数值分析历年考题

数值分析A 试题

2007.1

第一部分：填空题10⨯5

1.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________

00n n n ,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________

9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________

10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8

L x x x =-+,求积分1

241()()ax bx c L x dx -++=⎰___________其中,,a b c 为常数。

第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）

1.（14分）已知方程组,Ax b =其中31,32a A b a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi 和Gauss-seidel 迭代法收敛的a 的取值范

2y 3c （1） 取初值(0)(0.5,0.5)T x =，用Newton 迭代(1)x 。

（2） 记12(,)T x x x =，并设122111(cos )4()11()48x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

。试证明不动点迭代法(1)()k k x x +=Φ在*x 处具有局部收敛性。

4（14分）试构造Gauss 型求积公式：1

11221()()()(),x f x dx A f x A f x ρ-≈+⎰其中，权函数

2().x x ρ=构造步骤如下：

（1） 构造区间[1,1]-上权函数为2

x 的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss 点12,x x

（2） 写出求积系数12,A A ，并给出求积公式代数精确度的次数

5

1. 2.3.4. 5.

6. （1）设B 奇异，证明11A B A A A

--=,其中∙为算子范数。 （2）证明最佳n 次平方逼近函数奇偶性与()f x 相同

第三份，韩老师2002.1

1. 单步法122(,)3(,(,))433n n n n n n n n h h h y y f t y f t y f t y +=+

+++ （1）1,n T +收敛阶

（2）绝对稳定区间

（3）对052,1,y y y '=-+=在0.2,0.5,1h =时讨论数值扰动的稳定性

2.

（3）算一步QR 迭代，得到2A

6. 1B <,证明I B -可逆，并证明11I B B

-<

-

第四份，郑老师2006年

填空：

1. 3.1425926是π的几位有效数字

2. 3()1f x x x =+-，求均差[1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4]f f f

3. simpson 公式得代数精度是几阶

4. cot New es -积分系数k C 的和是多少 ()Af x +

除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。

1、H=[1,0;1,2] 求H 的2范数，1条件数

2、A 为一个三阶矩阵，含参数a,求A 对称正定是a 的范围；

给定一个a ，求LL(T)分解。

3、cos（πX），给X=0；0.25；0.5，利用2阶拉格朗日差值多项式，求X=0.4时的值

4、求一个多步法的误差主项，y（n+2）-1/2y（n+1）-1//2y(n)=h(f(n+2)-1/4f

（n+1）+3/4f（n）)

5、x在（0，h）间的定积分，求高斯法代数精度，af（0）+b*f（h/3）+1/4*f(h),并求

a、b

6、拉格朗日差值，x乘以插值基函数的求和

7、A=[2，-1,0;-1,2，a;0,-1,2],b=[1,0,-1],AX=b,求BJ和J法收敛时a的范围

8、f(x)=1/x-a,求牛顿迭代公式的收敛阶

9、求一个以x为权函数的，2次正交多项式

大题

一、A=[10,a,0;c,10,c;0,a,5]，b=（10,7,14），

1、求J法收敛的充要条件

2、a=c=1时，sor法收敛的充要条件，并写出w=1时，sor分量形式

3、a=2，c=0时x=x+a（Ax-b），收敛时a的范围，a=？时收敛最快

二、给x0，用牛顿求积公式求x1；证明一个全局收敛

三、单步法展开，求误差主项和收敛阶，绝对稳定性区间（老师上课讲过例题）

四、A和A-B都是非奇异的，证明||inv（A-B）||《1/(1/||inv(A)||-||B||)

5道大题，若干小题，卷面成绩满分70

1.(1)求f(x)=sqrt(1-x^2)在span{1,x,x^2}上，权函数为rou=1/sqrt(1-x^2)的最佳平方逼近多项式

(2)求证高斯型求积公式中的A(k)满足A(k)=∫p(x)l(x)dx=∫p(x)l^2(x)dx，其中l(k)为Lagrange 多项式

2.(1)Ax=b中A非奇异，则用J法、GS法、SOR法、SSOR法求解等价方程A TAx=A Tb，各种方法的收敛性怎样？（其中0

(2)A严格对角占优，求证其有唯一的LU分解，对称矩阵[3 1 0;1 3 1;0 1 3]求其cholysky分解

3.(1)写出用Lanczos方法计算某矩阵第一列的α和β

(2)已知矩阵[3 0 0;0 3 2;0 2 3]，求其QR分解，计算一步H'=RQ

4(1)f(x)=[x2^2-x1^2-x1 其精确解为x*=[0 0 0],写出牛顿法的计算公式

sin(x1^2)-x2];

(2)已知G(x)=[x2^2-x1^2

sin(x1^2)];

给出区域D使得在此区域内的初始值可以收敛到精确解，并说明原因

5.(1)线性2步法-0.5y(n)-0.5y(n+1)+y(n+2)=h/2*(f(n)+f(n+1)+f(n+2))，计算其局部阶段误差的阶数若h=0.1，判断其稳定性

(2)已知R(z)的稳定函数是exp(z)的pade(1,2)逼近多项式，计算其稳定域，是否是A-稳定?（pade逼近的计算公式卷子上给了)