第4讲 函数的奇偶性(学案)

第四讲 函数的奇偶性

一、知识要点：

1、函数奇偶性定义：

如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；

如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数

如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法

（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：

若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；

若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。

(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：

图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，

（3）简单性质：

设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇

二、基础练习：

1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？

2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是

①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x .

3.设函数若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是

4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2

-2x ，则在x<0上f (x )的表达式为

5. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是

三、例题精讲：

题型1： 函数奇偶性的判定

例1. 判断下列函数的奇偶性：

① x x x x f -+-=11)1()(,②|4||3|y x x =++-,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩④2211)(x x x f --=

变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：

① y =－|f （x ）|； ②y =xf （x 2）； ③y =－f （－x ）； ④y =f （x ）－f （－x ）。

必为奇函数的有_ __（要求填写正确答案的序号）

题型2： 函数奇偶性的证明

例2、已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ). 求证：f (x )是奇函数；

变式：已知f （x ）=(21)221

x x a +-+是奇函数，则实数a 的值等于

题型3： 函数奇偶性的应用

例3.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)

变式1：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

变式2：函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是

题型4：综合应用

例5.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )=

变式：已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = .

例6．已知函数b

ax c x x f ++=2)(为奇函数，)3()1(f f <，且不等式23)(0≤≤x f 的解集是[2,1]--∪]4,2[。 （1）求,,a b c ；

（2）是否存在实数m 使不等式23)sin 2(2+

≤+-m f θ对一切R ∈θ成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

例7.已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1,若a ,b ∈［－1,1］,a +b ≠0时， 有b

a b f a f ++)()(＞0. (1)判断函数f (x )在［－1，1］上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； （2）解不等式：f (x +

21)＜f (11-x ); (3)若f (x )≤m 2－2pm +1对所有x ∈［－1,1］,p ∈［－1,1］(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围.

能 力 训 练 题

1.判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)=1

23--x x x ； （2）()x x x f -+-=11； （3）f(x)=x 2+1 (x[-10,10))；

2.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a ＞0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+g (0)=0,其中正确的个数是

3．已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且0时,()则0()x f x x f x ≥=<=时 _。

4.设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上的奇偶性是

5. 已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是

6.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为

7.如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上最小值是

8.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=m φ(x)+ng(x)+2在（0，+∞）上有最大值，则f(x)在（-∞，0） 上最小值为_ _。 9.(1)()()x x a f x x

++=为奇函数，则a = ． 10．如果函数()()(

)23,0,,0.x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()f x =

11.判断()0);f x a =≠常数的奇偶性。

12.已知函数f (x )=x 2

+|x -a |+1,a ∈R.

（1）试判断f (x )的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值.