
小丽用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm 的长方形。
使它的长宽之比3∶2，能否裁出来，试计算说明。
3新湘教版初中数学八年级上册精品教案.1 第1课时 平方根和算术平方根1
3．1 平方根第1课时 平方根和算术平方根1．理解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根；2．会求一个非负数的平方根、算术平方根．(重点，难点)一、情境导入为了美化校园，学校打算建一个面积为225平方米的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？二、合作探究探究点一：平方根【类型一】 求一个数的平方根求下列各数的平方根．(1)16; (2)925； (3)179； (4)(－2.1)2. 解析：根据平方根的性质知道，一个正数有两个平方根，它们是互为相反数．所以只要找出一个数，使得它的平方等于这个数．解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与－4，即±16＝±4； (2)由于(35)2＝925，因此925的平方根是35与－35，即±925＝±35； (3)179＝169，由于(43)2＝169，因此179的平方根是43与－43，即±179＝±43； (4)(－2.1)2＝2.12.因此(－2.1)2的平方根是2.1与－2.1，即±（－2.1）2＝±2.1.方法总结：求一个非负数的平方根，只要找出一个非负数，使得它的平方等于这个数，那么找出的那个非负数，连同它的相反数，就是所求的平方根．【类型二】 利用平方根的意义求字母的值已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是________．解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，∴2a －2＋a －4＝0，解得a ＝2.故答案为2.方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.探究点二：算术平方根【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根．(1)1.69; (2)1916； (3)(－5)2; (4)0.解析：根据算术平方根的定义，求算术平方根时，只取非负的平方根即可．解：(1)由于1.32＝1.69，因此 1.69＝1.3；(2)由于1916＝2516，(54)2＝2516，因此1916＝54； (3)由于(－5)2＝52，因此（－5）2＝5； (4)由于02＝0，因此0＝0. 方法总结：求一个数的算术平方根的一般步骤：①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式．【类型二】 求含根号式子的值求下列各式的值．(1)±49； (2)－16； (3)49； (4)（－9）2. 解析：(1)±49表示49的平方根，所以结果为±7；(2)－16表示16的算术平方根的相反数，所以结果为－4；(3)49表示49的算术平方根，所以结果为23；(4)因为（－9）2＝81，而81的算术平方根为9，所以结果为9. 解：(1)±49＝±7； (2)－16＝－4；(3)49＝23； (4)（－9）2＝81＝9.方法总结：理解各个式子表示的意义是解题的关键：±a 表示a 的平方根；a 表示a的算术平方根；－a 表示a 的算术平方根的相反数．也就是说：只要题目中的式子有意义，结果的符号与式子前面的符号相同．探究点三：算术平方根的非负性已知a 、b 满足|a －2|＋b －3＝0，求a b的值．解析：由绝对值的意义知：|a －2|≥0；由算术平方根的意义知：b －3≥0，所以a －2＝0，b －3＝0.于是可以求得a 、b 的值，再代入a b 计算即可． 解：因为|a －2|＋b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0b －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以a b ＝23＝8.方法总结：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0.三、板书设计本节课的教学中，通过实例引入平方根的概念，并让学生感悟“负数为什么没有平方根”．引导学生归纳出正数、0、负数的平方根的情况．通过练习进一步理解平方根、算术平方根的概念．本节课易错点是在表示平方根与算术平方根时学生容易混淆；式子表示与语言叙述相结合的题往往只看到一个方面，如“81的算术平方根是________．”学生会误填“9”．。
湘教版数学八年级上册5.积的算术平方根课件
1.2积的算术平方根
学习目标
1 课时讲授 性质1. ab q a • b(a 0,b 0)
最简二次根式
课时导入
复习提问 引出问题
如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方 体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路 复线习提的问长是多少.
引出问题
感悟新知
知识点 1 性质1. ab q a • b(a 0,b 0)
计算下列各式，视察计算结果，你发现了什么？
(1) 4 9= __________, 4 9 __________; (2) 916= __________, 9 16= __________ .
49 4 9, 916 9 16 .
感悟新知
一般地，当a≥0，b≥0时，由于
2
2
2
3 72 9 8 32 22 2 3 2 2 6 2.
感悟新知
总结
1.运用积的算术平方根的性质化简或计算的一般步骤是： ① 将被开方数(式)化为一个数(式)的平方与另一个因数(式)的 乘积； ②根据 a • b a • b (a≥0，b≥0)将其化为两个 或多个算术平方根的乘积的情势；③将根号内开得尽方的 因数(式)移到根号外.
即每个因数（或因式）的指数都是 1. 注意：分母中含有根式的式子不是最简二次根式
感悟新知
2·易错警示： (1)最简二次根式的被开方数中因数是整数，因式是
整式(含有分数或小数时，不是最简二次根式)； (2)最简二次根式中，被开方数分解为乘积情势后，
各个因数或因式的指数只能为1.
感悟新知
例 3 在二次根式① ab，② x , ③ x2 xy, ④ 27abc中，是
1
12
A. 2 B. 7 C. 8 D. 3
新版湘教版秋八年级数学上册第三章实数课题平方根算术平方根教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第三章实数课题平方根算术平方根教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第三章实数课题平方根算术平方根是本章的重要内容。
本节内容通过介绍平方根和算术平方根的概念，使学生理解平方根的性质和运算规律，为学生进一步学习二次根式打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘方运算，对实数的概念有一定的理解。
但学生对平方根和算术平方根的概念可能存在一定的困惑，因此，在教学过程中，需要通过实例和讲解，使学生清晰地理解这两个概念。
三. 教学目标1.了解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算规律。
2.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念。
2.平方根和算术平方根的性质和运算规律。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作学习法。
通过问题引导，让学生思考和探索，通过实例讲解，使学生理解和掌握概念，通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件或黑板。
2.教学实例和习题。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：“一块长方形的土地，面积为9平方米，它的长和宽分别是多少？”让学生尝试用乘方运算来解决这个问题，从而引出平方根的概念。
呈现（10分钟）1.平方根的定义：一个数的平方根是另一个数，使得这个数的平方等于另一个数。
2.算术平方根的定义：一个非负数的算术平方根是另一个非负数，使得这个数的平方等于另一个数。
通过实例和讲解，让学生理解平方根和算术平方根的概念。
操练（10分钟）让学生独立完成一些关于平方根和算术平方根的运算题目，如：求9的平方根、求16的算术平方根等。
教师在旁边进行指导和解答疑问。
巩固（10分钟）让学生分组讨论，找出平方根和算术平方根的性质和运算规律，并选取小组代表进行汇报。
教师进行点评和补充。
拓展（10分钟）让学生运用平方根和算术平方根的知识解决实际问题，如：求一个数的平方根、判断一个数是否为完全平方数等。
湘教版八年级数学上册《平方根的意义及其性质》精品教案
25 解：（1）∵102＝100，∴ 100 10
（2）∵ ( 4)2 16 ，∴ 16 4
5 25
25 5
（3）∵0.72＝0.49，∴ 0.49 0.7
练习 3.分别求 81， 25 ，0.16 的算术平方根. 64
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
同学们，请完成下面的问题：
学生根据老 通过回顾
新知导入
问题：直接说出下列各式的结果.
1 -22 _____，
2 2 _____ ；
2
1 2
2
____ ，
3 2 0；
-
1 2
2
_____
；
4
4 2 9，
师的提问回 平方的计 答问题，并体 算，为平 会平方的结 方根的探 果和底数之 究做好铺 间的关系. 垫。
记作： a ，读作：根号 a 这样，正数 a 平方根可以用表示 a ，读作：正、负根号
a
例如，4 的平方根是 2 与-2，即 4 2
说一说：零的平方根是多少？负数有平方根吗?
学 生 回 答 老 了解算术 师的提问，并 平方根、 听 老 师 讲 解 平方根的 算术平方根、 表 示 方 平 方 根 的 表 法，探究 示 方 法 、 读 平方根的 法、平方根的 性质. 性质及平方 根与算术平 方根的联系 与区别.
（4）(-4)2 的平方根是-4. 答案：正确；正确；不正确；不正确 4.求下列各式的值.
（1） 36 ；（2） 0.81；（3） 49 ． 9
解：（1） 36 6
（2） 0.81 0.9
八年级数学上册《平方根》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解平方根的定义，掌握求一个正数的平方根的方法。
2.能够运用平方根解决实际问题，如计算面积、体积等。
3.熟练掌握平方根的运算性质，如平方根的乘法、除法等。
4.了解平方根在数学和其他学科中的应用，提高学生的知识运用能力。
（二）过程与方法
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-基础题：求给定正数的平方根；
-提高题：运用平方根解决实际问题，如计算面积、体积等。
2.学生完成练习后，教师及时批改并给予反馈，针对共性问题进行讲解。
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结平方根的定义、性质和求法。
1.关注学生的认知特点：八年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，教学中应注重运用具体实例，帮助学生建立平方根的概念。
2.重视学生的个体差异：针对不同学生的学习能力和兴趣，设计不同难度的教学活动和练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
3.激发学生的学习兴趣：通过设置有趣的情境和实际问题，让学生感受到平方根在实际生活中的应用，提高他们的学习积极性。
-讲解如何求一个正数的平方根，如使用算术平方根的定义、估算方法等。
-结合实例，演示求平方根的过程，让学生跟着操作，加深理解。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，讨论以下问题：
-平方根在实际生活中的应用；
-怎样求一个正数的平方根；
-平方根的性质有哪些。
2.分享讨论成果：各小组代表汇报讨论成果，其他同学补充，教师点评并总结。
2.强调平方根在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
八年级数学上册第5章二次根式5.1二次根式第2课时积的算术平方根课件新版湘教版
证自己集中注意力。
第四，回答问题。
上课时积极回答问题是吸收知识的有效途径。课堂上回答问题要主动大胆。回答时要先想一想“老师提的是什么问题?”，“它和学过的内容有什
么联系？”，并先在头脑中理一理思路，想好回答时，先答什么，后答什么。老师对你的回答做出点评和讲解，指出大家都应该注意的问题和标准答案
(4)原式＝
73＝
73× ×33＝
21 3.
8．已知 a＜b，则化简二次根式 －a3b的正确结果是( A )
A．－a －ab
B.－a abຫໍສະໝຸດ C．a abD.a －ab
9．化简 12的结果是( B )
A．4 3
B.2 3
C．3 2
D.2 6
10．若 a2b＝－a b成立，则 a、b 满足的条件是( B )
19.观察下列各式，寻找规律．
1＋13＝2 13； 2＋14＝3 14； 3＋15＝4 15…
(1)填空：
4＋16＝ 5
1 6
；
1
5＋17＝ 6 7
；
(2)计算 (写出过程)： 2016＋20118；
解：原式＝
40260812888＋20118＝
20172 2018
＝2017 20118； (3)用含 n(n≥1)的式子把你发现的规律表示出来．
16．化简下列二次根式： (1) 4×2； (3) 12y2x3(x＞0，y≥0)；
(2) －9×－25； (4) a2＋a3(a＞0)．
解：(1)2 2；
(2)15；
y (3)6x2
3x；
(4)a 1＋a.
17．若 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简： a＋b＋c2－ a－b－c2＋ b－a－c2－ c－a－b2.
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》教案 2
5.1 二次根式5.1.1二次根式的概念及性质（第1课时）教学内容：二次根式的概念及其运用教学目标：理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键： 1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：由方差的概念得S= 46.二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0，a有意义吗？老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x 、42、1x y+． 例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习 P157 练习1、四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求x y的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业 1．P159 习题5.1 A 组1 2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ．-7 B ．37 C ．xD ．x 22．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5 B ．5 C ．15 D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．a （a ≥0） 2．a3．没有三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=5．2．依题意得：230xx+≥⎧⎨≠⎩，32xx⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义．3. 1 34． B5． a=5，b=-45.1.2二次根式的化简（1）（第2课时）教学内容 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）．教学目标理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a ≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a ≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0） 例1 计算1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2 分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32， （35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56， （72）2=22(7)724=． 三、巩固练习 P157 练习 2、计算下列各式的值：（18）2 ；（23）2 ；（94）2 ； （0）2 ；（478）2 ；22(35)(53)- 四、应用拓展例2 计算1．（1x+）2（x≥0）2．（2a）2 3．（221x x-+）4129a a++）2 4．（22分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （1x+）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（2a）2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴221++=a2+2a+1a a（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0，∴（2-+）2=4x2-12x+94129x x例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结本节课应掌握：1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．六、布置作业 1．P 159 习题5.1 A组 2、 2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题-，二次 1．下列各式中15、3a、21m+、144a b+、220b-、22根式的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题x+有意义，那么是一个_______数． 1．（-3）2=________． 2．已知1三、综合提高题1．计算（1）（9）2（2）-（3）2（3）（126）2（4）（-323）2(5) (2332)(2332)+-2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3．已知1x y-++3x-=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3（3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-62．（1）5=（5）2（2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2（4）x=（x）2（x≥0）3．103304x y xx y-+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩x y=34=81 4.（1）x2-2=（x+2）（x-2）（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+3）（x-3） (3)略5.1.2二次根式的化简（2）（第3课时）教学内容：2a＝a（a≥0）教学目标：理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键 1．重点：2a＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立． 教学过程一、复习引入： 老师口述并板书上两节课的重要内容；1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式；2．a （a ≥0）是一个非负数；3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知 （学生活动）填空： 22=_______；20.01=_______；21()10=______； 22()3=________；20=________；23()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0）例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 P157 练习 3．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？（2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？（3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0；（2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -．五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展．六、布置作业 1．P159 习题 5.1 A 组 3 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）． A ．0 B ．23 C ．423 D ．以上都不对2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A ．2a =2()a -≥-2aB ．2a >2()a ->-2aC ．2a <2()a -<-2aD ．-2a >2a =2()a -二、填空题1．-0.0004=________． 2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
新湘教版八年级上册初中数学 课时2 积的算术平方根及最简二次根式 教学课件
解: m4 m2不是最简二次根式. 它含有能开方的因式 m2 .
m4 m2 m2 (m2 1) m2 m2 1 m m2 1.
第十一页，共十八页。
新课讲解
例4. 化简:
① 2028
② 252 -172
③ 4a2b(a 0，b 0)
解：① 原式 4 3169 26 3 ② 原式 （25 17）(25-17） 428 4 21 ③ 原式 4 • a2 • b 2a b
32
10
3 2
10;
(2)
125 12
12512 1212
1 12
2
12512
112 25543
1 52 22 15 12
5 6
15.
第十五页，共十八页。
当堂小练
3. 设 a 0 ，b ，0 化简下列二次根式.
1 72;
2 8a2b3 .
解：1 72 9 8 32 22 2 3 2 2 6 2
积的算术平方根等于算术平方根的积
ab a • b
（a≥0，b≥0） ，
第五页，共十八页。
新课讲解
典例精析
例1 化简下列二次根式．
(1) 18 ； (2) 20 ；
(3) 72 .
解： (1) 18 92 9 2 3 2;
(2) 20 45 (3) 72 98
4 5
32 22 2 23 2
4x2 ，2因为它属于
第十七页，共十八页。
拓展与延伸
1
化简： 2 1
1
解： 2 1
1 2-1 = 2+1 2-1
=
2 -1
2
2 -12
= 2-1
第十八页，共十八页。
新湘教版八年级上册初中数学 课时2 积的算术平方根及最简二次根式 教案(教学设计)
第5章 二次根式5.1 二次根式课时2 积的算术平方根及最简二次根式【知识与技能】1．掌握积的算术平方根的性质，并会根据性质把二次根式化简；(重点)2．理解最简二次根式的概念，并会把二次根式化为最简二次根式．(重点，难点)【过程与方法】提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．【情感态度与价值观】通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 二次根式的相关性质(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥. 运用二次根式的性质：(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥进行化简.多媒体课件.一、情境导入计算：(1)4×9，4×9；(2)16×25，16×25.观察计算结果，上述每组式子计算结果有什么关系？由此你能猜想什么结论成立？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质【类型一】 利用积的算术平方根的性质进行二次根式计算或化简 化简： (1)196×0.25； (2)（－19）×（－6481）； (3)225a 6b 2(a ≥0，b ≥0)．解析：利用积的算术平方根的性质，把它们化为几个二次根式的积，(2)小题中先确定符号．解：(1)196×0.25＝196×0.25＝14×0.5＝7； (2)（－19）×（－6481）＝19×6481＝19×6481＝13×89＝827； (3)225a 6b 2＝225·a 6·b 2＝15a 3b .方法总结：利用积的算术平方根的性质进行计算或化简，其实质就是把被开方数中的完全平方数或偶次方开出来，要注意的是，如果被开方数是几个负数的积，先要把符号进行转化，如(2)小题．【类型二】 利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a 2－a 3＝a 1－a 成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ＞0C ．a ≥1D ．0≤a ≤1解析：a 2－a 3＝a 2（1－a ）＝a 2·1－a ＝|a |·1－a ，又a 2－a 3＝a 1－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，1－a ≥0.解得0≤a ≤1，故选D.方法总结：利用积的算术平方根的性质确定字母的取值范围时，根据积的算术平方根的性质得出的每一个因式(包括被开方数)都是非负数，再列不等式(组)求解．【类型三】逆用积的算术平方根的性质比较大小比较大小：35与5 3.解析：把根号外的因式移到根号内，比较两个被开方数的大小．解：∵35＝32×5＝45，53＝52×3＝75，∵75＞45，∴35＜5 3.方法总结：比较两个二次根式的大小，可以逆用积的算术平方根的性质，把根号外的因式移到根号内，直接比较两个被开方数的大小，对于两个正数，被开方数大的数较大．探究点二：最简二次根式【类型一】最简二次根式的判定下列二次根式中，最简二次根式是( )A.8aB.3aC.a3D.a2＋a2b解析：A选项中8a含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；B选项是最简二次根式；C选项a3中含有分母，不是最简二次根式；D选项a2＋a2b中被开方数用提公因式法因式分解后得：a2＋a2b＝a2(1＋b)含能开得尽方的因数a2，不是最简二次根式；故选B.方法总结：最简二次根式必须同时满足下列两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母．判定一个二次根式是不是最简二次根式，就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【类型二】二次根式的化简把下列各式化成最简二次根式．(1)500；(2)3a2b3；(3)2512；(4)23ab2.解析：(1)先将500分解质因数，再根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因数100移到根号外；(2)根据积的算术平方根的性质，把能够开尽方的因式a2b2移到根号外；(3)把被开方数的分子、分母同时乘以3，把分母化为一个完全平方数，再把能开得尽方的部分移到根号外；(4)把被开方数的分子、分母同时乘以3a，把分母化为一个数的平方，再把分母移到根号外．解：(1)500＝100×5＝105；(2)3a2b3＝3b·a2b2＝|a|b3b；(3)2512＝25×312×3＝563；(4)23ab2＝2×3a3ab2·3a＝6a3ab.方法总结：把二次根式化成最简二次根式时，如果被开方数不含分母，则把被开方数尽量写成一个数的平方的形式，再利用积的算术平方根的性质化简；如果被开方数含有分母，可把分子、分母同乘以一个数，把分母化为一个数或式的平方的形式，再把分母开方后移到根号外，与此同时，分子中能开方的也要移到根号外．本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．3. a （a ≥0）是一个非负数；4．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a =（a ）2（a ≥0）．1．积的算术平方根的性质2．最简二次根式★⒈下列二次根式是最简二次根式的是（ ）.12 .2x B .0.1C .23D ★★⒉化简：)42480x x x +> )222440,0,x xy y x y x y x y -+>>>且★★★⒊比较742.。
湘教版八年级数学平方根教案3
平方根★ 目标预设一、知识与能力了解一个数的平方根的意义二、过程与方法会用根号表示和求一个数的算术平方根三、情感、态度、价值观注意学生的学习积极性、主动性的调动，增强学生学习数学的自信心。
★ 教学重难点平方根的概念及求法★ 教学准备计算器★ 预习导学★ 教学过程创设情景、谈话导入如果一个数的平方等于9，这个数是多少？二、精讲点拨、质疑问难⒈填空：⑴42= ； (32)2= ； (0.8)2= ； 02= ；(－4)2= ； (－32)2= ； (－0.8)2= ；⑵( )2=16, ( )2=94, ( )2=0.64, ( )2=0⒉由上可知：平方得同一正数的数有 个，它们有 关系。
平方得零的数有 个，是 。
平方得负数的数 。
平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即x2=a ，则x 叫做a 的平方根。
例如：4和－4是16的平方根；32和－32是94的平方根；0.8和－0.8是0.64的平方根；0是0 的平方根，负数没有平方根。
平方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
符号语言：当a>0时，a 的两个方根记作“2a ±” ，读作“正负二次根号a ” 。
这里2是根指数，a 是被开方数，通常2可以省略不写，如“2a ±”记作“a ±” ，读作“正负根号a ” 。
当a=0时，0±=0，即0的平方根为0。
例如：9±=±3，25±=±5 平方根的表示方法：一般地，如果x2=a ，(a ≥0)，那么a 的平方根表示为x=a ± 开平方：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。
在a2=k 中，①已知a 求k 是平方运算，求得结果是二次幂。
②已知k 求a 是开平方运算，求得结果是二次方根。
可知平方与开方互为逆运算，因此我们求一个数的平方根可以通过其逆运算------平方来求。
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3、验证：
（1） 与
（2） 与
知识模块二二次根式的化简
阅读教材P158例4、例5，完成下面的内容：
尝试1： ；
；
；
.
范例1：化简下列二次根式：（本题中的字母均为非负实数）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ .
尝试2： ；
4、 化简后的结果是.
5、 成立，则 的取值范围是.
6、判断下列各式是否正确：
（1） ；（）
（Hale Waihona Puke ） ；（）（3） .（）7、化简下列各式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7） （ ≥0）
（8）（选做） （ ≤0， ≥0）
教学反思
检测反馈
【当堂检测】（5分钟）
1、下列运算中，正确的是（ ）
A、 B、
C、 ( ≥0) D、
2、化简下列二次根式：
（1） ；（2） （ ≥0）；（3） .
【课后检测】
1、化简 的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A、 B、
C、 D、
3、写出一个化简后被开方数是3的二次根式：.
；
范例2:：化简下列二次根式：
① ；② ；③ ；④
结论：我们把被开方数中不含的因数，且被开方数中不含的二次根式叫作最简二次根式.
注意：二次根式化简后的结果中含有二次根式的，必须是最简二次根式
交流展示（20分钟）
小组共同探讨“自学自研”，将疑难问题提出来，先在组内就疑难问题相互释疑，不能解决的提交全体讨论.
教案
学科数学课题积的算术平方根的性质
执教人
课时
1
总课时
执教时间
教学目标
1、通过理解积的算术平方根的意义，能用公式 （ ≥0， ≥0）化简二次根式.
2、通过理解最简二次根式的概念，掌握最简二次根式必须满足的两个条件.
教学
重
难点
1．重点：会用公式 （ ≥0， ≥0）化简二次根式．
2．难点：学会将被开方数中所含的分母移到根号外面.
教
学
过
程
目标导学（3分钟）
旧知回顾：
1、要使下列式子有意义， 的取值范围是什么？
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
2、当 ＜0时，求 的值.
自学自研（15分钟）
知识模块一探究积的算术平方根的性质
阅读教材P157～P158例4之前的内容，完成下面的填空：
积的算术平方根的性质：
1、计算： ； .
； .