第4讲 函数的奇偶性(学案)
函数奇偶性的教案
函数奇偶性的教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。
2. 学会判断函数的奇偶性。
3. 能够运用函数奇偶性解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 教学难点：函数奇偶性的运用。
三、教学方法1. 采用讲授法讲解函数奇偶性的概念及判断方法。
2. 利用例题演示函数奇偶性的运用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨函数奇偶性的性质。
四、教学准备1. 教学课件。
2. 练习题。
五、教学过程1. 引入新课：讲解函数奇偶性的概念。
讲解函数奇偶性的定义：若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；若对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
2. 讲解判断方法：讲解如何判断函数的奇偶性：对于定义域内的任意一个x，若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数；若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。
3. 例题演示：出示例题，讲解如何运用函数奇偶性解决问题。
例题1：已知f(x)=x^3-3x，判断f(x)的奇偶性。
解答：根据奇偶性的定义，对于定义域内的任意一个x，有f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-(x^3-3x)=-f(x)，f(x)为奇函数。
4. 练习与讨论：出示练习题，让学生独立完成。
练习题1：已知f(x)=x^2+2x+1，判断f(x)的奇偶性。
学生在完成后，组织小组讨论，探讨函数奇偶性的性质。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，强调函数奇偶性的判断方法及运用。
出示拓展问题，激发学生的学习兴趣。
拓展问题1：已知f(x)为奇函数，求f(-x)。
拓展问题2：已知f(x)为偶函数，求f(-x)。
六、教学拓展1. 讲解奇偶性在实际问题中的应用：讲解函数奇偶性在物理学、工程学等领域的应用，如电路中的电流、电压的奇偶性分析。
2. 出示拓展案例，让学生思考如何运用函数奇偶性解决问题：拓展案例1：已知一个电路中的电流I与电压V的关系为I=kV/R，其中k为常数，R为电阻。
函数奇偶性的运用学案
1.2.11 函数奇偶性的运用【学习目标】1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性；2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想．【学习重点】利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性．【难点提示】函数奇偶性的综合运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题．（1）函数奇偶性的种类有 ；（2）奇函数图象特征是 ，代数特征是 ；（3）偶函数图象特征是 ，代数特征是 ．（4）奇（偶）函数的定义域特点是 ．2.方法梳理：（1）函数奇偶性的判断方法有 、入手点 ；（2）函数奇偶性的价值在： （链接1）.二、探究新知 1. 观察思考已知奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增函数，请画出其示意图．（1）根据奇函数的图象特征，你能判断出函数)(x f y =在区间()a b --,上的单调性吗？（2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？（3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？（4）若函数)(x f y =是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括通过对以上问题的探究，请填空．（1）奇函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ；（2）偶函数)(x f y =在区间())(,b a b a <上是增（减）函数，则函数)(x f y =在区间()a b --,上是 ．●想一想：能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性的联系与区别？ （链接2）3.快乐体验 （1）若奇函数[]7,3)(在x f 上是增函数,且有最小值5,那么()f x 在[]7,3--上有( )Ａ．增函数且最小值5-； Ｂ．增函数且最大值5-；Ｃ．减函数且最小值5-； Ｄ．减函数且最大值5-.（2）已知函数)(x f 在]5,5[-上是偶函数，)(x f 在]5,0[上是单调函数，且)1()3(-<-f f ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．)3()1(f f <- ；B ．)3()2(f f < ；C ．)5()3(f f <- ；D ．)1()0(f f >.（3）定义在R 上的偶函数)(x f y =在(]0,∞-上是增函数,则)(),(),(102f f f -的大小关系 为__________________________．解后反思 你能归纳出比较函数值大小的方法与步骤吗？解有关奇偶性问题的关键 点、入手点在哪里？三、典型例析例1. 例１、已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ），当),0[+∞∈x 时，2()1f x x x =-+，求)(x f 的解析式，并分析)(x f 在R 上的单调性？思路启迪： 注意分析该题是求什么？想法将),0[+∞∈x 时，2()1f x x x =-+与 偶函数联系起来；回顾分析函数单调性有哪些方法，灵活选择．解：●解后反思 你能归纳出利用函数奇偶性求函数解析式的步骤吗？该题本质求什么？关键是怎样运用函数的偶函数性？讨论单调性有哪些方法？●变式练习 已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ），当),0(+∞∈x 时，2()1f x x x =-+，求)(x f 的解析式，并分析)(x f 在R 上的单调性？解：例2.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，，；B.(1)(01)-∞- ，， C.(1)(1)-∞-+∞ ，，；D.(10)(01)- ，，.思路启迪：该题有具体的解析式吗？没有解析式，可借助什么来分析呢？解：●解后反思 求解该题的关键点、入手点在哪里？●变式练习 定义在区间（－1，1）上的奇函数)(x f y =是减函数,且0)1()1(2<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围．例3.函数)(x f y =是R 上的偶函数,)(x f y x =<时，0是增函数,又对于0021><x x ,时,有21x x <,则)()(21x f x f --与的大小关系为_________ ．解：●想一想：偶函数的代数特征是|)(|)()(x f x f x f ==-，你理解它的含义和价值吗？ ●变式练习 定义在[]2,2-上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()f x 为减函数．若 (1)()0f m f m +->，求实数m 的取值范围．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：奇偶函数定义、代数特征、图象特征、特有的定义域特征都理解与掌握了吗？你能利用奇偶性质研究“函数的图象、解析式、函数值、单调性等”问题吗？2.对本节课你还有独特的见解吗？你找了本节课的数学知识与生活的联系吗？感受到本节课数学知识的美在哪里？（链接3）五、学习评价１.已知函数6()3f x axx =+- ，1)0f =，则f 的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ．3 D ．－32.已知偶函数)(x f y =在)0,+∞⎡⎣上是增函数,则下列不等式正确的是( )A ．)()()(22ππ->->f f fB ．)()()(22->->f f f ππC ．)()()(ππf f f >->-22D ．)()()(22->->f f f ππ ３.奇函数)(x f 在区间)0,(-∞上是减函数，0)2(=f ，则不等式0)1()1(>+-x f x 的解集为（ ）A ．)2,1()1,2(⋃--；B ． ),2()1,3(+∞⋃- ；C ．)1,3(-- ；D ．),2()0,2(+∞⋃-.4.函数y ＝f （x ）（x 0≠）在),0(+∞∈x 时，1)(3+=x x f（1）若函数()f x 是奇函数，则)(x f 的解析式为 ；（2）若函数()f x 是偶函数，则)(x f 的解析式为 ．5. 函数)(x f y =是R 上的奇函数，设函数)()(x xf x F =在区间(]0,∞-上是减函数，试比较)43(-F 与))(1(2R a a a F ∈+-的大小．解：6.已知函数f (x )＝x ＋xm ，且f(1)＝2，g (x )为定义在R 上的奇函数． (1)判断F(x )＝f (x )·g (x )的奇偶性；(2)判断函数)(x f 在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(3)若f (a )>2，求实数a 的取值范围．解：◆承前启后 我们学习了函数的三个中性质，在这以前我们还学习了一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数等，也学习了加、减、乘、除、乘方、开放等运算，那么在数学领域中还有其它运算和其它函数吗？六、学习链接链接1.若函数)(x f y =是奇（偶）函数，根据其图象特征可知，我们只需研究函数在y 轴左侧或右侧部分的性质；链接2. 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 函数的单调性与奇偶性在同一个函数可能同时存在、可能同时不存在、可能单边存在；同时存在函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性是函数的整体性；特别提示：对函数的研究，一定离不开对函数的单调性、奇偶性的研究；在解决函数问题时，函数的单调性与奇偶性往往是并肩战斗、团结协作.链接3.这节课的美感太典型了：团结就是胜利！。
函数的奇偶性学案
1．3．2函数的奇偶性学案（第一课时）【学习目标】：1.理解函数奇偶性的概念，掌握奇偶函数的图象特征.2.掌握判断函数的奇偶性的方法.3.逐步掌握数形结合的方法. 【学习内容】： 一、课前预习：预习课本P33~P35，结合函数图象及函数值对应表了解体会偶函数和奇函数的定义 二、新课学习：（一）函数奇偶性的概念 1、偶函数的概念（1）偶函数的概念：一般地，对于函数f(x)的定义域内个x ，都有 ，那么f(x)就叫做偶函数． （2）偶函数的函数图像关于 对称. 2、奇函数的概念（1）奇函数的概念：一般地，对于函数f(x)的定义域内个x ，都有 ，那么f(x)就叫做奇函数．例1、判断下列函数的奇偶性（1）]2,2[,)(2-∈=x x x f 32x )()2(-+=x x f（三）课堂练习判断下列函数的奇偶性：1．)(x f =x x 53+ 2.5)(=x f3. x x x f 2)(2-=4.xx f -=11)(（四）方法总结1．判断函数奇偶性的方法：2．用定义判断函数奇偶性的步骤：（五）学习反馈1、已经知道f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整：2、判断函数xx x f 1)(+= 与 x x f =)(的奇偶性三、课堂小结1、知识：2、方法： 四、作业布置1、课本36页练习1、22、【探究题】：（1） 判断5432,,,,x y x y x y x y x y =====的奇偶性，从中你有什么发现？结论：（2）若函数f(x) 和g （x ）分别是定义域为R 的奇函数和偶函数， 试判断F （x ）=f （x ）+g （x ）的奇偶性并证明。
1X。
函数的奇偶性教学设计.doc
函数的奇偶性教学设计孟凡勋内蒙古乌兰浩特一小X-3 -2 -10 1 2 3 fM = x 2 （1）这两个函数图象有什么共同特征？X ・3 •2 0 1 2 3 /（无）=W辅助教学。
6教学策略分析从一线教学來看，两数的奇偶性教学要比单调性的教学较为容易一些，也正因如此一 些一线教师对奇偶性的教学重视不够，基本上是以广而告之式的教学方式进行教学，然后抛 出大量的习题让学生去做。
事实上，高一的学生还没有完全适应高中数学的特点，这种教学 方式不仅会让一部分学生不能适应，而U 还会造成学生不重视概念课的教学，不能体会到概 念的形成过程、不能对概念的本质进行深入的挖掘、不能形成对概念的深刻认识。
学生会错 误的认为高中数学就是解题。
长此以往对学生的学习极为不利。
为此在教学中学生要领悟概 念的生成过程，体会数学的基本思想和方法，本节课的核心思想是数形结合思想。
高一的学 生在领悟思想方法的过程中需要过程和载体，本节内容就是一节体会思想方法的重要载体的 课。
在教学中，给学生较多的时间去作图，思考、举例、沟通是非常重要的。
也是符合新课 程理念的。
因此在教学中采用自主合作，问题导学等教学方法。
教学以“数学知识发生发展的过程和理解数学知识的心理过程为基本线索”让知识自 然的流入学生的头脑之中。
在得到函数的的奇偶性定义时尽可能多的让学生多举出奇函数或 偶函数的例子，如果调动学生的能力不够或启发不当，会造成学生的学习不自然，教师的教 学强加于人，同时概念教学培养学生思维能力的作用会大打折扣。
本节课的教学流程如下：7教学过程（1） 教学引言一直击课题引言在函数的单调性学习中，我们先是从几个特殊的函数图象开始，通过对函数图象 的观察，也即对“形”的认识，从数学直观上体验到函数图彖的上升或下降，乂进一步从“数” 的角度给出函数的单调性定义。
本节课我们用同样的方法来研究函数的奇偶性。
设计意图所谓好的开始是成功的一半，老师的儿句引言对本节课的学习起到提纲挈领 的作用。
函数的奇偶性学案
函数的奇偶性学案【课前我能行——未闻先知】【学习目标】1、掌握函数奇偶性的定义及其图象的基本特点。
2、学会根据图象判断函数的奇偶性及其根据函数的奇偶性定义论证函数的奇偶性。
3、理解函数的奇偶性是对函数的内部的对称性的研究，要注意将它和两个不同函数之间的对称性相区别。
4、通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，从特殊到一般的概括能力，渗透数形结合的数学思想方法。
【基础知识】函数的奇偶性1. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫偶函数。
偶函数的图象关于 对称。
2. 如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x ，都有 ，函数)(x f 就叫奇函数。
奇函数的图象关于 对称。
3.由奇、偶函数的定义可知，奇、偶函数的定义域在数轴上表示的区间关于 对称。
若奇函数的定义域中有零，其图象必过 ,即0)0(=f .4.在公共定义域内，（1）奇函数与奇函数之积是 。
（2）奇函数与偶函数之积是 。
（3）偶函数与偶函数之积是 。
答案提示：1、2见课本，3.原点，原点4.（1）偶函数（2）奇函数(3)偶函数课堂讲练：例1：求证：函数2432)(x x x f -=是偶函数。
证明：函数2432)(x x x f -=的定义域为R. =---=-2432)(）（）（x x x f 2432x x -=)(x f ,所以，)(x f 为R 上的偶函数。
例2：求证：函数5)(x x f =是奇函数。
证明：函数5)(x x f =的定义域为R.()x f x x x f -=-=-=-55)(）（,所以f(x)为R 上的奇函数。
点评：1、奇函数和偶函数的几何意义：关于原点中心对称的函数是奇函数，反之，奇函数的图象关于原点对称； 关于y 轴对称的函数是偶函数，反之，偶函数的图象关于y 轴对称。
2、 证明函数奇偶性的一般步骤？（1）先判断函数的定义域，观察是否关于原点对称；（2）若关于原点对称，在判断f(-x)和f(x)的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数。
2022版高考人教版数学一轮学案：第二章第四讲函数的奇偶性与周期性
第四讲 函数的奇偶性与周期性知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有__f (－x )＝f (x )__，那么函数f (x )是偶函数都有__f (－x )＝－f (x )__，那么函数f (x )是奇函数图象特征关于__y 轴__对称关于__原点__对称1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个__最小的正数__，那么这个__最小正数__就叫做f (x )的最小正周期．归纳拓展1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2|a |； (3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |. 3．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x 为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1为奇函数； (3)函数f (x )＝log ab －xb ＋x为奇函数； (4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × ) (2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ ) (5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(－∞，0)的一个周期．( × ) 题组二 走进教材2．(必修1P 35例5改编)下列函数中为奇函数的序号是__②③⑤__；偶函数的序号是__①__.①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ； ③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1；⑤y ＝x 2sin x ；⑥y ＝|ln x |.3．(必修1P 45T5改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )． 即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．4．(必修1P 45T6改编)若奇函数f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则它在[－b ，－a ]上是__减__函数；若偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则它在[－b ，－a ]上是__减__函数．5．(必修4P 46T10改编)已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 3(x 2＋3)，则f (2 022)＝__1__.题组三 走向高考6．(2020·江苏，7,5分)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是__－4__.[解析] 由函数f (x )是奇函数得f (－8)＝－f (8)＝－823＝－(23)23 ＝－4.7．(2020·课标Ⅱ，9,5分)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( D ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|>0，|2x －1|>0⇒x ≠±12，∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12，x ∈R ，关于原点对称，又∵f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除A 、C ；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，12时，f (x )＝ln(2x ＋1)－ln(1－2x )，则f ′(x )＝22x ＋1－－21－2x ＝41－4x 2>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－12，12单调递增，排除B ；当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )，则f ′(x )＝－2－2x －1－－21－2x ＝41－4x 2<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12单调递减，∴D 正确．考点突破·互动探究 考点一 函数的奇偶性考向1 判断函数的奇偶性——自主练透例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝(1＋x )1－x1＋x； (2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0；(5)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2；(6)已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (0)≠0.[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f (－x )，再判断f (－x )与f (x )之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．[解析] (1)由题意得1－x1＋x ≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )的定义域不关于原点对称， ∴f (x )不存在奇偶性，为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1，定义域关于坐标原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(3)函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )， ∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数． (5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0. 故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0.从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，这时有f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (6)已知对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，不妨取x ＝0，y ＝0，则有2f (0)＝2[f (0)]2，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1.取x ＝0，得f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )，所以f (y )＝f (－y )．又y ∈R ，所以函数f (x )是偶函数．名师点拨判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于f (x )或－f (x )，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)考向2 函数的性质的综合应用——多维探究 角度1 利用奇偶性求参数的值或取值范围例2 (1)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( B ) A ．－13B ．13C ．12D ．－12(2)已知f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，则f (a )的值为( A )A ．76B ．13C ．25D ．23[解析] (1)依题意b ＝0，且2a ＋(a －1)＝0， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.(2)因为f (x )＝a 2－32x ＋1是R 上的奇函数，所以f (0)＝a 2－32＝0，得a ＝3，所以f (x )＝32－32x ＋1.所以f (a )＝f (3)＝32－39＝76.故选A ．角度2 函数奇偶性与单调性结合例3 (1)(2020·全国新高考Ⅰ，8)若定义在R 的奇函数f (x )在(－∞，0)单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( D )A ．[－1,1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0,1]C ．[－1,0]∪[1，＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3](2)(2021·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23[解析] (1)本题考查函数的性质与不等式的求解．奇函数f (x )在(－∞，0)单调递减，且f (2)＝0，则f (x )在(0，＋∞)单调递减，且f (－2)＝0.由xf (x －1)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，f (x －1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x －1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－2≤x －1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，0≤x －1≤2，解得－1≤x ≤0或1≤x ≤3.故选D ．(2)由y ＝f (x )图象知，x 离y 轴越近，函数值越小，因此，|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A ．角度3 函数奇偶性与周期性结合例4 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－1f (x )，当1<x ≤3时，f (x )＝cosπx3，则f (2 022)＝__1__. [分析] 先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f (2 022)转化为f (0)，进而转化为f (3)，把x ＝3代入即可．[解析] 由已知可得f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，故函数f (x )的周期为6，∴f (2 022)＝f (6×337＋0)＝f (0)． 又f (x )＝－1f (x ＋3)，f (0)＝－1f (3)＝－1cos π＝1∴f (2 022)＝1.角度4 单调性、奇偶性和周期性结合例5 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )且在区间[0,2]上是增函数，则( D )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[分析][解析] 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．名师点拨函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1．函数单调性与奇偶性结合．注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．2．周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3．周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2019·北京，13,5分)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝__－1__.(2)(角度2)(2020·郴州第二次数学质量检测)已知f (x )是定义在[2b,1－b ]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( B )A ．⎣⎡⎦⎤－1，23 B ．⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[]－1，1D ．⎣⎡⎦⎤13，1(3)(角度3)(2018·课标全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( C )A ．－50B ．0C ．2D ．50(4)(理)(角度4)(2021·湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，且y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( B )A ．f (－4.5)<f (3.5)<f (12.5)B ．f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)C ．f (12.5)<f (3.5)<f (－4.5)D ．f (3.5)<f (12.5)<f (－4.5)(文)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( D ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c[解析] (1)∵f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝0， 即e －x ＋a e x ＋e x ＋a e －x ＝0， ∴(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0，∴a ＝－1.(2)∵f (x )是定义在[2b,1－b ]上的偶函数， ∴2b ＋1－b ＝0，∴b ＝－1，∵f (x )在[2b,0]上为增函数，即函数f (x )在[－2,0]上为增函数，故函数f (x )在(0,2]上为减函数，则由f (x －1)≤f (2x )，可得|x －1|≥|2x |，即(x －1)2≥4x 2，解得－1≤x ≤13.又因为定义域为[－2,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，－1≤x ≤1.∴－1≤x ≤13.(3)∵f (x )是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (1－x )＝f (1＋x )＝－f (x －1)，f (0)＝0，则f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数， ∵f (1)＝2，∴f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， f (4)＝f (0)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2，故选C ．(4)(理)易知函数f (x )的最小正周期T ＝6，f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，f (－4.5)＝f (1.5)，f (12.5)＝f (0.5)．又f (x )在(0,3)内单调递减，∴f (3.5)<f (－4.5)<f (12.5)，故选B ．(文)由f (x )的图象关于直线x ＝1对称，可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]．(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，∴b >a >c . 考点二 函数的周期性——自主练透例6 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 022)＝__2－3__. (2)已知定义在R 上周期为3的奇函数f (x )，则f (1.5)＝ __0__.(3)设f (x )是周期为2的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，当－4≤x ≤－3时，f (x )＝__－2(x ＋4)(x ＋3)__，当2 021<x <2 022时，f (x )＝__2×(2 022－x )(x －2 021)__.[解析] (1)f (x )＝－1f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴y ＝f (x )的周期T ＝4，f (2 022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝2－ 3.(2)f (1.5)＝－f (－1.5)＝－f (－1.5＋3)＝－f (1.5)， ∴f (1.5)＝0.(3)设－4≤x ≤－3，则0≤x ＋4≤1，∴f (x )＝f (x ＋4)＝2(x ＋4)[1－(x ＋4)]＝－2(x ＋4)(x ＋3)， 设2021<x <2 022，则0<2 022－x <1，f (x )＝f (x －2 022)＝f (2 022－x )＝2×(2 022－x )(x －2 021)．名师点拨利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．名师讲坛·素养提升函数三大性质的综合应用例7 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题：①直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ②函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ③函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为__①③__.[解析] ①对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，故①正确．②当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点，故③正确．名师点拨函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．〔变式训练2〕定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋f (x )＝0，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32；②函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称；③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋f (x )＝0知f (x )为周期函数，且周期为3，故①不正确； 由函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，知f (x )关于⎝⎛⎭⎫－34，0对称，故②正确； 由f (x )关于⎝⎛⎭⎫－34，0对称，可知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－32－x ＝0，又f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－32－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， ∴f (－x )＝f (x )，⎣⎡或∵f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫x －34＝－f ⎝⎛⎭⎫－x －34，又f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋f (x )＝0，即f⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x ) ∴f ⎝⎛⎭⎫x －34＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x －34＋32＝f ⎝⎛⎭⎫－x ＋34＝f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －34即f (x )＝f (－x )． ∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故③正确．。
函数的奇偶性学案
1.2.10 函数的奇偶性【学习目标】１.能通过实例描述出奇、偶函数的图象特征、代数特征；会利用这些特征来判断一个函数的奇偶性；2. 通过对函数奇偶性的探究、概念的运用，体会数形结合的数学思想，培养学生的观察、抽象、概括、归纳能力【学习重点】函数的奇偶定义、图象性质、及判断方法．【难点提示】对奇偶性本质的理解和较为复杂的函数的奇偶性的判定.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材3336P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备１.在初中，我们学习过“轴对称图形和中心对称图形”的概念，你还记得它们的含义吗？试举例说明！（1）轴对称图形： ； （2）中心对称图形： ． 2.平面直角坐标系中，点P （,x y ）关于y 轴的对称点的坐标是 ，点P （,x y ）关于原点的对称点的坐标是 .3.预备练习 请同学们画出下列两组函数的图象（1）||2)()(2x x f x x f -==与 （2）xx g x x g 4)(2)(==与 （3）x x x h x x h 2)(12)(2+=+=与二、探究新知 １.偶函数概念（1）观察思考 ①学习准备中“预备练习”的第一组函数图象有什么对称性？从函数值对应表可知，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值 ， 比如对函数2)(x x f =有：=-)3(f ；=-)1(f ，()f x -= . （2）归纳概括 ①实际上，对R 内任意一个x ，都有=-)(x f ，我们把具有上述特征的函数叫做偶函数．②阅读教材写出定义 ． 2.奇函数概念（1）观察思考 ①学习准备中“预备练习”的第二组图象有什么对称性？从函数值对应表可知，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值 ， 比如对函数x x f 2)(=有：=-)3(f ；=-)1(f ，()f x -= . （2）归纳概括 ①实际上，对R 内 一个x ，都有=-)(x f ，我们把具 有上述特征的函数叫做奇函数．②类比偶函数的定义，请写出奇函数的定义 . （3）快乐体验 判断下列函数的奇偶性①6()2f x x =+ ；②x x x f +=5)( ；③xx x f 1)(-= ； ④()||1f x x =-；⑤2()32f x x x =+-；⑥[]2(),3,1f x x x =-∈-解：◆概念挖掘与拓展（1）对于函数)(x f ，若存在x ，使得)()(x f x f =-,则函数)(x f 为偶函数．对吗？（2）对于函数)(x f ，若存在x ，使得)()(x f x f -=-,则函数)(x f 为奇函数；对吗？（3）函数]1,2[,)(2-∈=x x x f 是偶函数吗？函数]3,2[,2)(-∈=x x x f 是奇函数吗？ （4）偶函数的定义域特征_____________．奇函数的定义域特征________________． 结合（1）（2）（3）（4）你能得出什么结论和判定函数奇偶性的方法呢？（5）若定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f y =为偶函数，则实数=a ． （6）若函数()y f x =是奇函数，则=)0(f ，若函数()y f x =是偶函数，则=)0(f ，试举例说明！从而你能得出何结论呢？（7）函数()0,y f x x R ==∈具有怎样的奇偶性？从而你能得出何结论呢？ （8）学习准备中的第三组图象具有对称性吗？它们是否为奇函数或偶函数？那么函数奇偶性的类别有 ．三、典型例析图2)（1）图1是偶函数)(x f y =在y 轴右边的图象,画出这个偶函数在y 轴左边的图象； （2）图2是奇函数)(x f y =在y 轴右边的图象,画出这个奇函数在y 轴左边的图象． ●解后反思 你是否理解了奇偶函数的图象特征？这一图象特征有什么作用？ 变式练习（1）已知)(x f 为偶函数，且当x ≥0时，)(x f ≥2，则当x ≤0时，有( ) A ．)(x f ≤2 B ．)(x f ≥2 C ．)(x f ≤－2 D ．)(x f ∈R （2）设奇函数)(x f 的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，)(x f 的图象（如1.2.10图3），则不等式)(x f ＜0的解集是____________．例2.判断下列函数的奇偶性：（1）24)(-+=x x x f ； （2） ()f x =（3）0()(2)f x x =- ；（4）|1||1|)(--+=x x x f ；（5）kx x x f +=23)(思路启迪：判断函数的奇偶性应先研究定义域，再确定()f x 与()f x -的关系． 解：●解后反思（1）奇偶函数的定义域的特点是什么？请归纳出判断函数奇偶性的步骤、方法有哪些？判断函数的奇偶性时，应先考虑什么？1.2.10图3（2）你是否理解了奇偶函数的代数特征？怎样利用这一代数特征判断函数的奇偶性？ ●变式练习 判断下列函数的奇偶性（1）x x x f 1)(2+=；（2）2)()(x x f =； （3）⎩⎨⎧<+->+=0101)(x x x x x f .（4）11)(22-∙-=x x x f ； （5）11)1()(-++=x x x x f 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？ 如：奇偶函数定义、代数特征、图象特征、特有的定义域特征都理解与掌握了吗？2.对本节课你还有独特的见解吗？你找了本节课的数学知识与生活的联系吗？感受到本节课数学知识的美在哪里？（链接1）五、学习评价1.下列命题正确的是( )A ．偶函数的图象一定与y 轴相交 ；B .f(x)＝c(c 为非零常数，R x ∈)为偶函数 C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数 ；D ．奇函数的图象一定过原点 2.函数y ＝(x ＋1)( x －a )为偶函数，则a 等于( ) A ．－2 B ．－1C ． 1D ． 23.若)(x f ＝a x 2＋b x ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝a x 3＋b x 2＋c x 是( )A ．奇函数 ；B ．偶函数 ；C ．非奇非偶函数 ；D ．既是奇函数又是偶函数. 4.若函数),(),(a a x x f y -∈=，其中0>a ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ ） A ．奇函数 ；B ．偶函数 ； C ．既是奇函数又是偶函数 ； D ．非奇非偶函数. 5.函数)(x f y =是偶函数，且0=)(x f 有四个不等实根，则这四个根之和为( )A ．4B ．2C ．1D ．06.奇函数54412+-=≤≤=x x x f x x f y )()(时，当，那么当14-≤≤-x 时，求)(x f y =的最大值．◆承前启后 我们学习了函数的第三个性质函数的奇偶性，你判定那些函数的奇偶性呢？能求所有函数的奇偶性吗？那么函数的奇偶性还有哪些运用呢呢？六、学习链接链接1. 奇偶函数的美在：对称美，生活中的对称也无处不在.。
函数的奇偶性(教案)
函数的奇偶性课题名称函数的奇偶性时间学生年级高一1班课时1课时教师魏丹一、教材分析本节内容是人教版《数学必修1》第一章第三节的教学内容.函数的奇偶性是函数的一条重要性质，从知识结构上看，函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质、解决各种问题中都有广泛的应用.二、教学目标1.知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性.2.过程与方法：通过设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力.在概念形成过程中,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.3.情感、态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操. 使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质.三、教学重难点分析教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性．教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识．四、学法指导学生对函数图像的对称性已具备了初步认识，教学中从观察实例开始，先观察函数图象的对称性，通过函数图象分析函数值表格，逐步领悟图形对称、点对称、数相等、式相等之间的关系，这样建立函数奇偶性的概念就水到渠成了.在课堂教学中，应该为学生创设宽容的课堂气氛，指导学生形成良好的学习习惯，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性．五、教法指导为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅.教学中注意结合学生所熟悉的生活实例、已掌握的对称函数的图象，让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃.六、教学过程教学环节教学过程创设情境给出两组图片，让学生感受生活中的对称美.在函数中也有这样的对称美观察以上函数图象，请从图象对称的角度将这些函数图象分类. 教学环节教学过程自主探究问题1：对于上述函数图像①③，你能否从函数解析式的角度来说明这种对称性？问题2：判断下列函数是否为偶函数.问题3：如果一个函数是偶函数，它的定义域应该有什么特点？偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
具体or抽象数学抽象素养的培养——学案《函数的奇偶性》
（上接 76 页）f（-x）=-f（x）
设问二 ：既然函数图像有相应的对称性，请问函数的定义域 D 有什
么要求？
学生难点 ：概念中没有提及，要从高度概括的定义中引申出定义域
的特点，有困难。
设问三 ：如何判断证明一个函数的奇偶性
例题 ：求证 ：
是偶函数
第三组 ：函数奇偶性的判断 1）解决问题落实素养 （说明 ：利用定义解决问题，是教学难点（包括函数的单调性，周期 性等），考虑到判断函数的奇偶性，第一步并不是定义的验证，而是“函 数的定义域是否具有对称性”。）
设问 ：请问这四个函数的定义域？ 答 ：x ∈（- ∞ ,0）U（0,+ ∞），x ∈ R，x ∈（- ∞ ,1）U（1,+ ∞）， x ∈（- ∞ ,-2）U（-2,0）U（0,+ ∞），x ∈ {0} 设问 ：定义域对函数的奇偶性有什么影响？ 答 ：定义域不对称，即不关于原点对称，函数不具备奇偶性，即非 奇非偶函数。 设问 ：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的什么条件？ 答 ：必要非充分条件。 设问 ：判断一个函数的步骤？ 答 ：第一步判断函数的定义域是否关于原点对称 ；第二步由函数的 奇偶性定义判断。 学案二（抽象到具体） 1）直接给出偶函数和奇函数的抽象定义 偶函数定义 ：见上 奇函数定义 ：见上 2）提出问题 设问一 ：如何理解任意 x 在定义域内，都有 f（x）=f（-x）,f（-x）=-f （x）? 学生难点 ：概念过于抽象，不能理解 f（x）=f（-x）,（下转 78 页）
（4）函数 y=f（x）在定于 D 上，且定义域 D 关于原点对称，若存在
x 使得 f（-x）=-f（x）, 则函数 y=f（x）在定于 D 上是奇函数。（假） 练习二 ：判断下列函数的奇偶性
函数的奇偶性教案
函数的奇偶性教案一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。
2. 学会判断函数的奇偶性。
3. 掌握奇偶性在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 函数奇偶性的定义。
2. 函数奇偶性的判断方法。
3. 奇偶性在实际问题中的应用实例。
三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 难点：奇偶性在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、例题、讨论、练习相结合的方法。
2. 通过图形演示，直观地展示函数的奇偶性。
3. 引导学生运用奇偶性解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 练习题。
一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念。
2. 学会判断函数的奇偶性。
3. 掌握奇偶性在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 函数奇偶性的定义。
奇函数：对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)的函数。
偶函数：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)的函数。
2. 函数奇偶性的判断方法。
若f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)为奇函数（或偶函数）。
若f(x)满足f(-x) = f(x)，则f(x)为偶函数。
若f(x)满足f(-x) = -f(x)，则f(x)为奇函数。
3. 奇偶性在实际问题中的应用实例。
电流的流向判断。
电磁场的对称性分析。
三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 难点：奇偶性在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、例题、讨论、练习相结合的方法。
2. 通过图形演示，直观地展示函数的奇偶性。
3. 引导学生运用奇偶性解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 练习题。
六、教学过程1. 引入：通过实例介绍奇偶性的概念。
2. 讲解：详细讲解奇偶性的定义及其判断方法。
3. 演示：利用图形演示函数的奇偶性。
4. 练习：让学生完成一些判断函数奇偶性的练习题。
5. 应用：讨论奇偶性在实际问题中的应用实例。
七、课堂小结1. 总结函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 强调奇偶性在实际问题中的应用。
函数的奇偶性与单调性学案
函数的奇偶性与单调性的综合学案题型1：证明函数的奇偶性与单调性 例1：已知2()()1xf x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.例2：函数()f x 的定义域是R ，对任意的实数x ，y 都有()()()f x f y f x y +=+，当0x >，()0f x >，判断函数的奇偶性与单调性。
题型2：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――求值例3：若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2(3)(2)f x f x -=的所有x 的值。
例4：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则f (6)的值为（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 2 题型3：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――判断增减性求最值例5：若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.A. 增函数且最小值是－1B. 增函数且最大值是－1C. 减函数且最大值是－1D. 减函数且最小值是－1例6：若函数2()(1)23f x m x mx =-++是定义在R 上的偶函数，则()f x 在（－5，－2）（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由m 来决定题型4：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――解不等式例7：若奇函数()f x 的定义域是[]5,5-上的增函数，当[]0,5x ∈时，满足()f x 的图象如图所示，则(1)不等式()0f x <的解集是___________________;（2）不等式()0x f x ⋅<的解集是___________________()f x 且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.例9：若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式2(2)(4)0f x f x ---<例10:函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ⋅=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->。
高中数学苏教版高一必修一学案 函数的奇偶性
2．2.2函数的奇偶性学习目标理解函数奇偶性的定义(难点)；2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法(重点)；3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题(重、难点)．预习教材P41－43，完成下面问题：知识点一函数奇偶性的概念(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．(2)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．【预习评价】1．函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具有奇偶性，则a＝________.解析由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.答案 12．函数f(x)＝x4＋1x2＋1的奇偶性为________．解析∵x∈R，又f(－x)＝(－x)4＋1(－x)2＋1＝x4＋1x2＋1＝f(x)，∴f(x)是偶函数．答案偶函数3．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)的值为________．解析∵当x＞0时，f(x)＝1，∴f(2)＝1，又f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.答案－1知识点二奇函数、偶函数的图象特征(1)若一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【预习评价】下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？提示①②关于y轴对称，③④关于原点对称．知识点三奇偶性应用中常用结论(1)若函数f(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有f(0)＝0.(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反．(3)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)为奇函数⇔b＝0；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数⇔b＝0；常数函数f(x)＝c(c为常数)为偶函数．【预习评价】若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的有________．解析 由奇函数的定义可知①②一定正确，对③、④，当x ＝0时，有f (0)＝0，所以③、④均不成立． 答案 ①②题型一 如何证明函数的奇偶性【例1】 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1＋x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ＜0，1，x ＞0是奇函数；(5)已知f (x )的定义域为R ，证明g (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数． 证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，∴对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．(4)定义域为{x |x ≠0}．若x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1，f (x )＝－1， ∴f (－x )＝－f (x )；若x ＞0，则－x ＜0，∴f (－x )＝－1，f (x )＝1， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数． (5)∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )＝f (－x )＋f (x )的定义域也为R .对于任意x ∈R ，都有g (－x )＝f (－(－x ))＋f (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )， ∴g (x )是偶函数．规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．(3)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性． 【训练1】 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x是非奇非偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数；(3)证明f (x )＝a －x 2＋x 2－a (a ≥0)既是奇函数又是偶函数； (4)证明f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ＜0，x 2，x ＞0是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数．(3)定义域为{－a，a}，因为对定义域内的每一个x，f(x)＝0，f(－x)＝0，－f(x)＝0，∴有f(x)＝f(－x)，f(－x)＝－f(x)成立，∴函数既是奇函数又是偶函数．(4)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝x2，有f(x)＝－x2＝－f(－x)成立；当x＞0时，－x ＜0，f(－x)＝－x2，有f(x)＝x2＝－f(－x)成立，∴有f(－x)＝－f(x)成立，∴f(x)是奇函数．题型二利用函数的奇偶性求值【例2】已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，求f(－d)．解方法一f(d)＝ad5＋bd3＋cd－8，①f(－d)＝a·(－d)5＋b(－d)3＋c·(－d)－8＝－ad5－bd3－cd－8，②①＋②得f(d)＋f(－d)＝－16，∵f(d)＝10，∴f(－d)＝－16－10＝－26.方法二设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数，由题意可得f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18.又f(－d)＝g(－d)－8，且g(x)为奇函数，∴g(－d)＝－g(d)，∴f(－d)＝－g(d)－8＝－18－8＝－26.规律方法解决这类由奇偶性求值问题，应先分析给定函数特点，把原函数化为一个奇函数(或偶函数)g(x)和一个常数的和，然后借助奇函数(或偶函数)的性质求出g(－d)．也可以通过两式相加(或相减)达到正负抵消，从而使问题得解．【训练2】函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－3)＝1，则f(3)＝________.解析令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)为奇函数，从而g(3)＝－g(－3)．又因为f(x)＝g(x)＋2，f(－3)＝1，所以g(－3)＝－1，所以g(3)＝1，所以f(3)＝g(3)＋2＝1＋2＝3.答案 3题型三奇(偶)函数图象的对称性的应用【例3】定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＞0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如下图，(2)xf(x)＞0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2,0)∪(0,2)．规律方法鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图、求值，求解析式，研究单调性．【训练3】已知f(x)＝xx2＋1在[0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上递减．试画出f(x)在定义域R上的大致图象，并指出其单调区间．解显然当x＞0时，f(x)＞0.又y＝x2＋1为偶函数，y＝x为奇函数，∴f(x)＝xx2＋1为奇函数，其图象关于原点对称．由此得f(x)＝xx2＋1的图象如下．由图可知f(x)＝xx2＋1的增区间是[－1,1]，减区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)．考查方向奇偶性与单调性的综合应用方向1【例4－1】已知y＝f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试判断F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上的单调性．解任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则有－x1＞－x2，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，∴f(－x2)＜f(－x1)＜0，又∵y＝f(x)是奇函数，∴f(x2)＝－f(－x2)，f(x1)＝－f(－x1)，故f(x2)＞f(x1)＞0，于是F(x1)－F(x2)＝1f(x1)－1f(x2)＝f(x2)－f(x1)f(x1)f(x2)＞0，即F(x1)＞F(x2)，所以函数F(x)＝1f(x)在(－∞，0)上是减函数．方向2：求解析式【例4－2】 ①函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，求当x ＜0时，f (x )的解析式；②设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ①设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，f (x )＝－x －1. ②∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1①用－x 代替x 得 f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，②(①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝x x 2－1.方向3：求参数范围【例4－3】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．①求实数m 的值；②若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 ①因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数．所以m ＝2. ②要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．规律方法 (1)两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．(2)两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．(3)证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝ －f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了． (4)如果知道函数的奇偶性和一个区间[a ，b ]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b ，－a ]上任一点(x ，y )，通过关于原点(或y 轴)的对称点(－x ， －y )(或(－x ，y ))满足的关系式间接找到(x ，y )所满足的解析式． (5)奇偶性对单调性的影响①若奇函数f (x )在[a ，b ]上是单调增函数，且有最大值M ，则f (x )在[－b ，－a ]上是单调增函数，且有最小值－M .②若偶函数f(x)在(－∞，0)上是单调减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．课堂达标1．函数f(x)＝x－2＋－x＋2的奇偶性为________．解析由题意知函数的定义域为{x|x＝2}，不关于原点对称，故该函数既不是奇函数也不是偶函数．答案非奇非偶2．已知函数f(x)是奇函数，函数g(x)＝f(x)＋x2，若g(－3)＝10，则g(3)的值为________．解析由题意可得g(－x)＝f(－x)＋(－x)2＝－f(x)＋x2，所以g(－x)＋g(x)＝2x2，再由g(－3)＝10得g(3)＝8.答案83．若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，则m＝________.解析∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，∴m－1＝0，即m＝1.答案 14．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋3x)，那么当x∈(－∞，0)时，f(x)＝________.解析当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，∴f(－x)＝－x(1＋3－x)＝－x(1－3x)又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－3 x)．高中数学打印版校对完成版本 答案 x (1－3x )5．若奇函数f (x )在(－1,1)上是减函数，且2f (1－m )＜0，求实数m 的取值范围． 解 原式可化为f (1－m )＋f (1－m )＜0⇒f (1－m )＜－f (1－m )⇒f (1－m )＜f (m －1)，又f (x )在(－1,1)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞m －1，－1＜1－m ＜1，⇒0＜m ＜1.－1＜m －1＜1即实数m 的取值范围是(0,1)．课堂小结1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个必要条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。
函数的奇偶性学案--优质课竞赛一等奖
函数的奇偶性学案--优质课竞赛一等奖
函数的奇偶性——偶函数学案
研究要求：
1.通过函数图像理解偶函数的概念；
2.能够利用定义判断偶函数；
3.能够解决一些简单问题，如作图、求解析式等；
4.通过研究，更深刻地理解生活中的对称美。
偶函数的定义和性质：
定义：对于定义在区间上的函数，若对于任意的都有，则称为偶函数。
性质：
1.偶函数的图像关于y轴对称；
2.偶函数的解析式中只含有偶次幂的项；
3.偶函数在其定义域内关于原点对称。
应用：
偶函数在数学中有广泛的应用，如余弦函数、正弦函数等都是偶函数。
在物理、化学等领域，偶函数也有着重要的应用，如电子云密度分布函数、热力学性质函数等。
创设情景兴趣导入：
1.图片欣赏：观察以下函数图像，将其分类为轴对称和中
心对称图形。
2.观察函数图像：f(x)=|x|，填充表格，探究其特点。
3.观察函数图像，判断其是否关于y轴对称。
4.若一个函数的图像关于y轴对称，那么它的定义域应该
有什么特点？偶函数的定义。
典型例题：
判断下列函数是否为偶函数：
1.f(x)=x^4；
2.f(x)=x，x∈(−3,3]；
3.f(x)=|x|；
4.f(x)=x−1；
5.f(x)=2.
判断偶函数的方法：
方法一：定义法。
判断一个函数是否为偶函数的基本步骤：（1）一看：函数是否对称；（2）二找：函数的定义域是否关于原点对称；（3）三判断：函数是否满足偶函数的定义。
方法二：图像法。
观察函数的图像是否关于y轴对称。
函数的奇偶性教学设计
函数的奇偶性教材分析教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为增强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．【教学目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；2.学会使用函数图象理解和研究函数的性质；3.学会判断函数的奇偶性；【教学重难点】教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式【教学过程】（一）创设情景，揭示课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看以下各函数有什么共性？观察以下函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x =通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数21()f x x=是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相对应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．判断以下函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=- 解：函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。
高一第4讲 函数奇偶性及运用(教师版)
第4讲 函数奇偶性及运用（教师版）一．学习目标1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系．3．会利用函数的奇偶性解决简单问题．二．重点难点1．对函数奇偶性概念的理解．(难点)2．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点)3．函数奇偶性的应用．(难点、易错点)三．知识梳理1.函数的奇偶性：（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f (－x )与f (x )的关系；○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ） ，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ），则f (x )是奇函数。
（3）函数奇偶性的简单性质：○1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇(4) 常见的几种函数的奇偶性（1）()b kx x f +=：当且仅当b=0时为奇函数。
函数奇偶性教学案
1.3.2 奇偶性编写者：赵友德教材分析“函数的奇偶性”是人教版数学必修教材必修一第一章第三节的内容，本节的主要内容是研究函数的一个性质－函数的奇偶性，学习奇函数和偶函数的概念．奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的两个特殊函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础，因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解函数奇偶性的概念，奇偶性的判断及与其它知识交汇问题.教学目标重点：奇偶性的定义，奇偶性函数的图象特征，奇偶性的判定。
难点：奇偶性的判定及应用，特别是分段函数及抽象函数的奇偶性判断。
知识点：奇偶性的概念和性质。
能力点：判断或验证给定函数的奇偶性初步运用奇偶性，如求函数值、求函数解析式、作函数图象等。
教育点：体会具有奇偶性的函数图象的对称性，感受数学的对称美，渗透数形结合的数学思想。
自主探究点：函数的奇偶性与图像的对称性的关系。
考试点：函数奇偶性的判断，奇偶性在图像中的应用，分段函数的奇偶性判断。
易错易混点：例如函数f(x)=(x－1)，学生一般在“-x-1”或“-x+1”上容易出错。
拓展点：对定义域的考虑和定义域的对称性的要求。
教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课1.据图1求解：（1）f(2),f(-2) f(3),f(-3) (2) 试判断f(a)与f(-a)的关系。
2.若条件不变，据图2求解.【师生活动】教师分析1的求解思路：根据解析式，直接求得函数值。
若用图像求，考虑误差的影响。
教师引导：上面求值结果有何规律，是否f(4)与f(-4)，f(5)与f(-5)…都有类似规律。
学生分析（2）的求解思路：由于有了（1）的思路分析，学生很容易得出f(a)与(-a)，并得出结论对于2，学生可以自主完成。
响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案：《第4课时 函数奇偶性》
一【基础训练】1、已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2、设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.3、设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．4、设函数f (x )是奇函数且周期为3，f (－1)＝－1，则f (2 014)＝________5、设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为________．二、【重点讲解】1． 奇、偶函数的概念2． 函数奇偶性的判断(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的______条件；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．3． 奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_______．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是______；②两个偶函数的和、积都是______；③一个奇函数，一个偶函数的积是_____．(3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_____；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_____． (4)若f (x )为偶函数，则_______．(5)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有_______．f (0)＝0是f (x )为奇函数的______条件．(6)既奇又偶的函数有_____个(如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)．3． 周期性(1)周期函数：(2)最小正周期：三、【典题拓展】例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x 1＋x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.下列函数：①f (x )＝x 3－x ；②f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；③f (x )＝3x －3－x 2；④f (x )＝lg 1－x 1＋x . 其中奇函数的个数是________．例2 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.例3设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．例4已知函数f (x )＝1＋ax 2x ＋b(a ≠0)是奇函数，并且函数f (x )的图象经过点(1,3) (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．四、【训练巩固】1． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x ) (x ∈R )是偶函数，则实数a ＝________.2． 已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.3． 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．5.设f (x )＝log a 1－mx x －1为奇函数，g (x )＝f (x )＋log a [(x －1)(ax ＋1)](a ＞1，且m ≠1)． (1)求m 的值；(2)求g (x )的定义域；(3)若g (x )在⎣⎡⎦⎤－52，－32上恒正，求a 的取值范围．。
函数的奇偶性学案优质课竞赛一等奖
函数的奇偶性学案优质课竞赛一等奖一、引言在数学学科中，函数的奇偶性是一种重要的概念。
研究函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像。
本文将介绍如何讲解函数的奇偶性以及如何设计一堂优质的课程来帮助学生理解这一概念。
通过本课程的教学实践，我荣获了函数的奇偶性学案优质课竞赛的一等奖，以下将详细介绍课程设计的内容和教学效果。
二、课程设计2.1 教学目标设置本课程旨在帮助学生掌握函数奇偶性的概念，理解奇函数和偶函数的性质以及在图像上的表现。
具体的教学目标如下：（1）理解奇函数和偶函数的定义和性质；（2）学会判断给定函数的奇偶性；（3）通过作图观察，掌握函数奇偶性在图像上的特征；（4）通过解决实际问题，培养学生应用函数奇偶性的能力。
2.2 教学内容和教学方法本课程的主要内容包括：（1）奇函数和偶函数的定义与性质；（2）函数奇偶性的判断方法；（3）函数奇偶性在图像上的展示；（4）应用函数奇偶性解决实际问题。
本课程将采用多种教学方法，包括讲解、讨论、示例演练和实际应用，以帮助学生更好地理解函数的奇偶性概念和应用。
2.3 课程实施步骤（1）导入环节：通过一个生活实例引入奇函数和偶函数的概念，激发学生的学习兴趣；（2）概念讲解：讲解奇函数和偶函数的定义和性质，帮助学生理解函数的奇偶性；（3）判断方法讲解：介绍常见函数类型的奇偶性判断方法，例如幂函数、三角函数和指数函数等；（4）图像展示：通过作图展示不同函数类型的奇偶性在图像上的特征，帮助学生直观感受函数奇偶性的表现；（5）练习与讨论：提供一系列函数奇偶性的判断题目，引导学生进行讨论和解答，巩固理论知识；（6）实际应用：设计一些实际问题，引导学生运用函数的奇偶性解决问题，培养学生的应用能力；（7）课堂总结：总结本节课的主要内容，强调函数奇偶性在数学中的重要性。
三、教学实施与效果评价在实际教学过程中，我采用了丰富多样的教学方法，让学生参与课堂，提高学生的主动性和思维能力。
第4讲函数的奇偶性
一、基础知识考点11．函数奇偶性定义设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)()(x g x g =-，那么这个函数叫做偶函数．2．奇偶函数的图象对称性奇函数)(x f 的图象关于原点成中心对称图形． 偶函数)(x g 的图象关于y 轴成轴对称图形．考点2判断函数奇偶性的步骤是：1．求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行下一步；如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数．2．判断或是否成立， 如果只有成立，则函数是奇函数； 如果只有，则函数是偶函数； 如果两式都成立，则函数是即奇又偶函数．考点3一次函数和二次函数的奇偶性()()f x f x =--()()f x f x =-()()f x f x =--()()f x f x =-1．函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ；0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数；2．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做二次函数，它的定义域为是R ，图象是一条抛物线；当=b 0时，该函数为偶函数，其图象关于y 轴对称；二、例题精析【例题1】判断下列函数的奇偶性：① ② ③ ④【例题2】判断下列函数的奇偶性①；②；③；*④【例题3】若定义在R 上的奇函数)(x f 在），0(-∞单调递减，且0)2(=f ，则满足0)1(≥-x xf 的x 的取值范围是（ ）31()f x x x x =++22()11f x x =+()310f x x =-+2(),[3,6]f x x x =∈-32()1x x f x x -=-()f x =()22f x x x =+--2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩A ．),3[]11[+∞- ， B ．]1,0[]13[ --， C ．),1[]01[+∞- ， D ．]3,1[]01[ ，-【例题4】已知)(x f 为R 上的奇函数，当 时， ，求 时函数的解析式．【例题5】偶函数)(x f 在定义域为R ，且在（－∞，0]上单调递减，求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．三、课堂运用【基础】1. 已知函数为偶函数，则m 的值是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．若)(x f 在()5,5-上是奇函数，且)3(f ＜)1(f ，则（ ）A. )1(-f ＜)1(fB. )0(f ＞)1(fC. )1(-f ＜)3(-fD. )3(-f ＞)5(-f【巩固】3．下列判断正确的是（ ）A 函数是奇函数；B 函数C 函数D 函数既是奇函数又是偶函数．4. 若偶函数)(x f 在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）0x >2()f x x x =-0x <)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 123422)(2--=x x x x f ()(1f x x =-()f x x =1)(=x f (]1,-∞-Ａ Ｂ．Ｃ． Ｄ．【拔高】5．设函数)(x f 与)(x g 的定义域是且,)(x f 是偶函数, )(x g 是奇函数,且,求)(x f 和)(x g 的解析式四、课程小结1.在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，奇函数±)(x f 奇函数)(x g ，结果是奇函数； 偶函数±)(x f 偶函数)(x g ，结果是偶函数；奇函数±)(x f 偶函数)(x g ，结果一般是非奇非偶函数； 奇函数⨯)(x f 奇函数)(x g ，结果是偶函数； 偶函数⨯)(x f 偶函数)(x g ，结果是偶函数； 奇函数⨯)(x f 偶函数)(x g ，结果是奇函数。
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第四讲 函数的奇偶性
一、知识要点：
1、函数奇偶性定义：
如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；
如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数
如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法
（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：
若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；
若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。
(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：
图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，
（3）简单性质：
设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇
二、基础练习：
1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？
2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是
①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x .
3.设函数若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是
4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2
-2x ，则在x<0上f (x )的表达式为
5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是
三、例题精讲：
题型1： 函数奇偶性的判定
例1. 判断下列函数的奇偶性：
① x x x x f -+-=11)1()(,②|4||3|y x x =++-,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩④2211)(x x x f --=
变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：
① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。
必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）
题型2： 函数奇偶性的证明
例2、已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ). 求证：f (x )是奇函数；
变式：已知f （x ）=(21)221
x x a +-+是奇函数，则实数a 的值等于
题型3： 函数奇偶性的应用
例3.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m 的取值范围。
变式1：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是
题型4：综合应用
例5.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )=
变式：已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .
例6．已知函数b
ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是[2,1]--∪]4,2[。
（1）求,,a b c ；
（2）是否存在实数m 使不等式23)sin 2(2+
≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
例7.已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a ,b ∈［－1,1］,a +b ≠0时， 有b
a b f a f ++)()(＞0. (1)判断函数f (x )在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式：f (x +
21)＜f (11-x ); (3)若f (x )≤m 2－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围.
能 力 训 练 题
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=1
23--x x x ； （2）()x x x f -+-=11； （3）f(x)=x 2+1 (x[-10,10))；
2.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a ＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+g (0)=0,其中正确的个数是
3．已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且0时,()则0()x f x x f x ≥=<=时 _。
4.设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上的奇偶性是
5. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是
6.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为
7.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上最小值是
8.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m φ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0） 上最小值为_ _。
9.(1)()()x x a f x x
++=为奇函数，则a = ． 10．如果函数()()(
)23,0,,0.x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()f x =
11.判断()0);f x a =≠常数的奇偶性。
12.已知函数f (x )=x 2
+|x -a |+1,a ∈R.
（1）试判断f (x )的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值.。